专题12　应用一元二次方程【十一大题型分类归纳】2023-2024学年北师大版数学九年级上册+重点题型全归纳（含解析）

2023-2024学年北师大版数学九年级上册 重点题型全归纳
专题12 应用一元二次方程【十一大题型分类归纳】
思维导图：
考点1：增长率问题
1．某商场品牌手机经过5，6月份连续两次降价每部售价由10000元降到6400元．且第二次降价的百分率是第一次的2倍，设第二次降价的百分率为，根据题意可列方程　　
A． B．
C． D．
2．在“双减政策”的推动下，我县某中学学生每天书面作业时长明显减少．2022年上学期每天书面作业平均时长为，经过2022年下学期和2023年上学期两次调整后，2023年上学期平均每天书面作业时长为．设该校这两学期平均每天作业时长每期的下降率为，则可列方程为　　
A． B． C． D．
3．“读万卷书，行万里路”，某校为了丰富学生的阅历知识，坚持开展课外阅读活动，学生人均阅读量从七年级的每年100万字增加到九年级的每年144万字．设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为，则可列方程为　　
A．
B．
C．
D．
4．电影《长津湖》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达18亿元，将增长率记作，则方程可以列为　　
A． B．
C． D．
5．某景区五一期间2022年比2021年旅游人数增加了，2023年比2022年旅游人数增加了，已知2021年至2023年景区的旅游人数平均年增长率为，则下列方程正确的是　　
A． B．
C． D．
考点2：数字型问题
6．一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4，若设个位上的数字为，则根据题意可列方程　　
A． B．
C． D．
7．读诗词，列方程：大江东去浪淘尽，千古风流人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符．（诗词大意：周瑜英年早逝，逝世时的年龄是一个两位数，十位数字比个位数字小3，个位数字的平方刚好是周瑜逝世时的年龄），设周瑜逝世时的年龄的个位数字为，则列出的方程正确的是　　
A． B．
C． D．
8．有一个两位数，个位数字与十位数字之和为8，把它的个位数字与十位数字对调，得到一个新数，新数与原数之积为1855，则原两位数是　　
A．35 B．53 C．62 D．35或53
9．小明同学是一位古诗文的爱好者，在学习了一元二次方程这一章后，改编了苏轼诗词《念奴娇赤壁怀古》：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华数周瑜？”假设周瑜去世时年龄的十位数字是，则可列方程为　　
A． B．
C． D．
10．一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这两位数小4，设个位数字为，则方程为　　
A． B．
C． D．
考点3：单循环问题
11．在一次同学聚会上，参加的每个人都与其他人握手一次，共握手190次，设参加这次同学聚会的有人，可得方程　　
A． B． C． D．
12．为丰富乡村文体生活，某区准备组织首届“美丽乡村”篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排28场比赛，设邀请个球队参加比赛，可列方程得　　
A． B． C． D．
13．一次会议上，每两个参加会议的人都互相握了一次手，有人统计一共握了66次手．若设这次会议到会的人数为人，依题意可列方程　　
A． B． C． D．
14．在一次同学聚会上，大家一见面就相互握手（每两人只握一次）．大家共握了21次手．设参加这次聚会的同学共有人，根据题意，可列方程为　　
A． B． C． D．
考点4：双循环问题
15．在一次新年聚会中，小朋友们互相赠送礼物，全部小朋友共互赠了110件礼物，若假设参加聚会小朋友的人数为人，则根据题意可列方程为　　
A． B． C． D．
16．一个小组若干人，新年互送贺卡一张，若全组共送贺卡90张，则这个小组共有　　
A．9人 B．10人 C．12人 D．15人
17．黑龙江省中学生排球锦标赛共进行了110场双循环比赛，则参加比赛的队伍共有　　
A．8支 B．9支 C．10支 D．11支
考点5：传染/传播问题
18．有1人患了流感后，经过两轮传染后共有144人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了人，则根据题意可列方程　　
A． B． C． D．
19．德尔塔是一种全球流行的新冠病毒变异毒株，其传染性极强．某地有1人感染了德尔塔，因为没有及时隔离治疗，经过两轮传染后，一共有144人感染了德尔塔病毒，设每轮传染中平均1人传染了人，下面所列方程正确的是　　
A． B．
C． D．
20．某地有两人患了流感，经过两轮传染后又有70人患了流感，每轮传染中平均一个人传染的人数为　　
A．5人 B．6人 C．7人 D．8人
21．有一个人患流感，经过两轮传染后共有64个人患流感，每轮传染中平均一个人传染几个人？设每轮传染中平均一个人传染个人，可列方程为　　
A． B． C． D．
考点6：小路问题
22．如图，在长为28米、宽为10米的矩形空地上修建如图所示的道路（图中的阴影部分）余下部分铺设草坪，要使得草坪的面积为243平方米，则可列方程为　　
A． B．
