2023-2024学年北师大版数学九年级上册·重点题型全归纳
专题2 菱形的判定、判定与性质综合【七大题型分类归纳】
思维导图：
类型一：菱形判定的条件
1．如图，以为圆心，长为半径画弧别交、于、两点，再分别以为、为圆心，以长为半径画弧，两弧交于点，分别连接、，则四边形一定是
A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
【分析】利用菱形的判定方法可以判定四边形是菱形．
【解答】解：由题意可得：，
则四边形是菱形．
故选：．
2．已知四边形中，，再补充一个条件使得四边形为菱形，这个条件可以是
A． B．
C．与互相平分 D．
【分析】由在四边形中，对角线，互相平分，可得四边形是平行四边形，又由对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可求得答案．
【解答】解：在四边形中，对角线，互相平分，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形．
故选：．
3．根据如图平行四边形中所标注的角的度数、边的长度，一定能判定其为菱形的是
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】根据菱形的判定分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：、图中标注角的三角形不是等腰三角形，平行四边形的邻边不相等，不能判定为菱形，故选项不符合题意；
、由图中数据可知，平行四边形的邻边不相等，不能判定为菱形，故选项不符合题意；
、，
对角线互相垂直，
能判定为菱形，故选项符合题意；
、图中标注角的三角形不是直角三角形，平行四边形的对角线不能互相垂直，不能判定为菱形，故选项不符合题意；
故选：．
4．如图，在中，下列条件不能判定四边形是菱形的是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据菱形的定义及其判定、矩形的判定对各选项逐一判断即可得．
【解答】解：四边形是平行四边形，
当或时，均可判定平行四边形是菱形，故，选项不符合题意；
当时，
，
平行四边形是菱形，故选项不符合题意；
当时，不能判断平行四边形是菱形，故选项符合题意，
故选：．
5．在数学活动课上，老师和同学判断教室中的瓷砖是否为菱形，下面是某小组拟定的4种方案，其中不正确的是
A．测量两条对角线是否分别平分两组内角
B．测量四个内角是否相等
C．测量两条对角线是否互相垂直且平分
D．测量四条边是否相等
【答案】
【分析】由菱形的判定和矩形的判定分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：、测量两条对角线是否分别平分两组内角，能判定菱形，故故选不符合题意；
、测量四个内角是否相等，能判定矩形，不能判定菱形，故选项符合题意；
、测量两条对角线是否互相垂直且平分，能判定菱形，故选项不符合题意；
、测量四条边是否相等，能判定菱形，故选项不符合题意．
故选：．
类型二：利用菱形的判定与性质求长度
6．两张全等的矩形纸片，按如图所示的方式交叉叠放，，．与交于点，与交于点，且，，则四边形的周长为
A．4 B．8 C．12 D．16
【答案】
【分析】先证明四边形是平行四边形，然后证明，证得四边形是菱形，再求出即可解答．
【解答】解：四边形和四边形是矩形，
，，，
四边形是平行四边形，
，
在和中，
，
，
，
平行四边形是菱形，
，
，，
，
四边形的周长为．
故选：．
7．小明用四根长度相等的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图（1）所示的菱形，并测得，接着活动学具成为图（2）所示的正方形，并测得对角线，则图（1）中菱形的对角线长为
A．20 B．30 C． D．
【答案】
【分析】根据正方形的性质得，，由勾股定理得，则，再证明是等边三角形，则，再利用含30度角的直角三角形求出，于是得到问题的答案．
【解答】解：在正方形中，，
，
，，
，
，
在菱形中，，
，
是等边三角形，
，
如图（1），连接交于点，
，，
，
，
，
故选：．
8．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形中，，，则的长为 ．
【答案】．
【分析】过点作于，于，设、交点为，首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条纸条宽度相同；再由平行四边形的面积可得邻边相等，则重叠部分为菱形．然后依据勾股定理求得的长，从而可得到的长．
【解答】解：过点作于，于，连接、交点为．
