专题4 矩形的判定、判定与性质综合【七大题型分类归纳】重点题型全归纳2023-2024学年北师大版数学九年级上册（含解析）

2023-2024学年北师大版数学九年级上册·重点题型全归纳
专题4 矩形的判定、判定与性质综合【七大题型分类归纳】
思维导图：
类型一：矩形的判定
1．下列说法不正确的是　　
A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B．对角线相等的平行四边形是矩形
C．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形
D．一个角是直角的四边形是矩形
2．如图为小亮在家找到的一块木板，他想检验这块木板的表面是不是矩形，但仅有一根足够长的细绳，现提供了如下两种检验方法：
下列说法正确的是（　　）
A．方法一可行，方法二不可行
B．方法一不可行，方法二可行
C．方法一、二都可行
D．方法一、二都不可行
3．要检验一个四边形画框是否为矩形，可行的测量方法是　　
A．测量四边形画框的两个角是否为
B．测量四边形画框的对角线是否相等且互相平分
C．测量四边形画框的一组对边是否平行且相等
D．测量四边形画框的四边是否相等
4．如图，的对角线和相交于点，下列说法正确的是　　
A．若，则是菱形 B．若，则是矩形
C．若，则是菱形 D．若，则是矩形
5．下列条件中能判定一个平行四边形为矩形的是　　
①对角线互相平分
②对角线互相垂直
③对角线相等
④一组邻边相等
⑤一个角为直角
A．①④ B．②④ C．①② D．③⑤
类型二：添加一个条件成为矩形
6．在中，对角线，相交于点，若添加一个条件，使得为矩形，该条件是　　
A． B． C． D．
7．添加下列条件后，仍不能使它成为矩形的是　　
A． B． C． D．
8．在四边形中，，，请再添加一个条件，使四边形是矩形，添加的条件不能是　　
A． B． C． D．
9．如图，四边形为平行四边形，延长到，使，连接，，，添加一个条件，不能使四边形成为矩形的是　　
A． B． C． D．
10．如图，在四边形中，给出部分数据，若添加一个数据后，四边形是矩形，则添加的数据是　　
A． B． C． D．
类型三：根据矩形的判定与性质求长度
11．如图，在矩形中，点的坐标是，则的长是　　
A．3 B． C． D．4
12．如图，在中，对角线、相交于点，且，若，，则的长为　　
A． B． C．8 D．
13．如图，中，，，，是上一动点，过点作于点，于点，连接，则线段的最小值是　　
A．2.5 B．2.4 C．2.2 D．2
14．如图，点是菱形对角线的交点，，，连接，设，，则的长为　　
A．8 B．9 C．10 D．11
15．如图，在中，，，，为边上一动点不与，重合），于，于，为中点，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
16．将一张矩形纸片（不是正方形），先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形，剩下的是如图所示的四边形纸片，其中，，，，则这张矩形纸片的较长边不可能是　　
A．6 B． C． D．8
类型四：根据矩形的判定与性质求角度
17．如图，在四边形中，，，，，分别为2，2，，则的度数等于　　
A． B． C． D．以上都不对
18．如图，在中，对角线、相交于点，且，，则的度数为　　
A． B． C． D．
19．如图，矩形在矩形的内部，且，点，在对角线的异侧．连结，，，，若矩形矩形，且两个矩形的周长已知．只需要知道下列哪个值就一定可以求得四边形的面积　　
A．矩形的面积 B．的度数
C．四边形的周长 D．的长度
20．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，且，，则的度数为　　
A． B． C． D．
类型五：根据矩形的判定与性质求面积
21．如图，中，的中垂线交、于点、，交延长线于点，若，，，则四边形的面积是　　
A． B． C． D．
22．如图，在中，分别取、的中点、，连接，过点作，垂足为，将分割后拼接成矩形．若，，则矩形的面积是　　
A．40 B．20 C．15 D．10
23．如图所示，在中，分别取、的中点、，连接，过点作，垂足为，将分割后拼接成矩形．若，，则矩形的面积是　　
A．6 B．8 C．12 D．24
24．如图，在矩形中，，，连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形；再连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形，，按照此规律作下去．若矩形的面积记作，矩形的面积记作，矩形的面积记作，，则的值为　　
A． B． C． D．
类型六：矩形的判定的证明
25．如图，在中，于点，交于点．
求证：四边形是矩形．
26．如图，的对角线，相交于点，将对角线向两个方向延长，分别至点和点，且使．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，求证：四边形是矩形．
27．如图，在中，，是的角平分线，点为的中点，延长交的外角平分线于点．
（1）求证：；
（2）连接，试判断四边形的形状，并证明你的结论．
28．如图，在中，延长至点，延长至点，且，．求证：是矩形．
29．如图，在中，，点、分别为、中点，连接并延长至点，使得，连接、、，求证：四边形为矩形．
30．如图，是的边的中点，连接、，且，求证：四边形是矩形．
类型七：矩形的判定与性质综合
