专题10 用公式法解一元二次方程【十一大题型分类归纳】2023-2024学年北师大版数学九年级上册·重点题型全归纳（含解析）

2023-2024学年北师大版数学九年级上册·重点题型全归纳
专题10 用公式法解一元二次方程【十一大题型分类归纳】
思维导图：
考点1：公式法解一元二次方程及其逆用（共10小题）
1．用求根公式解一元二次方程时，，的值是　　
A．，， B．，，
C．，， D．，，
2．以为根的一元二次方程可能是　　
A． B． C． D．
3．用求根公式解一元二次方程时，，的值是　　
A．，， B．，，
C．，， D．，，
4．用求根公式解一元二次方程时，，的值是　　
A．，， B．，，
C．，， D．，，
5．用公式法解方程时，△　　
A． B． C．45 D．60
6．如果一元二次方程能用公式法求解，那么必须满足的条件是　　
A． B． C． D．
7．用公式法解一元二次方程时，化方程为一般式，当中的，，依次为　　
A．3，，8 B．3，4，8 C．3，4， D．3，，
8．下列方程中，以为根的是　　
A． B． C． D．
9．一元二次方程的根为　　
A． B．
C． D．
10．利用公式解可得一元二次方程式 的两解为、，且，求值为何　　
A． B． C． D．
考点2：选择适当的方法解一元二次方程
11．解下列方程，，，，较简便的方法依次是　　
A．因式分解法、公式法、配方法、公式法
B．配方法、直接开平方法、因式分解法、公式法
C．直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法
D．公式法、直接开平方法、因式分解法、配方法
12．用下列哪种方法解方程比较简便　　
A．直接开平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法
13．解方程，较简便的解法是　　
A．直接开平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法
14．解下列方程：①；②；③；④．较简便的方法是　　
A．依次为直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法
B．依次为因式分解法，公式法，配方法，直接开平方法
C．①用直接开平方法，②③用公式法，④用因式分解法
D．①用直接开平方法，②用公式法，③④用因式分解法
15．解下列方程：①；②；③；④．较简便的方法是　　
A．依次为直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法
B．依次为因式分解法，公式法，配方法，直接开平方法
C．①用直接开平方法，②③用公式法，④用因式分解法
D．①用直接开平方法，②用公式法，③④用因式分解法
考点3：比较一元二次方程根的大小
16．设为一元二次方程较大的实数根，则　　
A． B． C． D．
17．一元二次方程有两个相等的实根，点，、，是一次函数上的两个点，若，则与的大小关系为　　
A． B． C． D．无法确定
考点4：公式法的应用
18．已知是一元二次方程较大的实数根，那么的值应在　　
A．3和4之间 B．2和3之间 C．1和2之间 D．0和1之间
19．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则一次函数的大致图象可能是　　
A． B． C． D．
20．若非负整数使得关于的一元二次方程有实数根，且实数满足分式方程，则所有满足条件的的值的和为　　
A．0 B．1 C．2 D．3
21．若方程较大的根为，方程较小的根为，则　　
A．2016 B．2017 C． D．
22．已知，，5分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且，分别是关于的一元二次方程的两个根，则的值等于　　
A．3 B．5或9 C．5 D．9
23．等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值为　　
A．7 B．3 C．4 D．3或4
考点5：创新阅读材料题
24．对于实数，定义运算“※”为※，例如3※．若关于的方程3※没有实数根，则的值可以是　　
A．3 B．2 C．1 D．0
25．定义新运算“”：对于实数，，，，有，，，其中等式的右边是加法和乘法运算．例如，，．若关于的方程，，有两个实数根，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
26．已知方程□在□中添加个合适的数字，使该方程没有实数根，则添加的数字可以是　　
A．0 B．1 C． D．
27．对于实数，定义运算“☆”如下：☆，例如3☆，则方程2☆的根的情况为　　
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
28．定义表示不超过实数的最大整数，如，，，则方程的解为　　
A．0或 B．0或2 C．2或 D．0或或2
考点6：根据一元二次方程根的判别式符号判断根的情况
