专题8 用配方法解一元二次方程【十四大题型分类归纳】2023-2024学年北师大版数学九年级上册·重点题型全归纳（含解析）

2023-2024学年北师大版数学九年级上册·重点题型全归纳
专题8 用配方法解一元二次方程【十四大题型分类归纳】
思维导图：
考点1：直接开平方法解一元二次方程
1．一元二次方程的解是　　
A．2 B． C． D．无解
2．方程的根是　　
A．， B．， C． D．，
3．一元二次方程的解是　　
A． B． C．， D．，
4．方程的解为　　
A．， B．， C．， D．，
5．方程的根是　　
A． B． C． D．
考点2：直接开平方法解一元二次方程的条件
6．已知一元二次方程，若方程有解，则必须　　
A． B．，同号 C．是的整数倍 D．，异号
7．下列方程中，适合用直接开方法解的个数有　　
①；②；③；④；⑤；⑥
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如果关于的方程可以用直接开平方法求解，那么的取值范围是　　
A． B． C． D．
9．若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
10．若关于的方程有实数根，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
考点3：直接开平方法解一元二次方程复合型
11．解方程：．
12．用直接开平方的方法解方程，做法正确的是　　
A． B． C． D．
考点4：一元二次方程的根的概念深入理解
13．用直接开平方法解方程时，可以将其转化为或，其依据的数学知识是　　
A．完全平方公式 B．平方根的意义
C．等式的性质 D．一元二次方程的求根公式
14．若一元二次方程的两根分别是和，则的值为　　
A．16 B． C．25 D．或25
考点5：直接开平方法解一元二次方程的根的通用形式
15．对于方程下列叙述正确的是　　
A．不论为何值，方程均有实数根
B．方程的根是
C．当时，方程可化为：或
D．当时，
16．形如的方程，下列说法错误的是　　
A．时，原方程有两个不相等的实数根
B．时，原方程有两个相等的实数根
C．时，原方程无实数根
D．原方程的根为
考点6：直接开平方法解一元二次方程-降次
17．方程的根的个数是　　
A．1 B．2 C．3 D．4
考点7：直接开平方法解一元二次方程-换元法
18．，根据平方根的意义，直接开平方得，如果换元为，即，能否也用直接开平方的方法求解呢？
考点8：直接开平方法解一元二次方程-创新题，数系的扩充
19．我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于．若我们规定一个新数“”，使其满足（即方程有一个根为．并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有，，，，从而对任意正整数，我们可以得到，，，．那么的值为　　
A．0 B．1 C． D．
考点9：配方法解一元二次方程
20．将方程配方后，原方程变形为　　
A． B． C． D．
21．用配方法解方程时，配方后所得的方程是　　
A． B． C． D．
22．用配方法解方程，变形后的结果正确的是　　
A． B． C． D．
23．将方程配方成的形式为　　
A． B．
C． D．
24．一元二次方程用配方法解方程，配方结果是　　
A． B．
C． D．
25．若关于的一元二次方程配方后得到方程，则的值为　　
A． B．0 C．4 D．6
26．解方程时，方程可变形为，则，的值分别为　　
A．1， B．1，3 C．，2 D．1，2
27．用配方法将方程化成的形式，则的值是　　
A．1 B． C．3 D．
28．解方程：
（1）；
（2）．
一 考点10：配方法的应用1-三角形问题
29．若的边，满足式子：，则第三边的长可能是　　
A．2 B．5 C．7 D．8
30．已知等腰中的三边长，，满足，则的周长是　　
A．6 B．9 C．6或9 D．无法确定
31．已知的三边长，，都是整数，且满足，求的周长．
32．先阅读下面的内容，再解决问题，
例题：若，求和的值．
解：因为，
所以，
所以，
所以，，
所以，．
问题：
（1）若，求和的值；
（2）已知，，是等腰的三边长，且，满足，求的周长．
考点11：配方法的应用2-比较整式大小与求值问题
33．若，，则、的大小关系为　　
A． B． C． D．无法确定
34．已知，，与的大小关系是　　
A． B． C． D．
35．已知，，则，的大小关系是　　
A． B． C． D．
考点12：配方法的应用3-最值问题
36．代数式的最小值为　　
A． B．0 C．1 D．2