31．如图，平行四边形中，对角线，相交于点，于点，于点，且．
（1）求证：四边形是矩形．
（2）若，求的度数．
32．如图，平行四边形中，点，分别在边，上，，，连接，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，，求的长．
33．如图，平行四边形中，，过点作交的延长线于点，点为的中点，连接．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，且，求四边形的面积．
34．如图，在中，，是边的中线，平分的外角，，垂足为．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）连接，交于点，若，，则的面积是：　　．
35．如图，在平行四边形中，过点作交边于点，点在边上，且．
（1）求证：四边形是矩形．
（2）若平分，且，，求线段的长．
2023-2024学年北师大版数学九年级上册·重点题型全归纳
专题4 矩形的判定、判定与性质综合【七大题型分类归纳】
思维导图：
类型一：矩形的判定
1．下列说法不正确的是　　
A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B．对角线相等的平行四边形是矩形
C．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形
D．一个角是直角的四边形是矩形
【答案】
【分析】由菱形的判定和矩形的判定以及平行四边形的判定可求解．
【解答】解：、两组对边分别相等的四边形是平行四边形是正确的，故该选项不符合题意；
、对角线相等的平行四边形是矩形是正确的，故该选项不符合题意；
、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形是正确的，故该选项不符合题意；
、一个角是直角的四边形是矩形是错误的，故该选项符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定和性质，菱形的判定，熟练运用这些判定是本题的关键．
2．如图为小亮在家找到的一块木板，他想检验这块木板的表面是不是矩形，但仅有一根足够长的细绳，现提供了如下两种检验方法：
下列说法正确的是（　　）
A．方法一可行，方法二不可行
B．方法一不可行，方法二可行
C．方法一、二都可行
D．方法一、二都不可行
【答案】A
【分析】根据矩形的判定进行判断即可．
【解答】解：方法一中：第一步得出四边形为平行四边形，
结合第二步得出：四边形为矩形；
方法二中不能直接得出是矩形，可能是等腰梯形，
故方法一可行，方法二不可行，
故选：A．
【点评】本题主要考查矩形的判定，熟练掌握矩形的判定定理是解题关键．
3．要检验一个四边形画框是否为矩形，可行的测量方法是　　
A．测量四边形画框的两个角是否为
B．测量四边形画框的对角线是否相等且互相平分
C．测量四边形画框的一组对边是否平行且相等
D．测量四边形画框的四边是否相等
【答案】
【分析】由平行四边形的判定与性质、菱形的判定，矩形的判定分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：、测量四边形画框的两个角是否为，不能判定为矩形，故选项不符合题意；
、测量四边形画框的对角线是否相等且互相平分，能判定为矩形，故选项符合题意；
、测量四边形画框的一组对边是否平行且相等，能判定为平行四边形，不能判定是否为矩形，故选项不符合题意；
、测量四边形画框的四边是否相等，能判定为菱形，故选项不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识；熟记“对角线互相平分的四边形为平行四边形”是解题的关键．
4．如图，的对角线和相交于点，下列说法正确的是　　
A．若，则是菱形 B．若，则是矩形
C．若，则是菱形 D．若，则是矩形
【答案】
【分析】由矩形的判定和菱形的判定分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：、四边形是平行四边形，
，故选项不符合题意；
、四边形是平行四边形，，
是矩形，故选项符合题意；
、四边形是平行四边形，
，，
，
，
是矩形，故选项不符合题意；
、四边形是平行四边形，，
是菱形，故选项不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了菱形的判定、矩形的判定以及平行四边形的性质，熟练掌握菱形的判定和矩形的判定是解题的关键．
5．下列条件中能判定一个平行四边形为矩形的是　　
①对角线互相平分
②对角线互相垂直
③对角线相等
④一组邻边相等
⑤一个角为直角
A．①④ B．②④ C．①② D．③⑤
【答案】
【分析】根据平行四边形的判定（对角线互相平分），矩形的判定（对角线互相平分且相等），菱形的判定（对角线互相垂直的平行四边形）逐一判断即可．
【解答】解：①两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；
②两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
③对角线相等的平行四边形是矩形；
④一组邻边相等的平行四边形是菱形；
⑤一个角是直角的平行四边形是矩形．
能判定一个平行四边形为矩形的是③⑤，
故选：．
【点评】本题主要考查矩形的判定，平行四边形的判定，菱形的判定等知识点的理解和掌握，能熟练运用判定方法进行说理是解此题的关键．
类型二：添加一个条件成为矩形
