专题13 一元二次方程【八大题型综合归纳】2023-2024学年北师大版数学九年级上册 重点题型全归纳（含解析）

2023-2024学年北师大版数学九年级上册 重点题型全归纳
专题13 一元二次方程【八大题型综合归纳】
思维导图：
题型1：一元二次方程的相关概念
1．下列关于的方程中，一定是一元二次方程的是　　
A． B． C． D．
2．把一元二次方程化成一般形式，正确的是　　
A． B． C． D．
3．下列方程中，是一元二次方程的是　　
A． B． C． D．
4．下列方程中，关于的一元二次方程是　　
A． B． C． D．
5．若关于的一元二次方程有一个根为，则方程必有一根为　　
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
题型2：一元二次方程的解法
6．方程经过配方法化为的形式，正确的是　　
A． B． C． D．
7．用配方法解方程时，配方后所得的方程是　　
A． B． C． D．
8．一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为　　
A．1 B．0 C． D．
9．一元二次方程的解为　　
A． B． C． D．
10．方程的两个根是　　
A．， B．， C．， D．，
11．用求根公式解一元二次方程时，，的值是　　
A．，， B．，，
C．，， D．，，
12．已知关于的方程，当时，方程的解为　　
A．， B．，
C． D．
13．下列关于的方程一定有实数解的是　　
A． B．
C．为常数） D．为常数）
14．如果关于的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为　　
A． B．2021 C．2022 D．2023
15．一元二次方程的根为　　
A． B．
C．， D．，
题型3：一元二次方程根的判别式
16．关于的一元二次方程的根的情况为　　
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定根的情况
17．若关于的一元二次方程有实数根，则可取的最大整数值为　　
A．1 B．0 C． D．
18．若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是　　
A． B． C．且 D．且
19．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是　　
A． B． C．且 D．且
题型4：一元二次方程根与系数的关系
20．关于一元二次方程有一个根是，则另一个根是　　
A． B． C． D．
21．方程的两个根的和为　　
A．6 B． C． D．15
22．方程的根是，，则的值为　　
A．22 B． C． D．26
23．已知和是方程的两个根，则的值为　　
A． B．2021 C． D．2023
题型5：配方法的应用
24．若，，则、的大小关系为　　
A． B． C． D．无法确定
25．不论、取何有理数，的值均为　　
A．正数 B．零 C．负数 D．非负数
26．已知，为任意实数），则、的大小关系为　　
A． B． C． D．不能确定
27．已知，，与的大小关系是　　
A． B． C． D．
题型6：一元二次方程的实际应用
28．如图，某校生物兴趣小组用长为18米的篱笆，一面利用墙（墙的长度足够），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，建造篱笆花圃时在边留了宽为1米的两个进出口（不需材料），若花圃的面积刚好为40平方米，设的长为米，则可列方程为　　
A． B． C． D．
29．在“双减政策”的推动下，我县某中学学生每天书面作业时长明显减少．2022年上学期每天书面作业平均时长为，经过2022年下学期和2023年上学期两次调整后，2023年上学期平均每天书面作业时长为．设该校这两学期平均每天作业时长每期的下降率为，则可列方程为　　
A． B． C． D．
30．《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深，葭长各几何．”意思是：如示意图，有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度和芦苇的长度分别是多少？备注：1丈尺．设芦苇长尺，水的深度为尺，则可列方程为　　
A． B．
C． D．
31．我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：六贯二百一十钱，倩人去买几株椽，每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．其大意为：请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每件椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱．问能买多少株椽？设能买株椽，则列出的方程是　　
A． B． C． D．
32．红星电池厂2022年月份的电池产量如图所示．设从2月份到4月份，该厂电池产量的平均月增长率为，根据题意可得方程　　
A． B．
C． D．
题型7：一元二次方程的几何应用
33．如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿向点以的速度移动，当点到达点时，，均停止运动，若的面积等于，则运动时间为　　
A．1秒 B．4秒 C．1秒或4秒 D．1秒或秒
