2023-2024学年北师大版数学九年级上册·重点题型全归纳
专题 一元二次方程的应用【八大题型分类归纳】
思维导图：
类型一：数字问题
1．有一个两位数，它们的十位数字与个位数字之和为8，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘以原来的两位数就得1855，求这个两位数．
【答案】见解析
【分析】设个位为x，则十位上的数字为8﹣x，根据如果十位上的数字与个位上的数字对调，则所得两位数乘以原来的两位数就得1855，求解即可．
【解答】解：设原来个位为x，则十位上的数字为8﹣x，
由题意得，[10×（8﹣x）+x][10x+8﹣x]＝1855
解得：x1＝3，x2＝5，
原来十位上的数字为5或3，
答：原来这个两位数53或35．
【点评】本题考查了一元二次次方程的应用，解答本题的关键是表示出对调前后两位数的表示方法．
2．2021年7月1日是建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用小方框圈出四个数（如图所示），圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积能否为33或65，若能求出最小数；若不能请说明理由．
【答案】最小的数是5
【分析】设这个最小数为x，则最大数为（x+8），根据最小数与最大数的乘积为65或33，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设最小的数为x，
由题意得x（x+8）＝33，
解得x1＝﹣11，x2＝3．由表格知不符合实际舍去；
由题意得x（x+8）＝65，
解得x1＝﹣13（舍去），x2＝5，
所以当最大数与最小数乘积为65时，最小的数是5．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
3．用一根长为12cm的绳子能否围成一个两直角边长度相差1cm的直角三角形，若能，求出这一个直角三角形的三边长；若不能，说明理由．
【答案】3cm、4cm、5cm．
【分析】设较短的直角边为xcm，则较长的直角边为（x+1）cm，斜边为12﹣x﹣x﹣1＝（11﹣2x）cm，由题意得：x2+（x+1）2＝（11﹣2x）2，求解方程即可．
【解答】解：能，理由：
设较短的直角边为xcm，则较长的直角边为（x+1）cm，斜边为12﹣x﹣x﹣1＝（11﹣2x）cm，由题意得：
x2+（x+1）2＝（11﹣2x）2，
解得：x1＝3，x2＝20（舍去），
∴较长的直角边为x+1＝4cm，斜边为11﹣2x＝5cm，
∴这一个直角三角形的三边长为：3cm、4cm、5cm．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，勾股定理的逆定理，熟练掌握各知识点是解决本题的关键．
4．设一元二次方程x2+bx+c＝0．在下面的四组条件中选择其中一组b，c的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程．
①b＝2，c＝1；②b＝3，c＝1；③b＝3，c＝﹣1；④b＝2，c＝2．
注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分．
【答案】见解析．
【分析】先根据这个方程有两个不相等的实数根，得b2＞4c，由此可知b、c的值可在①②③中选取，然后求解方程即可．
【解答】解：∵使这个方程有两个不相等的实数根，
∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4c，
∴②③均可，
选②解方程，则这个方程为：x2+3x+1＝0，
∴x，
∴x1，x2；
选③解方程，则这个方程为：x2+3x﹣1＝0，
∴x1，x2．
【点评】本题主要考查的是根据一元二次方程根的判别式以及解一元二次方程，一元二次方程中根的判别式大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式小于0，方程无解．
5．阅读探究有关个位数是5的整数的平方简便计算问题．
观察下列算式：
152＝1×2×100+25＝225；252＝2×3×100+25＝625；352＝3×4×100+25＝1225…
（1）请你写出952的简便计算过程及结果；
（2）其实这种方法也可以推广到个位数是5的三位数的平方，证明略．
①请你写出1152的简便计算过程及结果．
②用计算或说理的方式确定9852﹣8952的结果末两位数字是多少？
（3）已知一个个位数是5的整数的平方是354025，请用方程的相关知识求这个数．
【答案】见解析
【分析】（1）结果＝十位数字×（十位数字+1）×100+25；
（2）①结果＝前两位数字×（前两位数字+1）×100+25；
②末两位数字都是25，那么可得相减后的末两位数字；
（3）可设未知数位上的数字为x，那么x（x+1）×100+25＝354025，求得正整数x，进而加上最后一位上的5即可．
【解答】解：（1）952＝9×10×100+25＝9025；
（2）①1152＝11×12×100+25＝13225；
②因为9852的末两位为25，而8952的末两位也为25，所以9852﹣8952的末两位数字都为零；
（3）笼统地设未知数位上的数为x，由题意有
x（x+1）×100+25＝354025，
x（x+1）×100＝354000，
x（x+1）＝3540，
左边为相邻两整数的积，把3540“分解”为两个相邻整数，即3540＝59×60，
故 x＝59．
所以这个三位数为595．
【点评】考查规律性的数字问题及一元二次方程的应用；得到末尾数字是5的数的平方的计算规律是解决本题的关键．
类型二：传播问题
6．春季是传染病多发季节.2023年3月，我国某地甲型流感病毒传播速度非常快，开始有4人被感染，经过两轮传播后，就有256人患了甲型流感．若每轮传染的速度相同，求每轮每人传染的人数．
【答案】每轮每人传染的人数为7人．
【分析】设每轮每人传染的人数为x人，则第一轮中有4x人被感染，第二轮中有x（4+4x）人被感染，根据“开始有4人被感染，经过两轮传播后，就有256人患了甲型流感”，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：设每轮每人传染的人数为x人，则第一轮中有4x人被感染，第二轮中有x（4+4x）人被感染，
根据题意得：4+4x+x（4+4x）＝256，
即4（1+x）2＝256，
解得：x1＝7，x2＝﹣9（不符合题意，舍去）．
答：每轮每人传染的人数为7人．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7．卫生部疾病控制专家经过调研提出，如果1人传播10人以上而且被传染的人已经确定为新冠肺炎，那么这个传播者就可以称为“超级传播者”．如果某镇有1人不幸成为新冠肺炎病毒的携带者，假设每轮传染的人数相同，经过两轮传染后共有144人成为新冠肺炎病毒的携带者．
（1）经过计算，判断最初的这名病毒携带者是“超级传播者”吗？请先写出结论，再说明理由；
（2）若不加以控制传染渠道，经过3轮传染，共有多少人成为新冠肺炎病毒的携带者？
【答案】（1）最初的这名病毒携带者是“超级传播者”，理由见解答；
（2）1728人．
【分析】（1）最初的这名病毒携带者是“超级传播者”，设每人每轮传染的人数为x人，则第一轮传染了x人，第二轮传染了x（1+x）人，根据经过两轮传染后共有144人成为新冠肺炎病毒的携带者，即可得出关于x的一元二次方程，解之将其正值与10比较后即可得出结论；
（2）利用经过3轮传染后成为新冠肺炎病毒的携带者的人数＝经过两轮传染后成为新冠肺炎病毒的携带者的人数+经过两轮传染后成为新冠肺炎病毒的携带者的人数×每人每轮传染的人数，即可求出结论．
【解答】解：（1）最初的这名病毒携带者是“超级传播者”，理由如下：
设每人每轮传染的人数为x人，则第一轮传染了x人，第二轮传染了x（1+x）人，
依题意得：1+x+x（1+x）＝144，
解得：x1＝11，x2＝﹣13（不合题意，舍去）．
∵11＞10，
∴最初的这名病毒携带者是“超级传播者”．
（2）144+144×11＝1728（人）．
答：若不加以控制传染渠道，经过3轮传染，共有1728人成为新冠肺炎病毒的携带者．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8．为了响应“践行核心价值观，传递青春正能量”的号召，小颖决定走入社区号召大家参加“传递正能量志愿服务者”．假定从一个人开始号召，每一个人每周能够号召相同的m个人参加，被号召参加的人下一周会继续号召，两周后，将有121人被号召成为“传递正能量志愿服务者”．
（1）求出m的值；
（2）经过计算后，小颖、小红、小丽三人开始发起号召，但刚刚开始，他们就发现了问题，实际号召过程中，不是每一次号召都可以成功，而他们三人的成功率也各不相同，已知小红的成功率比小颖的两倍少10%，第一周后小丽比小颖多号召2人，三人一共号召17人，其中小颖号召了n人．请分别求出他们三人号召的成功率．
【答案】（1）m的值为10；
（2）小颖号召的成功率为40%，小红号召的成功率为70%，小丽号召的成功率为60%．
【分析】（1）根据两周后将有121人被号召成为“传递正能量志愿服务者”，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）由三人号召人数间的关系可得出小丽号召了（n+2）人、小红号召了（15﹣2n）人，根据小红的成功率比小颖的两倍少10%，即可得出关于n的一元一次方程，解之即可得出n的值，再利用号召的成功率100%，即可求出他们三人号召的成功率．
【解答】解：（1）依题意得：1+m+（1+m）m＝121，
整理得：（1+m）2＝121，
解得：m1＝10，m2＝﹣12（不合题意，舍去）．
答：m的值为10．
（2）∵第一周后小丽比小颖多号召2人，三人一共号召17人，其中小颖号召了n人，
∴小丽号召了（n+2）人，小红号召了17﹣n﹣（n+2）＝（15﹣2n）人．
依题意得：100%＝2100%﹣10%，
解得：n＝4，
∴100%100%＝40%，100%100%＝70%，100%100%＝60%．
答：小颖号召的成功率为40%，小红号召的成功率为70%，小丽号召的成功率为60%．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
9．随着通信事业的日益发达，信息传播越来越快捷，如果有一个人收到一条信息后，转发了此信息，收到转发的信息的人中有会将其再转发给其他没有此信息的人，经过两轮转发后，共有169人收到此信息，请问平均每人每轮转发给几个人？
【答案】平均每人每轮转发给21个人．
【分析】设平均每人每轮转发给x个人，则第一轮转发给了x个人，第二轮转发给了x2个人，根据“有一个人收到一条信息后，经过两轮转发后，共有169人收到此信息”，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：设平均每人每轮转发给x个人，则第一轮转发给了x个人，第二轮转发给了x2个人，
根据题意得：1+xx2＝169，
整理得：x2+3x﹣504＝0，
解得：x1＝21，x2＝﹣24（不符合题意，舍去）．
答：平均每人每轮转发给21个人．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
类型三：单循环问题
10．参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了55份合同，共有多少家公司参加商品交易会？
【答案】11家．
【分析】设共有x家公司参加商品交易会，利用签订合同的总数量＝参会公司数×（参会公司数﹣1）÷2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设共有x家公司参加商品交易会，