6．在中，对角线，相交于点，若添加一个条件，使得为矩形，该条件是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】由矩形的判定可直接求解．
【解答】解：四边形是平行四边形，，
四边形是矩形，
故选：．
【点评】本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质，掌握矩形的判定是解题的关键．
7．添加下列条件后，仍不能使它成为矩形的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据矩形的判定和平行四边形的性质对各个选项进行判断即可．
【解答】解：、，
，
四边形是平行四边形，
是矩形，故选项不符合题意；
、四边形是平行四边形，，
是矩形，故选项不符合题意；
、四边形是平行四边形，
，
，
，
，
是矩形，故选项不符合题意；
、四边形是平行四边形，，
是菱形，故选项符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质以及菱形的判定；熟练掌握矩形的判定和平行四边形的性质是解题的关键．
8．在四边形中，，，请再添加一个条件，使四边形是矩形，添加的条件不能是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】先证四边形是平行四边形，再由矩形的判定分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：，，
四边形是平行四边形，
、四边形是平行四边形，，
平行四边形是菱形，故选项符合题意；
、，
，
平行四边形是矩形，故选项不符合题意；
、四边形是平行四边形，，
平行四边形是矩形，故选项不符合题意；
、四边形是平行四边形，，
平行四边形是矩形，故选项不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定是解题的关键．
9．如图，四边形为平行四边形，延长到，使，连接，，，添加一个条件，不能使四边形成为矩形的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】先证四边形为平行四边形，再由矩形的判定和菱形的判定进行解答即可．
【解答】解：四边形为平行四边形，
，，
又，
，且，
四边形为平行四边形，
、，，
，
，
为矩形，故本选项不符合题意；
、对角线互相垂直的平行四边形为菱形，不一定为矩形，故本选项符合题意；
、，
，
为矩形，故本选项不符合题意；
、，
，
为矩形，故本选项不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质、矩形的判定、菱形的判定等知识，熟练掌握矩形的判定是解题的关键．
10．如图，在四边形中，给出部分数据，若添加一个数据后，四边形是矩形，则添加的数据是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】由平行四边形的判定与性质和矩形的判定即可得出结论．
【解答】解：添加时，四边形是矩形，理由如下：
，，
四边形是平行四边形，，
平行四边形是矩形，
故选：．
【点评】本题考查了矩形的判定以及平行四边形的判定与性质，熟练掌握矩形的判定是解题的关键．
类型三：根据矩形的判定与性质求长度
11．如图，在矩形中，点的坐标是，则的长是　　
A．3 B． C． D．4
【分析】根据勾股定理求得，然后根据矩形的性质得出．
【解答】解：四边形是矩形，
，
点的坐标是，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了矩形的性质以及勾股定理的应用，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
12．如图，在中，对角线、相交于点，且，若，，则的长为　　
A． B． C．8 D．
【答案】
【分析】先证明，，于是可证明是矩形，为等边三角形，最后在中，依据特殊锐角三角函数值可求得的长．
【解答】解：四边形为平行四边形，
，，
，
，，
是矩形，
又，
为等边三角形．
．
．
．
故选：．
【点评】本题主要考查的是平行四边形的性质、等边三角形的判定、特殊锐角三角函数值的应用，求得是解题的关键．
13．如图，中，，，，是上一动点，过点作于点，于点，连接，则线段的最小值是　　
A．2.5 B．2.4 C．2.2 D．2
【分析】连接，利用勾股定理列式求出，判断出四边形是矩形，根据矩形的对角线相等可得，再根据垂线段最短可得时，线段的值最小，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可．
【解答】解：如图，连接．
，，，
，
，，，
四边形是矩形，
，
由垂线段最短可得时，线段的值最小，
此时，
即，
解得，
．
故选：．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出时，线段的值最小是解题的关键，难点在于利用三角形的面积列出方程．
14．如图，点是菱形对角线的交点，，，连接，设，，则的长为　　
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】
【分析】由菱形的性质和勾股定理求出，再证出平行四边形为矩形，得即可．
【解答】解：，，
四边形为平行四边形，
四边形是菱形，，，
，，，
，，
平行四边形为矩形，
，
故选：．