34．如图所示，，，，为矩形的四个顶点，，，动点，分别从点，同时出发，点以的速度向移动，一直到达为止；点以的速度向移动．当，两点从出发开始几秒时，点和点的距离是．　　（若一点到达终点，另一点也随之停止运动）
A．或 B．或 C． D．或
题型8：材料信息题
35．阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值．
例题：求的最小值；
解：；
因为不论取何值，总是非负数，即；
所以；
所以当时，有最小值，最小值是1．
根据上述材料，解答下列问题：
（1）填空：
　　　　；
（2）将变形为的形式，并求出最小值；
（3）如图所示的第一个长方形边长分别是、，面积为；如图所示的第二个长方形边长分别是、，面积为，试比较与的大小，并说明理由．
36．材料1：由多项式乘法，，将该式子从右到左地使用，即可对形如的多项式进行因式分解：．多项式的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和．
材料2：因式分解：，解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“”还原得：原式．
上述解题用到整体思想，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法．请你解答下列问题：
（1）根据材料1将因式分解；
（2）根据材料2将因式分解；
（3）结合材料1和材料2，将因式分解．
37．【阅读理解】材料一：数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助形的几何直观性，可以帮助理解数之间的某种关系．
问题1：请写出图1，图2阴影部分的面积分别能解释的乘法公式．
图　　，图　　；
材料二：对于代数式，不同的表达形式能表现出它的不同性质．
（1）例如代数式，若将其写成的形式，因为不论取何值，总是非负数，即．
所以．
所以当时，有最小值，最小值是1．
问题2：根据上述例题材料，请求代数式的最小值．
（2）若将代数式写成的形式，就能与代数式建立联系，下面我们改变的值，研究一下，两个代数式取值的规律：
0 1 2 3
10 5 2 1 2 5
17 10 2 1 2
问题3：①上表中的值是 　　；
②观察表格可以发现；若时，，则时，．我们把这种现象称为代数式参照代数式取值延后，此时延后值为1．若代数式参照代数式取值延后，相应的延后值为2，则代数式为 　　．
38．某商场计划购进甲、乙两种商品共80件进行销售，已知甲种商品的进价为120元件，乙种商品的进价为80元件，甲种商品的销售单价为150元件，乙种商品的销售单价（元件）与购进乙种商品的数量（件之间的函数关系如图所示．
（1）求（元件）关于（件的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）当购进乙种商品30件时，求销售完80件甲、乙两种商品获得的总利润；
（3）实际经营时，因原材料价格上涨，甲、乙两种商品的进价均提高了，为保证销售完后总利润不变，商场决定将这两种商品的销售单价均提高元，且不超过乙种商品原销售单价的，求的最大值．
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专题13 一元二次方程【八大题型综合归纳】
思维导图：
题型1：一元二次方程的相关概念
1．下列关于的方程中，一定是一元二次方程的是　　
A． B． C． D．
【分析】根据一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2进行分析即可．
【解答】解：、不是一元二次方程，故此选项错误；
、不是一元二次方程，故此选项错误；
、是一元二次方程，故此选项正确；
、时，不是一元二次方程，故此选项错误；
故选：．
2．把一元二次方程化成一般形式，正确的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据一元二次方程，，是常数且的一般形式，、、分别是二次项系数、一次项系数、常数项，可得答案．
【解答】解：，
，
，
，
故选：．
3．下列方程中，是一元二次方程的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
【解答】解：．方程是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
．方程是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
．方程是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
．方程是一元二次方程，故本选项符合题意；
故选：．
4．下列方程中，关于的一元二次方程是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
【解答】解：．方程是二元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意，
．方程是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意，
．方程是一元三次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意，
．方程是一元二次方程，故本选项符合题意，
故选：．
5．若关于的一元二次方程有一个根为，则方程必有一根为　　
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
【答案】
【分析】把化为：再结合题意可得，从而可得方程的解．