37．如图，一块直径为的圆形钢板，从中挖去直径分别为和的两个圆，当时，剩下的钢板面积的最大值是　　
A． B． C． D．
38．不论、是什么数，代数式的值　　
A．总大于7 B．总不小于7 C．可能为负数 D．总不小于5
39．不论、取何有理数，的值均为　　
A．正数 B．零 C．负数 D．非负数
考点13：配方法的应用4-二次根式
40．已知，则化简的结果是　　
A．0 B． C． D．12
41．已知，则的值是　　
A．4 B．5 C．6 D．7
42．已知实数、满足条件：，那么　　．
考点14：配方法的应用5-创新与阅读材料
43．材料一：我们定义：如果两个多项式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“雅常式”，这个常数称为关于的“雅常值”．如多项式，，，是的“雅常式”， 关于的“雅常值”为9．
材料二：把形如的二次三项式配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即，例如：我们可以将代数式进行变形，其过程如下：，，，因此，该式有最小值1．
（1）已知多项式是多项式的“雅常式”，如果，，请求出关于的“雅常值”；
（2）多项式的最小值为，求出的值；若为常数）是的“雅常式”，求关于的“雅常值”．
44．配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题．
定义：若一个整数能表示成，为整数）的形式，则称这个数为“完美数”．
例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”．
解决问题：
（1）已知29是“完美数”，请将它写成，为整数）的形式；
（2）若可配方成，为常数），求的值；
（3）已知，是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出值．
45．把代数式通过配方等手段得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有广泛的应用．如利用配方法求最小值，求的最小值．
解：，因为不论取何值，总是非负数，即．
所以，所以当时，有最小值．
根据上述材料，解答下列问题：
（1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：　　；
（2）将变形为的形式，并求出的最小值；
（3）若代数式，试求的最大值；
2023-2024学年北师大版数学九年级上册·重点题型全归纳
专题8 用配方法解一元二次方程【十四大题型分类归纳】
考点1：直接开平方法解一元二次方程
1．一元二次方程的解是　　
A．2 B． C． D．无解
【答案】
【分析】根据直接开平方法解一元二次方程即可求解．
【解答】解：，
解得：，
故选：．
2．方程的根是　　
A．， B．， C． D．，
【答案】
【分析】利用直接开平方法解方程即可．
【解答】解：，
，
，，
故选：．
3．一元二次方程的解是　　
A． B． C．， D．，
【答案】
【分析】利用直接开平方法解出方程．
【解答】解：，
则，
，
，，
故选：．
4．方程的解为　　
A．， B．， C．， D．，
【答案】
【分析】首先直接开平方可得一元一次方程，再解即可．
【解答】解：，
，
则，，
，，
故选：．
5．方程的根是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】利用直接开平方法解方程即可．
【解答】解：，
，
所以，．
故选：．
考点2：直接开平方法解一元二次方程的条件
6．已知一元二次方程，若方程有解，则必须　　
A． B．，同号 C．是的整数倍 D．，异号
【分析】首先求出的值为，再根据确定、的符号即可．
【解答】解：，
，
，
，
，
，
异号，
故选：．
7．下列方程中，适合用直接开方法解的个数有　　
①；②；③；④；⑤；⑥
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】直接开平方法必须具备两个条件：
①方程的左边是一个完全平方式；②右边是非负数．根据这两个条件即可作出判断．
【解答】解：①②③⑤都是或可变形为；，同号且；；，而这四种形式都可用直接开平方法，
故选：．
8．如果关于的方程可以用直接开平方法求解，那么的取值范围是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据解一元二次方程直接开平方法得到，然后解不等式即可．
【解答】解：根据题意得，
解得．
故选：．
9．若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】由于方程有两个实数根，则，然后解不等式即可．