【点评】本题考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，平行四边形判定与性质等知识；熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
15．如图，在中，，，，为边上一动点不与，重合），于，于，为中点，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】证明四边形是矩形，得，与互相平分，则，再求出的最小值可得的最小值，然后由，即可求得的取值范围．
【解答】解：如图，连接，
在中，，，，
，
于，于，
，
四边形是矩形，
，与互相平分，
为中点，
为的中点，
，
当时，，
此时有最小值为，
，
，
，
，
故选：．
【点评】此题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短以及三角形面积等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
16．将一张矩形纸片（不是正方形），先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形，剩下的是如图所示的四边形纸片，其中，，，，则这张矩形纸片的较长边不可能是　　
A．6 B． C． D．8
【答案】
【分析】分四种情况画出图形，求出最长的直角边即可．
【解答】解：延长，，过点作，交的延长线于点，过点作交的延长线于点，如图所示：
，
，
，，
四边形为平行四边形，
，
四边形为矩形，
，，
．，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
此时较长的边为；
延长，过点作，过点作交延长线于点，交的垂线于点，
如图所示：
，
，
，
四边形为平行四边形，
，
四边形为矩形，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
此时较长的边为6；
延长，，过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，
如图所示：
，，
，
，
四边形为平行四边形，
，
四边形为矩形，
，，
．
为等腰三角形，
，
，
，，
为等腰直角三角形，
，
，
此时较长的边为，
综上分析可知，矩形纸片（不是正方形）时，较长的边为或或6或，
不可能为8，
正确，
故选：．
【点评】本题主要考查了矩形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，平行线的判定，解题的关键是分情况画出图形，数形结合．
类型四：根据矩形的判定与性质求角度
17．如图，在四边形中，，，，，分别为2，2，，则的度数等于　　
A． B． C． D．以上都不对
【分析】过作于，得出四边形是矩形，根据矩形的性质求出，，，根据勾股定理求出，即可求出的度数，求出答案即可．
【解答】解：过作于，
，，
，
四边形是矩形，
，，，
，
，
由勾股定理得：，
，，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了矩形的性质和判定，含角的直角三角形性质，勾股定理的应用，能构造直角三角形并求出的度数是解此题的关键．
18．如图，在中，对角线、相交于点，且，，则的度数为　　
A． B． C． D．
【分析】根据矩形的判定得到四边形是矩形，由矩形的性质求出，代入求出即可．
【解答】解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
四边形是矩形，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了矩形的判定和性质，能根据矩形的性质求出的度数是解此题的关键．
19．如图，矩形在矩形的内部，且，点，在对角线的异侧．连结，，，，若矩形矩形，且两个矩形的周长已知．只需要知道下列哪个值就一定可以求得四边形的面积　　
A．矩形的面积 B．的度数
C．四边形的周长 D．的长度
【答案】
【分析】连接，，过点作于点，过点作于点，过点作于点，过点作于点，设小矩形的长和宽分别为和，大矩形的长和宽分别为和，，，然后用分割法求得四边形的面积，进而可以根据条件得到结果．
【解答】解：如图，连接，，过点作于点，过点作于点，过点作于点，过点作于点，
，
四边形、四边形是矩形，
设小矩形的长和宽分别为和，大矩形的长和宽分别为和，，，则，，，，
，，，，
，
矩形和矩形的周长已知，
和为定值，
为定值，
为定值，
，
当已知时，四边形的面积即为定值，
故选：．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质，解题的关键是学会设矩形的长和宽并用含有未知数的式子表示矩形、矩形和四边形的面积．
20．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，且，，则的度数为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据矩形的判定得到四边形是矩形，由矩形的性质求出，，求出，由平行线的性质即可得出答案．
【解答】解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
四边形是矩形，
，，
，，
故选：．
【点评】本题考查了矩形的判定和性质、平行四边形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解此题的关键．