依题意得：x（x﹣1）＝55，
整理得：x2﹣x﹣110＝0，
解得：x1＝11，x2＝﹣10（不符合题意，舍去）．
答：共有11家公司参加商品交易会．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
11．为增强同学们的体质，丰富校园文化体育生活，富川县某校八年级举行了篮球比赛，比赛以循环赛的形式进行，即每个班级之间都要比赛一场，共比赛了45场．
（1）问该校八年级共有几个班？
（2）篮球比赛胜一场得2分，负一场得1分，小奉同学所在的2101班要想获得不低于14分的积分，至少要取得多少场胜利？
【答案】（1）10个班；
（2）5场．
【分析】（1）该校八年级共有x个班，利用比赛的总场数＝该校八年级的班数×（该校八年级的班数﹣1）÷2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
（2）设小奉同学所在的2101班胜了y场，则负了（9﹣y）场，利用积分＝2×胜的场数+1×负的场数，结合积分不低于14分，可列出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
【解答】解：（1）该校八年级共有x个班，
根据题意得：x（x﹣1）＝45，
整理得：x2﹣x﹣90＝0，
解得：x1＝10，x2＝﹣9（不符合题意，舍去）．
答：该校八年级共有10个班；
（2）设小奉同学所在的2101班胜了y场，则负了（9﹣y）场，
根据题意得：2y+（9﹣y）≥14，
解得：y≥5，
∴y的最小值为5．
答：小奉同学所在的2101班至少要取得5场胜利．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
12．阅读与思考
方法介绍： 同学们、生活中的很多实际问题，我们往往抽象成数学问题，然后通过数形结合，建立数学模型的方式来解决． 例如：我校七年级有五个班在落实“双减”政策，丰富课余生活，每个班只能组建一个球队，代表该班参加比赛，每个队都要和其他各队比赛一场，问该学校一共要安排多少场比赛？ 这是一个实际问题，我们可以在平面内画出5个点（任意3个点都不在同一条直线上），如图1所示，其中每个点各代表一个足球队，两个队之间比赛一场就用一条线段把他们连起来，其中连接线段的条数就是安排比赛的场数、这样模型就建立起来了，如何解决这个模型呢？由于每个队都要与其他各队此赛一场，即每个点都要与另外4点连接一条线段，这样5个点应该有5×4＝20条线段，而每两个点之间的线段都重复计算了一次，实际只有10条线段，所以学校一共要安排10场比赛．
学以致用：
（1）由于七年级学生积极性高涨，还要求再比赛，体育组为了让更多的同学参加，体现班级的凝聚力，这次要求每班组建2个球队，且每个队与其他各队比赛一场且本班的两个球队也要比赛．学校一共安排20场比赛，对吗？请借助图2直接判断，若不正确，请直接写出学校一共安排的场数；
（2）根据规律，直接写出如果学校准备组织n个篮球队参加比赛，每两个球队之间都比赛一场，若比赛场数用m表示，直接写出m与n的数量关系式；
问题解决：
（3）D5367是从大同南开往运城北的高铁，若途中任两站的距离都不相等，在这趟高铁中共设有45种不同的票价，求途中有多少个停车点．
【答案】（1）不正确，学校一共安排45场比赛；
（2）mn（n﹣1）；
（3）途中有10个停车点．
【分析】（1）不正确，由七年级的班级数及每班组建2个球队，可得出七年级共组建10个球队，利用学校安排比赛的场数＝组建球队的数量×（组建球队的数量﹣1）÷2，即可求出结论；
（2）利用学校安排比赛的场数＝组建球队的数量×（组建球队的数量﹣1）÷2，即可找出m与n的数量关系式；
（3）设途中有x个停车点，根据在这趟高铁中共设有45种不同的票价，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：（1）不正确，
∵七年级共组建5×2＝10（个）球队，
∴学校一共安排的场数为10×（10﹣1）÷2＝45（场）．
答：不正确，学校一共安排45场比赛．
（2）依题意得：mn（n﹣1）．
（3）设途中有x个停车点，
依题意得：x（x﹣1）＝45，
整理得：x2﹣x﹣90＝0，
解得：x1＝10，x2＝﹣9（不符合题意，舍去）．
答：途中有10个停车点．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及规律型：图形的变化类，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
13．新年到了，为增进同学友谊，某班主任规定本班同学间，每两个人必须相互通电话1次．
（1）若本班人数为20，则共通话 190 次，若本班人数为n（n≥2，且n为正整数），则共通话 n（n﹣1） 次；
（2）若同学们共通话1225次，求该班同学的人数；
（3）王峰同学由打电话问题想到了一个数学问题：若线段AB上共有m个点（不含端点A、B），线段总数为多少呢？请直接写出结论．
【答案】（1）190，n（n﹣1）；
（2）50人；
（3）（m+2）（m+1）条．
【分析】（1）利用通话总次数＝本班人数×（本班人数﹣1）÷2，即可得出结论；
（2）根据同学们共通话1225次，即可得出关于n的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（3）利用线段的总数＝点的个数×（点的个数﹣1）÷2，即可用含m的代数式表示出线段的总数．
【解答】解：（1）20×（20﹣1）÷2＝190（次），
若本班人数为n（n≥2，且n为正整数），则共通话n（n﹣1）次．
故答案为：190；n（n﹣1）．
（2）依题意得：n（n﹣1）＝1225，
整理得：n2﹣n﹣2450＝0，
解得：n1＝50，n2＝﹣49（不符合题意，舍去）．
答：该班同学的人数为50人．
（3）∵线段AB上共有m个点（不含端点A，B），
∴该线段上共有（m+2）个点（含端点A，B），
∴线段总数为（m+2）（m+1）条．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含n的代数式表示出通话总数；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（3）根据各数量之间的关系，用含m的代数式表示出线段总数．
14．某单位准备举办羽毛球邀请赛，赛制为单循环（每两位选手之间各进行一场比赛），计划一共举行45场比赛．
（1）求该邀请赛的参赛选手人数；
（2）为了保证比赛正常进行，该单位需要为每场比赛至少准备4只羽毛球，且计划购买的羽毛球数量为10的整数倍．计划购买的某品牌羽毛球原价4元/只，现有甲，乙两家公司促销该品牌羽毛球．甲公司促销方案：在原价的基础上，在一定范围内每多购买10只，每个的单价可降低0.05元，例如购买20只时的单价为3.9元，最低单价不能低于2.8元；乙公司一律按8折促销．若该单位选择甲，乙中的一家公司购买，经过计算发现，分别选择在这两家公司购买的总金额相差40元，从节约成本的角度考虑，判断该单位应选择哪家公司购买，并求其计划购买的羽毛球数量．
【答案】（1）10位；
（2）该单位应选择甲公司购买，其计划购买的羽毛球数量为200只．
【分析】（1）设该邀请赛邀请了x位参赛选手，利用比赛的总场数＝参赛选手数×（参赛选手数﹣1）÷2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值，即可得出结论；
（2）设计划购买y只羽毛球，由“该单位需要为每场比赛至少准备4只羽毛球，且计划购买的羽毛球数量为10的整数倍”，可得出y的取值范围，根据分别选择在这两家公司购买的总金额相差40元，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：（1）设该邀请赛邀请了x位参赛选手，
依题意得：x（x﹣1）＝45，
整理得：x2﹣x﹣90＝0，
解得：x1＝10，x2＝﹣9（不符合题意，舍去）．
答：该邀请赛邀请了10位参赛选手．
（2）设计划购买y只羽毛球，
∵45×4＝180（只），
∴y≥180，且y为10的整数倍．
根据题意得：4×0.8y﹣（40.05）y＝40，
整理得：y2﹣160y﹣8000＝0，
解得：y1＝200，y2＝﹣40（不符合题意，舍去）．
答：从节约成本的角度考虑，该单位应选择甲公司购买，其计划购买的羽毛球数量为200只．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
类型四：双循环问题
15．某校要组织足球联赛，每两队之间都进行两场比赛．
（1）如果有4支球队参加比赛，那么共进行多少场比赛；
（2）如果全校一共进行90场比赛，那么有多少支球队参加比赛？
【答案】（1）如果有4支球队参加比赛，那么共进行12场比赛．
（2）如果全校一共进行90场比赛，那么有10支球队参加比赛．
【分析】（1）根据参加比赛球队的数量及赛制，即可求出结论；
（2）设有x支球队参加比赛，根据全校一共进行90场比赛，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：（1）4×3＝12（场）．
∴如果有4支球队参加比赛，那么共进行12场比赛．
（2）设有x支球队参加比赛，
依题意，得：x（x﹣1）＝90，
解得：x1＝10，x2＝﹣9（不合题意，舍去）．
答：如果全校一共进行90场比赛，那么有10支球队参加比赛．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
16．一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都赛两场），共要比赛90场，共有多少个队参加比赛？
【答案】共有10支队参加比赛．
【分析】每个队都要与其余队比赛一场，2队之间要赛2场．等量关系为：队的个数×（队的个数﹣1）＝90，把相关数值代入计算即可．
【解答】解：设有x队参加比赛．
依题意，得x（x﹣1）＝90，
（x﹣10）（x+9）＝0，
解得x1＝10，x2＝﹣9（不合题意，舍去）．
答：共有10支队参加比赛．
【点评】本题考查一元二次方程的应用；得到比赛总场数的等量关系是解决本题的关键．
17．阅读下表：解答下列问题：
线段AB上的点数n（包括A、B两点） 图例 线段总条数N
3 3＝2+1
4 6＝3+2+1
5 10＝4+3+2+1
6 15＝5+4+3+2+1
（1）根据表中规律猜测线段总条数N与线段上点数n（包括线段的两个端点）的关系，用含n的代数式表示N，则N＝ ．
（2）2018年“俄罗斯世界杯足球赛”，第一轮小组赛共有32支球队分成8组（每组4个队），每组组内分别进行单循环赛（即每个队与本小组的其它队各比赛一场），求第一轮共要进行几场比赛？
（3）2018年“中国足球超级联赛”，不分小组，所有球队直接进行双循环赛（即每两个队之间按主客场共要进行两场比赛），共要进行240场比赛，求共有几支球队参加比赛？
【答案】见解析
【分析】（1）线段的总条数N与线段上的点数n的关系式N；
（2）先将n＝4代入（1）中的关系式求出每小组4个队单循环赛一共比赛的场数，再乘以组数8即可；
（3）设共有几支球队参加比赛，根据所有球队直接进行双循环赛（即每两个队之间按主客场共要进行两场比赛），共要进行240场比赛列出方程，求解即可．
【解答】解：（1）由题意，得N．
故答案为：；
（2）每小组4个队单循环赛一共比赛：6（场），
共6个组，6×6＝36（场）．
答：第一轮共要进行36场比赛；
（3）设共有几支球队参加比赛，根据题意得
x（x﹣1）＝240，
解得x＝16或x＝﹣15（舍去）．