【解答】解：根据题意得，
所以．
故选：．
10．若关于的方程有实数根，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】利用解一元二次方程直接开平方法，进行计算即可解答．
【解答】解：，
，
方程有实数根，
，
，
故选：．
考点3：直接开平方法解一元二次方程复合型
11．解方程：．
【分析】直接开平方法解一元二次方程，关键把方程化为或形式，再运用算术平方根意义求解．
【解答】解：直接开平方，得
即或，
解得：，．
12．用直接开平方的方法解方程，做法正确的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】一元二次方程，表示两个式子的平方相等，因而这两个数相等或互为相反数，据此即可把方程转化为两个一元一次方程，即可求解．
【解答】解：
开方得，
故选：．
考点4：一元二次方程的根的概念深入理解
13．用直接开平方法解方程时，可以将其转化为或，其依据的数学知识是　　
A．完全平方公式 B．平方根的意义
C．等式的性质 D．一元二次方程的求根公式
【答案】
【分析】用直接开平方法解形如“”一元二次方程，根据平方根的定义，可得，即可得出答案．
【解答】解：用直接开平方法解方程时，可以将其转化为或，其依据的数学知识是平方根的意义．
故选：．
14．若一元二次方程的两根分别是和，则的值为　　
A．16 B． C．25 D．或25
【答案】
【分析】直接开平方得到：，得到方程的两个根互为相反数，所以，解得，则方程的两个根分别是，，则有，然后两边平方即可得出答案．
【解答】解：一元二次方程的两个根分别是与，
且，
，
解得：，
即方程的根是：，，
，
故选：．
考点5：直接开平方法解一元二次方程的根的通用形式
15．对于方程下列叙述正确的是　　
A．不论为何值，方程均有实数根
B．方程的根是
C．当时，方程可化为：或
D．当时，
【分析】讨论：当或，利用平方根的定义可判断方程的根的情况，若有根，则可利用直接开平方法解方程，从而可对各选项进行判断．
【解答】解：当，方程没有实数解；当时，方程有实数根，则，解得，，当时，解得．
故选：．
16．形如的方程，下列说法错误的是　　
A．时，原方程有两个不相等的实数根
B．时，原方程有两个相等的实数根
C．时，原方程无实数根
D．原方程的根为
【分析】根据直接开方法即可求出答案．
【解答】解：当时，该方程无解，
当时，该方程有两个不相同的解，
当是，该方程有两个相同的解，
故选：．
考点6：直接开平方法解一元二次方程-降次
17．方程的根的个数是　　
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】
【分析】先移项得出，再根据四次方根的定义求出方程的解即可．
【解答】解：，
，
，
即方程的实数根的个数是2，
故选：．
考点7：直接开平方法解一元二次方程-换元法
18．，根据平方根的意义，直接开平方得，如果换元为，即，能否也用直接开平方的方法求解呢？
【答案】见解答．
【分析】把变为上面的，那么，即可解得，．
【解答】解：把看作，即可得到，
即，，
所以，方程的两根为，．
考点8：直接开平方法解一元二次方程-创新题，数系的扩充
19．我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于．若我们规定一个新数“”，使其满足（即方程有一个根为．并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有，，，，从而对任意正整数，我们可以得到，，，．那么的值为　　
A．0 B．1 C． D．
【答案】
【分析】根据，，，，，进而得出，进而求出即可．
【解答】解：原式
．
故选：．
考点9：配方法解一元二次方程
20．将方程配方后，原方程变形为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方，解答即可．
【解答】解：，
，
，
．
故选：．
21．用配方法解方程时，配方后所得的方程是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】方程变形后，配方得到结果，即可做出判断．
【解答】解：方程，
变形得：，
配方得：，即，
故选：．
22．用配方法解方程，变形后的结果正确的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】把方程的常数项移到等号右边后，在方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边化为完全平方式的形式，再用直接开方法求解．
【解答】解：方程，
移项得：，