C． D．
23．如图，某小区计划在一个长，宽的长方形场地上修建同样宽的小路，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种草．如果使草坪部分的总面积为，设小路的宽为，那么满足的方程是　　
A． B． C． D．
24．如图，在长为，宽为的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是，则小路的宽是　　
A． B． C．或 D．
考点7：日历（表格）问题
25．如图所示的是某月的日历表，在此日历表上可以按图示形状圈出位置相邻的6个数（如，14，15，16，17，．如果圈出的6个数中，最大数与最小数的积为225，那么根据题意可列方程为　　
A． B．
C． D．
26．日历中含有丰富的数学知识，如在图1所示的日历中用阴影圈出9个数，这9个数的大小之间存在着某种规律．小慧在2020年某月的日历中也按图1所示方式圈出9个数（如图，发现这9个数中最大的数与最小的数乘积是297，则这9个数中，中间的数是　　
A．17 B．18 C．19 D．20
考点8：围栏问题
27．如图，某校生物兴趣小组用长为18米的篱笆，一面利用墙（墙的长度足够），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，建造篱笆花圃时在边留了宽为1米的两个进出口（不需材料），若花圃的面积刚好为40平方米，设的长为米，则可列方程为　　
A． B． C． D．
28．某公司计划用的材料沿墙（可利用）建造一个面积为的仓库，设仓库与墙平行的一边长为，则下列方程中正确的是　　
A． B．
C． D．
29．如图，用长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为的两扇小门．若花圃的面积刚好为，设段的长为，则可列方程为　　
A． B． C． D．
考点9：营销问题
30．某网店在“双11”促销活动中对一件原价500元的商品进行了“折上折”优惠活动（即两次打折数相同），优惠后实际仅售320元，设该店打折，则可列方程　　
A． B．
C． D．
31．端午节又称端阳节，是中华民族重要的传统节日，我国各地都有吃粽子的习俗．某超市以10元每袋的价格购进一批粽子，根据市场调查，售价定为每袋16元，每天可售出200袋；若售价每降低1元，则可多售出80袋，问此种粽子售价降低多少元时，超市每天售出此种粽子的利润可达到1440元？若设每袋粽子售价降低元，则可列方程为　　
A． B．
C． D．
32．某商场将进货价为45元的某种服装以65元售出，平均每天可售30件，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现：每件降价1元，则每天可多售5件，如果每天要盈利800元，每件应降价　　
A．12元 B．10元 C．11元 D．9元
33．某商场销售一款恤，进价为每件40元，当售价为每件60元时，平均每周可卖出200件，为扩大销售，增加利润，商场准备降价销售．经市场调查发现，每件每降价1元，平均每周可多卖出8件，若要使每周销售该款恤获利8450元，设每件降低元，则可列方程为　　
A． B．
C． D．
34．某商店从厂家以每件18元的价格购进一批商品．该商品可以自行定价．据市场调查，该商品的售价与销售量的关系是：若每件售价元，则可卖出件，但物价部门限定每件商品加价不能超过进货价的，如果商店计划要获利400元．则每件商品的售价应定为　　
A．22元 B．24元 C．26元 D．28元
考点10：复杂的营销问题
35．端午节前夕，某超市从厂家分两次购进蛋黄粽子、红豆粽子，两次进货时，两种粽子的进价不变．第一次购进蛋黄粽子60袋和红豆粽子90袋，总费用为4800元；第二次购进蛋黄粽子40袋和红豆粽子80袋，总费用为3600元．
（1）求蛋黄粽子、红豆粽子每袋的进价各是多少元？
（2）当蛋黄粽子销售价为每袋70元时，每天可售出20袋，为了促销，该超市决定对蛋黄粽子进行降价销售，经市场调研，若每袋的销售价每降低1元，则每天的销售量将增加5袋．当蛋黄粽子每袋的销售价为多少元时，每天售出蛋黄粽子所获得的利润为220元？
36．4月日习近平总书记在广东考察时强调：推进中国式现代化，必须全面推进乡村振兴，解决好城乡区域发展不平衡问题，产业振兴是乡村报兴的重中之重，要落实产业帮扶致策，做好“土特产”文章，网络直播带货助力乡村振兴，它作为一种新颖的销售“土特产”的方式，受到社会各界的追捧，某直播间销售某种“土特产”，每袋获利40元，每天可卖出20袋，通过市场调查发现：每袋“土特产”的售价每降低1元，每天的销售量就增加2袋．
（1）若每袋“土特产”的售价降低6元，求每天的销售量．
（2）为尽快减少库存，商家决定降价销售，若要使得每天获利1200元，则每袋“土特产”的售价降低了多少元？
37．某连锁超市以每支3元的价格购进某品牌牙膏，规定牙膏销售单价不低于进价又不高于5.5元，经市场调研发现，牙膏的日均销售量（万支）与销售单价（元之间存在着如图所示关系．
（1）求牙膏的日均销售量（万支）关于销售单价（元的函数表达式（写出的取值范围）；
（2）若该连锁超市想要获得9万元的日均销售利润，牙膏的销售单价应定为多少元？
（3）该超市日均销售利润能否达到13万元？请说明理由．
考点11：几何问题
38．王叔叔从市场上买了一块长，宽的矩形铁皮，准备制作一个工具箱：如图，他把铁皮的四个角各剪掉一个边长为的正方形后，剩余的部分刚好能围成一个底面积为的无盖长方体工具箱，根据题意可列方程为　　