29．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
30．一元二次方程，满足，且方程有两个相等的实数根，下列结论中正确的是　　
A． B． C． D．
31．关于的一元二次方程根的情况是　　
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．不能确定
32．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
33．一元二次方程的根的情况是　　
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
34．已知是关于的方程的一个实数根，且该方程的两实数根恰是等腰的两条边长，则的周长为　　
A．9 B．10 C．6或10 D．8或10
35．若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
考点7：根据一元二次方程根的情况求参数范围
36．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是　　．
37．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 　　．
38．若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围为 　　．
39．若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为 　　．
40．若关于的一元二次方程有一个根是1，则下列说法不一定正确的是　　
A． B． C． D．
41．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是　　．
42．关于的一元二次方程没有实数解，则的取值范围是 　　．
43．关于的方程有实数根，则实数的取值范围是　　．
考点8：根据相应条件，衍化变形，逻辑推理，并推断出结果
44．以下关于一元二次方程的根的说法中，不正确的是　　
A．若，则方程一定有一根为0
B．若，则方程一定有两个实数根
C．若，则方程必有一根为
D．若，则方程必有两个不相等的实数根
45．对于一元二次方程，下列说法：
①若，则方程必有一根为0；
②若，则方程必有两个不相等的实数根；
③若方程有一根为，则方程必有两相等的实数根；
④若，则方程一定有两个不等的实数根．
其中正确的有　　
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④
考点9：复杂的知根求参（数）；知参（数）求根
46．已知、、为常数，且，则一元二次方程根的情况是　　
A．无实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．有两个实数根
47．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则下列选项成立的是　　
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
考点10：综合创新阅读材料题
48．阅读材料，完成下列任务：
因为无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部地写出来比如：、等，而常用的“”或者“”的表示方法都不够百分百准确．
材料一：，即，．
的整数部分为1，小数部分为．
材料二：我们还可以用以下方法求一个无理数的近似值．
我们知道面积是2的正方形的边长是，易知，因此可设可画出如图示意图．
解：由图中面积计算，，
，
．
是的小数部分，小数部分的平方很小，直接省略，
得方程，解得，即．
解决问题：
（1）利用材料一中的方法，求的小数部分；
（2）利用材料二中的方法，借助面积为5的正方形探究的近似值．
（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）
49．对于任意两个非零实数，，定义运算 如下： ，如：2 ， ．
根据上述定义，解决下列问题：
（1）　　，　　；
（2）如果 ，那么　　；
（3）如果 ，求的值．
50．将4个数，，，排成2行、2列，两边各加一条竖线，记成，并规定．例如，则的根的情况为　　
A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
考点11：解答证明题
51．关于的一元二次方程，给出以下说法：
（1）若△，则方程一定有两个不相等的实根
（2）若是方程的一个根，△
（3）若，则方程一定有两个不相等的实数根
（4）若，则方程必有两个不相等的实数根
其中，正确说法的序号是　　．
52．关于的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根大于0，求的取值范围．
53．已知关于的一元二次方程．
（1）求证：此方程总有两个实数根；
（2）若此方程有一个根小于0，求出的取值范围．
54．已知关于的一元二次方程．