配方得：，
即，
故选：．
23．将方程配方成的形式为　　
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】利用解一元二次方程配方法，进行计算即可解答．
【解答】解：，
，
，
，
，
故选：．
24．一元二次方程用配方法解方程，配方结果是　　
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】先移常数项，再将二次项系数化为1，然后方程两边同时加上一次项系数一半的平方，从而得出配方的结果．
【解答】解：
，
故选：．
25．若关于的一元二次方程配方后得到方程，则的值为　　
A． B．0 C．4 D．6
【答案】
【分析】根据完全平方式的特征对配方可得到，通过变形可得的值．
【解答】解：配方可得到，
变形可得，
，
．
故选：．
26．解方程时，方程可变形为，则，的值分别为　　
A．1， B．1，3 C．，2 D．1，2
【答案】
【分析】根据配方法的一般步骤将方程化成的形式，即可得出答案．
【解答】解：，
，
，
，
，．
故选：．
27．用配方法将方程化成的形式，则的值是　　
A．1 B． C．3 D．
【答案】
【分析】把已知方程配方，求出，的值，再代入计算即可．
【解答】解：，
，
，，
，
故选：．
28．解方程：
（1）；
（2）．
【分析】（1）移项后开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）移项，配方，再开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：（1）移项得：，
两边开方得：，
解得： ；
（2），
，
，
，
，
．
一 考点10：配方法的应用1-三角形问题
29．若的边，满足式子：，则第三边的长可能是　　
A．2 B．5 C．7 D．8
【答案】
【分析】根据得到，确定，的值，根据三角形三边关系定理计算判断即可．
【解答】解：，
，
，，
，，
，
，
第三边的取值范围是．
故选：．
30．已知等腰中的三边长，，满足，则的周长是　　
A．6 B．9 C．6或9 D．无法确定
【答案】
【分析】根据配方法可求出与的值，然后根据等腰三角形的性质即可求出答案．
【解答】解，
，
，，
解得，，
，
是等腰三角形，
．
故的周长为：．
故选：．
31．已知的三边长，，都是整数，且满足，求的周长．
【答案】7．
【分析】利用配方法把原式变形，根据非负数的性质和三角形三边关系解答即可．
【解答】解：，
，
，
则，，
解得，，
由三角形三边关系可知，三角形三边分别为1、3、3，
的周长为．
32．先阅读下面的内容，再解决问题，
例题：若，求和的值．
解：因为，
所以，
所以，
所以，，
所以，．
问题：
（1）若，求和的值；
（2）已知，，是等腰的三边长，且，满足，求的周长．
【答案】（1），；
（2）13或14．
【分析】（1）仿照例题的思路，配成两个完全平方式，然后利用偶次方的非负性，进行计算即可解答；
（2）仿照例题的思路，配成两个完全平方式，再利用偶次方的非负性，先求出，的值，然后分两种情况，进行计算即可解答．
【解答】解：（1），
，
，
，，
，；
（2），
，
，
，，
，，
因为是等腰三角形，
所以或4，
分两种情况：
当时，的周长为，
当，的周长为，
所以的周长为13或14．
考点11：配方法的应用2-比较整式大小与求值问题
33．若，，则、的大小关系为　　
A． B． C． D．无法确定
【答案】
【分析】根据配方法进行判断．
【解答】解：
，
故．
故选：．
34．已知，，与的大小关系是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】利用配方进行计算即可
【解答】解：，，
，，
，
，
故选：．
35．已知，，则，的大小关系是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】用与作差，然后进行判断即可．
【解答】解：，，
，
．
故选：．
考点12：配方法的应用3-最值问题
36．代数式的最小值为　　
A． B．0 C．1 D．2
【答案】
【分析】通过配方法可求解．
【解答】解：
，
，
当时，代数式的最小值为1．
故选：．
37．如图，一块直径为的圆形钢板，从中挖去直径分别为和的两个圆，当时，剩下的钢板面积的最大值是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】首先根据题意可得，然后根据图形写出剩下的钢板面积，然后利用配方法可把代数式配成的形式，利用偶次方的非负性即可解出答案．
【解答】解：，
，则，
根据图形可得：剩下的钢板面积
，
，，
，即剩下的钢板面积，
