2023-2024学年北师大版数学九年级上册·重点题型全归纳
专题1 菱形的性质【六大题型分类归纳】
思维导图：
类型一：菱形的性质
1．已知四边形ABCD是菱形，AC和BD是菱形的对角线，那么下列说法一定正确的是（ ）
A．AC＝BD B．AC⊥BD C．AC＝AB D．∠BAC＝∠ABD
【答案】B
【分析】根据菱形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BC，
故选：B．
2．下列不属于菱形性质的是（ ）
A．两组对边分别平行
B．两组对边分别相等
C．每一条对角线平分一组内角
D．两条对角线相等
【答案】D
【分析】根据菱形的性质对各选项进行判断．
【解答】解：A．菱形的两组对边分别平行，所以A选项不符合题意；
B．菱形的两组对边分别相等，所以B选项不符合题意；
C．菱形的每一条对角线平分一组内角，所以C选项不符合题意；
D．菱形的对角线互相垂直平分，所以D选项符合题意．
故选：D．
3．下列性质中，菱形不一定具备的性质是（ ）
A．四边相等 B．对角线相等
C．对角线相互垂直 D．对边平行
【答案】B
【分析】由菱形的性质，即可判断．
【解答】解：菱形具有四边相等，对角线互相垂直，对边平行的性质，但菱形的对角线不一定相等．
故选：B．
类型二：利用菱形的性质求角度
4．如图，AC为菱形ABCD的对角线，已知∠ADC＝140°，则∠BCA等于（ ）
A．40° B．30° C．20° D．15°
【答案】C
【分析】直接利用菱形的性质可得∠BCD的度数，利用角平分线的性质进而得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠D+∠BCD＝180°，∠DCA＝∠BCA，
∵∠ADC＝140°，
∴∠BCD＝40°，
∴∠BCA＝∠DCABCD＝20°，
故选：C．
5．如图，菱形ABCD的边AB的垂直平分线交AB于点E，交AC于点F，连接DF．当∠CDA＝80°时，∠CDF＝（ ）
A．15° B．30° C．40° D．50°
【答案】B
【分析】连接BF，利用SAS判定△BCF≌△DCF，从而得到∠CBF＝∠CDF，根据已知可得出∠CBF的度数，从而得∠CDF的度数．
【解答】解：如图，连接BF，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD＝BC，∠DCF＝∠BCF，∠CDA+∠BAD＝180°，∠CDA＝∠ABC，
∵∠CDA＝80°，
∴∠BAD＝100°，∠ABC＝80°，
在△BCF和△DCF中，
，
∴△BCF≌△DCF（SAS），
∴∠CBF＝∠CDF，
∵FE垂直平分AB，∠BAF100°＝50°，
∴AF＝BF，
∴∠ABF＝∠BAF＝50°，
∴∠CBF＝80°﹣50°＝30°，
∴∠CDF＝30°．
故选：B．
6．如图，菱形ABCD中，CE⊥BC，∠ECD＝22°．则∠ADB的度数为（ ）
A．22° B．34° C．39° D．68°
【答案】B
【分析】由垂直的定义得到∠BCE＝90°，即可求出∠BCD＝∠BCE+∠ECD＝112°，由平行线的性质得到∠BCD+∠ADC＝180°，即可求出∠ADC＝68°，由菱形的性质即可求出∠ADB＝34°．
【解答】解：∵CE⊥BC，
∴∠BCE＝90°，
∵∠ECD＝22°，
∴∠BCD＝∠BCE+∠ECD＝112°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，∠ADB∠ADC，
∴∠BCD+∠ADC＝180°，
∴∠ADC＝68°，
∴∠ADB＝34°．
故选：B．
7．将两个完全相同的菱形按如图方式放置，若∠BAD＝α，∠CBE＝β，则β＝（ ）
A．45°α B．45°α C．90°α D．90°α
【答案】D
【分析】由菱形的性质得∠DBE＝∠BAD＝α，AB＝AD，∠ABD＝∠CBD＝β+α，再由等腰三角形的性质得∠ADB＝∠ABD＝β+α，然后由三角形内角和定理即可得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD和四边形BGHF是完全相同的菱形，
∴∠DBE＝∠BAD＝α，AB＝AD，∠ABD＝∠CBD＝∠CBE+∠DBE＝β+α，
∴∠ADB＝∠ABD＝β+α，
∵∠BAD+∠ADB+∠ABD＝180°，
∴α+β+α+β+α＝180°，