A． B．
C． D．
39．我国古代数学家研究过一元二次方程的正数解的几何解法．以方程，即为例加以说明，三国时期的数学家赵爽（公元世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造如图中大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，据此易得．小刚用此方法解关于的方程时，构造出同样的图形，已知大正方形的面积为81，小正方形的面积为25，则关于的方程的正数解为　　
A． B． C． D．
40．如图，在中，，，．动点，分别从点，同时开始移动，点在上以的速度向点移动，点在上以的速度向点移动．当点移动到点后停止，点也随之停止移动．下列时刻中，能使的面积为的是　　
A． B． C． D．
41．如图，在中，，，．动点，分别从点，同时开始移动，点的速度为秒，点的速度为秒，点移动到点后停止，点也随之停止运动．下列时间瞬间中，能使的面积为的是　　
A．2秒钟 B．3秒钟 C．4秒钟 D．5秒钟
42．如图，一架长为的梯子斜靠在竖直的墙上，梯子的底端（点距墙角（点为，若梯子的底端水平向外滑动，梯子的顶端（点向下滑动多少米？若设梯子的顶端向下滑动米，则根据题意可列方程为　　
A． B．
C． D．
43．某住宅小区，为美化环境，提高居民的生活质量，想要建造一个八边形的居民广场，平面设计图如图，其中四边形是正方形花坛，图中的阴影部分是四个完全相同的长方形，上面铺设花岗岩地坪，在四个三角形区域上铺设草坪，设正方形花坛的边长为，长方形中，为．
（1）用含、的代数式表示阴影部分的面积为 　　．
（2）当，，求八边形的居民广场平面设计图的面积是多少？
（3）在长方形中，当的2倍比多，且长方形的面积为时，的边长为 　　．
2023-2024学年北师大版数学九年级上册 重点题型全归纳
专题12 应用一元二次方程【十一大题型分类归纳】
思维导图：
考点1：增长率问题
1．某商场品牌手机经过5，6月份连续两次降价每部售价由10000元降到6400元．且第二次降价的百分率是第一次的2倍，设第二次降价的百分率为，根据题意可列方程　　
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】利用经过两次降价的价格原价第一次降价的百分率）第二次降价的百分率），即可列出关于的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：第二次降价的百分率是第一次的2倍，且第二次降价的百分率为，
第一次降价的百分率为．
根据题意得：．
故选：．
2．在“双减政策”的推动下，我县某中学学生每天书面作业时长明显减少．2022年上学期每天书面作业平均时长为，经过2022年下学期和2023年上学期两次调整后，2023年上学期平均每天书面作业时长为．设该校这两学期平均每天作业时长每期的下降率为，则可列方程为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】利用2023年上学期平均每天书面作业时长年上学期每天书面作业平均时长该校这两学期平均每天作业时长每期的下降率），即可列出关于的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设根据题意得：．
故选：．
3．“读万卷书，行万里路”，某校为了丰富学生的阅历知识，坚持开展课外阅读活动，学生人均阅读量从七年级的每年100万字增加到九年级的每年144万字．设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为，则可列方程为　　
A．
B．
C．
D．
【答案】
【分析】增长率问题，一般用增长后的量增长前的量增长率），如果设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为，根据题意即可列出方程求解．
【解答】解：根据题意得．
故选：．
4．电影《长津湖》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达18亿元，将增长率记作，则方程可以列为　　
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】第一天为2，根据增长率为得出第二天为，第三天为，根据三天累计为18，即可得出关于的一元二次方程．
【解答】解：设平均每天票房的增长率为，
根据题意得：．
故选：．
5．某景区五一期间2022年比2021年旅游人数增加了，2023年比2022年旅游人数增加了，已知2021年至2023年景区的旅游人数平均年增长率为，则下列方程正确的是　　
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】根据题意，可以先设2021年的旅游人数，从而可以得到相应的方程，本题得以解决．
【解答】解：设2021年的旅游人数为人，
，
即，
故选：．
考点2：数字型问题
6．一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4，若设个位上的数字为，则根据题意可列方程　　
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】由十位及个位数字间的关系，可得出十位上的数字为，结合个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4，即可列出关于的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：个位上的数字比十位上的数字小4，且个位上的数字为，