剩下的钢板面积的最大值为，只有选项符合；
故选：．
38．不论、是什么数，代数式的值　　
A．总大于7 B．总不小于7 C．可能为负数 D．总不小于5
【答案】
【分析】将7分解成，结合完全平方公式可将已知代数式变形为；接下来运用完全平方公式的非负性，即可判断、的范围；进而根据上述分析求得代数式的最小值．
【解答】解：将7分成，则代数式变形为：
，
，，
，
当，时，代数式有最小值是5，
即代数式的值总不小于5．
故选：．
39．不论、取何有理数，的值均为　　
A．正数 B．零 C．负数 D．非负数
【答案】
【分析】根据完全平方公式对代数式整理，然后再根据平方数非负数的性质进行判断．
【解答】解：
，
，，
．
故选：．
考点13：配方法的应用4-二次根式
40．已知，则化简的结果是　　
A．0 B． C． D．12
【答案】
【分析】先将已知等式移项，使等式右边为0，再将左边配方，利用非负数的性质求出、，再代入，计算即可．
【解答】解：，
，
，
，，
，，
．
故选：．
41．已知，则的值是　　
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】
【分析】已知等式移项后，利用完全平方公式配方，再利用非负数的性质求出与的值，代入原式计算即可得到结果．
【解答】解：已知等式移项得：，
即，
，，
，，
解得：，，
则．
故选：．
42．已知实数、满足条件：，那么　37　．
【答案】37．
【分析】利用配方法把原式变形，根据偶次方的非负性分别求出、，代入计算即可．
【解答】解：，
，
，
，，
，，
，
故答案为：37．
考点14：配方法的应用5-创新与阅读材料
43．材料一：我们定义：如果两个多项式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“雅常式”，这个常数称为关于的“雅常值”．如多项式，，，是的“雅常式”， 关于的“雅常值”为9．
材料二：把形如的二次三项式配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即，例如：我们可以将代数式进行变形，其过程如下：，，，因此，该式有最小值1．
（1）已知多项式是多项式的“雅常式”，如果，，请求出关于的“雅常值”；
（2）多项式的最小值为，求出的值；若为常数）是的“雅常式”，求关于的“雅常值”．
【答案】（1）2；（2）3．
【分析】（1）计算，即可求出关于的“雅常值”；
（2）根据多项式的最小值为，求出的值；求出，由是的“雅常式”得出，得出，进而求出．
【解答】解：（1），，
，
关于的“雅常值”为2；
（2），
又多项式的最小值为，
，
；
，
，
为常数）是的“雅常式”，
，
，
，
关于的“雅常值”为3．
44．配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题．
定义：若一个整数能表示成，为整数）的形式，则称这个数为“完美数”．
例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”．
解决问题：
（1）已知29是“完美数”，请将它写成，为整数）的形式；
（2）若可配方成，为常数），求的值；
（3）已知，是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出值．
【答案】（1）；（2）2；（3）当时，是完美数，
【分析】（1）根据“完美数”的定义判断即可；
（2）利用配方法进行转化，然后求得对应系数的值；
（3）利用完全平方公式把原式变形，根据“完美数”的定义即可求解．
【解答】解：（1）是“完美数”，
；
（2）
，
又，
，，
．
（3）当时，是完美数，
理由如下：
，
，是整数，
，也是整数，
是一个“完美数”．
45．把代数式通过配方等手段得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有广泛的应用．如利用配方法求最小值，求的最小值．
解：，因为不论取何值，总是非负数，即．
所以，所以当时，有最小值．
根据上述材料，解答下列问题：
（1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：　49　；
（2）将变形为的形式，并求出的最小值；
（3）若代数式，试求的最大值；
【答案】（1）49；（2）2；（3）17．
【分析】（1）依据题意，根据完全平方公式求解；
（2）依据题意，利用配方法求最小值即可；
（3）依据题意，利用配方法求最大值．
【解答】解：（1）依据完全平方公式：，
是完全平方式．
故答案为：49．
（2）．
，
．
的最小值是2．
（3），
又，
．
．
的最大值是17