（1）若1是该方程的一个根，求的值；
（2）若一元二次方程有实数根，求的取值范围．
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专题10 用公式法解一元二次方程【十一大题型分类归纳】
考点1：公式法解一元二次方程及其逆用
1．用求根公式解一元二次方程时，，的值是　　
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【分析】先按照未知数的降幂排列，据此可得答案．
【解答】解：，
，
则，，，
故选：．
2．以为根的一元二次方程可能是　　
A． B． C． D．
【分析】根据公式法即可求出答案；
【解答】解：由题意可知：二次项系数为1，一次项系数为，常数项为，
故选：．
3．用求根公式解一元二次方程时，，的值是　　
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】
【分析】先按照未知数的降幂排列，据此可得答案．
【解答】解：，
，
则，，，
故选：．
4．用求根公式解一元二次方程时，，的值是　　
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】
【分析】先将方程化为一般形式，然后即可写出、、，本题得以解决．
【解答】解：，
，
，，，
故选：．
5．用公式法解方程时，△　　
A． B． C．45 D．60
【答案】
【分析】直接利用△进行计算即可．
【解答】解：，
，，，
△．
故选：．
6．如果一元二次方程能用公式法求解，那么必须满足的条件是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据在△的前提下用公式法解一元二次方程，即可确定答案．
【解答】解：，，，
△时，一元二次方程能用公式法求解，
故选：．
7．用公式法解一元二次方程时，化方程为一般式，当中的，，依次为　　
A．3，，8 B．3，4，8 C．3，4， D．3，，
【答案】
【分析】整理为一般式即可得出答案．
【解答】解：，
，
则，，．
故选：．
8．下列方程中，以为根的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据求根公式逐一判断即可．
【解答】解：．此方程的根为，不符合题意；
．此方程的根为，符合题意；
．此方程的根为，不符合题意；
．此方程的根为，不符合题意；
故选：．
9．一元二次方程的根为　　
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】用公式法解一元二次方程即可．
【解答】解：
由题意可得，，，，
，
，
即，
故选：．
10．利用公式解可得一元二次方程式 的两解为、，且，求值为何　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】利用公式法即可求解．
【解答】解：，
这里，，，
△，
，
一元二次方程式 的两解为、，且，
的值为．
故选：．
考点2：选择适当的方法解一元二次方程
11．解下列方程，，，，较简便的方法依次是　　
A．因式分解法、公式法、配方法、公式法
B．配方法、直接开平方法、因式分解法、公式法
C．直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法
D．公式法、直接开平方法、因式分解法、配方法
【分析】第一个方程适合配方法，第二个方程适合直接开平方法，第三个方程适合因式分解法，最后一项方程适合公式法．
【解答】解：解下列方程，，，较简便的方法依次是配方法、直接开平方法、因式分解法、公式法．
故选：．
12．用下列哪种方法解方程比较简便　　
A．直接开平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法
【分析】此题通过观察可知等式的右边可提出公因式2，变为，移项后可把看作是公因式，用提公因式的方法把左边分解因式，从而解出方程，所以用因式分解法比较简便．
【解答】解：由方程知：
两边有公因式，
因此用因式分解法解方程比较简便．
故选：．
13．解方程，较简便的解法是　　
A．直接开平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法
【分析】根据方程的特点得出即可．
【解答】解：解方程较简便的解法是因式分解法，
故选：．
14．解下列方程：①；②；③；④．较简便的方法是　　
A．依次为直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法
B．依次为因式分解法，公式法，配方法，直接开平方法
C．①用直接开平方法，②③用公式法，④用因式分解法
D．①用直接开平方法，②用公式法，③④用因式分解法
【答案】
【分析】根据各方程的特点逐一判别即可．
【解答】解：①适合直接开平方法；
②适合公式法；
③，化简得适合公式法；
④适合因式分解法；
故选：．
15．解下列方程：①；②；③；④．较简便的方法是　　