十位上的数字为．
根据题意得：．
故选：．
7．读诗词，列方程：大江东去浪淘尽，千古风流人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符．（诗词大意：周瑜英年早逝，逝世时的年龄是一个两位数，十位数字比个位数字小3，个位数字的平方刚好是周瑜逝世时的年龄），设周瑜逝世时的年龄的个位数字为，则列出的方程正确的是　　
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】由周瑜逝世时的年龄的十位数字与个位数字间的关系，可得出周瑜逝世时的年龄的十位数字为，结合周瑜逝世时的年龄的个位数字的平方刚好是周瑜逝世时的年龄，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：周瑜逝世时的年龄的个位数字为，且十位数字比个位数字小3，
周瑜逝世时的年龄的十位数字为．
根据题意得：．
故选：．
8．有一个两位数，个位数字与十位数字之和为8，把它的个位数字与十位数字对调，得到一个新数，新数与原数之积为1855，则原两位数是　　
A．35 B．53 C．62 D．35或53
【答案】
【分析】设十位数字为，则个位数字为，根据新数与原数之积为1855，列出方程，解方程即可．
【解答】解：设十位数字为，则个位数字为，
根据题意得：，
解得：或，
这个两位数为35或53．
故选：．
9．小明同学是一位古诗文的爱好者，在学习了一元二次方程这一章后，改编了苏轼诗词《念奴娇赤壁怀古》：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华数周瑜？”假设周瑜去世时年龄的十位数字是，则可列方程为　　
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】设周瑜去世时年龄的十位数字是，根据“十位恰小个位三，个位平方与寿同”知十位数字个位数字个位数字的平方，据此列出方程可得答案．
【解答】解：假设周瑜去世时年龄的十位数字是，则可列方程为，
故选：．
10．一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这两位数小4，设个位数字为，则方程为　　
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】根据个位数与十位数的关系，可知十位数为，那么这两位数为：，这两个数的平方和为：，再根据两数的值相差4即可得出答案．
【解答】解：依题意得：十位数字为：，这个数为：
这两个数的平方和为：，
两数相差4，
．
故选：．
考点3：单循环问题
11．在一次同学聚会上，参加的每个人都与其他人握手一次，共握手190次，设参加这次同学聚会的有人，可得方程　　
A． B． C． D．
【分析】本题可通过列方程进行解答，设共有人参加联欢会，每人与其他人只握一次手，则每个人需要握次手，个人一共需要握手次，握手是在两人之间进行，所以共握次，已知共要握手190次，由此可得等量关系式：，解此方程即得多少人参加联欢会．
【解答】解：设共有人参加联欢会，可得方程：
，
．
故选：．
12．为丰富乡村文体生活，某区准备组织首届“美丽乡村”篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排28场比赛，设邀请个球队参加比赛，可列方程得　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】利用比赛的总场数参赛队伍数（参赛队伍数，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：根据题意得：．
故选：．
13．一次会议上，每两个参加会议的人都互相握了一次手，有人统计一共握了66次手．若设这次会议到会的人数为人，依题意可列方程　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】利用参会人员共握手次数参会人数（参会人数，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：依题意得：．
故选：．
14．在一次同学聚会上，大家一见面就相互握手（每两人只握一次）．大家共握了21次手．设参加这次聚会的同学共有人，根据题意，可列方程为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】每个人都要和他自己以外的人握手一次，但两个人之间只握手一次，所以等量关系为：聚会人数（聚会人数总握手次数，把相关数值代入即可．
【解答】解：设参加这次聚会的同学共有人，
由题意得：，
故选：．
考点4：双循环问题
15．在一次新年聚会中，小朋友们互相赠送礼物，全部小朋友共互赠了110件礼物，若假设参加聚会小朋友的人数为人，则根据题意可列方程为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】由参加聚会小朋友的人数为人，可得出每人需赠送出件礼物，根据全部小朋友共互赠了110件礼物，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：参加聚会小朋友的人数为人，
