专题11　一元二次方程的根与系数的关系【六大题型分类归纳】2023-2024学年北师大版数学九年级上册+重点题型全归纳（含解析）

2023-2024学年北师大版数学九年级上册 重点题型全归纳
专题11 一元二次方程的根与系数的关系
【六大题型分类归纳】
思维导图：
考点1：利用一元二次方程根与系数的关系求值
1．一元二次方程的两根分别为、，则　　
A． B．5 C． D．4
2．设方程的两根分别是，，则的值是　　
A． B．3 C． D．6
3．已知一元二次方程的两根分别为、，则的值是　　
A．3 B． C．1 D．
4．若，是方程的两个根，则　　
A． B． C． D．，
考点2：通过化简、变形利用一元二次方程根与系数的关系求值
5．已知一元二次方程的两根分别为，，则的值是　　
A．15 B．13 C． D．9
6．已知方程的两个根分别为、，则的值为　　
A．7 B．5 C．3 D．2
7．已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，若，则的值是　　
A．或3 B． C．3 D．或7
8．如果，是一元二次方程的两个根，那么多项式的值等于　　
A．2018 B．2012 C． D．
9．已知，是方程的两根，则的值为　　
A．10 B．14 C．18 D．20
10．已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于　　
A．4 B．5 C．6 D．7
11．一元二次方程的两个根分别为、，则的值为　　
A． B．5 C． D．13
12．方程的根是，，则的值为　　
A．22 B． C． D．26
考点3：利用一元二次方程根与系数的关系求参数
13．若关于的一元二次方程的两根互为倒数，则的值等于　　
A．1 B．2 C．1或2 D．0
14．下列各项中，方程的两个根互为相反数的是　　
A． B． C． D．
15．已知，互为倒数，则关于的方程根的情况是　　
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．有一根为1
16．若关于的一元二次方程的两实数根互为相反数，则的值为　　
A． B．2 C． D．不能确定
17．关于的方程的两个实数根的倒数和为1，则　　
A．或0 B．2或0 C．2 D．0
18．用求根公式法解得某方程的两根互为相反数，则　　
A． B． C． D．
考点4：利用一元二次方程根与系数的关系分析、判断命题真假
19．一元二次方程根的情况是　　
A．无实数根 B．有两个正根，且有一根大于2
C．有两个负根，且都小于 D．有一个正根，一个负根
20．方程的根的情况，下列结论中正确的是　　
A．两个正根 B．两个负根
C．一个正根，一个负根 D．无实数根
21．方程的根的情况是　　
A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个负实数根 D．有两个正实数根
考点5：利用一元二次方程根与系数的关系比较根的大小
22．设，是关于的一元二次方程的两个实数根，若，则　　
A． B． C． D．
23．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，，则实数，，，的大小关系可能是　　
A． B． C． D．
考点6：解答证明题
24．已知关于的一元二次方程，
（1）求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有两个实数根，，且，求的值．
25．已知关于的一元二次方程．
（1）求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有两个实数根，，且，求的值．
26．已知：关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．
（1）求证：无论k取任何实数，方程总有实数根；
（2）若等腰三角形的三边长分别为a，b，c，其中a＝1，并且b，c恰好是此方程的两个实数根，求此三角形的周长．
27．已知关于的一元二次方程．
（1）若1是该方程的一个根，求的值；
（2）若一元二次方程有实数根，求的取值范围．
28．阅读材料：
材料1：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则，；
材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值．
解：∵一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，
∴m+n＝1，mn＝﹣1，
则m2n+mm2＝mn（m+n）＝﹣1×1＝﹣1
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）材料理解：一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个根为x1，x2，则x1+x2＝　 　，x1x2＝　 　；
（2）类比应用：已知一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根分别为m、n，求的值；