两条纸条宽度相同，
．
，，
四边形是平行四边形．
．
又．
，
四边形是菱形；
，，．
．
．
故答案为：．
9．如图，将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形，若，，则，两点间的距离为 2 ．
【答案】2．
【分析】连接，证四边形是菱形，得，再证是等边三角形，得，即可得出结论．
【解答】解：如图，连接，
将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形，
，四边形是菱形，
，
是等边三角形，
，
即，两点间的距离为2，
故答案为：2．
10．如图，在中，以点为圆心，任意长为半径作弧，交射线于点，交射线于点，再分别以、为圆心，的长为半径，两弧在的内部交于点，作射线，若，，则、两点之间距离为
A．10 B．12 C．13 D．
【分析】根据作图过程可证明四边形是菱形，根据菱形的对角线互相垂直平分，再根据勾股定理即可求得的长．
【解答】解：由作图过程可知：，，
，
四边形是菱形．
如图，连接交于点
，
四边形是菱形，
，，，
，
．
故选：．
类型三：利用菱形的判定与性质求角度
11．如图，在中，，分别以、为圆心取的长为半径作弧，两弧交于点．连接、．若，则 ．
【答案】．
【分析】首先根据作图得出四边形是菱形，然后根据菱形的性质求解即可．
【解答】解：连接，如图．
分别以、为圆心取的长为半径作弧，两弧交于点，
，
，
，
四边形是菱形，
，，
，
．
故答案为：．
12．如图，四边形中，，，连接，那么的度数为
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据菱形的判定和性质定理以及等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：，
四边形是菱形，
，
，
，
，
故选：．
13．如图，平行四边形中，，．，分别是边和的中点，于点，则
A． B． C． D．
【答案】
【分析】先判定四边形为菱形，再根据菱形的性质即可得到的度数，再根据，即可得出的度数．
【解答】解：平行四边形中，，
四边形为菱形，
，，
，分别为，的中点，
，，
，，
，
，
，
故选：．
类型四：利用菱形的判定与性质求面积
14．如图，四边形的对角线相交于点，且是的中点．若，，，则四边形的面积为 24 ．
【答案】24．
【分析】根据等腰三角形的性质得到，，得到，推出四边形是菱形，根据勾股定理得到，于是得到结论．
【解答】解：，点是的中点，
，，
，
，
，
，
，
，
四边形是菱形，
，，
，
，
四边形的面积，
故答案为：24．
15．如图，，分别以，为圆心，长为半径画弧，两弧相交于，两点．连接，，，，则四边形的面积为 24 ．
【答案】24．
【分析】根据画法得出四边形四边的关系进而得出四边形是菱形，由菱形的性质以及勾股定理求出对角线的长，代入菱形面积公式即可求解．
【解答】解：如图：连接，
分别以和为圆心，的长为半径画弧，两弧相交于、，
，
四边形是菱形，
，，，
由勾股定理得：，
，
四边形的面积，
故答案为：24．
16．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形中，，，则四边形的面积为
A．10 B． C． D．
【答案】
【分析】先证四边形是菱形，由勾股定理可求，由菱形的面积公式可求解．
【解答】解：过点作于，于，连接，交于点，
两条纸条宽度相同，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是菱形，
，，，
，
，
，
四边形的面积．
故选：．
17．如图，若两条宽度为1的带子相交成的角，则重叠部分（图中阴影部分）的面积是
A．2 B． C．1 D．
【分析】因为在直角三角形中30度角对应的直角边是斜边的一半，已知菱形的高为1，可得边长为2，所以面积为2．
【解答】解：因为在直角三角形中30度角对应的直角边是斜边的一半，
在题目中的菱形中，已知菱形的高为1，可得边长为2，
所以面积为2．
故选：．
类型五：证明四边形是菱形
18．如图，四边形是对角线互相垂直的四边形，且，请你添加一个适当的条件 ，使四边形是菱形．（只需添加一个即可）
【分析】可以添加条件，根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形可判定出结论．
【解答】解：，
，，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形，
故答案为：．
19．如图，在菱形中，，交于点，点，在上，．求证：四边形是菱形．
【答案】见解析过程．