【解答】解：可化为：
关于的一元二次方程有一个根为，
把看作是整体未知数，则，
，
即有一根为．
故选：．
题型2：一元二次方程的解法
6．方程经过配方法化为的形式，正确的是　　
A． B． C． D．
【分析】根据配方法即可求出答案．
【解答】解：原方程化为：，
所以，
故选：．
7．用配方法解方程时，配方后所得的方程是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】方程变形后，配方得到结果，即可做出判断．
【解答】解：方程，
变形得：，
配方得：，即，
故选：．
8．一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为　　
A．1 B．0 C． D．
【答案】
【分析】根据根的判别式的意义得到，然后解方程即可．
【解答】解：根据题意得△，
解得，
即的值为1．
故选：．
9．一元二次方程的解为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】先移项，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可．
【解答】解：，
，
，
或，
所以，．
故选：．
10．方程的两个根是　　
A．， B．， C．， D．，
【答案】
【分析】根据已知方程得出两个关于的一元一次方程，再进一步求解即可．
【解答】解：
，
或，
解得，，
故选：．
11．用求根公式解一元二次方程时，，的值是　　
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】
【分析】先按照未知数的降幂排列，据此可得答案．
【解答】解：，
，
则，，，
故选：．
12．已知关于的方程，当时，方程的解为　　
A．， B．，
C． D．
【答案】
【分析】利用判别式的意义得到方程有两个相等的实数解，然后根据一元二次方程的求根公式得到方程的解．
【解答】解：，
方程有两个相等的实数解，
，
方程的解为．
故选：．
13．下列关于的方程一定有实数解的是　　
A． B．
C．为常数） D．为常数）
【答案】
【分析】先计算4个方程的根的判别式的值，然后利用根的判别式的意义判断方程根的情况，从而可对各选项进行判断．
【解答】解：．△，则方程没有实数解，所以选项不符合题意；
．△，则方程没有实数解，所以选项不符合题意；
．△，当时，△，则方程没有实数解，所以选项不符合题意；
．△时，则方程有两个不相等的实数解，所以项符合题意．
故选：．
14．如果关于的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为　　
A． B．2021 C．2022 D．2023
【答案】
【分析】利用一元二次方程解的定义得到，然后把变形为，再利用整体代入的方法计算．
【解答】解：把代入方程得，
所以，
所以．
故选：．
15．一元二次方程的根为　　
A． B．
C．， D．，
【答案】
【分析】先把方程化为一般式，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可．
【解答】解：，
，
，
或，
所以，．
故选：．
题型3：一元二次方程根的判别式
16．关于的一元二次方程的根的情况为　　
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定根的情况
【答案】
【分析】先计算△，即可判断方程根的情况．
【解答】解：△，
一元二次方程有两个不相等的实数，
故选：．
17．若关于的一元二次方程有实数根，则可取的最大整数值为　　
A．1 B．0 C． D．
【答案】
【分析】由二次项系数非零及根的判别式△，可得出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论．
【解答】解：关于的一元二次方程有实数根，
，
解得：且，
可取的最大整数值为．
故选：．
18．若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是　　
A． B． C．且 D．且
【答案】
【分析】根据一元二次方程的定义，得，根据方程有两个实数根，得出△，求出的取值范围即可得出答案．
【解答】解：关于的一元二次方程，
，
方程有两个实数根，
△，
解得，
的取值范围是且，
故选：．
19．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是　　
A． B． C．且 D．且
【答案】
【分析】根据一元二次方程的定义及根的判别式即可判断．
【解答】解：一元二次方程有实数根，
，且，
解得且，
故选：．
题型4：一元二次方程根与系数的关系
20．关于一元二次方程有一个根是，则另一个根是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】由一元二次方程根与系数的关系求出两根之和，把代入求出另一根即可．
【解答】解：设另一根为，
由根与系数的关系得：，
解得：，
则另一根为．
故选：．
21．方程的两个根的和为　　
A．6 B． C． D．15
【答案】
【分析】直接利用根与系数的关系求解．
【解答】解：设、是方程的两个根，
．
故选：．
22．方程的根是，，则的值为　　
A．22 B． C． D．26
【答案】
【分析】利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，代入原式计算即可求出值．
【解答】解：方程的根是，，
，，
则原式．
故选：．
23．已知和是方程的两个根，则的值为　　