A．依次为直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法
B．依次为因式分解法，公式法，配方法，直接开平方法
C．①用直接开平方法，②③用公式法，④用因式分解法
D．①用直接开平方法，②用公式法，③④用因式分解法
【答案】
【分析】根据各方程的特点逐一判别即可．
【解答】解：①适合直接开平方法；
②适合公式法；
③适合因式分解法；
④适合因式分解法；
故选：．
考点3：比较一元二次方程根的大小
16．设为一元二次方程较大的实数根，则　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】利用配方法解方程得到，，然后对各选项进行判断．
【解答】解：，
，
，
，
，，
．
故选：．
17．一元二次方程有两个相等的实根，点，、，是一次函数上的两个点，若，则与的大小关系为　　
A． B． C． D．无法确定
【答案】
【分析】由一元二次方程根的情况，求得的值，利用一次函数的性质得出答案．
【解答】解：一元二次方程有两个相等的实数根，
△，
解得，
，
随的增大而增大，
，
与的大小关系为：．
故选：．
考点4：公式法的应用
18．已知是一元二次方程较大的实数根，那么的值应在　　
A．3和4之间 B．2和3之间 C．1和2之间 D．0和1之间
【答案】
【分析】先求出方程的解，再求出的范围，最后即可得出答案．
【解答】解：解方程得：，
设是方程较大的根，
，
，
，即．
故选：．
19．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则一次函数的大致图象可能是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】利用判别式的意义得到△，则，然后根据一次函数的性质对各选项进行判断．
【解答】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
△，
，
当，时，一次函数经过第一、三、四象限；当，时，一次函数经过第一、二、四象限．
故选：．
20．若非负整数使得关于的一元二次方程有实数根，且实数满足分式方程，则所有满足条件的的值的和为　　
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】
【分析】首先解分式方程求出的值，然后根据根的判别式的意义得到△，解得的范围，再根据是非负整数确定的值解答．
【解答】解：解分式方程，
得，
检验：当时，，
原分式方程的解为，
关于的一元二次方程为，
关于的一元二次方程为有实数根，
△，
解得，
为非负整数且，
，
所有满足条件的的值的和为0．
故选：．
21．若方程较大的根为，方程较小的根为，则　　
A．2016 B．2017 C． D．
【答案】
【分析】先用分组分解法因式分解求出第一个方程的两个根，确定的值；再用十字相乘法因式分解求出第二个方程的两个根，确定的值，然后代入即可求出代数式的值．
【解答】解：，
，
，
，
，，
，
又，
，
故，，
，
，
故选：．
22．已知，，5分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且，分别是关于的一元二次方程的两个根，则的值等于　　
A．3 B．5或9 C．5 D．9
【答案】
【分析】讨论：当时，利用判别式的意义得到△，则；当时，根据根与系数的关系得，，解得，；当时，同理可得，．
【解答】解：当时，△，
解得，
，
满足条件；
当时，，，
解得，，
当时，同理可得，，
综上所述，的值为9或5．
故选：．
23．等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值为　　
A．7 B．3 C．4 D．3或4
【答案】
【分析】当底边为3，利用根的判别式的意义得到△，解得；当腰为3时，把代入关于的方程得，解得．
【解答】解：当底边为3，两腰为关于的方程的两个根，
△，
解得，
此时方程为，解得，
当腰为3时，把代入关于的方程得，
解得，
此时方程为，解得，，
三角形三边分别为3、3、1，
综上所述，的值为4或3．
故选：．
考点5：创新阅读材料题
24．对于实数，定义运算“※”为※，例如3※．若关于的方程3※没有实数根，则的值可以是　　
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】
【分析】直接利用已知运算公式得出一元二次方程，再利用根的判别式得出的取值范围，进而得出答案．
【解答】解：3※，
则，
故，
关于的方程3※没有实数根，
△，
解得：，
的值可以是3．
故选：．
25．定义新运算“”：对于实数，，，，有，，，其中等式的右边是加法和乘法运算．例如，，．若关于的方程，，有两个实数根，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】由新定义的运算，可得到关于的一元二次方程，再利用根的判别式进行求解即可．
【解答】解：，，，
，
整理得：，
方程有两个实数根，
△，，
解得：，
故选：．