【分析】先证四边形是平行四边形，由“”可证，可得，可得结论．
【解答】证明：四边形为菱形，
，，，，
，
，
四边形是平行四边形，
在和中，
，
，
四边形为菱形．
20．如图，是的角平分线，线段的垂直平分线分别交和于点、，连接，求证：四边形是菱形．
【答案】证明见解析．
【分析】设交于点，证，得，再证四边形是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论．
【解答】证明：如图，设交于点，
平分，
，
，
，
在和中，
，
，
，
垂直平分，
、相互平分，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形为菱形．
21．如图，在平行四边形中，是上一点，且，．
（1）求证：平行四边形是菱形；
（2）若，，求对角线的长．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）．
【分析】（1）连接交于点，根据平行四边形的性质得，然后利用等腰三角形的性质得，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可解决问题；
（2）设，则，利用勾股定理得，列出方程求出的值，即可解决问题．
【解答】（1）证明：如图，连接交于点，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
平行四边形是菱形；
（2）解：，
设，则，
，
，
，
，
，
（负值已经舍去），
．
22．如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析；
（2）2．
【分析】（1）先判断出，进而判断出，得出，即可得出结论；
（2）先判断出，再求出，利用勾股定理求出，即可得出结论．
【解答】（1）证明：，
，
为的平分线，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形；
（2）解：四边形是菱形，
，，
，
，
，
，
在中，，，
，
．
类型六：菱形中多结论问题
23．如图，菱形中，，与交于点，为延长线上的一点，且，连接分别交，于点、，连接，则下列结论：
①；
②与全等的三角形共有2个；
③；
④由点、、、构成的四边形是菱形；
A．①③④ B．①④ C．①②③ D．②③④
【答案】
【分析】①由证明，得出，证出是的中位线，得出，①正确；
②先证四边形是平行四边形，再证、是等边三角形，得，因此，则四边形是菱形，④正确；
③由菱形的性质得，再由证明，得，则②不正确；
由中线的性质和菱形的性质可得，，可得四边形与四边形面积相等，得出③正确．
【解答】解：四边形是菱形，
，，，，，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
是的中位线，
，故①正确；
，，
四边形是平行四边形，
，
、是等边三角形，
，，
，四边形是菱形，故④正确；
，
由菱形的性质得：，
在和中，
，
，
，故②不正确；
，
，
四边形是菱形，
，
四边形与四边形面积相等，故③正确；
故选：．
24．如图，在平行四边形中，、分别为边、的中点，是对角线，，交的延长线于，连接，若．下列结论：①；②四边形是菱形；③；④．其中正确的是
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④
【答案】
【分析】①根据题意可证明四边形为平行四边形，继而可判断出此项正确；
②根据①的结论，再结合，为边的中点得出可判断出四边形是菱形；
③，，可得出结论；
④要使，则，而因为得不出，即不等得出．
【解答】解：①在平行四边形中，、分别为边、的中点，
四边形为平行四边形，
，故①正确．
②由①知四边形为平行四边形，
，为边的中点，
，
四边形是菱形，故②正确．
④，，，
为矩形，
，
要使，则，
不能证明，即不恒成立，
故④不正确．
③由④知，
，
为中点，
，
，
故③正确．
综上可得：①②④正确．
故选：．
25．如图1，在菱形中，对角线、相交于，要在对角线上找两点、，使得四边形是菱形，现有图2中的甲、乙两种方案，则正确的方案是
A．只有甲 B．只有乙 C．甲和乙 D．甲乙都不是
【答案】
【分析】根据菱形的性质可得，，，然后根据给出的方案进行判定即可．
【解答】解：四边形是菱形，
，，，
，
，
，，
四边形是菱形，
故方案甲正确；
四边形是菱形，
，，，，
，是和的平分线，
，
，
在和中，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形．
故方案乙正确．
故选：．
26．如图，是菱形的对角线，的交点，，分别是，的中点．给出下列结论：