每人需赠送出件礼物．
根据题意得：．
故选：．
16．一个小组若干人，新年互送贺卡一张，若全组共送贺卡90张，则这个小组共有　　
A．9人 B．10人 C．12人 D．15人
【答案】
【分析】设这个小组共有人，则每人需送出张贺卡，根据全组共送贺卡90张，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设这个小组共有人，则每人需送出张贺卡，
依题意得：，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
故选：．
17．黑龙江省中学生排球锦标赛共进行了110场双循环比赛，则参加比赛的队伍共有　　
A．8支 B．9支 C．10支 D．11支
【答案】
【分析】设参加比赛的队伍共有支，利用进行比赛的总场数参赛队伍数（参赛队伍数，可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：设参加比赛的队伍共有支，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
参加比赛的队伍共有11支．
故选：．
考点5：传染/传播问题
18．有1人患了流感后，经过两轮传染后共有144人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了人，则根据题意可列方程　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】由每轮传染中平均一个人传染了人，可得出第一轮有人被传染，第二轮有人被传染，结合“有1人患了流感后，经过两轮传染后共有144人患了流感”，即可列出关于的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：每轮传染中平均一个人传染了人，
第一轮有人被传染，第二轮有人被传染．
根据题意得：，
．
故选：．
19．德尔塔是一种全球流行的新冠病毒变异毒株，其传染性极强．某地有1人感染了德尔塔，因为没有及时隔离治疗，经过两轮传染后，一共有144人感染了德尔塔病毒，设每轮传染中平均1人传染了人，下面所列方程正确的是　　
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】设每轮传染中平均1人传染了人，则第一轮传染中有人被传染，第二轮传染中有人被传染，根据“某地有1人感染了德尔塔，因为没有及时隔离治疗，经过两轮传染后，一共有144人感染了德尔塔病毒”，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设每轮传染中平均1人传染了人，则第一轮传染中有人被传染，第二轮传染中有人被传染，
根据题意得：．
故选：．
20．某地有两人患了流感，经过两轮传染后又有70人患了流感，每轮传染中平均一个人传染的人数为　　
A．5人 B．6人 C．7人 D．8人
【答案】
【分析】设每轮传染中平均一个人传染个人，则第一轮传染中有人被传染，第二轮传染中有人被传染，根据“某地有两人患了流感，经过两轮传染后又有70人患了流感”，可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染个人，则第一轮传染中有人被传染，第二轮传染中有人被传染，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
每轮传染中平均一个人传染的人数为5人．
故选：．
21．有一个人患流感，经过两轮传染后共有64个人患流感，每轮传染中平均一个人传染几个人？设每轮传染中平均一个人传染个人，可列方程为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】平均一人传染了人，根据有一人患了流感，第一轮有人患流感，第二轮共有人，即64人患了流感，由此列方程．
【解答】解：设平均一人传染了人，第一轮有人患流感，第二轮共有人，
根据题意得：，即．
故选：．
考点6：小路问题
22．如图，在长为28米、宽为10米的矩形空地上修建如图所示的道路（图中的阴影部分）余下部分铺设草坪，要使得草坪的面积为243平方米，则可列方程为　　
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】根据平行四边形的面积计算公式及道路的铺设方式，可得出铺设草坪的面积等于长为米、宽米的矩形面积，结合草坪的面积为540平方米，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：道路的宽为米，
铺设草坪的面积等于长为米、宽米的矩形面积．
草坪的面积为243平方米，
．
故选：．
23．如图，某小区计划在一个长，宽的长方形场地上修建同样宽的小路，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种草．如果使草坪部分的总面积为，设小路的宽为，那么满足的方程是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】由小路的宽为，可得出种草的部分可合成长为，宽为的长方形，结合草坪部分的总面积为，可得出关于的一元二次方程，整理后即可得出结论．
【解答】解：小路的宽为，
种草的部分可合成长为，宽为的长方形．
根据题意得：，
整理得：．
故选：．