26．已知方程□在□中添加个合适的数字，使该方程没有实数根，则添加的数字可以是　　
A．0 B．1 C． D．
【答案】
【分析】设□中添加的数字为，利用根的判别式的意义得到且△，解不等式组得到的取值范围，然后对各选项进行判断．
【解答】解：设□中添加的数字为，
根据题意得且△，
解得且，
所以只有1符合条件．
故选：．
27．对于实数，定义运算“☆”如下：☆，例如3☆，则方程2☆的根的情况为　　
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
【答案】
【分析】根据题意所给的运算得出一元二次方程，然后根据根的判别式进行解答即可．
【解答】解：根据题2☆的即，
整理得，
△，
此方程有两个相等的实数根，
故选：．
28．定义表示不超过实数的最大整数，如，，，则方程的解为　　
A．0或 B．0或2 C．2或 D．0或或2
【答案】
【分析】根据，可得，分4种情况讨论：①时，解得；②时，解得或（舍；③时，解得或（舍；④时，方程无解．
【解答】解：，
，
①时，，解得；
②时，，解得或（舍；
③时，，解得或（舍；
④时，方程无解；
综上所述：方程的解为或或，
故选：．
考点6：根据一元二次方程根的判别式符号判断根的情况
29．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，用表示出根的判别式，当根的判别式大于0时，方程有两个不相等的实数根，即可求出的取值范围．
【解答】解：一元二次方程化为一般形式为：，
该方程有两个不相等的实数根，
△，
，
，
故选：．
30．一元二次方程，满足，且方程有两个相等的实数根，下列结论中正确的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据方程有两个相等的实数根，得到根的判别式等于0，表示出，代入已知等式消去得到关系式，即可作出判断．
【解答】解：一元二次方程，满足，且方程有两个相等的实数根，
△，，
，
，
．
故选：．
31．关于的一元二次方程根的情况是　　
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．不能确定
【答案】
【分析】根据方程的系数，结合根的判别式及，可得出△，进而可得出原方程有两个不相等的实数根．
【解答】解：△．
，
，
，即△，
关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
故选：．
32．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】利用一元二次方程根的判别式列式求解即可．
【解答】解：关于的一元二次方程有实数根，
△，即，
解得．
故选：．
33．一元二次方程的根的情况是　　
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
【答案】
【分析】先计算出根的判别式的值，然后根据非负数的性质得到△，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况．
【解答】解：△，
方程有两个不相等的实数根．
故选：．
34．已知是关于的方程的一个实数根，且该方程的两实数根恰是等腰的两条边长，则的周长为　　
A．9 B．10 C．6或10 D．8或10
【答案】
【分析】先利用一元二次方程解的定义把代入方程得，则方程化为，然后解方程后利用三角形三边的关系确定三角形的三边，最后就是三角形的周长．
【解答】解：把代入方程得，解得，
方程化为，解得，，
，
三角形三边为4、4、2，
的周长为10，
故选：．
35．若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据判别式的意义得到△，然后解关于的不等式即可．
【解答】解：根据题意得：△，
解得，
故选：．
考点7：根据一元二次方程根的情况求参数范围
36．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是　　．
【分析】根据方程的系数结合根的判别式△，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围．
【解答】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
△，
．
故答案为：．
37．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 　　．
【答案】．
【分析】根据关于的一元二次方程有两个不相等的实数根得出关于的不等式，求出的取值范围即可．
【解答】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
△，即△，
解得．
故答案为：．
38．若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围为 　　．
【答案】．