①四边形的面积大小等于；
②四边形也是菱形；
③；
④；
⑤．
其中正确的结论有
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】
【分析】①根据菱形的面积公式即可求证；
②根据菱形的定义判断即可得出答案；
③根据菱形的性质即可判断；
④根据等腰三角形的性质即可判断正误；
⑤根据三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：①四边形是菱形，
四边形的面积为．
，分别是，的中点，
，
四边形的面积大小等于，故①正确；
②四边形是菱形，
，，．
，分别是，的中点，
，
．
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形，故②正确；
③四边形是菱形，四边形也是菱形，
，，
，故③正确；
④为中点，而与不一定相等，
无法证明，故④错误；
⑤四边形是菱形，四边形也是菱形，
，
为中点，
，
．
，故⑤正确；
综上，正确的有①②③⑤，共4个，
故选：．
27．如图，分别以的斜边，直角边为边向外作等边和等边，为的中点，与交于点，与交于点，，，给出如下结论：
①；
②四边形为菱形；
③；
④，
其中正确结论的个数
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】
【分析】由证得，则，得出，易证是的中位线，得出，再由，，推出，由等边三角形的性质得出，然后由证得，则，证出四边形为平行四边形，最后由平行四边形的性质得出，从而得到答案．
【解答】解：是等边三角形，
，，
，
，，
为的中点，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，故①正确，
，，
，
是的中点，
是的中位线，
，
，，
，故④正确；
，，
，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
四边形为平行四边形，
，
，
四边形不是菱形，故②错误；
，
，
，
则，故③正确，
故选：．
类型七：菱形的判定与性质综合
28．在四边形中，，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，且，求菱形面积．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）．
【分析】（1）证明四边形是平行四边形，由，可以解决问题；
（2）证明四边形是平行四边形，为的中位线，得，利用勾股定理求出的值，根据菱形的面积公式即可解决问题．
【解答】（1）证明：，
，
平分，
，
，
，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
（2）解：四边形是菱形，
，
，，
为等边三角形，
，
设，
，
，
，，
四边形是平行四边形，，
，
为的中位线，
，
在中，，，，
由勾股定理得：，
，
解得，
，，
菱形面积．
29．下面是某同学学习完“特殊的平行四边形”后对某一道试题的证明：
试题：如图，在平行四边形中，对角线的垂直平分线交于点，交于点，交于点．求证：四边形是菱形．
证明：是的垂直平分线，
，①
，②
四边形是平行四边形．③
④
平行四边形是菱形⑤
（1）该同学的证明过程在第 ② 步出现了错误；
（2）按照该同学的证明过程，步骤③的依据是 ；步骤⑤的依据是 ；
（3）写出此题的正确解答过程．
【答案】（1）②；
（2）对角线互相平分的四边形是平行四边形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形：（3）见解析．
【分析】（1）根据平行四边形的判定方法进行判断即可；
（2）根据平行四边形与菱形的判定方法进行解答；
（3）先根据平行四边形的性质得，再由垂直平分线的性质得，，根据全等三角形的判定与性质及平行四边形的判定可得四边形是平行四边形．最后由菱形的判定方法可得结论．
【解答】解：（1）该同学的证明过程在第②步出现了错误；
故答案为：②；
（2）按照该同学的证明过程，步骤③的依据是对角线互相平分的四边形是平行四边形；步骤⑤的依据是对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形：
（3）证明：四边形是平行四边形，
．
，
是的垂直平分线，
，，
又，
，
，
四边形是平行四边形．
．
平行四边形是菱形．
30．如图，在中，，点是的中点，过点作于点，延长到点，使得，连接，．
（1）根据题意，补全图形：
（2）求证：四边形是菱形；
（3）若，，求菱形的面积．
【答案】（1）见解答；（2）见解答；（3）．