A． B．2021 C． D．2023
【答案】
【分析】先利用一元二次方程的解的定义得到，，则可化为，接着利用根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：和是方程的两个根，
，，
即，，
，
，是方程的两个根，
，，
原式．
故选：．
题型5：配方法的应用
24．若，，则、的大小关系为　　
A． B． C． D．无法确定
【答案】
【分析】根据配方法进行判断．
【解答】解：
，
故．
故选：．
25．不论、取何有理数，的值均为　　
A．正数 B．零 C．负数 D．非负数
【答案】
【分析】根据完全平方公式对代数式整理，然后再根据平方数非负数的性质进行判断．
【解答】解：
，
，，
．
故选：．
26．已知，为任意实数），则、的大小关系为　　
A． B． C． D．不能确定
【答案】
【分析】求出的结果，再判断即可．
【解答】解：根据题意，可知，
所以．
故选：．
27．已知，，与的大小关系是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】利用配方进行计算即可
【解答】解：，，
，，
，
，
故选：．
题型6：一元二次方程的实际应用
28．如图，某校生物兴趣小组用长为18米的篱笆，一面利用墙（墙的长度足够），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，建造篱笆花圃时在边留了宽为1米的两个进出口（不需材料），若花圃的面积刚好为40平方米，设的长为米，则可列方程为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据篱笆的总长及的长，可得出的长，再利用长方形的面积公式，即可列出关于的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：篱笆的总长为18米，的长为米，
的长为米．
根据题意得：．
故选：．
29．在“双减政策”的推动下，我县某中学学生每天书面作业时长明显减少．2022年上学期每天书面作业平均时长为，经过2022年下学期和2023年上学期两次调整后，2023年上学期平均每天书面作业时长为．设该校这两学期平均每天作业时长每期的下降率为，则可列方程为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】利用2023年上学期平均每天书面作业时长年上学期每天书面作业平均时长该校这两学期平均每天作业时长每期的下降率），即可列出关于的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设根据题意得：．
故选：．
30．《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深，葭长各几何．”意思是：如示意图，有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度和芦苇的长度分别是多少？备注：1丈尺．设芦苇长尺，水的深度为尺，则可列方程为　　
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】由芦苇的高度与水的深度间的关系，可得出，利用勾股定理，即可得出关于（或的一元二次方程，再对照四个选项，即可得出结论．
【解答】解：在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，芦苇长尺，水的深度为尺，
．
根据题意得：，
即或．
故选：．
31．我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：六贯二百一十钱，倩人去买几株椽，每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．其大意为：请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每件椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱．问能买多少株椽？设能买株椽，则列出的方程是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据题意表示出一株椽的单价，再表示出总的运费，进而得出等式即可．
【解答】解：设能买株椽，则列出的方程是：．
故选：．
32．红星电池厂2022年月份的电池产量如图所示．设从2月份到4月份，该厂电池产量的平均月增长率为，根据题意可得方程　　
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】本题为增长率问题，一般用增长后的量增长前的量增长率），如果设这个增长率为，根据“2月份的180万只，4月份的产量将达到461万只”，即可得出方程．
【解答】解：从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为，根据题意可得方程：，
故选：．
题型7：一元二次方程的几何应用
33．如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿向点以的速度移动，当点到达点时，，均停止运动，若的面积等于，则运动时间为　　
A．1秒 B．4秒 C．1秒或4秒 D．1秒或秒
【答案】
【分析】当运动时间为秒时，，，根据的面积等于，可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：当运动时间为秒时，，，
根据题意得：，