【分析】由方程的系数结合根的判别式△，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围．
【解答】解：关于的一元二次方程没有实数根，
△，
解得：．
故答案为：．
39．若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为 　　．
【答案】．
【分析】由根与系数的关系可知，当一元二次方程有两个相等的实数根，则△，即
【解答】解：关于的方程有两个相等的实数根，
△，即，
解得．
40．若关于的一元二次方程有一个根是1，则下列说法不一定正确的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据一元二次方程的定义对选项进行判断；根据一元二次方程解的定义对选项进行判断；利用特殊值法对选项进行判断；根据根的判别式的意义对选项进行判断．
【解答】解：方程为一元二次方程，
，所以选项不符合题意；
把代入方程得，所以选项不符合题意；
可以为0，而，
不一定正确，所以选项符合题意；
一元二次方程有根，
△，所以选项不符合题意．
故选：．
41．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是　且　．
【分析】根据二次项系数非零以及根的判别式△，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出结论．
【解答】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得：且．
故答案为：且．
42．关于的一元二次方程没有实数解，则的取值范围是 　　．
【答案】．
【分析】根据根的判别式即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：△，
，
．
故答案为：．
43．关于的方程有实数根，则实数的取值范围是　　．
【分析】根据已知方程有实数根得出不等式，求出不等式的解集即可．
【解答】解：关于的方程有实数根，
①当是一元一次方程时，，方程为，方程的解是，此时方程有实数解
②当方程为一元二次方程时，△且，
解得：且，
所以当时，关于的方程有实数根，
故答案为：．
考点8：根据相应条件，衍化变形，逻辑推理，并推断出结果
44．以下关于一元二次方程的根的说法中，不正确的是　　
A．若，则方程一定有一根为0
B．若，则方程一定有两个实数根
C．若，则方程必有一根为
D．若，则方程必有两个不相等的实数根
【答案】
【分析】．代入，利用因式分解法解一元二次方程，即可得出是方程的解；
．代入，由根的判别式△，无法得出方程一定有两个实数根；
．由，可得出是方程的实数根；
．由，可得出根的判别式△，进而可得出方程必有两个不相等的实数．
【解答】解：．当时，原方程为，即，
解得：，，
是方程的解，选项不符合题意；
．当时，原方程为，
△，
无法得出方程一定有两个实数根，选项符合题意；
．，即，
是方程的实数根，选项不符合题意；
．△，，
△，
方程必有两个不相等的实数，选项不符合题意．
故选：．
45．对于一元二次方程，下列说法：
①若，则方程必有一根为0；
②若，则方程必有两个不相等的实数根；
③若方程有一根为，则方程必有两相等的实数根；
④若，则方程一定有两个不等的实数根．
其中正确的有　　
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④
【答案】
【分析】①求得方程的解即可判断；
②或，说明原方程有根是或1，即可判断；
③把代入方程，整理后即可判断；
④判断方程的根的情况，只要看根的判别式△的值的符号就可以了．
【解答】解：①若，则一元二次方程，解得或，正确；
②若，则或，
所以方程必有两个根和1，正确；
③若方程有一根为，则，
整理得，，
所以方程必有两相等的实数根，正确；
④若，则，可知，故方程必有两个不相等的实根，正确．
故选：．
考点9：复杂的知根求参（数）；知参（数）求根
46．已知、、为常数，且，则一元二次方程根的情况是　　
A．无实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．有两个实数根
【答案】
【分析】利用已知条件得到，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
【解答】解：△，
，
，
即，
，
，
，
即△，
方程有两个不相等的实数根．
故选：．
47．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则下列选项成立的是　　
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】
【分析】根据一元二次方程的根的情况利用判别式求得与的数量关系，然后代入方程求的值，然后结合的取值范围和分式加减法运算法则计算求解．
【解答】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
△，
，
又，
，
即，
，
解得：，
，
，
当时，即，
即，
，