24．如图，在长为，宽为的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是，则小路的宽是　　
A． B． C．或 D．
【答案】
【分析】设小路的宽是，则余下的部分可合成长为，宽为的矩形，根据花圃的面积是，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：设小路的宽是，则余下的部分可合成长为，宽为的矩形，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
小路的宽是．
故选：．
考点7：日历（表格）问题
25．如图所示的是某月的日历表，在此日历表上可以按图示形状圈出位置相邻的6个数（如，14，15，16，17，．如果圈出的6个数中，最大数与最小数的积为225，那么根据题意可列方程为　　
A． B．
C． D．
【分析】根据题意和图形中的数据可以列出相应的方程，从而可以解答本题．
【解答】解：由题意可得，
，
故选：．
26．日历中含有丰富的数学知识，如在图1所示的日历中用阴影圈出9个数，这9个数的大小之间存在着某种规律．小慧在2020年某月的日历中也按图1所示方式圈出9个数（如图，发现这9个数中最大的数与最小的数乘积是297，则这9个数中，中间的数是　　
A．17 B．18 C．19 D．20
【答案】
【分析】根据日历表中各数之间的关系可找出，，根据这9个数中最大的数与最小的数乘积是297，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：由图1可知：，，
依题意得：，
即，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
故选：．
考点8：围栏问题
27．如图，某校生物兴趣小组用长为18米的篱笆，一面利用墙（墙的长度足够），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，建造篱笆花圃时在边留了宽为1米的两个进出口（不需材料），若花圃的面积刚好为40平方米，设的长为米，则可列方程为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据篱笆的总长及的长，可得出的长，再利用长方形的面积公式，即可列出关于的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：篱笆的总长为18米，的长为米，
的长为米．
根据题意得：．
故选：．
28．某公司计划用的材料沿墙（可利用）建造一个面积为的仓库，设仓库与墙平行的一边长为，则下列方程中正确的是　　
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】分别表示地处仓库的长和宽，然后根据矩形的面积计算方法列出方程即可．
【解答】解：设仓库中和墙平行的一边长为，则垂直于墙的边长为，
根据题意得：，
故选：．
29．如图，用长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为的两扇小门．若花圃的面积刚好为，设段的长为，则可列方程为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】设米，则米，根据围成的花圃的面积刚好为40平方米，即可得出关于的一元二次方程．
【解答】解：设米，则米，
依题意得：，即．
故选：．
考点9：营销问题
30．某网店在“双11”促销活动中对一件原价500元的商品进行了“折上折”优惠活动（即两次打折数相同），优惠后实际仅售320元，设该店打折，则可列方程　　
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】利用经过两次打折后的价格原价，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：根据题意得：．
故选：．
31．端午节又称端阳节，是中华民族重要的传统节日，我国各地都有吃粽子的习俗．某超市以10元每袋的价格购进一批粽子，根据市场调查，售价定为每袋16元，每天可售出200袋；若售价每降低1元，则可多售出80袋，问此种粽子售价降低多少元时，超市每天售出此种粽子的利润可达到1440元？若设每袋粽子售价降低元，则可列方程为　　
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】当每袋粽子售价降低元时，每袋粽子的销售利润为元，每天可售出袋，利用总利润每袋的销售利润每天的销售量，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：当每袋粽子售价降低元时，每袋粽子的销售利润为元，每天可售出袋，
依题意得：．
故选：．
32．某商场将进货价为45元的某种服装以65元售出，平均每天可售30件，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现：每件降价1元，则每天可多售5件，如果每天要盈利800元，每件应降价　　
A．12元 B．10元 C．11元 D．9元
【答案】
【分析】设每件降价元，则每件的销售利润为元，每天可售出件，利用总利润每件的销售利润日销售量，可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合要尽快减少库存，可得出每件应降价10元．