【分析】（1）根据题意画出图形即可；
（2）首先证明，，推出四边形是平行四边形，再根据，推出四边形是菱形；
（3）求出菱形的对角线的长即可解决问题．
【解答】（1）解：补全图形如图所示．
（2）证明：，
，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形．
（3）解：在中，，，
，，
，，
，
，
．
31．已知：在四边形中，，，点为的中点，连接，．
（1）如图1，求证：四边形为菱形；
（2）如图2，连接，当时，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中度数为的四个角．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【分析】（1）由平行线的性质得，再证，得，则四边形是平行四边形，然后证，即可得出结论；
（2）由菱形的性质得，再证是等边三角形，得，即可解决问题．
【解答】（1）证明：，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
点为的中点，
，
，
，
平行四边形为菱形；
（2）解：四边形是菱形，
，，，，
，
点为的中点，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
．
32．如图，在中，，．，点从点出发沿方向以每秒2个单位长的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒1个单位长的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点、运动的时间是秒．过点作于点，连接、．
（1）四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的值；
（2）当为何值时，为直角三角形？请直接写出相应的值为： 或4 ．
【答案】（1）能；当时，为等边三角形；
（2）或4．
【分析】（1）由，，证出；
（2）先证明四边形为平行四边形．得出，，若为等边三角形，则？为菱形，得出，，求出；
（3）分三种情况讨论：①时；②时；③时，此种情况不存在；分别求出的值即可．
【解答】解：（1）（2）能；理由如下：
，，
．
又，
四边形为平行四边形．
，，
，，
，
若使能够成为等边三角形，
则平行四边形为菱形，则，
，
；
即当时，为等边三角形；
（2）当或4时，为直角三角形；
理由如下：
①时，四边形为矩形．
在中，，
．即，
；
②时，由（2）知，
．
，
．
即，
；
③时，
，
点运动到点处，用了秒中，
同时点也运动5秒钟，点就和点重合，
点也就和点重合，
点，，不能构成三角形．
此种情况不存在；
综上所述，当或4时，为直角三角形．
故答案为：或4．2023-2024学年北师大版数学九年级上册·重点题型全归纳
专题2 菱形的判定、判定与性质综合【七大题型分类归纳】
思维导图：
类型一：菱形判定的条件
1．如图，以为圆心，长为半径画弧别交、于、两点，再分别以为、为圆心，以长为半径画弧，两弧交于点，分别连接、，则四边形一定是
A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
2．已知四边形中，，再补充一个条件使得四边形为菱形，这个条件可以是
A． B．
C．与互相平分 D．
3．根据如图平行四边形中所标注的角的度数、边的长度，一定能判定其为菱形的是
A． B．
C． D．
4．如图，在中，下列条件不能判定四边形是菱形的是
A． B． C． D．
5．在数学活动课上，老师和同学判断教室中的瓷砖是否为菱形，下面是某小组拟定的4种方案，其中不正确的是
A．测量两条对角线是否分别平分两组内角
B．测量四个内角是否相等
C．测量两条对角线是否互相垂直且平分
D．测量四条边是否相等
类型二：利用菱形的判定与性质求长度
6．两张全等的矩形纸片，按如图所示的方式交叉叠放，，．与交于点，与交于点，且，，则四边形的周长为
A．4 B．8 C．12 D．16
7．小明用四根长度相等的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图（1）所示的菱形，并测得，接着活动学具成为图（2）所示的正方形，并测得对角线，则图（1）中菱形的对角线长为
A．20 B．30 C． D．
8．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形中，，，则的长为 ．
9．如图，将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形，若，，则，两点间的距离为 ．