即或，
解得：，
当时，即，
，
，
即或，
解得：或，
故选：．
考点10：综合创新阅读材料题
48．阅读材料，完成下列任务：
因为无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部地写出来比如：、等，而常用的“”或者“”的表示方法都不够百分百准确．
材料一：，即，．
的整数部分为1，小数部分为．
材料二：我们还可以用以下方法求一个无理数的近似值．
我们知道面积是2的正方形的边长是，易知，因此可设可画出如图示意图．
解：由图中面积计算，，
，
．
是的小数部分，小数部分的平方很小，直接省略，
得方程，解得，即．
解决问题：
（1）利用材料一中的方法，求的小数部分；
（2）利用材料二中的方法，借助面积为5的正方形探究的近似值．
（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）
【答案】（1）；
（2）2.25．
【分析】（1）根据材料一中的方法求解即可；
（2）利用材料二中的方法画出图形，写出过程即可．
【解答】解：（1），
，
的整数部分为9．
的小数部分为；
（2）我们知道面积是5的正方形的边长是，易知，因此可设，可画出如图示意图．
由图中面积计算，，
，
．
是的小数部分，小数部分的平方很小，直接省略，
得方程，解得，
即．
49．对于任意两个非零实数，，定义运算 如下： ，如：2 ， ．
根据上述定义，解决下列问题：
（1）　　，　　；
（2）如果 ，那么　　；
（3）如果 ，求的值．
【答案】（1），0；
（2）；
（3）或．
【分析】（1）根据题目已知的定义运算，进行计算，即可分别求得；
（2）根据题意可知，然后根据题目已知的定义运算，列出方程进行计算即可求解；
（3）分两种情况，和，根据新定义运算法则列分式方程求解即可．
【解答】解：（1），
，
，
，
故答案为：，0；
（2），
，
，
解得，
经检验：是原方程的解，
故答案为：；
（3）当时，
由原式可得：，
得，
解得，
经检验：是原方程的解，但不符合，
应舍去．
当时，，
得，
解得或，
经检验：或是原方程的解，且符合，
综上，或．
50．将4个数，，，排成2行、2列，两边各加一条竖线，记成，并规定．例如，则的根的情况为　　
A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
【答案】
【分析】先利用新规定得到，再计算根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况．
【解答】解：根据规定得，整理得，
△，
方程有两个不相等的实数根．
故选：．
考点11：解答证明题
51．关于的一元二次方程，给出以下说法：
（1）若△，则方程一定有两个不相等的实根
（2）若是方程的一个根，△
（3）若，则方程一定有两个不相等的实数根
（4）若，则方程必有两个不相等的实数根
其中，正确说法的序号是　（2）（3）（4）　．
【分析】（1）方程有两个不等的实数根，则△，当时，不成立；
（2）用求根公式表示．
（3）根据可以得到，从而证得方程不一定有两个不相等的实数根．
（4）把代入计算得到，而，则有，于是可对（4）进行判断．
【解答】解：（1）当时不成立；
（2）若是一元二次方程的根，可得，把的值代入，可得；
（3），，，
若，同号，则 判别式△ 若，异号，则△
方程一定有两个不相等的实数根．
（4）当，则，而，于是，则方程必有两个不相等的实数根．
正确的是（2）、（3）、（4）．
故答案为：（2）（3）（4）．
52．关于的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根大于0，求的取值范围．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）根据判别式即可求出答案；
（2）根据因式分解法可求出方程的两根，然后列出不等式即可求出的范围．
【解答】（1）证明：由题意可知：△，
方程总有两个实数根；
（2）解：，
，
或，
方程有一个根小于0，
，
．
53．已知关于的一元二次方程．
（1）求证：此方程总有两个实数根；
（2）若此方程有一个根小于0，求出的取值范围．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【分析】（1）要证明此方程总有两个实数根，即证明△，代入计算即可求解；
（2）利用因式分解法可将方程变形为，得到，，由此方程有一个根小于0可得，以此求解即可；
【解答】（1）证明：由题意可知，△，
，
此方程总有两个实数根；
（2）解：，
，
，，
此方程有一个根小于0，
，
．
54．已知关于的一元二次方程．
（1）若1是该方程的一个根，求的值；
（2）若一元二次方程有实数根，求的取值范围．
【答案】（1）3；
（2）且．
【分析】（1）把代入方程得到，然后解一次方程即可；
（2）根据根的判别式的意义得到且△，然后求出两不等式的公共部分即可．
【解答】解：（1）把代入方程得，
解得，
即的值为3；
（2）根据题意得且△，
解得且，
即的取值范围为且．