答：共有16支球队参加比赛．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，线段的定义，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，掌握从特殊向一般猜想的方法，得出线段的总条数N与线段上的点数n的关系式．
18．在一次会议上，参加会议的人之间互送名片，一共送出了210张名片，求参加这次会议的人数．
【答案】参加这次会议的人数有15人．
【分析】设参加这次会议的人数有x人，每人送出礼物（x﹣1）件，共送出x（x﹣1）件，根据题意列出方程，求解即可得到结果．
【解答】解：设参加这次会议的人数有x人，
根据题意得：x（x﹣1）＝210，
解得：x1＝15，x2＝﹣14（不合题意，舍去），
答：参加这次会议的人数有15人．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，正确理解题意，找出等量关系是解决问题的关键．
19．“中超”足球联赛采用的是主客场制的双循环比赛制度（即每两个队之间都要举行两场比赛）．显然参赛球队的个数对比赛总场次数有直接影响，由于各种原因，到底有几支球队参加“中超”联赛，一直是中国足协考虑的问题之一．在目前的基础上，如果减少4支球队，则比赛总场次数将比现在的总场次数的一半还少6场，那么，现在共有多少支球队参加“中超”联赛？
【答案】见解析
【分析】如果有n支球队参加双循环比赛，那么比赛总场次为n（n﹣1）．据此依题意列方程解答．
【解答】解：设现在共有x支球队参加“中超”联赛，（1分）
则：（x﹣4）（x﹣5）x（x﹣1）﹣6 （7分）
即 x2﹣17x+52＝0，（8分）
解得：x1＝4，x2＝13．（11分）
x1＝4不合题意，所以x2＝13．
答：现在共有13支球队参加“中超”联赛．（12分）
【点评】此题考查一元二次方程的应用，主要搞清楚双循环赛制的计算场次方法．
类型五：增长率问题
20．新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，我国新能源汽车近几年出口量逐年增加，2020年出口量为20万台，2022年出口量增加到45万台．
（1）求2020年到2022年新能源汽车出口量的年平均增长率是多少？
（2）按照这个增长速度，预计2023年我国新能源汽车出口量为多少？
【答案】（1）2020年到2022年新能源汽车出口量的年平均增长率是50%；
（2）预计2023年我国新能源汽车出口量为67.5万辆．
【分析】（1）根据2020年某款新能源车销售量为20万辆，到2022年销售量为45万辆，若年增长率x不变，可得关于x的一元二次方程；
（2）利用（1）中所求，进而利用2023年出口量＝2022年出口量×（1+增长率），即可得出答案．
【解答】解：设年平均增长率为x，
根据题意可列方程：20（1+x）2＝45，
解得：x1＝0.5，x2＝﹣2.5（不合题意舍去），
答：2020年到2022年新能源汽车出口量的年平均增长率是50%；
（2）由（1）得，45×（1+50%）＝67.5（万），
答：预计2023年我国新能源汽车出口量为67.5万辆．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
21．某城市2020年底已有绿化面积500公顷，经过努力，绿化面积以相同的增长率逐年增加，到2022年底增加到605公顷，求该城市绿化面积的增长率．
【答案】该城市绿化面积的增长率10%．
【分析】先根据题意列出一元二次方程，即可求出增长率．
【解答】解：设绿化面积的年平均增长率是x，
由题意得：500（1+x）2＝605，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去），
答：该城市绿化面积的增长率10%．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找出相等关系是解题的关键．
22．某绘画艺人第一天的收入为875元，第三天的收入为1260元（每天收入的增长率相同）．
（1）求绘画艺人每天平均收入的增长率是多少？
（2）绘画艺人想制作一幅长30分米，宽20分米的一幅画，其中有一横一竖宽度相同的彩条（阴影部分为彩条无费用），其余空白处进行作画，如图所示，作画区域的费用为每平方分米3元，经预算作画区域的总费用恰好是第四天的收入，求彩条的宽度是多少分米．
【答案】（1）绘画艺人每天平均收入的增长率是20%；
（2）彩条的宽度是2分米．
【分析】（1）设绘画艺人每天平均收入的增长率为x，则第二天的收入是875（1+x）元，第三天的收入是875（1+x）（1+x）元，根据题意可得方程；
（2）设彩条的宽度是y分米，作画区域的面积是1512÷3＝504，所以由长方形的面积公式得到：（30﹣y）（20﹣y）＝504，解方程即可．
【解答】解：（1）设绘画艺人每天平均收入的增长率是x．
875（1+x）2＝1260，
x1＝0.2，或 x2＝﹣2.2（ 不符合题意，舍去），
答：绘画艺人每天平均收入的增长率是20%；
（2）第四天的收入是1260×（1+20%）＝1512（元）．
作画区域的面积是1512÷3＝504（平方分米），
设彩条的宽度是y分米．
（30﹣y）（20﹣y）＝504．
y1＝2，y2＝48（不符合题意，舍去）．
答：彩条的宽度是2分米．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
23．为满足师生阅读需求，学校建立“阅读公园”，并且不断完善藏书数量，今年3月份阅读公园中有藏书5000册，到今年5月份其中藏书数量增长到7200册．
（1）求阅读公园这两个月藏书的平均增长率．
（2）按照这样的增长方式，请你估算出今年6月份阅读公园的藏书量是多少？
【答案】（1）20%；
（2）6000册．
【分析】（1）设阅读公园这两个月藏书的平均增长率为x，利用今年5月份的藏书量＝今年3月份的藏书量×（1+这两年藏书的年平均增长率）2，列出一元二次方程，解之取其正值即可；
（2）利用今年6月份的藏书量＝今年5月份的藏书量×（1+藏书的年平均增长率），即可得出结论．
【解答】解：（1）设藏书平均增长率为x，则：
答：阅读公园这两个月藏书的平均增长率为20%；
（2）5000×（1+20%）＝6000（册）．
答：今年6月份阅读公园的藏书量是6000册
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
24．宜昌百里洲砂梨以个大、肉脆、汁多、味甜被湖北省农业厅命名为“湖北十大名果”，村民小张对A（黄金梨）、B（黄花梨）两种砂梨进行实验种植对比研究，2021年种植A、B两种砂梨各100亩，收获后都以4.8元/kg的价格销售．已知B的平均亩产量比A高25%，两种梨全部售出后总收入为432000元．
（1）求2021年A、B两种砂梨的平均亩产量分别是多少千克？
（2）2022年，小张优化了种植方法，在保持种植面积不变的情况下，A、B的平均亩产量在去年的基础上分别增加a%和2a%．由于B品种深受市场欢迎，销售价在去年的基础上上涨a%，而A品种的售价不变，两种梨全部售出后总收入比2021年增加a%，求a的值．
【答案】（1）2021年A种砂梨的平均亩产量是400千克，B种砂梨的平均亩产量是500千克．
（2）a的值为0或50．
【分析】（1）根据等量关系：A种砂梨总收入+B种砂梨总收入＝总收入，设未知数，表示出两种砂梨的收入列方程求解即可．
（2）根据题意分别表示出优化后A、B两种砂梨平均亩产量，售价和收入，并表示出优化后的总收入，再根据等量关系：A种砂梨总收入+B种砂梨总收入＝总收入列方程求解即可．
【解答】解：（1）设2021年A种砂梨的平均亩产量是x千克，则B种砂梨的平均亩产量是（1+25%）x千克，
由题意得，
4.8×100x+4.8×100×（1+25%）x＝432000．
解得 x＝400，
则（1+25%）×400＝500kg．
答：2021年A种砂梨的平均亩产量是400千克，B种砂梨的平均亩产量是500千克．
（2）由题意可得优化后，A种梨的平均亩产量为：400（1+a%）kg，A种梨的售价为 4.8元/kg，
则100亩A种梨的收入为：4.8×100×400（1+a%）＝192000+1920a，
优化后，B种梨的平均亩产量为：500（1+2a%）kg，B种梨的售价为 4.8（1+a%） 元/kg，
则100亩A种梨的收入为：4.8（1+a%）×100×500（1+2a%）＝240000+7200a+48a2，
优化后，两种梨的总收入为：432000（1a%）＝432000+11520a，
则有：192000+1920a+240000+7200a+48a2＝432000+11520a，
化简得：a2﹣50a＝0，
解得a1＝0，a2＝50．
答：a的值为0或50．
【点评】本题第（1）问考查了一元一次方程的应用，正确的理解题意，找出等量关系是关键．当然也可用二元一次方程组求解．
第（2）问输入增长率问题，考查了一元二次方程的应用，等量关系同（1），很容易找出，但本问数量比较多且代数式复杂，计算有一定的难度，做题时应小心谨慎有条理，注意不要算错．
类型六：销售问题
25．某商店以20元/千克的单价进货了一批商60品，经调查发现，每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系如图中线段AB所示．
（1）求y与x的函数表达式；
（2）要让利给消费者且使每天的销售利润达到800元，销售单价应定为每千克多少元？
【答案】（1）y＝﹣x+80；
（2）销售单价应定为每千克40元或60元．
【分析】（1）观察函数图象找出点的坐标，利用待定系数法可求出y与x的函数表达式；
（2）根据总利润＝每千克利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）设y与x的函数表达式为y＝kx+b（k≠0），
将（20，60），（80，0）代入y＝kx+b，得：，
解得：，
∴y与x的函数表达式为y＝﹣x+80．
（2）根据题意得：（x﹣20）（﹣x+80）＝800，
整理得：x2﹣100x+2400＝0，
解得：x1＝40，x2＝60．
答：销售单价应定为每千克40元或60元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
26．某商场销售一批名牌衬衫，每件进价为100元，若每件售价为160元，则平均每个月可售出100件，经调查发现，每件衬衫每降价2元，商场平均每月可多售出10件，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，设每件衬衫降价x元．
（1）用含x的代数式表示每月可售出的衬衫件数为 （100+5x）件 ；
（2）若商场每月要盈利7875元，请你帮助商场算一算，每件衬衫应降价多少元？
【答案】（1）（100+5x）件；
（2）每件衬衫应降价25元．
【分析】（1）根据题意可以用含x的代数式表示每天可售出的衬衫；
（2）以利润为等量关系列出方程解答即可；
【解答】解：（1）每件衬衫每降价2元，商场平均每月可多售出10件，
∴每件衬衫降价x元，每月可售出衬衫件数为（100+5x）件．
故答案为：（100+5x）件；
（2）每件衬衫降价x元，由题意得，
（160﹣x﹣100）（100+5x）＝7875
解得x1＝25，x2＝15
∵要尽快减少库存
∴x＝25
答：每件衬衫应降价25元
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
27．2022北京冬奥会期间，某网店直接从工厂购进A、B两款冰墩墩钥匙扣，进货价和销售价如下表：（注：利润＝销售价﹣进货价）
类别价格 A款钥匙扣 B款钥匙扣
进货价（元/件） 30 25
销售价（元/件） 45 37
（1）网店第一次用850元购进A、B两款钥匙扣共30件，求两款钥匙扣分别购进的件数？