类型五：根据矩形的判定与性质求面积
21．如图，中，的中垂线交、于点、，交延长线于点，若，，，则四边形的面积是　　
A． B． C． D．
【分析】先证明是等边三角形，得出，，求出，再证明四边形是矩形，即可求出面积．
【解答】解：连接，如图所示：
是的中垂线，
，，
，
，
，
，
是等边三角形，
，，
，，
，
，
四边形是矩形，
四边形的面积；
故选：．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、三角函数以及等边三角形的判定与性质；证明等边三角形和矩形是解决问题的关键．
22．如图，在中，分别取、的中点、，连接，过点作，垂足为，将分割后拼接成矩形．若，，则矩形的面积是　　
A．40 B．20 C．15 D．10
【答案】
【分析】根据图形的拼剪，可得，根据三角形中位线定理求出，根据矩形的面积公式即可解决问题．
【解答】解：由题意，，
点、是、的中点，
是的中位线，
，
，
矩形的面积．
故选：．
【点评】本题主要考查了矩形的面积公式，三角形中位线定理，熟记三角形的中位线等于第三边的一半是解决问题的关键．
23．如图所示，在中，分别取、的中点、，连接，过点作，垂足为，将分割后拼接成矩形．若，，则矩形的面积是　　
A．6 B．8 C．12 D．24
【答案】
【分析】根据题意，得，，，由三角形中位线定理求出，即可求出矩形的面积．
【解答】解：根据题意，得，，，
是的中位线，
，
．
故选：．
【点评】本题主要考查了三角形中位线定理，矩形的面积公式，正确理解题意，根据三角形中位线定理求出是解决问题的关键．
24．如图，在矩形中，，，连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形；再连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形，，按照此规律作下去．若矩形的面积记作，矩形的面积记作，矩形的面积记作，，则的值为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据已知和矩形的性质可分别求得，再利用相似多边形的性质可发现规律，然后根据规律即可求解．
【解答】解：四边形是矩形，
，
，
按逆时针方向作矩形的相似矩形，
矩形的边长和矩形的边长的比为
矩形的面积和矩形的面积的比，
，，，
，，
故选：．
【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似多边形的性质，解此题的关键是能根据求出的结果得出规律．
类型六：矩形的判定的证明
25．如图，在中，于点，交于点．
求证：四边形是矩形．
【答案】见解析．
【分析】根据平行四边形的性质得到，根据平行四边形的判定得到四边形是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论．
【解答】证明：在中，，
，
，，
，，
四边形是平行四边形，
，
是矩形．
【点评】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定和性质，熟练掌握矩形的判定是解题的关键．
26．如图，的对角线，相交于点，将对角线向两个方向延长，分别至点和点，且使．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，求证：四边形是矩形．
【答案】证明见解析．
【分析】（1）由四边形是平行四边形易知，，再证得，即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质证出，根据矩形的判定可得出结论．
【解答】证明：（1）四边形是平行四边形，
，，
又，
．
四边形是平行四边形．
（2）四边形是平行四边形，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形．
【点评】此题考查了平行四边形的性质和判定，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键，解题时要注意选择适宜的判定方法．
27．如图，在中，，是的角平分线，点为的中点，延长交的外角平分线于点．
（1）求证：；
（2）连接，试判断四边形的形状，并证明你的结论．
【答案】（1）见解析过程；
（2）四边形是矩形，理由见解析过程．
【分析】（1）由等腰三角形的性质可得，，由三角形的中位线定理可得，由直角三角形的性质和平行线的性质可证；
（2）由矩形的判定可得结论．
【解答】（1）证明：，是的角平分线，
，，
点是的中点，
是的中位线，，
，
，
平分，
，
，
，
；
（2）解：四边形是矩形，理由如下：
如图，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形．
【点评】本题考查了矩形的判定，等腰三角形的性质，三角形中位线定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
28．如图，在中，延长至点，延长至点，且，．求证：是矩形．
【答案】见解析．
【分析】根据平行四边形的性质得到，，根据平行线的性质得到，根据全等三角形的性质得到，根据矩形的判定定理即可得到结论．
【解答】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
在与中，
，
，
，
，
是矩形．
【点评】本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