∴β＝90°α，
故选：D．
8．如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，菱形的边长AB＝20cm，根据实际需要可以调节AE间的距离，若AE间的距离调节到60cm，此时∠DAB的度数是（ ）
A．90° B．100° C．120° D．150°
【答案】A
【分析】连接AE，由全等的性质可得AC＝20cm，再证△ABC是等腰直角三角形，得∠B＝90°，即可得出结论．
【解答】解：如图，连接AE，
∵AE间的距离调节到60cm，木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，
∴AC＝20cm，
∵菱形的边长AB＝20cm，
∴AB＝BC＝20cm，AD∥BC，
∴∠DAB+∠B＝180°，
∵202+202＝（20）2，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B＝90°，
∴∠DAB＝90°．
故选：A．
类型三：利用菱形的性质求长度
9．菱形的两个邻角之比为1：2，如果较短的对角线的长是3cm，则它的周长为（ ）
A．8cm B．9cm C．12cm D．15cm
【答案】C
【分析】根据菱形的性质及已知可求得△ADB是等边三角形，从而可得到菱形的边长，则不难求得其周长．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形
∴AB∥CD，
∴∠A+∠ADC＝180°，
∵∠A：∠ADC＝1：2，
∴∠A＝60°，∠ADC＝120°，
∵AD＝AB，
∴△ADB为等边三角形，
∴AD＝BD＝3cm，
∴菱形的周长＝4×3＝12cm，
故选：C．
10．如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E为AD边中点，菱形ABCD的周长为24，则OE的长等于（ ）
A．12 B．6 C．4 D．3
【答案】D
【分析】直接利用菱形的性质得出其边长以及对角线关系，进而利用直角三角形的性质得出EO的长．
【解答】解：∵菱形ABCD的周长为24，
∴AD＝6，∠AOD＝90°，
∵E为AD边中点，
∴OE＝3．
故选：D．
11．已知菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．30 B．20 C．15 D．12
【答案】B
【分析】由菱形的性质得到AC⊥BD，OAAC＝4，ODBD＝3，由勾股定理求出AD5，即可得到菱形的周长．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OAAC，ODBD，
∵AC＝8，BD＝6，
∴OA＝4，OD＝3，
∴AD5，
∴菱形的周长＝4×5＝20．
故选：B．
12．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，BD＝6，DH⊥AB于点H，则DH的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据菱形的面积等于对角线积的一半，可求得菱形的面积，又由菱形的对角线互相平分且垂直，可根据勾股定理得AB的长，根据菱形的面积的求解方法：底乘以高或对角线积的一半，即可得菱形的高．
【解答】解：如图，设AC与BD的交点为O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝4，OB＝OD＝3，
∴AB5，
∴S菱形ABCDAC BD＝AB DH，
∴DH，
故选C．
13．如图，数学实践活动课上小明用两根木条钉成一个角形框架∠AOB，且∠AOB＝120°，AO＝BO＝4cm，将一根橡皮筋两端固定在点A，B处，拉展成线段AB，在平面内，拉动橡皮筋上的一点C，当四边形OACB是菱形时，橡皮筋再次被拉长了（ ）
A．4cm B．8cm C． D．
【答案】C
【分析】由菱形的性质可得AB⊥OC，∠AOC＝∠BOC＝60°，AH＝BH，AC＝BC＝AO＝4cm，由等腰三角形的性质可求AB＝4cm，即可求解．
【解答】解：连接CO，交AB于H，
∵四边形ABCD是菱形，∠AOB＝120°，
∴AB⊥OC，∠AOC＝∠BOC＝60°，AH＝BH，AC＝BC＝AO＝4cm，
∴∠BAO＝30°，