（2）冬奥会临近结束时，网店打算把B款钥匙扣调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元？
【答案】（1）购进20件A款钥匙扣，10件B款钥匙扣；
（2）每件30元或34元．
【分析】（1）设购进x件A款钥匙扣，y件B款钥匙扣，利用进货总价＝进货单价×进货数量，结合“网店用850元购进A、B两款钥匙扣共30件”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设将销售价定为每件m元，则每件的销售利润为（m﹣25）元，平均每天可售出（78﹣2m）件，利用总利润＝每件的销售利润×日销售量，可列出关于m的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）设购进x件A款钥匙扣，y件B款钥匙扣，
根据题意得：，
解得：．
答：购进20件A款钥匙扣，10件B款钥匙扣；
（2）设将销售价定为每件m元，则每件的销售利润为（m﹣25）元，平均每天可售出4+2（37﹣m）＝（78﹣2m）件，
根据题意得（m﹣25）（78﹣2m）＝90，
整理得：m2﹣64m+1020＝0，
解得：m1＝30，m2＝34．
答：将销售价定为每件30元或34元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
28．年糕饺是宁波的特色美食，其以年糕为皮，可咸可甜的馅料裹于其中，口感软糯平实．今有某店铺销售年糕饺，通过分析销售情况发现，年糕饺的日销售量y（盒）是销售单价x（元/盒）的一次函数，销售单价、日销售量的部分对应值如下表，已知销售单价不低于成本价．当店铺将销售单价定为18元/盒时，日销售利润为750元．
销售单价x（元/盒） 15 17
日销售量y（盒） 150 100
（1）求年糕饺的日销售量y（盒）关于销售单价x（元/盒）的函数表达式．
（2）求年糕饺每盒的成本价．
（3）端午节，为了尽可能让利顾客，扩大销售，店铺采用了降价促销的方式，当销售单价x（元/盒）定为多少时，日销售利润为1000元？
【答案】（1）y＝﹣25x+525；
（2）8元/盒；
（3）13元/盒．
【分析】（1）根据给定数据，利用待定系数法，即可求出y关于x的函数表达式；
（2）利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出当x＝18时y的值，利用每盒年糕饺的销售利润＝总利润÷日销售量，可求出每盒年糕饺的销售利润，再利用每盒年糕饺的成本＝销售单价﹣成本，即可求出结论；
（3）利用总利润＝每盒的销售利润×日销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之可求出x的值，再结合要尽可能让利顾客，即可得出结论．
【解答】解：（1）设y关于x的函数表达式为y＝kx+b（k≠0），
将（15，150），（17，100）代入y＝kx+b得：，
解得：，
∴y关于x的函数表达式为y＝﹣25x+525；
（2）当x＝18时，y＝﹣25×18+525＝75，
∴每盒年糕饺的销售利润为750÷75＝10（元），
∴每盒年糕饺的成本为18﹣10＝8（元）．
答：每盒年糕饺的成本为8元；
（3）根据题意得：（x﹣8）（﹣25x+525）＝1000，
整理得：x2﹣29x+208＝0，
解得：x1＝13，x2＝16，
∵要尽可能让利顾客，
∴x＝13．
答：当销售单价x（元/盒）定为13时，日销售利润为1000元．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）利用待定系数法，求出y关于x的函数关系式；（2）根据各数量之间的关系，列式计算；（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
29．某文具店新进一批体育中考专用排球，每个排球的进价为40元，原计划以每个60元的价格销售，为更好地满足学生的需求，现决定降价销售，已知这种排球销售量y（个）与每个排球降价x（元）（0＜x＜20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示：
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）在这次排球销售中，该文具店获利1760元，这种排球每个的实际售价多少元？
【答案】（1）y＝10x+100；
（2）48元．
【分析】（1）根据图象上点的坐标，利用待定系数法，即可求出y与x之间的函数关系式；
（2）利用总利润＝每个排球的销售利润×销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再将其符合题意的值代入（60﹣x）中，即可求出结论．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
将（1，110），（3，130）代入y＝kx+b得：，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式为y＝10x+100；
（2）根据题意得：（60﹣x﹣40）（10x+100）＝1760，
整理得：x2﹣10x﹣24＝0，
解得：x1＝12，x2＝﹣2（不符合题意，舍去），
∴60﹣x＝60﹣12＝48．
答：这种排球每个的实际售价是48元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）利用待定系数法，求出y与x之间的函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
30．某工厂每月生产800件产品，每件产品的成本为100元，分配给线上旗舰店和线下直营店两个渠道销售．线上旗舰店的产品售价y（元）与月销售量x（件）满足关系：．线下直营店的产品按照定价190元出售，并进行促销活动：月销售量不超过400件的部分，每件产品赠送成本为60元的礼品，可全部售完；超过400件的部分，因礼品已送完，则需要一次性投入成本为5000元的广告进行宣传，也可全部售完．
（1）设线上旗舰店的月销售量为a件，线下直营店的月销售量为b件，分别用含a、b的代数式表示：
①线上销售的a件产品的利润为 （a2+130a） 元；
②若0≤b≤400，则线下销售的b件产品的利润为 30b 元；若400＜b≤800，则线下销售的b件产品的利润为 （190b﹣69000） 元．
（2）假设工厂每月生产的800件产品都能售出，请你设计一种分配方案，使得销售总利润为45200元．（注：要有解答过程）
【答案】（1）①（a2+130a）；
②30b，（190b﹣69000）；
（2）应分配线上旗舰店销售360件，线下直营店销售440件，使得销售总利润为45200元．
【分析】（1）①利用线上销售的a件产品的利润＝（销售单价﹣成本）×销售数量，可用含a的代数式表示出线上销售的a件产品的利润；
②若0≤b≤400，利用线下销售的b件产品的利润＝（销售单价﹣成本﹣赠送礼品的成本）×销售数量，可用含b的代数式表示出线下销售的b件产品的利润；若400＜b≤800，利用线下销售的b件产品的利润＝（销售单价﹣成本﹣赠送礼品的成本）×400+销售单价×超出400件的部分﹣5000，即可用含b的代数式表示出线下销售的b件产品的利润；
（2）设线上旗舰店的月销售量为m件，则线下直营店的月销售量为（800﹣m）件，分0＜800﹣m≤400及400＜800﹣m≤800两种情况考虑，当0＜800﹣m≤400，即400≤m＜800时，根据销售总利润为46200元，可列出关于m的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣38400＜0，可得出该方程无实数根，当400＜800﹣m≤800，即0≤m＜400时，根据销售总利润为46200元，可列出关于m的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：（1）①根据题意得：线上销售的a件产品的利润为（a+230﹣100）a＝（a2+130a）元．
故答案为：（a2+130a）；
②根据题意得：若0≤b≤400，则线下销售的b件产品的利润为（190﹣100﹣60）b＝30b元；
若400＜b≤800，则线下销售的b件产品的利润为（190﹣100﹣60）×400+190（b﹣400）﹣5000＝（190b﹣69000）元．
故答案为：30b，（190b﹣69000）；
（2）设线上旗舰店的月销售量为m件，则线下直营店的月销售量为（800﹣m）件，
当0＜800﹣m≤400，即400≤m＜800时，m2+130m+30（800﹣m）＝45200，
整理得：m2﹣800m+169600＝0，
∵Δ＝（﹣800）2﹣4×1×169600＝﹣38400＜0，
∴该方程没有实数根；
当400＜800﹣m≤800，即0≤m＜400时，m2+130m+190（800﹣m）﹣69000＝45200，
整理得：m2+480m﹣302400＝0，
解得：m1＝360，m2＝﹣840（不符合题意，舍去），
∴800﹣m＝800﹣360＝440，
∴应分配线上旗舰店销售360件，线下直营店销售440件，使得销售总利润为45200元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用、根的判别式以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含a（或b）的代数式表示出销售利润；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
31．第19届亚运会即将在杭州举行，某商店购进一批亚运会纪念品进行销售，已知每件纪念品的成本是30元．如果销售单价定为每件40元，那么日销售量将达到100件．据市场调查，销售单价每提高1元，日销售量将减少2件．
（1）若销售单价定为每件45元，求每天的销售利润；
（2）要使每天销售这种纪念品盈利1600元，同时又要让利给顾客，那么该纪念品的售价单价应定为每件多少元？
【答案】（1）1350元；
（2）每件50元．
【分析】（1）利用每天的销售利润＝每件的销售利润×日销售量，即可求出结论；
（2）设该纪念品的售价单价应定为每件x元，则每件的销售利润为（x﹣30）元，日销售量为100﹣2（x﹣40）＝（180﹣2x）件，利用每天的销售利润＝每件的销售利润×日销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：（1）根据题意得：（45﹣30）×[100﹣2×（45﹣40）]
＝15×[100﹣2×5]
＝15×[100﹣10]
＝15×90
＝1350（元）．
答：每天的销售利润为1350元；
（2）设该纪念品的售价单价应定为每件x元，则每件的销售利润为（x﹣30）元，日销售量为100﹣2（x﹣40）＝（180﹣2x）件，
根据题意得：（x﹣30）（180﹣2x）＝1600，
整理得：x2﹣120x+3500＝0，
解得：x1＝50，x2＝70，
又∵要让利给顾客，
∴x＝50．
答：该纪念品的售价单价应定为每件50元．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
32．长沙市政府出台了一系列“乡村振兴战略”优惠政策，使广大农户收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种农产品的成本价为每千克20元，经市场调查发现，该农产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y＝﹣2x+80．设这种农产品每天的销售利润为W元．
（1）求W与x之间的函数关系式；