即，
整理得：，
解得：，，
当时，，不符合题意，舍去，
．
运动时间为1秒．
故选：．
34．如图所示，，，，为矩形的四个顶点，，，动点，分别从点，同时出发，点以的速度向移动，一直到达为止；点以的速度向移动．当，两点从出发开始几秒时，点和点的距离是．　　（若一点到达终点，另一点也随之停止运动）
A．或 B．或 C． D．或
【答案】
【分析】设当、两点从出发开始秒时，点和点的距离是，此时，，利用勾股定理即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设当、两点从出发开始秒时，点和点的距离是，
此时，，
根据题意得：，
解得：，．
答：当、两点从出发开始到2秒或秒时，点和点的距离是．
故选：．
题型8：材料信息题
35．阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值．
例题：求的最小值；
解：；
因为不论取何值，总是非负数，即；
所以；
所以当时，有最小值，最小值是1．
根据上述材料，解答下列问题：
（1）填空：
　2　　　；
（2）将变形为的形式，并求出最小值；
（3）如图所示的第一个长方形边长分别是、，面积为；如图所示的第二个长方形边长分别是、，面积为，试比较与的大小，并说明理由．
【答案】（1）2；4；（2）；（3）；理由略．
【分析】（1）依据题意，由完全平方公式：，进而分析计算可以得解；
（2）依据题意，由配方法进行变形即可得解；
（3）依据题意，分别求出与，然后作差即可得解．
【解答】解：（1）由题意得，．
故答案为：2；4．
（2）由题意得，．
，
．
．
的最小值为．
（3）由题意得，，，
．
，
．
．
．
36．材料1：由多项式乘法，，将该式子从右到左地使用，即可对形如的多项式进行因式分解：．多项式的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和．
材料2：因式分解：，解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“”还原得：原式．
上述解题用到整体思想，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法．请你解答下列问题：
（1）根据材料1将因式分解；
（2）根据材料2将因式分解；
（3）结合材料1和材料2，将因式分解．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】（1）仿照材料一分解即可；
（2）把看成一个整体，利用材料一的方法分解即可；
（3）把看成一个整体，先算乘法再利用材料一因式分解．
【解答】解：（1）；
（2）；
（3）
．
37．【阅读理解】材料一：数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助形的几何直观性，可以帮助理解数之间的某种关系．
问题1：请写出图1，图2阴影部分的面积分别能解释的乘法公式．
图　　，图　　；
材料二：对于代数式，不同的表达形式能表现出它的不同性质．
（1）例如代数式，若将其写成的形式，因为不论取何值，总是非负数，即．
所以．
所以当时，有最小值，最小值是1．
问题2：根据上述例题材料，请求代数式的最小值．
（2）若将代数式写成的形式，就能与代数式建立联系，下面我们改变的值，研究一下，两个代数式取值的规律：
0 1 2 3
10 5 2 1 2 5
17 10 2 1 2
问题3：①上表中的值是 　　；
②观察表格可以发现；若时，，则时，．我们把这种现象称为代数式参照代数式取值延后，此时延后值为1．若代数式参照代数式取值延后，相应的延后值为2，则代数式为 　　．
【答案】问题，；
问题；
问题3：①5；
②．
【分析】问题1：根据正方形的面积计算公式，解决问题；
问题2：按照题中给出例题进行配方，然后利用，即可推出，推出此式子存在最小值1；
问题3：①代入计算即可求解；
②根据题意，延后值为2，改为，再化简即可．
【解答】解：问题1：图，图．
故答案为：，；
问题，
因为，
所以，
当时，有最小值，最小值是1．
故答案为：1；
问题3：①当时，．
故答案为：5；
②
．
故答案为：．
38．某商场计划购进甲、乙两种商品共80件进行销售，已知甲种商品的进价为120元件，乙种商品的进价为80元件，甲种商品的销售单价为150元件，乙种商品的销售单价（元件）与购进乙种商品的数量（件之间的函数关系如图所示．
（1）求（元件）关于（件的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）当购进乙种商品30件时，求销售完80件甲、乙两种商品获得的总利润；
（3）实际经营时，因原材料价格上涨，甲、乙两种商品的进价均提高了，为保证销售完后总利润不变，商场决定将这两种商品的销售单价均提高元，且不超过乙种商品原销售单价的，求的最大值．
【答案】（1）；
（2）2550元；
（3）9．
【分析】（1）设关于的函数关系式为．将和代入，根据待定系数法即可求解；
（2）根据题意和（1）的函数关系式求解；
（3）根据题意，按照调整前后总利润不变列式计算即可．
【解答】解：（1）设关于的函数关系式为．
将和代入，得
，解得．
关于的函数关系式为．
（2）当购进乙种商品30件时，则购进甲种商品（件．
当时，．
根据题意，销售完80件甲、乙两种商品获得的总利润为（元．
（3）根据题意，甲种商品进价为（元件），
乙种商品的进价是（元件）．
设购进乙种商品件，那么购进甲种商品件．
根据销售完后总利润不变，
有，整理得
．
不超过乙种商品原销售单价的，
，即，
整理得，解得．
的最大值为9．