∴OHAO＝2cm，AHOH＝2cm，
∴AB＝2AH＝4cm，
∴橡皮筋再次被拉长了（8﹣4）cm，
故选：C．
14．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝12，BD＝4，将△CDO沿由点D到点B的方向平移，得到△C′D′O′，当点D′与点B重合时，点D与点C′之间的距离为（ ）
A．6 B．10 C．8 D．12
【答案】A
【分析】由菱形的性质得出AC⊥BD，AOAC＝6，OBBD＝2，再由平移的性质得出O'C＝OA＝6，O'B'＝OB＝2，∠CO'B'＝90°，则A然后由勾股定理即可求解．
【解答】解：如图，连接AB'，
∵四边形ABCD是菱形，AC＝12，BD＝4，
∴AC⊥BD，AOAC＝6，OBBD＝2，
∴∠AOB＝90°，
∵△CDO沿由点D到点B的方向平移，得到△C′D′O′，当点D′与点B重合，
∴O'C＝OC＝OA＝6，O'B'＝OB＝2，∠C′O'B'＝∠AOB＝90°，
∴DO'＝BD+O'B＝6，
∴DC'，
故选：A．
15．如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E、F．则△AEF的周长是（ ）
A． B． C． D．3
【答案】B
【分析】连接AC，根据菱形的性质，易证△ABC是等边三角形，再根据等边三角形的性质，得到BE＝1，∠CAE＝30°，利用勾股定理求出，同理可证，∠CAF＝30°，，即可证明△AEF是等边三角形，求出周长．
【解答】解：如图，连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，AB＝2，
∴AB＝BC＝2，
∵∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∵AE⊥BC，
∴，∠BAE＝∠CAE＝30°，
在Rt△AEB中，，
同理可证，∠DAF＝∠CAF＝30°，，
∴∠EAF＝60°，，
∴△AEF是等边三角形，边长为，
∴△AEF的周长是，
故选：B．
16．如图，菱形ABCD，对角线AC，BD交于点O，点E为BD上一点，过点E分别作EF⊥AB于点F，作EG⊥AD于点G，若AC＝16，BD＝12，则EF+EG的值为（ ）
A．14 B． C． D．
【答案】C
【分析】连接AE，由四边形ABCD是菱形，推出AC⊥BD，AOAC＝8，ODBD＝6，由勾股定理求出AD＝10，由△ABD的面积＝△ADE的面积+△ABE的面积，得到BD AOAD EGAB EF，因此12×8＝10EG+10EF，得到EF+EG．
【解答】解：连接AE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AOAC，ODBD，AD＝AB，
∵AC＝16，BD＝12，
∴AO＝8，OD＝6，
∴AD10，
∴AB＝10，
∵△ABD的面积＝△ADE的面积+△ABE的面积，
∴BD AOAD EGAB EF，
∴12×8＝10EG+10EF，
∴EF+EG．
故选：C．
类型四：利用菱形的性质求面积
17．菱形ABCD的周长为16，其相邻两内角的度数比1：5，则此菱形的面积为（ ）
A．4 B． C．8 D．
【答案】C
【分析】根据相邻两内角的度数比为1：5，可求出一个30°角，根据周长为16，求出菱形的边长，根据直角三角形里30°角的性质求出高，从而求出面积．
【解答】解：如图所示，过点A作AE⊥BC于E点，
∵四边形ABCD是菱形，且其周长为16，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，AD∥BC，
∴∠B+∠BAD＝180°
∵菱形ABCD相邻两内角的度数比为1：5，即∠B：∠BAD＝1：5，
∴∠B＝30°，
∴AEAB＝2，
∴S菱形ABCD＝BC AE＝4×2＝8．
故选：C．
18．在菱形ABCD中，AC＝10，BC＝13，则该菱形的面积是（ ）
A．240 B．130 C．120 D．24
【答案】C
【分析】由菱形面积公式即可求得面积．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OCAC10＝5，
∴∠BOC＝90°，
∵BC＝13，
∴OB12，
∴BD＝2OB＝24，
∴菱形ABCD的面积是SAC×BD10×24＝120．
故选：C．