（2）若物价部门规定这种农产品的销售价不得高于30元/千克，该农户想要每天获得150元的销售利润，则销售价应定为多少元/千克？
【答案】（1）W＝﹣2x2+120x﹣1600；
（2）销售价应定为25元/千克．
【分析】（1）利用这种农产品每天的销售利润＝每千克的销售利润×每天的销售量，即可找出W与x之间的函数关系式；
（2）根据该农户每天获得150元的销售利润，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：（1）根据题意得：W＝（x﹣20）（﹣2x+80），
∴W＝﹣2x2+120x﹣1600；
（2）根据题意得：﹣2x2+120x﹣1600＝150，
整理得：x2﹣60x+875＝0，
解得：x1＝25，x2＝35（不符合题意，舍去）．
答：销售价应定为25元/千克．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及二次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，找出W关于x的函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
33．某服装店销售一种T恤衫，每件进价为40元．经过市场调查，该T恤衫每周的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足如下的一次函数关系：当销售单价为60元时，每周的销售量为400件；当销售单价为80元时，每周的销售量为200件．
（1）求y与x之间的函数关系式．
（2）当销售单价定为多少时，该服装店每周销售这种T恤衫所获得的利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）y＝﹣10x+1000；
（2）销售单价定为70元时，服装店每周销售这种T恤衫所获得的利润最大，最大利润是9000元．
【分析】（1）利用待定系数法求解可得；
（2）根据所获得总利润＝每件利润×销售数量列出函数解析式，配方成顶点式可得答案．
【解答】解：（1）设y与x的关系式为y＝kx+b，
把（60，400）与（80，200）代入，
得：，解得：，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣10x+1000；
（2）由题意可得：
w＝（x﹣40）（﹣10x+1000）
＝﹣10x2+1400x﹣40000
＝﹣10（x﹣70）2+9000，
∵﹣10＜0，
∴当x＝70时，w最大，w最大＝9000（元），
答：销售单价定为70元时，服装店每周销售这种T恤衫所获得的利润最大，最大利润是9000元．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式，根据销售问题中关于利润的相等关系列出函数解析式及二次函数的性质．
34．某商场服装部销售一种名牌衬衫，平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了扩大销售，减少库存，商场决定降价销售，经调查，每件降价3元时，平均每天可多卖出6件．
（1）设降价x元，则现在每天可销售衬衫 （30+2x） 件，每件的利润是 （40﹣x） 元．（用x的代数式表示）
（2）若商场要求该服装部每天盈利1400元，问每件要降价多少元？
（3）若商场要求该服装部每天盈利1600元，问这个要求能否实现？请说说你的理由．
【答案】见解析
【分析】（1）设每件衬衫应降价x元，则每件盈利（40﹣x元），每天可以售出（30+2x）件；
（2）由（1）可得商场平均每天要盈利（40﹣x）（30+2x）元，根据商场平均每天要盈利＝1400元，为等量关系列出方程求解即可．
（3）假设能达到，根据商场平均每天要盈利＝1600元，为等量关系列出方程，看该方程是否有解，有解则说明能达到，否则不能．
【解答】解：（1）设降价x元，则现在每天可销售衬衫（30+2x）件，每件的利润是（40﹣x）元；
（2）由题意，得（40﹣x）（30+2x）＝1400，
即：（x﹣5）（x﹣20）＝0，
解得x1＝5，x2＝20，
为了扩大销售量，减少库存，所以x的值应为20，
所以，若商场要求该服装部每天盈利1400元，每件要降价20元；
（3）假设能达到，由题意，得（40﹣x）（30+2x）＝1600，
整理，得x2﹣25x+200＝0，
△＝252﹣4×1×200＝625﹣800＝﹣175＜0，
即：该方程无解，
所以，商场要求该服装部每天盈利1600元，这个要求不能实现．
故答案为：（30+2x），（40﹣x）．
【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于理解清楚题意找出等量关系列出方程求解，另外还用到的知识点有“根的判别式”．
类型七：图形面积问题
35．如图，用80m长的篱笆在墙边（墙长40米）围一个矩形草坪，当矩形面积是750m2时，它的长和宽应为多少？
【答案】矩形草坪的长为30米，宽为25米．
【分析】设AB边的长为x米，则BC边的长为（80﹣2x）米，根据矩形草坪的面积是750m2，可列出关于x的一元二次方程，解之可求出x的值，再结合墙长40米，即可得出结论．
【解答】解：设AB边的长为x米，则BC边的长为（80﹣2x）米，
根据题意得：x（80﹣2x）＝750，
整理得：x2﹣40x+375＝0，
解得：x1＝15，x2＝25，
当x＝15时，80﹣2x＝80﹣2×15＝50＞40，不符合题意，舍去；
当x＝25时，80﹣2x＝80﹣2×25＝30＜40，符合题意．
答：矩形草坪的长为30米，宽为25米．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
36．如图，用总长48m的篱笆依墙（墙足够长）围成如图所示的①②③三块矩形区域，且三块区域面积相等．
（1）的值为 2 ；的值为 2 ；
（2）当矩形ABCD的面积为108m2时，求BC的长．
【答案】（1）2，2；
（2）12m．
【分析】（1）由矩形①和矩形②的面积相等，可得出AH＝DH，结合BC＝AH+DH，可得出2；由矩形①和矩形③的面积相等且BC＝2AH，可得出AE＝2EB，进而可得出2；
（2）设EB＝xm，则AE＝2xm，BC＝（24﹣4x）m，根据矩形ABCD的面积为108m2，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再将其代入（24﹣4x）中，即可求出BC的长．
【解答】解：（1）∵矩形①和矩形②的面积相等，
∴AH＝DH，
又∵BC＝AH+DH＝2AH，
∴2；
∵矩形①和矩形③的面积相等，且BC＝2AH，
∴AE＝2EB，
∴2．
故答案为：2，2；
（2）设EB＝xm，则AE＝2xm，BC（24﹣4x）m，
根据题意得：（2x+x）（24﹣4x）＝108，
整理得：x2﹣6x+9＝0，
解得：x1＝x2＝3，
∴24﹣4x＝24﹣4×3＝12．
答：BC的长为12m．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
37．某学校计划利用一片空地为学生建一个面积为80m2的矩形车棚，其中一面靠墙（墙的可用长度为12m），已知现有的木板材料可使新建板墙的总长为26m．
（1）根据学校的要求，在与墙平行的一面开一个2米宽的门（如图1），那么这个矩形车棚相邻两边长分别为多少米；
（2）如图2，为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路，使得停放自行车的面积为54m2，那么小路的宽度为多少米．
【答案】（1）10米、8米；
（2）1米．
【分析】（1）设与墙垂直的边长为x米，则与墙平行的边长为（26+2﹣2x）米，根据矩形车棚的面积为80m2，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合墙的可用长度为12m，即可得出结论；
（2）设小路的宽度为y米，则剩余部分可合成长为（10﹣y）米，宽为（8﹣2y）米的矩形，根据停放自行车的面积为54m2，可列出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：（1）设与墙垂直的边长为x米，则与墙平行的边长为（26+2﹣2x）米，
根据题意得：x（26+2﹣2x）＝80，
整理得：x2﹣14x+40＝0，
解得：x1＝4，x2＝10，
当x＝4时，26+2﹣2x＝26+2﹣2×4＝20＞12，不符合题意，舍去；
当x＝10时，26+2﹣2x＝26+2﹣2×10＝8＜12，符合题意．
答：这个矩形车棚相邻两边长分别为10米、8米；
（2）设小路的宽度为y米，则剩余部分可合成长为（10﹣y）米，宽为（8﹣2y）米的矩形，
根据题意得：（10﹣y）（8﹣2y）＝54，
整理得：y2﹣14y+13＝0，
解得：y1＝1，y2＝13（不符合题意，舍去）．
答：小路的宽度为1米．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
38．根据以下素材，完成探索任务．
探索果园土地规划和销售利润问题
素材1 某农户承包了一块长方形果园ABCD，图1是果园的平面图，其中AB＝200米，BC＝300米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为2x米，左右两条纵向道路的宽度都为x米，中间部分种植水果．已知道路的路面造价是50元/m2；出于货车通行等因素的考虑，道路宽度x不超过12米，且不小于5米．
素材2 该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场调查，草莓培育一年可产果，已知每平方米的草莓销售平均利润为100元；果园每年的承包费为25万元，期间需一次性投入33万元购进新苗，每年还需25万元的养护、施肥、运输等其余费用．
问题解决
任务1 解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响． （1）请直接写出纵向道路宽度x的取值范围． （2）若中间种植的面积是44800m2，则路面设置的宽度是否符合要求．
任务2 解决果园种植的预期利润问题．（净利润＝草莓销售的总利润﹣路面造价费用﹣果园承包费用﹣新苗购置费用﹣其余费用） （3）经过1年后，农户是否可以达到预期净利润400万元？请说明理由．
【答案】（1）5≤x≤12；
（2）路面设置的宽度符合要求；
（3）经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元，理由见解答．
【分析】（1）由“道路宽度x不超过12米，且不小于5米”，可得出x的取值范围；
（2）根据中间种植的面积是44800m2，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，结合（1）的结论，即可得出路面设置的宽度符合要求；
（3）经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元，假设经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元，根据“经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元”，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，结合（1）的结论，可得出x＝5符合题意，假设成立，即即经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元．
【解答】解：（1）∵道路宽度x不超过12米，且不小于5米，
∴纵向道路宽度x的取值范围为5≤x≤12；
