专题5 正方形的性质与判定【八大题型分类归纳】2023-2024学年北师大版数学九年级上册·重点题型全归纳（含解析）

2023-2024学年北师大版数学九年级上册·重点题型全归纳
专题5 正方形的性质与判定【八大题型分类归纳】
思维导图：
类型1：正方形的性质
1．小华在整理平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质时，发现它们的对角线都具有同一性质是　　
A．相等 B．互相垂直 C．互相平分 D．平分一组对角
2．下列性质中，矩形具有、正方形也具有、但是菱形却不具有的性质是　　
A．对角线互相垂直 B．对角线互相平分
C．对角线长度相等 D．每一条对角线平分一组对角
3．正方形具有而矩形不一定具有的性质是　　
A．四个角都是 B．四边相等
C．对角线相等 D．对角线互相平分
4．正方形是特殊的矩形，正方形具有而矩形不具有的性质是　　
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直
C．对角线相等 D．对角线相等且互相平分
5．矩形，菱形、正方形都一定具有的性质是　　
A．邻角相等 B．四个角都是直角
C．对角线相等 D．对角线互相平分
类型2：利用正方形的性质求长度
6．如图，正方形的边长为3，以为一边作等边三角形，点在正方形内部，则点到的距离是　　
A．3 B． C． D．
7．如图，正方形的面积为2，菱形的面积为1，则，两点间的距离为　　
A．1 B．2 C． D．
8．如图，正方形的边长为10，，，连接，则线段的长为　　
A． B． C． D．
9．如图，在正方形，平分，于点，若，则的长为　　
A．2 B． C． D．1
10．如图，在正方形中，为对角线、的交点，、分别为边、上一点，且，连接．若，则的长为　　
A． B． C． D．3
类型3：利用正方形的性质求角度
11．如图，是正方形内位于对角线下方的一点，，则的度数为　　
A． B． C． D．
12．如图，在正方形中，已知点是线段上的一个动点（点与点不重合），作交于点．现以，为邻边构造平行四边形，连结，则的最小值为　　
A． B． C． D．
13．如图，在矩形中，，对角线、相交于点，以为边在下方作正方形，已知，连接，则的度数为　　
A． B． C． D．
14．如图，在正方形的外侧，作等边三角形，连接，则的度数为　　
A． B． C． D．
15．如图，在正方形的外侧作等边，则的度数为　　
A． B． C． D．
类型4：利用正方形的性质求面积
16．如图，点是正方形内一点，．若，，则阴影部分的面积为　　
A．19 B．20 C．22 D．25
17．如图，在中，，高，正方形一边在上，点，分别在，上，交于点，则正方形的面积为　　
A．200 B．400 C．600 D．900
18．如图，在正方形中，点是边的中点，如果，那么四边形的面积是　　
A． B．25 C．20 D．
19．三个边长为的正方形按图所示的方式重叠在一起，点是其中一个正方形的中心，则重叠部分的面积为　　
A． B． C． D．
20．如图，在正方形中，点在边上，以为边作矩形，使经过点，若，则矩形的面积是　　
A．2 B．4 C． D．
类型5：正方形的判定
21．如图，小红作了如下操作：分别以，为圆心，大于 长为半径作弧，两弧分别相交于点，，依次连接，，，，则下列说法一定正确的是　　
A． B．
C． D．四边形是正方形
22．下列说法错误的是　　
A．对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形
B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
C．有一个内角是直角的四边形是矩形
D．对角线相等且互相平分的四边形是矩形
23．下列四个菱形中分别标注了部分数据，根据所标数据，可以判断菱形是正方形的是　　
A． B．
C． D．
24．小明在学习了中心对称图形后，整理了平行四边形和特殊平行四边形之间的关系图，如图所示，从下列条件：
①；
②；
③；
④平分中，
选择其中一个条件填入　　处，补全关系图，其中所有正确选项的序号是　　
A．①③ B．①④ C．①③④ D．②③④
25．如图，在矩形中，对角线与相交，添加下列条件不能判定矩形是正方形的是　　
A． B． C． D．
26．如图，一个四边形顺次添加下列中的三个条件便得到正方形：
．两组对边分别相等
．一组对边平行且相等
．一组邻边相等
．一个角是直角
顺次添加的条件：
①
②
③，
则正确的添加顺序是　　
A．仅① B．①② C．①③ D．②③
类型6：中点四边形
27．我们把顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．下列说法正确的个数为　　
①任意四边形的中点四边形是平行四边形；
②平行四边形的中点四边形是菱形；
③矩形的中点四边形是菱形；
④菱形的中点四边形是正方形；
⑤正方形的中点四边形是正方形；
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
28．定义：对于一个凸四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中正四边形”．
（1）概念理解：下列四边形中一定是“中正四边形”的是 　　；
．平行四边形．矩形．菱形．正方形
（2）性质探究：如图1，四边形是“中正四边形”，观察图形，直接写出关于四边形对角线的两条结论；
（3）问题解决：如图2，为锐角三角形，以的两边，为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连接，，．求证：四边形是“中正四边形”．
类型7：正方形的判定与性质综合
29．如图，将正方形的各边，，，顺次延长至，，，，且使，则四边形是　　
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
30．如图在正方形中，点是对角线，交点，过点作射线，分别交，于点，，且，，交于点．有下列结论：
①；
②；
③四边形的面积为正方形面积的；
④．其中正确的是　　
A．③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④