【解答】解：设每件降价元，则每件的销售利润为元，每天可售出件，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
又要尽快减少库存，
，
每件应降价10元．
故选：．
33．某商场销售一款恤，进价为每件40元，当售价为每件60元时，平均每周可卖出200件，为扩大销售，增加利润，商场准备降价销售．经市场调查发现，每件每降价1元，平均每周可多卖出8件，若要使每周销售该款恤获利8450元，设每件降低元，则可列方程为　　
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】当每件降低元时，每件的销售利润为元，平均每周可售出件，利用每周销售该款恤获得的总利润每件的销售利润每周的销售量，可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：当每件降低元时，每件的销售利润为元，平均每周可售出件，
根据题意得：．
故选：．
34．某商店从厂家以每件18元的价格购进一批商品．该商品可以自行定价．据市场调查，该商品的售价与销售量的关系是：若每件售价元，则可卖出件，但物价部门限定每件商品加价不能超过进货价的，如果商店计划要获利400元．则每件商品的售价应定为　　
A．22元 B．24元 C．26元 D．28元
【答案】
【分析】利用商店销售该商品获得的利润每件的销售利润销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合物价部门限定每件商品加价不能超过进货价的，即可确定每件商品的售价．
【解答】解：依题意得：，
整理得：，
解得：，．
又物价部门限定每件商品加价不能超过进货价的，
售价不能超过（元．
．
故选：．
考点10：复杂的营销问题
35．端午节前夕，某超市从厂家分两次购进蛋黄粽子、红豆粽子，两次进货时，两种粽子的进价不变．第一次购进蛋黄粽子60袋和红豆粽子90袋，总费用为4800元；第二次购进蛋黄粽子40袋和红豆粽子80袋，总费用为3600元．
（1）求蛋黄粽子、红豆粽子每袋的进价各是多少元？
（2）当蛋黄粽子销售价为每袋70元时，每天可售出20袋，为了促销，该超市决定对蛋黄粽子进行降价销售，经市场调研，若每袋的销售价每降低1元，则每天的销售量将增加5袋．当蛋黄粽子每袋的销售价为多少元时，每天售出蛋黄粽子所获得的利润为220元？
【答案】（1）蛋黄粽子的进价是50元袋，红豆粽子的进价是20元袋；
（2）52元袋．
【分析】（1）设蛋黄粽子的进价是元袋，红豆粽子的进价是元袋，根据“第一次购进蛋黄粽子60袋和红豆粽子90袋，总费用为4800元；第二次购进蛋黄粽子40袋和红豆粽子80袋，总费用为3600元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设蛋黄粽子的销售价格为元袋，则每袋的销售利润为元，每天可售出袋，利用总利润每袋的销售利润日销售量，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：（1）设蛋黄粽子的进价是元袋，红豆粽子的进价是元袋，
根据题意得：，
解得：．
答：蛋黄粽子的进价是50元袋，红豆粽子的进价是20元袋；
（2）设蛋黄粽子的销售价格为元袋，则每袋的销售利润为元，每天可售出袋，
根据题意得：，
解得：，
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：当蛋黄粽子每袋的销售价为52元时，每天售出蛋黄粽子所获得的利润为220元．
36．4月日习近平总书记在广东考察时强调：推进中国式现代化，必须全面推进乡村振兴，解决好城乡区域发展不平衡问题，产业振兴是乡村报兴的重中之重，要落实产业帮扶致策，做好“土特产”文章，网络直播带货助力乡村振兴，它作为一种新颖的销售“土特产”的方式，受到社会各界的追捧，某直播间销售某种“土特产”，每袋获利40元，每天可卖出20袋，通过市场调查发现：每袋“土特产”的售价每降低1元，每天的销售量就增加2袋．
（1）若每袋“土特产”的售价降低6元，求每天的销售量．
（2）为尽快减少库存，商家决定降价销售，若要使得每天获利1200元，则每袋“土特产”的售价降低了多少元？
【答案】（1）32袋；
（2）20元．
【分析】（1）利用每天的销售量每袋“土特产”的售价降低的钱数，即可求出结论；
（2）设每袋“土特产”的售价降低了元，则每袋“土特产”的销售利润为元，每天可售出袋，利用总利润每袋的销售利润日销售量，可得出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合要尽快减少库存，即可得出结论．
【解答】解：（1）
（袋．
答：每天的销售为32袋；
（2）设每袋“土特产”的售价降低了元，则每袋“土特产”的销售利润为元，每天可售出袋，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
又要尽快减少库存，
．
答：每袋“土特产”的售价降低了20元．
37．某连锁超市以每支3元的价格购进某品牌牙膏，规定牙膏销售单价不低于进价又不高于5.5元，经市场调研发现，牙膏的日均销售量（万支）与销售单价（元之间存在着如图所示关系．
（1）求牙膏的日均销售量（万支）关于销售单价（元的函数表达式（写出的取值范围）；
（2）若该连锁超市想要获得9万元的日均销售利润，牙膏的销售单价应定为多少元？
（3）该超市日均销售利润能否达到13万元？请说明理由．
【答案】（1）；
（2）4元；