（2）根据题意得：（300﹣2x）（200﹣4x）＝44800，
整理得：x2﹣200x+1900＝0，
解得：x1＝10，x2＝190，
∵5≤x≤12，
∴x＝10符合题意，
∴路面设置的宽度符合要求；
（3）经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元，理由如下：
假设经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元，
根据题意得：100（300﹣2x）（200﹣4x）﹣50×[2×300×2x+2（200﹣4x）x]﹣250000﹣330000﹣250000＝4000000，
整理得：x2﹣200x+975＝0，
解得：x1＝5，x2＝195，
又∵5≤x≤12，
∴x＝5符合题意，
∴假设成立，
即经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
39．
如何利用闲置纸板箱制作储物盒
素材1 如图1，图中是小琴家需要设置储物盒的区域，该区域可以近似看成一个长方体，底面尺寸如图2所示．
素材2 如图是利用闲置纸板箱拆解出的①，②两种均为acm（a＜50cm）长方形纸板．
长方形纸板① 长方形纸板②
小琴分别将长方形纸板①和②以不同的方式制作储物盒．
长方形纸板①的制作方式 长方形纸板②制作方式
裁去角上4个相同的小正方形，折成一个无盖长方体储物盒． 将纸片四个角裁去4个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体储物盒．
目标1 熟悉材料 熟悉按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒能够无缝障的放入储物区域，且恰好没有延伸到过道，则长方形纸板宽a的为 40 ．
目标2 利用目标1计算所得的数据a，进行进一步探究．
初步应用 按照长方形纸板①的制作方式，为了更方便地放入或取出储物盒，盒子四周需要留出一定的空间，当储物盒的底面积是936cm2，求储物盒的容积．
储物收纳 按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，若EF和HG两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为702cm2．如图，是家里一个玩具机械狗的实物图和尺寸大小，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该储物盒．
【答案】（1）储物盒的容积为6552立方厘米；（2）玩具机械狗不能完全放入该储物．
【分析】（1）由制作过程知小正方形的边长为5（cm），a＝40（cm），设小正方形的边长为xcm，列出方程可求解；
（2）设小长方形的宽为xcm，（x＜20），长为y cm，列出方程组可求解．
【解答】（1）解：储物区域的长为40cm，由于收纳盒可以完全放入储物区域，
则图1中的四角裁去小正方形的边长为（50﹣40）÷2═5（cm），
则a＝收纳盒的宽+2×小正方形的边长＝30+2×5＝40（cm），
由图2知，设小正方形的边长为xcm，
由题意可得：（50﹣2x）（40﹣2x）＝936，
解得：x＝7，
体积为v＝936×7＝6552（cm3），
答：储物盒的容积为6552立方厘米；
（2）设小长方形的宽为xcm，（x＜20），长为y cm，
由题意可得：，
解得：
∴小长方形的宽为11cm
当EH，HG之间两边恰好重合且无重叠部分，收纳盒的高为11＜18，
∴玩具机械狗也不能完全放入该储物；
综上所述：玩具机械狗不能完全放入该储物．
答：玩具机械狗不能完全放入该储物．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，合理将实际问题转化成方程（组）是解决此题的关键．
类型八：动态几何问题
40．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20cm，BC＝15cm．现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动．如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动的时间为ts，求：
（1）用含t的代数式表示Rt△CPQ的面积S；
（2）当t＝3秒时，这时，P、Q两点之间的距离是多少？
（3）当t为多少秒时，SS△ABC？
【答案】（1）S＝20t﹣4t2（0≤t≤5）；
（2）10cm；
（3）2或3．
【分析】（1）若运动的时间为ts，则CP＝（20﹣4t）cm，CQ＝2tcm，利用三角形的面积计算公式，即可得出S＝20t﹣4t2，再结合各线段长度非负，即可得出t的取值范围；
（2）将t＝3代入（20﹣4t）及2t中可求出CP，CQ的长，再利用勾股定理，即可求出PQ的长；
（3）利用三角形的面积计算公式，结合SS△ABC，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出t的值．
【解答】解：（1）若运动的时间为ts，则CP＝（20﹣4t）cm，CQ＝2tcm，
∴SCP CQ（20﹣4t）×2t＝20t﹣4t2．
又∵，
∴0≤t≤5．
∴Rt△CPQ的面积S＝20t﹣4t2（0≤t≤5）．
（2）当t＝3时，CP＝20﹣4t＝20﹣4×3＝8（cm），CQ＝2t＝2×3＝6（cm），
∴PQ10（cm）．
（3）依题意得：20t﹣4t215×20，
整理得：t2﹣5t+6＝0，
解得：t1＝2，t2＝3．
∴t为2或3时，S＝S△ABC．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式、代数式求值以及勾股定理，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含t的代数式表示出S；（2）利用勾股定理，求出PQ的长；（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
41．如图A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B点为止，点Q以2cm/s的速度向D点移动，当点P到达B点时点Q随之停止运动．
（1）AP＝ 3tcm ，BP＝ （16﹣3t）cm ，CQ＝ 2tcm ，DQ＝ （16﹣2t）cm （用含t的代数式表示）；
（2）t为多少时，四边形PBCQ的面积为33cm2；
（3）t为多少时，点P和点Q的距离为10cm．
【答案】（1）3tcm，（16﹣3t）cm，2tcm，（16﹣2t）cm；
（2）t＝5；
（3）t或．
【分析】（1）当运动时间为ts时，根据点P，Q的运动方向及运动速度，即可用含t的代数式表示出各线段的长度；
（2）利用梯形的面积计算公式，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出t的值；
（3）过点Q作QE⊥AB于点E，则PE＝|16﹣5t|，利用勾股定理，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）当运动时间为ts时，AP＝3tcm，BP＝（16﹣3t）cm，CQ＝2tcm，DQ＝（16﹣2t）cm．
故答案为：3tcm；（16﹣3t）cm；2tcm；（16﹣2t）cm．
（2）依题意得：[（16﹣3t）+2t]×6＝33，
整理得：16﹣t＝11，
解得：t＝5.
答：当t为5时，四边形PBCQ的面积为33cm2．
（3）过点Q作QE⊥AB于点E，则PE＝|（16﹣3t）﹣2t|＝|16﹣5t|，如图所示．
依题意得：|16﹣5t|2+62＝102，
即（16﹣5t）2＝82，
解得：t1，t2．
答：当t为或时，点P和点Q的距离为10cm．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次方程的应用、列代数式以及勾股定理，解题的关键是：（1）根据各线段之间的关系，用含t的代数式表示出各线段的长度；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
42．如图，AO＝BO＝6厘米，OC是一条射线，OC⊥AB．一动点P从点A以1厘米/秒的速度向点B爬行，另一动点Q从点O以2厘米/秒的速度沿射线OC方向爬行，它们同时出发，当点P到达B点时点Q也停止运动．设运动时间为t秒．
（1）直接写出OQ＝ 2t （用t的代数式）．
（2）经过多少秒，△POQ的面积为8平方厘米．
（3）当t＝ ﹣4+2或 时，△PBQ为等腰三角形（直接写出答案）
【答案】见解析
【分析】（1）由路程＝速度×时间就可以直接得出结论；
（2）由三角形的面积公式，分情况讨论，当P在AO上和P在BO上分别计算出结论；
（3）当PB＝BQ时，由勾股定理表示出BQ，然后建立方程求出其解即可．
【解答】解：（1）由函数图象，得
OQ＝2t，
故答案为：2t；
（2）当P在AO上，
，
解得：t1＝2，t2＝4．
∵t1＝2，t2＝4在0＜t＜6范围内，
∴t1＝2，t2＝4．
P在BO上，
8，
解得：t3＝3，t4＝3．
∵t3＝3在6＜t＜12范围内，
∴t3＝3；
（3）在Rt△BOQ中，由勾股定理，得
BQ2＝4t2+36，
BP＝12﹣t，BP2＝144﹣24t+t2，
∵△PBQ是等腰三角形，
∴PB＝BQ，
∴PB2＝BQ2，
∴4t2+36＝144﹣24t+t2，
解得：t1＝﹣4+2，t2＝﹣4﹣2（舍去）．
当PB＝PQ时，BP2＝144﹣24t+t2，PQ2＝4t2+（6﹣t）2，
t1，t2（舍去）．
故答案为：﹣4+2或．
【点评】本题考查了动点问题的运用，三角形的面积公式的运用，勾股定理的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时运用直角三角形的性质及勾股定理是关键．
43．探究：已知，如图是一个三角形点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有一个点，第二行有两个点，…，第n行有n个点…，容易发现，前4行共有10个点．
（1）若三角形点阵中前a行共有45个点，求a的值；
（2）拓展：如果三角形点阵中各行的点数依次换为2，4，6，…，2n，…，
①求这个三角形点阵中前n行共有多少点？（用含n的代数式表示）；
②这个三角形点阵中前n行点数的和，能是600吗？若能，求出n；若不能，请说明理由．
【答案】（1）a＝9．
（2）①n（n+1）．
②三角形点阵中前n行的点数的和能是600．理由见解答部分．
【分析】（1）前a行共有（1+2+3+4+5+…+a）个点，然后求它们的和，前a行共有个点，则45，然后解方程得到a的值；
（2）①根据2+4+6+…+2n＝2（1+2+3+…+n）＝2，求n的值，进而得出这个三角形点阵中前n行点数和；
②由①得n（n+1）＝600，求n的值即可．
【解答】解：（1）由题意可得1+2+3+4+5+ +a＝45，即．
整理得a2+a﹣90＝0，（a+10）（a﹣9）＝0，
∴a1＝﹣10，a2＝9．
∵a为正整数，
∴a＝9．
（2）①这个三角形点阵中前n行点数和为2+4+6+ +2n＝2（1+2+3+ +n）＝n（n+1）．
②三角形点阵中前n行的点数的和能是600．理由如下：
依题意，得n（n+1）＝600，即n2+n﹣600＝0，（n﹣24）（n+25）＝0，
解得，n1＝24，n2＝﹣25．
∵n为正整数，
∴n＝24．
故三角形点阵中前n行的点数的和能是600，n＝24．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用以及规律型：图形的变化，本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．