10．如图，在中，以点为圆心，任意长为半径作弧，交射线于点，交射线于点，再分别以、为圆心，的长为半径，两弧在的内部交于点，作射线，若，，则、两点之间距离为
A．10 B．12 C．13 D．
类型三：利用菱形的判定与性质求角度
11．如图，在中，，分别以、为圆心取的长为半径作弧，两弧交于点．连接、．若，则 ．
12．如图，四边形中，，，连接，那么的度数为
A． B． C． D．
13．如图，平行四边形中，，．，分别是边和的中点，于点，则
A． B． C． D．
类型四：利用菱形的判定与性质求面积
14．如图，四边形的对角线相交于点，且是的中点．若，，，则四边形的面积为 ．
15．如图，，分别以，为圆心，长为半径画弧，两弧相交于，两点．连接，，，，则四边形的面积为 ．
16．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形中，，，则四边形的面积为
A．10 B． C． D．
17．如图，若两条宽度为1的带子相交成的角，则重叠部分（图中阴影部分）的面积是
A．2 B． C．1 D．
类型五：证明四边形是菱形
18．如图，四边形是对角线互相垂直的四边形，且，请你添加一个适当的条件 ，使四边形是菱形．（只需添加一个即可）
19．如图，在菱形中，，交于点，点，在上，．求证：四边形是菱形．
20．如图，是的角平分线，线段的垂直平分线分别交和于点、，连接，求证：四边形是菱形．
21．如图，在平行四边形中，是上一点，且，．
（1）求证：平行四边形是菱形；
（2）若，，求对角线的长．
22．如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的长．
类型六：菱形中多结论问题
23．如图，菱形中，，与交于点，为延长线上的一点，且，连接分别交，于点、，连接，则下列结论：
①；
②与全等的三角形共有2个；
③；
④由点、、、构成的四边形是菱形；
A．①③④ B．①④ C．①②③ D．②③④
24．如图，在平行四边形中，、分别为边、的中点，是对角线，，交的延长线于，连接，若．下列结论：①；②四边形是菱形；③；④．其中正确的是
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④
25．如图1，在菱形中，对角线、相交于，要在对角线上找两点、，使得四边形是菱形，现有图2中的甲、乙两种方案，则正确的方案是
A．只有甲 B．只有乙 C．甲和乙 D．甲乙都不是
26．如图，是菱形的对角线，的交点，，分别是，的中点．给出下列结论：
①四边形的面积大小等于；
②四边形也是菱形；
③；
④；
⑤．
其中正确的结论有
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
27．如图，分别以的斜边，直角边为边向外作等边和等边，为的中点，与交于点，与交于点，，，给出如下结论：
①；
②四边形为菱形；
③；
④，
其中正确结论的个数
A．1 B．2 C．3 D．4
类型七：菱形的判定与性质综合
28．在四边形中，，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，且，求菱形面积．
29．下面是某同学学习完“特殊的平行四边形”后对某一道试题的证明：
试题：如图，在平行四边形中，对角线的垂直平分线交于点，交于点，交于点．求证：四边形是菱形．
证明：是的垂直平分线，
，①
，②
四边形是平行四边形．③
④
平行四边形是菱形⑤
（1）该同学的证明过程在第 步出现了错误；
（2）按照该同学的证明过程，步骤③的依据是 ；步骤⑤的依据是 ；
（3）写出此题的正确解答过程．
30．如图，在中，，点是的中点，过点作于点，延长到点，使得，连接，．
（1）根据题意，补全图形：
（2）求证：四边形是菱形；
（3）若，，求菱形的面积．
31．已知：在四边形中，，，点为的中点，连接，．
（1）如图1，求证：四边形为菱形；
（2）如图2，连接，当时，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中度数为的四个角．
32．如图，在中，，．，点从点出发沿方向以每秒2个单位长的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒1个单位长的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点、运动的时间是秒．过点作于点，连接、．
（1）四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的值；
（2）当为何值时，为直角三角形？请直接写出相应的值为： ．