（3）该超市日均销售利润不可能达到13万元，理由见解答．
【分析】（1）根据图中给定的数据，利用待定系数法，即可求出关于的函数表达式；
（2）利用总利润每支的销售利润日销售量，可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
（3）该超市日均销售利润不可能达到13万元，假设能，利用总利润每支的销售利润日销售量，可得出关于的一元二次方程，由根的判别式△，可得出原方程没有实数根，假设不成立，即该超市日均销售利润不可能达到13万元．
【解答】解：（1）设牙膏的日均销售量（万支）关于销售单价（元的函数表达式为，
将，代入得：，
解得：，
牙膏的日均销售量（万支）关于销售单价（元的函数表达式为；
（2）根据题意得：，
整理得：，
解得：或，
，
．
答：牙膏的销售单价应定为4元；
（3）该超市日均销售利润不可能达到13万元，理由如下：
假设该超市日均销售利润能达到13万元，
根据题意得：，
整理得：，
△，
原方程没有实数根，
假设不成立，即该超市日均销售利润不可能达到13万元．
考点11：几何问题
38．王叔叔从市场上买了一块长，宽的矩形铁皮，准备制作一个工具箱：如图，他把铁皮的四个角各剪掉一个边长为的正方形后，剩余的部分刚好能围成一个底面积为的无盖长方体工具箱，根据题意可列方程为　　
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】根据矩形铁皮的长、宽及剪掉正方形的边长，可得出围成无盖长方体工具箱的底面长为，宽为，根据围成无盖长方体工具箱底面积为，即可列出关于的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：矩形铁皮的长为，宽为，且铁皮的四个角各剪掉一个边长为的正方形，
围成无盖长方体工具箱的底面长为，宽为．
根据题意得：．
故选：．
39．我国古代数学家研究过一元二次方程的正数解的几何解法．以方程，即为例加以说明，三国时期的数学家赵爽（公元世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造如图中大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，据此易得．小刚用此方法解关于的方程时，构造出同样的图形，已知大正方形的面积为81，小正方形的面积为25，则关于的方程的正数解为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据图形列方程组求解．
【解答】解：设矩形的宽为，长为，
大正方形的面积为81，小正方形的面积为25，
，，
，，
故选：．
40．如图，在中，，，．动点，分别从点，同时开始移动，点在上以的速度向点移动，点在上以的速度向点移动．当点移动到点后停止，点也随之停止移动．下列时刻中，能使的面积为的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】设当运动时间为秒时，的面积为，利用三角形面积的计算公式，可得出关于的一元二次方程，解之即可得出值，再结合当点移动到点后停止点也随之停止移动，即可确定值．
【解答】解：设当运动时间为秒时，的面积为，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
又，
，
．
故选：．
41．如图，在中，，，．动点，分别从点，同时开始移动，点的速度为秒，点的速度为秒，点移动到点后停止，点也随之停止运动．下列时间瞬间中，能使的面积为的是　　
A．2秒钟 B．3秒钟 C．4秒钟 D．5秒钟
【答案】
【分析】设出动点，运动秒，能使的面积为，用分别表示出和的长，利用三角形的面积计算公式即可解答．
【解答】解：设动点，运动秒后，能使的面积为，
则为，为，由三角形的面积计算公式列方程得，
，
解得，（当时，，不合题意，舍去）．
动点，运动3秒时，能使的面积为．
故选：．
42．如图，一架长为的梯子斜靠在竖直的墙上，梯子的底端（点距墙角（点为，若梯子的底端水平向外滑动，梯子的顶端（点向下滑动多少米？若设梯子的顶端向下滑动米，则根据题意可列方程为　　
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】首先利用勾股定理求得米，然后再次根据勾股定理列出方程即可．
【解答】解：在直角中，米，米，则米．
根据题意，得．
故选：．
43．某住宅小区，为美化环境，提高居民的生活质量，想要建造一个八边形的居民广场，平面设计图如图，其中四边形是正方形花坛，图中的阴影部分是四个完全相同的长方形，上面铺设花岗岩地坪，在四个三角形区域上铺设草坪，设正方形花坛的边长为，长方形中，为．
（1）用含、的代数式表示阴影部分的面积为 　　．
（2）当，，求八边形的居民广场平面设计图的面积是多少？
（3）在长方形中，当的2倍比多，且长方形的面积为时，的边长为 　　．
【答案】（1）；（2）八边形的居民广场平面设计图的面积是；（3）90．
【分析】（1）阴影部分的面积由四个大小相同的长方形构成，可以直接求出；
（2）八边形的居民广场平面设计图的面积是由正方形、阴影部分的面积及四个大小相同的等腰直角三角形构成；
（3）长方形的面积长宽，建立方程可以求出、的值，从而求出的长．
【解答】解：（1）；
故答案为：．
（2），
当，时，；
答：八边形的居民广场平面设计图的面积是．
（3）由题意可得：，
，
解得：，（舍去），
，
，即的长为．
故答案为：90．