44．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝4cm，一动点P从C出发沿着CB边以1cm/s的速度运动，另一动点Q从A出发沿着AC边以2cm/s的速度运动，P，Q两点同时出发，运动时间为t（s）．
（1）当t为几秒时，△PCQ的面积是△ABC面积的？
（2）△PCQ的面积能否为△ABC面积的一半？若能，求出t的值；若不能，说明理由．
【答案】见解析
【分析】（1）根据三角形的面积公式可以求出时间t；
（2）由等量关系S△PCQS△ABC列方程求出t的值，但方程无解．
【解答】解：（1）∵S△PCQt（8﹣2t），S△ABC4×8＝16，
∴t（8﹣2t）＝16，
整理得t2﹣4t+4＝0，
解得t＝2．
答：当t＝2s时△PCQ的面积为△ABC面积的；
（2）当S△PCQS△ABC时，t（8﹣2t）＝16，
整理得t2﹣4t+8＝0，
Δ＝（﹣4）2﹣4×1×8＝﹣16＜0，
∴此方程没有实数根，
∴△PCQ的面积不可能是△ABC面积的一半．
【点评】考查三角形的面积公式及解一元二次方程，将数学知识运用在实际问题中．2023-2024学年北师大版数学九年级上册·重点题型全归纳
专题 一元二次方程的应用【八大题型分类归纳】
思维导图：
类型一：数字问题
1．有一个两位数，它们的十位数字与个位数字之和为8，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘以原来的两位数就得1855，求这个两位数．
2．2021年7月1日是建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用小方框圈出四个数（如图所示），圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积能否为33或65，若能求出最小数；若不能请说明理由．
3．用一根长为12cm的绳子能否围成一个两直角边长度相差1cm的直角三角形，若能，求出这一个直角三角形的三边长；若不能，说明理由．
4．设一元二次方程x2+bx+c＝0．在下面的四组条件中选择其中一组b，c的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程．
①b＝2，c＝1；②b＝3，c＝1；③b＝3，c＝﹣1；④b＝2，c＝2．
注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分．
5．阅读探究有关个位数是5的整数的平方简便计算问题．
观察下列算式：
152＝1×2×100+25＝225；252＝2×3×100+25＝625；352＝3×4×100+25＝1225…
（1）请你写出952的简便计算过程及结果；
（2）其实这种方法也可以推广到个位数是5的三位数的平方，证明略．
①请你写出1152的简便计算过程及结果．
②用计算或说理的方式确定9852﹣8952的结果末两位数字是多少？
（3）已知一个个位数是5的整数的平方是354025，请用方程的相关知识求这个数．
类型二：传播问题
6．春季是传染病多发季节.2023年3月，我国某地甲型流感病毒传播速度非常快，开始有4人被感染，经过两轮传播后，就有256人患了甲型流感．若每轮传染的速度相同，求每轮每人传染的人数．
7．卫生部疾病控制专家经过调研提出，如果1人传播10人以上而且被传染的人已经确定为新冠肺炎，那么这个传播者就可以称为“超级传播者”．如果某镇有1人不幸成为新冠肺炎病毒的携带者，假设每轮传染的人数相同，经过两轮传染后共有144人成为新冠肺炎病毒的携带者．
（1）经过计算，判断最初的这名病毒携带者是“超级传播者”吗？请先写出结论，再说明理由；
（2）若不加以控制传染渠道，经过3轮传染，共有多少人成为新冠肺炎病毒的携带者？
8．为了响应“践行核心价值观，传递青春正能量”的号召，小颖决定走入社区号召大家参加“传递正能量志愿服务者”．假定从一个人开始号召，每一个人每周能够号召相同的m个人参加，被号召参加的人下一周会继续号召，两周后，将有121人被号召成为“传递正能量志愿服务者”．
（1）求出m的值；
（2）经过计算后，小颖、小红、小丽三人开始发起号召，但刚刚开始，他们就发现了问题，实际号召过程中，不是每一次号召都可以成功，而他们三人的成功率也各不相同，已知小红的成功率比小颖的两倍少10%，第一周后小丽比小颖多号召2人，三人一共号召17人，其中小颖号召了n人．请分别求出他们三人号召的成功率．
9．随着通信事业的日益发达，信息传播越来越快捷，如果有一个人收到一条信息后，转发了此信息，收到转发的信息的人中有会将其再转发给其他没有此信息的人，经过两轮转发后，共有169人收到此信息，请问平均每人每轮转发给几个人？
类型三：单循环问题
10．参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了55份合同，共有多少家公司参加商品交易会？
11．为增强同学们的体质，丰富校园文化体育生活，富川县某校八年级举行了篮球比赛，比赛以循环赛的形式进行，即每个班级之间都要比赛一场，共比赛了45场．
（1）问该校八年级共有几个班？
（2）篮球比赛胜一场得2分，负一场得1分，小奉同学所在的2101班要想获得不低于14分的积分，至少要取得多少场胜利？
12．阅读与思考
方法介绍： 同学们、生活中的很多实际问题，我们往往抽象成数学问题，然后通过数形结合，建立数学模型的方式来解决． 例如：我校七年级有五个班在落实“双减”政策，丰富课余生活，每个班只能组建一个球队，代表该班参加比赛，每个队都要和其他各队比赛一场，问该学校一共要安排多少场比赛？ 这是一个实际问题，我们可以在平面内画出5个点（任意3个点都不在同一条直线上），如图1所示，其中每个点各代表一个足球队，两个队之间比赛一场就用一条线段把他们连起来，其中连接线段的条数就是安排比赛的场数、这样模型就建立起来了，如何解决这个模型呢？由于每个队都要与其他各队此赛一场，即每个点都要与另外4点连接一条线段，这样5个点应该有5×4＝20条线段，而每两个点之间的线段都重复计算了一次，实际只有10条线段，所以学校一共要安排10场比赛．
学以致用：
（1）由于七年级学生积极性高涨，还要求再比赛，体育组为了让更多的同学参加，体现班级的凝聚力，这次要求每班组建2个球队，且每个队与其他各队比赛一场且本班的两个球队也要比赛．学校一共安排20场比赛，对吗？请借助图2直接判断，若不正确，请直接写出学校一共安排的场数；
（2）根据规律，直接写出如果学校准备组织n个篮球队参加比赛，每两个球队之间都比赛一场，若比赛场数用m表示，直接写出m与n的数量关系式；
问题解决：
（3）D5367是从大同南开往运城北的高铁，若途中任两站的距离都不相等，在这趟高铁中共设有45种不同的票价，求途中有多少个停车点．
13．新年到了，为增进同学友谊，某班主任规定本班同学间，每两个人必须相互通电话1次．
（1）若本班人数为20，则共通话 次，若本班人数为n（n≥2，且n为正整数），则共通话 次；
（2）若同学们共通话1225次，求该班同学的人数；
（3）王峰同学由打电话问题想到了一个数学问题：若线段AB上共有m个点（不含端点A、B），线段总数为多少呢？请直接写出结论．
14．某单位准备举办羽毛球邀请赛，赛制为单循环（每两位选手之间各进行一场比赛），计划一共举行45场比赛．
（1）求该邀请赛的参赛选手人数；
（2）为了保证比赛正常进行，该单位需要为每场比赛至少准备4只羽毛球，且计划购买的羽毛球数量为10的整数倍．计划购买的某品牌羽毛球原价4元/只，现有甲，乙两家公司促销该品牌羽毛球．甲公司促销方案：在原价的基础上，在一定范围内每多购买10只，每个的单价可降低0.05元，例如购买20只时的单价为3.9元，最低单价不能低于2.8元；乙公司一律按8折促销．若该单位选择甲，乙中的一家公司购买，经过计算发现，分别选择在这两家公司购买的总金额相差40元，从节约成本的角度考虑，判断该单位应选择哪家公司购买，并求其计划购买的羽毛球数量．
类型四：双循环问题
15．某校要组织足球联赛，每两队之间都进行两场比赛．
（1）如果有4支球队参加比赛，那么共进行多少场比赛；
（2）如果全校一共进行90场比赛，那么有多少支球队参加比赛？
16．一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都赛两场），共要比赛90场，共有多少个队参加比赛？
17．阅读下表：解答下列问题：
线段AB上的点数n（包括A、B两点） 图例 线段总条数N
3 3＝2+1
4 6＝3+2+1
5 10＝4+3+2+1
6 15＝5+4+3+2+1
（1）根据表中规律猜测线段总条数N与线段上点数n（包括线段的两个端点）的关系，用含n的代数式表示N，则N＝ ．
（2）2018年“俄罗斯世界杯足球赛”，第一轮小组赛共有32支球队分成8组（每组4个队），每组组内分别进行单循环赛（即每个队与本小组的其它队各比赛一场），求第一轮共要进行几场比赛？
（3）2018年“中国足球超级联赛”，不分小组，所有球队直接进行双循环赛（即每两个队之间按主客场共要进行两场比赛），共要进行240场比赛，求共有几支球队参加比赛？
18．在一次会议上，参加会议的人之间互送名片，一共送出了210张名片，求参加这次会议的人数．
19．“中超”足球联赛采用的是主客场制的双循环比赛制度（即每两个队之间都要举行两场比赛）．显然参赛球队的个数对比赛总场次数有直接影响，由于各种原因，到底有几支球队参加“中超”联赛，一直是中国足协考虑的问题之一．在目前的基础上，如果减少4支球队，则比赛总场次数将比现在的总场次数的一半还少6场，那么，现在共有多少支球队参加“中超”联赛？
类型五：增长率问题
20．新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，我国新能源汽车近几年出口量逐年增加，2020年出口量为20万台，2022年出口量增加到45万台．
（1）求2020年到2022年新能源汽车出口量的年平均增长率是多少？
（2）按照这个增长速度，预计2023年我国新能源汽车出口量为多少？
21．某城市2020年底已有绿化面积500公顷，经过努力，绿化面积以相同的增长率逐年增加，到2022年底增加到605公顷，求该城市绿化面积的增长率．
22．某绘画艺人第一天的收入为875元，第三天的收入为1260元（每天收入的增长率相同）．
（1）求绘画艺人每天平均收入的增长率是多少？
（2）绘画艺人想制作一幅长30分米，宽20分米的一幅画，其中有一横一竖宽度相同的彩条（阴影部分为彩条无费用），其余空白处进行作画，如图所示，作画区域的费用为每平方分米3元，经预算作画区域的总费用恰好是第四天的收入，求彩条的宽度是多少分米．
23．为满足师生阅读需求，学校建立“阅读公园”，并且不断完善藏书数量，今年3月份阅读公园中有藏书5000册，到今年5月份其中藏书数量增长到7200册．
（1）求阅读公园这两个月藏书的平均增长率．
（2）按照这样的增长方式，请你估算出今年6月份阅读公园的藏书量是多少？
24．宜昌百里洲砂梨以个大、肉脆、汁多、味甜被湖北省农业厅命名为“湖北十大名果”，村民小张对A（黄金梨）、B（黄花梨）两种砂梨进行实验种植对比研究，2021年种植A、B两种砂梨各100亩，收获后都以4.8元/kg的价格销售．已知B的平均亩产量比A高25%，两种梨全部售出后总收入为432000元．
（1）求2021年A、B两种砂梨的平均亩产量分别是多少千克？
（2）2022年，小张优化了种植方法，在保持种植面积不变的情况下，A、B的平均亩产量在去年的基础上分别增加a%和2a%．由于B品种深受市场欢迎，销售价在去年的基础上上涨a%，而A品种的售价不变，两种梨全部售出后总收入比2021年增加a%，求a的值．
类型六：销售问题