19．如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，AD＝BD＝4，则菱形ABCD面积为（ ）
A．12 B． C． D．8
【答案】C
【分析】由四边形ABCD是菱形，得到AC⊥BD，AC＝2OA，AD＝AB，又AD＝BD＝4，得到△ABD是等边三角形，求出AOAD＝2，得到AC＝4，因此菱形ABCD的面积AC BD＝8．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AC＝2OA，AD＝AB，
∵AD＝BD＝4，
∴△ABD是等边三角形，
∴AOAD＝2，
∴AC＝4，
∴菱形ABCD的面积AC BD4×48．
故选：C．
20．菱形ABCD的两条对角线长分别为6和10，则该菱形的面积为（ ）
A．12 B．24 C．30 D．36
【答案】C
【分析】菱形面积ab（a、b是两条对角线的长度），由此即可计算．
【解答】解：∵菱形ABCD的两条对角线长分别为6和10，
∴该菱形的面积6×10＝30．
故选：C．
21．如图，菱形ABCD中，点E是CD中点，连接AE，BE，若BE⊥CD，，则该菱形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据点E是CD中点，CEBC，由菱形的性质得∠EBC＝30°，∠C＝60°，求出BE的长，再根据菱形的面积公式解答即可．
【解答】解：∵点E是CD中点，
∴CEBC，
∵BE⊥CD，
∴∠BEC＝90°，
∴∠EBC＝30°，∠C＝60°，
∴∠ABC＝120°，
∴∠ABE＝90°，
∴BE，
在Rt△AEB中，
∵AE2＝AB2+BE2，
∴7，
∴AB＝2，
∵AB＝CD＝BC，
∴BE，
∴菱形的面积＝CD BE＝2．
故选：B．
类型五：利用菱形的性质求坐标
22．如图，在菱形ABCD中，点B在x轴上，点C的坐标为（6，2），点A的坐标为（0，2），则点D的坐标为（ ）
A．（4，4） B．（3，3） C．（3，4） D．（2，3）
【答案】C
【分析】连接AC、BD交于点E，由菱形的性质得出AC⊥BD，AE＝CEAC，BE＝DEBD，再由点C的坐标和点A的坐标得出OA＝2，AC＝6，则DE＝2，AE＝3，即可解决问题．
【解答】解：连接AC、BD交于点E，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AE＝CEAC，BE＝DEBD，
∵点C的坐标为（6，2），点A的坐标为（0，2），
∴OA＝2，AC＝6，
∴BE＝DE＝OA＝2，AE＝3，
∴BD＝2DE＝4，
∴点D的坐标为：（3，4），
故选：C．
23．如图，平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴的正半轴上，点B，C在第一象限，若∠AOC＝60°，，则对角线交点D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】过点D作DE⊥OA于点E，由菱形的性质得出∠AOD∠AOC＝30°，由直角三角形的性质及勾股定理可得出答案．
【解答】解：过点D作DE⊥OA于点E，
∵四边形OABC是菱形，∠AOC＝60°，
∴∠AOD∠AOC＝30°，
∵OA＝4，
∴ADOA＝2，
∴OD6，
∴DEDO＝3，
∴OE3，
∴D（3，3），
故选：A．
24．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边长为6，它的一边AB在x轴上，且AB的中点是坐标原点O，点D在y轴正半轴上，则点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由菱形的性质可得AB＝AD＝CD＝6，AB∥CD，由勾股定理可求DO的长，即可求点C坐标．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝CD＝6，AB∥CD，
∵AB的中点是坐标原点，
∴AO＝BO＝3，
∴DO3，
∴点C坐标（6，3），
故选：C．
25．如图，四边形ABCD为菱形，已知A（0，4），B（﹣3，0）．则点C的坐标是（ ）
A．（﹣3，﹣4） B．（﹣2，﹣4） C．（﹣3，﹣5） D．（﹣4，﹣5）
【答案】C