（3）思维拓展：已知实数s、t满足2s2﹣3s﹣1＝0，2t2﹣3t﹣1＝0，且s≠t，求的值．
29．关于的一元二次方程．
（1）若是该方程的一个根，求该方程的另一个根；
（2）求证：无论取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根．
2023-2024学年北师大版数学九年级上册 重点题型全归纳
专题11 一元二次方程的根与系数的关系
【六大题型分类归纳】
思维导图：
考点1：利用一元二次方程根与系数的关系求值
1．一元二次方程的两根分别为、，则　　
A． B．5 C． D．4
【答案】
【分析】由根与系数的关系可直接求得的值．
【解答】解：、是一元二次方程的两实数根，
，
故选：．
2．设方程的两根分别是，，则的值是　　
A． B．3 C． D．6
【答案】
【分析】直接利用根与系数的关系求解．
【解答】解：根据根与系数的关系得．
故选：．
3．已知一元二次方程的两根分别为、，则的值是　　
A．3 B． C．1 D．
【答案】
【分析】根据一元二次方程的系数结合根与系数的关系即可得出的值，由此即可得出结论．
【解答】解：一元二次方程的两根分别为、，
．
故选：．
4．若，是方程的两个根，则　　
A． B． C． D．，
【答案】
【分析】先计算根的判别式的值得到△，则根据根的判别式的意义可对选项进行判断；再根据根与系数的关系得，，则可对选项进行判断；然后利用的符号不能确定可对选项和选项进行判断．
【解答】解：△，
方程有两个不相等的实数解，
即，所以选项符合题意；
根据根与系数的关系得，，
方程的两个根异号，所以选项不符合题意；
的符号不能确定，
选项和选项不符合题意．
故选：．
考点2：通过化简、变形利用一元二次方程根与系数的关系求值
5．已知一元二次方程的两根分别为，，则的值是　　
A．15 B．13 C． D．9
【答案】
【分析】先根据根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法求的值．
【解答】解：根据题意，得，，
所以．
故选：．
6．已知方程的两个根分别为、，则的值为　　
A．7 B．5 C．3 D．2
【答案】
【分析】先根据根与系数的关系得，，然后利用整体的方法计算．
【解答】解：根据根与系数的关系得，，
所以．
故选：．
7．已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，若，则的值是　　
A．或3 B． C．3 D．或7
【答案】
【分析】由根与系数的关系可得：，，再结合所给的条件进行求解即可．
【解答】解：，是关于的一元二次方程的两个实数根，
，，
△，
解得：，
，
，
，
解得：或，
故的值只能为3．
故选：．
8．如果，是一元二次方程的两个根，那么多项式的值等于　　
A．2018 B．2012 C． D．
【答案】
【分析】先利用一元二次方程解的定义得到，再用表示出，则原式化简为，接着利用根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：、是一元二次方程的两个实数根，
，
，
，
，
、是一元二次方程的两个实数根，
，，
原式
．
故选：．
9．已知，是方程的两根，则的值为　　
A．10 B．14 C．18 D．20
【答案】
【分析】把代入方程求出的值，再根据根与系数的关系求出，原式变形后代入计算即可求出值．
【解答】解：把代入方程得：，即，
由根与系数的关系得：，
则原式
，
．
故选：．
10．已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于　　
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】
【分析】由一元二次方程根与系数的关系，可得，根据一元二次方程根的定义得，由，整体代入求解即可．
【解答】解：，是一元二次方程的两个实数根，
，，
，
故选：．
11．一元二次方程的两个根分别为、，则的值为　　
A． B．5 C． D．13
【答案】
【分析】先利用根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：根据根与系数的关系得，，
所以．
故选：．
12．方程的根是，，则的值为　　
A．22 B． C． D．26
【答案】
【分析】利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，代入原式计算即可求出值．
【解答】解：方程的根是，，
，，
则原式．
故选：．
考点3：利用一元二次方程根与系数的关系求参数
13．若关于的一元二次方程的两根互为倒数，则的值等于　　
A．1 B．2 C．1或2 D．0
【答案】
【分析】根据方程的两根互为倒数结合根的判别式以及根与系数的关系，即可得出关于的一元二次不等式以及一元二次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：关于的一元二次方程的两根互为倒数，
，
解得：．
故选：．
14．下列各项中，方程的两个根互为相反数的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据根的判别式的意义对选项进行判断；根据根与系数的关系对、、选项进行判断．