25．某商店以20元/千克的单价进货了一批商60品，经调查发现，每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系如图中线段AB所示．
（1）求y与x的函数表达式；
（2）要让利给消费者且使每天的销售利润达到800元，销售单价应定为每千克多少元？
26．某商场销售一批名牌衬衫，每件进价为100元，若每件售价为160元，则平均每个月可售出100件，经调查发现，每件衬衫每降价2元，商场平均每月可多售出10件，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，设每件衬衫降价x元．
（1）用含x的代数式表示每月可售出的衬衫件数为 ；
（2）若商场每月要盈利7875元，请你帮助商场算一算，每件衬衫应降价多少元？
27．2022北京冬奥会期间，某网店直接从工厂购进A、B两款冰墩墩钥匙扣，进货价和销售价如下表：（注：利润＝销售价﹣进货价）
类别价格 A款钥匙扣 B款钥匙扣
进货价（元/件） 30 25
销售价（元/件） 45 37
（1）网店第一次用850元购进A、B两款钥匙扣共30件，求两款钥匙扣分别购进的件数？
（2）冬奥会临近结束时，网店打算把B款钥匙扣调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元？
28．年糕饺是宁波的特色美食，其以年糕为皮，可咸可甜的馅料裹于其中，口感软糯平实．今有某店铺销售年糕饺，通过分析销售情况发现，年糕饺的日销售量y（盒）是销售单价x（元/盒）的一次函数，销售单价、日销售量的部分对应值如下表，已知销售单价不低于成本价．当店铺将销售单价定为18元/盒时，日销售利润为750元．
销售单价x（元/盒） 15 17
日销售量y（盒） 150 100
（1）求年糕饺的日销售量y（盒）关于销售单价x（元/盒）的函数表达式．
（2）求年糕饺每盒的成本价．
（3）端午节，为了尽可能让利顾客，扩大销售，店铺采用了降价促销的方式，当销售单价x（元/盒）定为多少时，日销售利润为1000元？
29．某文具店新进一批体育中考专用排球，每个排球的进价为40元，原计划以每个60元的价格销售，为更好地满足学生的需求，现决定降价销售，已知这种排球销售量y（个）与每个排球降价x（元）（0＜x＜20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示：
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）在这次排球销售中，该文具店获利1760元，这种排球每个的实际售价多少元？
30．某工厂每月生产800件产品，每件产品的成本为100元，分配给线上旗舰店和线下直营店两个渠道销售．线上旗舰店的产品售价y（元）与月销售量x（件）满足关系：．线下直营店的产品按照定价190元出售，并进行促销活动：月销售量不超过400件的部分，每件产品赠送成本为60元的礼品，可全部售完；超过400件的部分，因礼品已送完，则需要一次性投入成本为5000元的广告进行宣传，也可全部售完．
（1）设线上旗舰店的月销售量为a件，线下直营店的月销售量为b件，分别用含a、b的代数式表示：
①线上销售的a件产品的利润为 元；
②若0≤b≤400，则线下销售的b件产品的利润为 元；若400＜b≤800，则线下销售的b件产品的利润为 元．
（2）假设工厂每月生产的800件产品都能售出，请你设计一种分配方案，使得销售总利润为45200元．（注：要有解答过程）
31．第19届亚运会即将在杭州举行，某商店购进一批亚运会纪念品进行销售，已知每件纪念品的成本是30元．如果销售单价定为每件40元，那么日销售量将达到100件．据市场调查，销售单价每提高1元，日销售量将减少2件．
（1）若销售单价定为每件45元，求每天的销售利润；
（2）要使每天销售这种纪念品盈利1600元，同时又要让利给顾客，那么该纪念品的售价单价应定为每件多少元？
32．长沙市政府出台了一系列“乡村振兴战略”优惠政策，使广大农户收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种农产品的成本价为每千克20元，经市场调查发现，该农产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y＝﹣2x+80．设这种农产品每天的销售利润为W元．
（1）求W与x之间的函数关系式；
（2）若物价部门规定这种农产品的销售价不得高于30元/千克，该农户想要每天获得150元的销售利润，则销售价应定为多少元/千克？
33．某服装店销售一种T恤衫，每件进价为40元．经过市场调查，该T恤衫每周的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足如下的一次函数关系：当销售单价为60元时，每周的销售量为400件；当销售单价为80元时，每周的销售量为200件．
（1）求y与x之间的函数关系式．
（2）当销售单价定为多少时，该服装店每周销售这种T恤衫所获得的利润最大？最大利润是多少？
34．某商场服装部销售一种名牌衬衫，平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了扩大销售，减少库存，商场决定降价销售，经调查，每件降价3元时，平均每天可多卖出6件．
（1）设降价x元，则现在每天可销售衬衫 件，每件的利润是 元．（用x的代数式表示）
（2）若商场要求该服装部每天盈利1400元，问每件要降价多少元？
（3）若商场要求该服装部每天盈利1600元，问这个要求能否实现？请说说你的理由．
类型七：图形面积问题
35．如图，用80m长的篱笆在墙边（墙长40米）围一个矩形草坪，当矩形面积是750m2时，它的长和宽应为多少？
36．如图，用总长48m的篱笆依墙（墙足够长）围成如图所示的①②③三块矩形区域，且三块区域面积相等．
（1）的值为 ；的值为 ；
（2）当矩形ABCD的面积为108m2时，求BC的长．
37．某学校计划利用一片空地为学生建一个面积为80m2的矩形车棚，其中一面靠墙（墙的可用长度为12m），已知现有的木板材料可使新建板墙的总长为26m．
（1）根据学校的要求，在与墙平行的一面开一个2米宽的门（如图1），那么这个矩形车棚相邻两边长分别为多少米；
（2）如图2，为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路，使得停放自行车的面积为54m2，那么小路的宽度为多少米．
38．根据以下素材，完成探索任务．
探索果园土地规划和销售利润问题
素材1 某农户承包了一块长方形果园ABCD，图1是果园的平面图，其中AB＝200米，BC＝300米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为2x米，左右两条纵向道路的宽度都为x米，中间部分种植水果．已知道路的路面造价是50元/m2；出于货车通行等因素的考虑，道路宽度x不超过12米，且不小于5米．
素材2 该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场调查，草莓培育一年可产果，已知每平方米的草莓销售平均利润为100元；果园每年的承包费为25万元，期间需一次性投入33万元购进新苗，每年还需25万元的养护、施肥、运输等其余费用．
问题解决
任务1 解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响． （1）请直接写出纵向道路宽度x的取值范围． （2）若中间种植的面积是44800m2，则路面设置的宽度是否符合要求．
任务2 解决果园种植的预期利润问题．（净利润＝草莓销售的总利润﹣路面造价费用﹣果园承包费用﹣新苗购置费用﹣其余费用） （3）经过1年后，农户是否可以达到预期净利润400万元？请说明理由．
39．
如何利用闲置纸板箱制作储物盒
素材1 如图1，图中是小琴家需要设置储物盒的区域，该区域可以近似看成一个长方体，底面尺寸如图2所示．
素材2 如图是利用闲置纸板箱拆解出的①，②两种均为acm（a＜50cm）长方形纸板．
长方形纸板① 长方形纸板②
小琴分别将长方形纸板①和②以不同的方式制作储物盒．
长方形纸板①的制作方式 长方形纸板②制作方式
裁去角上4个相同的小正方形，折成一个无盖长方体储物盒． 将纸片四个角裁去4个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体储物盒．
目标1 熟悉材料 熟悉按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒能够无缝障的放入储物区域，且恰好没有延伸到过道，则长方形纸板宽a的为 ．
目标2 利用目标1计算所得的数据a，进行进一步探究．
初步应用 按照长方形纸板①的制作方式，为了更方便地放入或取出储物盒，盒子四周需要留出一定的空间，当储物盒的底面积是936cm2，求储物盒的容积．
储物收纳 按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，若EF和HG两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为702cm2．如图，是家里一个玩具机械狗的实物图和尺寸大小，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该储物盒．
类型八：动态几何问题
40．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20cm，BC＝15cm．现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动．如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动的时间为ts，求：
（1）用含t的代数式表示Rt△CPQ的面积S；
（2）当t＝3秒时，这时，P、Q两点之间的距离是多少？
（3）当t为多少秒时，SS△ABC？
41．如图A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B点为止，点Q以2cm/s的速度向D点移动，当点P到达B点时点Q随之停止运动．
（1）AP＝ ，BP＝ ，CQ＝ ，DQ＝ （用含t的代数式表示）；
（2）t为多少时，四边形PBCQ的面积为33cm2；
（3）t为多少时，点P和点Q的距离为10cm．
42．如图，AO＝BO＝6厘米，OC是一条射线，OC⊥AB．一动点P从点A以1厘米/秒的速度向点B爬行，另一动点Q从点O以2厘米/秒的速度沿射线OC方向爬行，它们同时出发，当点P到达B点时点Q也停止运动．设运动时间为t秒．
（1）直接写出OQ＝ （用t的代数式）．
（2）经过多少秒，△POQ的面积为8平方厘米．
（3）当t＝ 时，△PBQ为等腰三角形（直接写出答案）
43．探究：已知，如图是一个三角形点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有一个点，第二行有两个点，…，第n行有n个点…，容易发现，前4行共有10个点．
（1）若三角形点阵中前a行共有45个点，求a的值；
（2）拓展：如果三角形点阵中各行的点数依次换为2，4，6，…，2n，…，
①求这个三角形点阵中前n行共有多少点？（用含n的代数式表示）；
②这个三角形点阵中前n行点数的和，能是600吗？若能，求出n；若不能，请说明理由．
44．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝4cm，一动点P从C出发沿着CB边以1cm/s的速度运动，另一动点Q从A出发沿着AC边以2cm/s的速度运动，P，Q两点同时出发，运动时间为t（s）．
（1）当t为几秒时，△PCQ的面积是△ABC面积的？
（2）△PCQ的面积能否为△ABC面积的一半？若能，求出t的值；若不能，说明理由．