【分析】由A，B两点坐标利用勾股定理可求解AB的长，利用菱形的性质可知BC＝AB＝5，BC∥AD，结合C点位置可求解C点坐标．
【解答】解：∵A（0，4），B（﹣3，0）．
∴OA＝4，OB＝3，
∴AB，
∵四边形ABCD为菱形，
∴BC＝AB＝5，BC∥AD，
∵C点在第三象限，
∴C（﹣3，﹣5）．
故选：C．
26．如图，四边形ABCD为菱形，点A（﹣3，0），点D（0，4），点B在x轴的正半轴上，则点C的坐标为（ ）
A．（5，4） B．（4，5） C．（4，3） D．（3，4）
【答案】A
【分析】由勾股定理得AD＝5，再由菱形的性质得CD＝AD＝5，CD∥AB，则CD⊥OD，即可得出结论．
【解答】解：∵点A（﹣3，0），点D（0，4），
∴OA＝3，OD＝4，
∵∠AOD＝90°，
∴AD5，
∵四边形ABCD为菱形，
∴CD＝AD＝5，CD∥AB，
∴CD⊥OD，
∴点C的坐标为（5，4），
故选：A．
类型六：利用菱形的性质证明
27．如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边CD，BC上，∠CDF＝∠EBC．求证：DE＝BF．
【答案】见解答．
【分析】根据菱形的性质可以得到DC＝BC，再根据ASA可以证明△DCF≌△BCE，然后即可得到DE＝BF．
【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴DC＝BC，
在△DCF和△BCE中，
，
∴△DCF≌△BCE（ASA），
∴CF＝CE，
∴CD﹣CE＝BC﹣CF，
∴DE＝BF．
28．如图，同一平面内三条不同的直线AB，CD，MN，AB∥CD，直线AN与另外两条直线分别交于点M，N，点E，F分别为AB，CD上两点，且满足MF平分∠BMN，NE平分∠CNM．
（1）求证：四边形ENFM为平行四边形；
（2）若四边形ENFM为菱形，求出∠MNF的大小．
【答案】（1）见解答；
（2）60°．
【分析】（1）由角平线的性质及平行线的性质证出EM＝NF，由平行四边形的判定可得出结论；
（2）由菱形的判定与性质可得出结论．
【解答】（1）证明：∵MF平分∠BMN，
∴∠BMF＝∠NMF，
又∵AB∥CD，
∴∠BMF＝∠MFN，
∴∠NMF＝∠MFN，
∴MN＝NF，
∵NE平分∠MNC，
∴∠MNE＝∠CNE，
∵AB∥CD，
∴∠CNE＝∠MEN，
∴∠MEN＝∠ENM，
∴MN＝EM，
∴EM＝NF，
∵EM∥NF，
∴四边形ENFM为平行四边形；
（2）解：∵EM∥NF，
∴∠MEN+∠ENF＝180°，
由（1）知MN＝EM＝NF，
∵四边形ENFM为菱形，
∴EN＝NF，
∴EM＝EN＝MN，
∴△EMN为等边三角形，
∴∠ENM＝60°，
∴∠MNF＝60°．
29．如图，四边形ABCD是菱形，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F．
（1）求证：△ADE≌△CDF；
（2）连结AC，分别交DE，DF于点M，N，求证：AM＝CN．
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析．
【分析】（1）由AAS证明△ADE≌△CDF即可；
（2）由全等三角形的性质得AE＝CF，再证△AME≌△CNF（ASA），即可得出结论．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD，∠DAE＝∠DCF，
∵DE⊥AB，DF⊥BC，
∴∠AED＝∠CFD＝90°，
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（AAS）；
（2）由（1）可知，△ADE≌△CDF，
∴AE＝CF，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，
∴∠MAE＝∠NCF，
在△AME和△CNF中，
，
∴△AME≌△CNF（ASA），
∴AM＝CN．
30．在菱形ABCD中，AC是对角线．
（1）如图①，若AB＝5，则菱形ABCD的周长为 20 ；若∠DAB＝60°，则∠D的度数是 120° ；∠DCA的度数是 30° ；
（2）如图②，P是AB上一点，连接DP交对角线AC于点E，连接EB，求证：∠APD＝∠EBC．
【答案】（1）20，120°，30°；
（2）证明见解答过程．