【解答】解：．没有实数解，所以选项不符合题意；
．的两根之和为0，即方程的两个根互为相反数，所以选项符合题意；
．的两根之和为，所以选项不符合题意；
．的两根之和为1，所以选项不符合题意．
故选：．
15．已知，互为倒数，则关于的方程根的情况是　　
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．有一根为1
【答案】
【分析】根据根的判别式得到△，根据，互为倒数，得到，解之即可．
【解答】解：关于的方程根的判别式为△，
，互为倒数，
，
．
原方程无实数根，
故选：．
16．若关于的一元二次方程的两实数根互为相反数，则的值为　　
A． B．2 C． D．不能确定
【答案】
【分析】根据方程两根互为相反数，得出，代入系数，即可求出答案．
【解答】解：方程的两实数根互为相反数，
设两个根为，，
则，
，
故选：．
17．关于的方程的两个实数根的倒数和为1，则　　
A．或0 B．2或0 C．2 D．0
【答案】
【分析】根据根的判别式以及根与系数的关系即可求出答案．
【解答】解：设方程的两个实数根为和，
则，，
，
，
解得或0，
经检验，或0都是的解，
△，
，
．
故选：．
18．用求根公式法解得某方程的两根互为相反数，则　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】由题可知，两根互为相反数，所以其和为0，列出方程，即可求解．
【解答】解：设该一元二次方程的两个根分别是、，
方程的两根互为相反数，
．
由根与系数关系可得，
．
故选：．
考点4：利用一元二次方程根与系数的关系分析、判断命题真假
19．一元二次方程根的情况是　　
A．无实数根 B．有两个正根，且有一根大于2
C．有两个负根，且都小于 D．有一个正根，一个负根
【答案】
【分析】先求出根的判别式判断根的情况，再利用根与系数的关系可得对答案．
【解答】解：，
△，
方程有2个不相等的实数根．
，
方程有一个正根，一个负根．
故选：．
20．方程的根的情况，下列结论中正确的是　　
A．两个正根 B．两个负根
C．一个正根，一个负根 D．无实数根
【答案】
【分析】方程整理为一般形式，表示出根的判别式，判断解的情况，并利用根与系数关系判断即可．
【解答】解：方程整理得：，
△，
方程有两个不相等的实数根，设为，，
，，
方程一个正根，一个负根，且正根绝对值大于负根绝对值．
故选：．
21．方程的根的情况是　　
A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个负实数根 D．有两个正实数根
【答案】
【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
【解答】解：，
方程有两个不相等的实数根．
故选：．
考点5：利用一元二次方程根与系数的关系比较根的大小
22．设，是关于的一元二次方程的两个实数根，若，则　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】先把方程化为一般形式，得，根据根与系数的关系可得，，由，可知，，即，，解不等式组即可．
【解答】解：一元二次方程化为一般形式，
得，
，是关于的一元二次方程的两个实数根，
，，
，
，，
，，
，，
故选：．
23．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，，则实数，，，的大小关系可能是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】可设抛物线解析式为，于是得到抛物线与轴的交点坐标为，，再判断当自变量为、时二次函数值为，即，然后画出图象，利用图象可得判断、、、的大小关系．
【解答】解：设抛物线解析式为，则此抛物线与轴的交点坐标为，，
关于的一元二次方程有两个不相等的实数根和，
当自变量为、时，
即、为直线与抛物线两交点的横坐标，
如图：
．
故选：．
考点6：解答证明题
24．已知关于的一元二次方程，
（1）求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有两个实数根，，且，求的值．
【答案】（1）证明见详解；（2）6．
【分析】（1）根据根的判别式得出△，据此可得答案；
（2）根据根与系数的关系得出，，代入得出关于的方程，解之可得答案．
【解答】（1）证明：△
，
无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由根与系数的关系得出，
由得，
解得．
25．已知关于的一元二次方程．
（1）求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有两个实数根，，且，求的值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【分析】（1）求出△的值，再判断出其符号即可；
（2）求出及的值，再代入代数式进行计算即可．
【解答】（1）证明：△，
方程总有两个不相等的实数根；
（2）方程有两个实数根，，
，，
，
，即，