29．如图，在中，，点、分别为、中点，连接并延长至点，使得，连接、、，求证：四边形为矩形．
【答案】证明见解析．
【分析】根据平行四边形的判定得出四边形是平行四边形，再根据等腰三角形的性质和矩形的判定解答即可．
【解答】证明：点、分别为、中点，
，，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
是矩形．
【点评】此题考查矩形的判定，关键是根据平行四边形的判定得出四边形是平行四边形解答．
30．如图，是的边的中点，连接、，且，求证：四边形是矩形．
【答案】证明见解答．
【分析】由平行四边形的性质得，而，，即可根据全等三角形的判定定理“”证明，得，因为，所以，即可证明四边形是矩形．
【解答】证明：四边形是平行四边形，
，，
是的中点，
，
在和中，
，
，
，
，
，
四边形是矩形．
【点评】此题重点考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定等知识，证明是解题的关键．
类型七：矩形的判定与性质综合
31．如图，平行四边形中，对角线，相交于点，于点，于点，且．
（1）求证：四边形是矩形．
（2）若，求的度数．
【答案】（1）见解析；（2）．
【分析】（1）证，得出，则，即可得出四边形是矩形．
（2）由矩形的性质得出，，则，求出，则，即可得出答案．
【解答】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
于点，于点，
，
在和中，
，
，
，
，
四边形是矩形．
（2）解：由（1）得：四边形是矩形，
，，
，
于点，
，
，
，
，
．
．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握矩形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
32．如图，平行四边形中，点，分别在边，上，，，连接，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，，求的长．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【分析】（1）先证四边形是平行四边形，再由矩形的判定即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质得，，，再由矩形的性质得，进而由含角的直角三角形的性质得，然后由勾股定理得，即可解决问题．
【解答】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
即，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是矩形；
（2）解：四边形是平行四边形，
，，，
由（1）可知，四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、含角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
33．如图，平行四边形中，，过点作交的延长线于点，点为的中点，连接．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，且，求四边形的面积．
【答案】（1）证明见解析过程；
（2）90．
【分析】（1）利用平行线的性质分析可得，从而求证四边形是矩形；
（2）根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半和勾股定理求得的长度，从而利用矩形和三角形的面积公式计算求解．
【解答】（1）证明：平行四边形中，，
，
，
，
，
，
四边形是矩形；
（2）解：，点为的中点，，
，
在中，，
平行四边形中，，
在矩形中，，
四边形的面积
．
【点评】本题考查平行四边形的性质，矩形的判定，理解直角三角形斜边中线等于斜边的一半，掌握平行四边形的性质及矩形的判定方法是解题关键．
34．如图，在中，，是边的中线，平分的外角，，垂足为．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）连接，交于点，若，，则的面积是：　12　．
【答案】（1）证明过程请看解答；
（2）12．
【分析】（1）证出四边形有三个直角即可；
（2）由矩形的性质得，由勾股定理求出，再由三角形面积公式即可得答案．
【解答】（1）证明：在中，，是边的中线，
，，
，
为的外角的平分线，
，
，
，
，
四边形为矩形；
（2）解：是边的中线，，
，
由（1）得：四边形是矩形，
，
在中，，
的面积；
故答案为：12．
【点评】此题考查了矩形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
35．如图，在平行四边形中，过点作交边于点，点在边上，且．
（1）求证：四边形是矩形．
（2）若平分，且，，求线段的长．
【分析】（1）首先证明，，推出四边形是平行四边形，再证明即可解决问题；
（2）分别在，中，利用勾股定理求出、即可；
【解答】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是矩形．
（2）解：平分，，
，
，，
在中，，
在中，．
【点评】本题考查平行四边形的性质、矩形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．