【分析】（1）由菱形的性质可求解；
（2）由“SAS”可得△DCE≌△BCE，可得∠CDP＝∠CBE，由平行线的性质可得∠CDP＝∠APD＝∠CBE．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝5，∠DAB+∠ADC＝180°，∠DCA∠DCB∠DAB＝30°，
∴菱形ABCD的周长＝4×5＝20，∠ADC＝120°，
故答案为：20，120°，30°；
（2）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴DC＝BC，∠DCE＝∠BCE，且CE＝CE，
∴△DCE≌△BCE（SAS），
∴∠CDP＝∠CBE，
∵DC∥AB，
∴∠CDP＝∠APD，
∴∠CBE＝∠APD．
31．如图，点P是边长为6的菱形ABCD的对角线BD上一点，连接CP并延长，交AD于E．
（1）求证：AP＝CP；
（2）若CE垂直平分AD，求PB的长．
【答案】（1）证明见解析；
（2）4．
【分析】（1）根据菱形的性质得CD＝AD，∠CDP＝∠ADP，证明△CDP≌△ADP即可；
（2）根据菱形的性质和等边三角形的性质解答即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴CD＝AD，∠CDP＝∠ADP，
∴△CDP≌△ADP（SAS），
∴AP＝CP；
（2）解：连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD＝DA，
∵CE垂直平分AD，
∴△ACD是等腰三角形，AC＝CD，
∴△ACD是等边三角形，
∵AD＝6，
∴CE＝3，
∴PD，
∵AD＝AB＝AC＝6，
∴BD＝6，
∴PB＝BD﹣PD＝4．2023-2024学年北师大版数学九年级上册·重点题型全归纳
专题1 菱形的性质【六大题型分类归纳】
思维导图：
类型一：菱形的性质
1．已知四边形ABCD是菱形，AC和BD是菱形的对角线，那么下列说法一定正确的是（ ）
A．AC＝BD B．AC⊥BD C．AC＝AB D．∠BAC＝∠ABD
2．下列不属于菱形性质的是（ ）
A．两组对边分别平行
B．两组对边分别相等
C．每一条对角线平分一组内角
D．两条对角线相等
3．下列性质中，菱形不一定具备的性质是（ ）
A．四边相等 B．对角线相等
C．对角线相互垂直 D．对边平行
类型二：利用菱形的性质求角度
4．如图，AC为菱形ABCD的对角线，已知∠ADC＝140°，则∠BCA等于（ ）
A．40° B．30° C．20° D．15°
5．如图，菱形ABCD的边AB的垂直平分线交AB于点E，交AC于点F，连接DF．当∠CDA＝80°时，∠CDF＝（ ）
A．15° B．30° C．40° D．50°
6．如图，菱形ABCD中，CE⊥BC，∠ECD＝22°．则∠ADB的度数为（ ）
A．22° B．34° C．39° D．68°
7．将两个完全相同的菱形按如图方式放置，若∠BAD＝α，∠CBE＝β，则β＝（ ）
A．45°α B．45°α C．90°α D．90°α
8．如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，菱形的边长AB＝20cm，根据实际需要可以调节AE间的距离，若AE间的距离调节到60cm，此时∠DAB的度数是（ ）
A．90° B．100° C．120° D．150°
类型三：利用菱形的性质求长度
9．菱形的两个邻角之比为1：2，如果较短的对角线的长是3cm，则它的周长为（ ）
A．8cm B．9cm C．12cm D．15cm
10．如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E为AD边中点，菱形ABCD的周长为24，则OE的长等于（ ）
A．12 B．6 C．4 D．3
11．已知菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．30 B．20 C．15 D．12
12．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，BD＝6，DH⊥AB于点H，则DH的长是（ ）
A． B． C． D．