，
解得．
26．已知：关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．
（1）求证：无论k取任何实数，方程总有实数根；
（2）若等腰三角形的三边长分别为a，b，c，其中a＝1，并且b，c恰好是此方程的两个实数根，求此三角形的周长．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）5．
【分析】（1）表示出方程根的判别式，判断其值大于等于0即可得证；
（2）分两种情况考虑：当b＝c时，求出方程的解，进而得到三角形周长；当a＝c或a＝b时，把x＝1代入方程求出k的值，进而求出周长即可．
【解答】（1）证明：∵关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0，
∴Δ＝[﹣（k+2）]2﹣8k
＝k2+4k+4﹣8k
＝k2﹣4k+4
＝（k﹣2）2≥0，
则无论k取何实数值，方程总有实数根；
（2）解：当b＝c时，k＝2，方程为x2﹣4x+4＝0，
解得：x1＝x2＝2，
此时三边长为1，2，2，周长为1+2+2＝5；
当a＝b＝1或a＝c＝1时，把x＝1代入方程得：1﹣（k+2）+2k＝0，
解得：k＝1，此时方程为：x2﹣3x+2＝0，
解得：x1＝2，x2＝1，
此时三边长为1，1，2，不能组成三角形，
综上所述，△ABC的周长为5．
27．已知关于的一元二次方程．
（1）若1是该方程的一个根，求的值；
（2）若一元二次方程有实数根，求的取值范围．
【答案】（1）3；
（2）且．
【分析】（1）把代入方程得到，然后解一次方程即可；
（2）根据根的判别式的意义得到且△，然后求出两不等式的公共部分即可．
【解答】解：（1）把代入方程得，
解得，
即的值为3；
（2）根据题意得且△，
解得且，
即的取值范围为且．
28．阅读材料：
材料1：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则，；
材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值．
解：∵一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，
∴m+n＝1，mn＝﹣1，
则m2n+mm2＝mn（m+n）＝﹣1×1＝﹣1
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）材料理解：一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个根为x1，x2，则x1+x2＝　　，x1x2＝　　；
（2）类比应用：已知一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根分别为m、n，求的值；
（3）思维拓展：已知实数s、t满足2s2﹣3s﹣1＝0，2t2﹣3t﹣1＝0，且s≠t，求的值．
【答案】（1），﹣；
（2）﹣；
（3）﹣3．
【分析】（1）利用根与系数的关系，即可得出x1+x2及x1x2的值；
（2）利用根与系数的关系，可得出m+n＝，mn＝﹣，将其代入+＝中，即可求出结论；
（3）由实数s、t满足2s2﹣3s﹣1＝0，2t2﹣3t﹣1＝0，且s≠t，可得出s，t是一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个实数根，利用根与系数的关系，可得出s+t＝，st＝﹣，结合（t﹣s）2＝（t+s）2﹣4st，可求出s﹣t的值，再将其代入＝中，即可求出结论．
【解答】解：（1）∵一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个根为x1，x2，x1+x2＝﹣＝，x1x2＝＝﹣，
故答案为：，﹣；
（2）∵一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根分别为m、n，
∴m+n＝，mn＝﹣．
∴+＝＝＝﹣；
（3）∵实数s、t满足2s2﹣3s﹣1＝0，2t2﹣3t﹣1＝0，
∴s与t看作是方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个实数根，
∴s+t＝，st＝﹣，
∴＝＝＝﹣3．
29．关于的一元二次方程．
（1）若是该方程的一个根，求该方程的另一个根；
（2）求证：无论取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根．
【答案】（1）；
（2）证明见解析部分．
【分析】（1）代入求出值即可；
（2）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△，由此可证出：不论取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．
【解答】（1）解：把代入原方程得解得：，
当时，原方程为
解得：或
方程的另一个根是；
（2）证明：△．
，
，即△，
不论取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．