13．如图，数学实践活动课上小明用两根木条钉成一个角形框架∠AOB，且∠AOB＝120°，AO＝BO＝4cm，将一根橡皮筋两端固定在点A，B处，拉展成线段AB，在平面内，拉动橡皮筋上的一点C，当四边形OACB是菱形时，橡皮筋再次被拉长了（ ）
A．4cm B．8cm C． D．
14．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝12，BD＝4，将△CDO沿由点D到点B的方向平移，得到△C′D′O′，当点D′与点B重合时，点D与点C′之间的距离为（ ）
A．6 B．10 C．8 D．12
15．如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E、F．则△AEF的周长是（ ）
A． B． C． D．3
16．如图，菱形ABCD，对角线AC，BD交于点O，点E为BD上一点，过点E分别作EF⊥AB于点F，作EG⊥AD于点G，若AC＝16，BD＝12，则EF+EG的值为（ ）
A．14 B． C． D．
类型四：利用菱形的性质求面积
17．菱形ABCD的周长为16，其相邻两内角的度数比1：5，则此菱形的面积为（ ）
A．4 B． C．8 D．
18．在菱形ABCD中，AC＝10，BC＝13，则该菱形的面积是（ ）
A．240 B．130 C．120 D．24
19．如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，AD＝BD＝4，则菱形ABCD面积为（ ）
A．12 B． C． D．8
20．菱形ABCD的两条对角线长分别为6和10，则该菱形的面积为（ ）
A．12 B．24 C．30 D．36
21．如图，菱形ABCD中，点E是CD中点，连接AE，BE，若BE⊥CD，，则该菱形的面积是（ ）
A． B． C． D．
类型五：利用菱形的性质求坐标
22．如图，在菱形ABCD中，点B在x轴上，点C的坐标为（6，2），点A的坐标为（0，2），则点D的坐标为（ ）
A．（4，4） B．（3，3） C．（3，4） D．（2，3）
23．如图，平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴的正半轴上，点B，C在第一象限，若∠AOC＝60°，，则对角线交点D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
24．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边长为6，它的一边AB在x轴上，且AB的中点是坐标原点O，点D在y轴正半轴上，则点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
25．如图，四边形ABCD为菱形，已知A（0，4），B（﹣3，0）．则点C的坐标是（ ）
A．（﹣3，﹣4） B．（﹣2，﹣4） C．（﹣3，﹣5） D．（﹣4，﹣5）
26．如图，四边形ABCD为菱形，点A（﹣3，0），点D（0，4），点B在x轴的正半轴上，则点C的坐标为（ ）
A．（5，4） B．（4，5） C．（4，3） D．（3，4）
类型六：利用菱形的性质证明
27．如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边CD，BC上，∠CDF＝∠EBC．求证：DE＝BF．
28．如图，同一平面内三条不同的直线AB，CD，MN，AB∥CD，直线AN与另外两条直线分别交于点M，N，点E，F分别为AB，CD上两点，且满足MF平分∠BMN，NE平分∠CNM．
（1）求证：四边形ENFM为平行四边形；
（2）若四边形ENFM为菱形，求出∠MNF的大小．
29．如图，四边形ABCD是菱形，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F．
（1）求证：△ADE≌△CDF；
（2）连结AC，分别交DE，DF于点M，N，求证：AM＝CN．
30．在菱形ABCD中，AC是对角线．
（1）如图①，若AB＝5，则菱形ABCD的周长为 ；若∠DAB＝60°，则∠D的度数是 ；∠DCA的度数是 ；
（2）如图②，P是AB上一点，连接DP交对角线AC于点E，连接EB，求证：∠APD＝∠EBC．
31．如图，点P是边长为6的菱形ABCD的对角线BD上一点，连接CP并延长，交AD于E．
（1）求证：AP＝CP；
（2）若CE垂直平分AD，求PB的长．