31．边长为的正方形按如图所示分割成五个小矩形，其中⑤号小矩形是边长为的正方形，若①号小矩形的周长为，且满足，则下列小矩形中一定是正方形的是　　
A．① B．② C．③ D．④
32．如图，点，，，分别是正方形的四条边上的点，并且，则下列结论不一定正确的是　　
A．
B．
C．四边形是正方形
D．四边形的面积是四边形面积的一半
33．如图，已知四边形为正方形，，为对角线上一点，连接，过点作，交的延长线于点，以，为邻边作矩形，连接．下列结论：①矩形是正方形；②；③平分；④．其中结论正确的序号有　　
A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④
类型8：正方形的判定与性质解答题
34．如图，已知：在四边形中，，的垂直平分线交于点，交于点，且．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）当　　时，四边形是正方形；
（3）在（2）的条件下，若，则四边形的面积为 　　．
35．【阅读理解】明朝数学家程大位在数学著作《直指算法统宗》中以《西江月》词牌叙述了一道“荡秋千”
问题：
原文：平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索有几？ 译文：将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？（注古代5尺为1步）
为了解决这个问题，需要依据问题建立数学模型．小明同学编写出了下列数学问题：
如图，秋千绳索静止的时候，踏板离地高一尺尺），将它往前推进两步尺），此时踏板升高离地五尺尺）．已知：于点，于点，于点，．求：秋千绳索或的长度．请你解答下列问题：
（1）四边形是 　　；
．一般平行四边形．矩形．菱形．正方形
（2）求的长．
36．菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为菱形或矩形的“接近度”．
（1）设菱形相邻两个内角的度数分别为、，若我们将菱形的“接近度”定义为，于是越小，菱形就越接近正方形．
①当菱形的一个内角为时，“接近度” 　　；
②当菱形的“接近度” 　　时，菱形就是正方形．
（2）若我们将菱形的“接近度”定义为，则：
①当菱形的一个内角为时，“接近度” 　　；
②当菱形的“接近度” 　　时，菱形就是正方形．
（3）小军同学仿照菱形的“接近度”的定义，给出了如下矩形的“接近度”的定义：
设矩形相邻两条边长分别是和，将矩形的“接近度”定义为，于是越小，矩形越接近于正方形．
你认为他的定义 　　（填“合理”或“不合理” ．
37．如图，在正方形和中，点，，在同一条直线上，是线段的中点，连接，连接并延长，交于点．请证明：
（1）四边形是矩形．
（2）当时，四边形是正方形．
38．如图，在正方形中，是对角线上一点，，，垂足分别为点，．求证：四边形是正方形．
2023-2024学年北师大版数学九年级上册·重点题型全归纳
专题5 正方形的性质与判定【八大题型分类归纳】
类型1：正方形的性质
1．小华在整理平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质时，发现它们的对角线都具有同一性质是　　
A．相等 B．互相垂直 C．互相平分 D．平分一组对角
【分析】根据平行四边形、正方形、矩形的性质可知，它们的对角线都具有同一性质是：对角线互相平分．
【解答】解：因为平行四边形的对角线互相平分、正方形的对角线垂直平分且相等、矩形的对角线互相平分且相等、菱形的对角线互相垂直平分，可知正方形、矩形、菱形都具有的特征是对角线互相平分．
故选：．
2．下列性质中，矩形具有、正方形也具有、但是菱形却不具有的性质是　　
A．对角线互相垂直 B．对角线互相平分
C．对角线长度相等 D．每一条对角线平分一组对角
【答案】
【分析】利用正方形的性质，矩形的性质，菱形的性质依次判断可求解．
【解答】解：菱形具有的性质是：两组对边分别平行，对角线互相平分，对角线互相垂直；
矩形具有的性质是：两组对边分别平行，对角线互相平分，对角线相等；
正方形具有菱形和矩形的性质，
菱形不具有的性质为：对角线相等，
故选：．
3．正方形具有而矩形不一定具有的性质是　　
A．四个角都是 B．四边相等
C．对角线相等 D．对角线互相平分
【答案】
【分析】通过比较正方形和矩形的性质的不同即可得出结论．
【解答】解：正方形的性质为：对边平行且相等，四条边相等，四个角为直角，对角线互相垂直平分，相等，且每条对角线平分一组对角，
矩形的性质为：对边平行且相等，四个角为直角，对角线互相平分，相等，
正方形具有而矩形不一定具有的性质是：四边相等，
故选：．
4．正方形是特殊的矩形，正方形具有而矩形不具有的性质是　　
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直
C．对角线相等 D．对角线相等且互相平分
【分析】根据正方形的性质、矩形的性质即可判断．
【解答】解：正方形和矩形都具有的性质是对边相等，对角相等，对角线相等，对角线互相垂直是正方形具有矩形不具有的性质，
故选：．
5．矩形，菱形、正方形都一定具有的性质是　　
A．邻角相等 B．四个角都是直角
C．对角线相等 D．对角线互相平分
【答案】
【分析】按照平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质，逐个选项进行分析即可．
【解答】解：选项：邻角相等，是矩形、正方形的性质，但是菱形没有该性质，故不符合题意；
选项：四个角都是直角，是矩形和正方形的性质，菱形不具备，故不符合题意；
选项：对角线相等，是矩形、正方形的性质，菱形不具有该性质，故不符合题意；
选项：对角线互相平分，是所有平行四边形的性质，而矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，故它们都具备对角线互相平分的性质，故符合题意．
故选：．
类型2：利用正方形的性质求长度
6．如图，正方形的边长为3，以为一边作等边三角形，点在正方形内部，则点到的距离是　　
A．3 B． C． D．
【答案】
【分析】过点作于点，由正方形和等边三角形的性质得，，然后再由勾股定理即可求出．
【解答】解：过点作于点，如图所示：
四边形为正方形，且边长为3，
，
为等边三角形，
，
，
，
在中，，，
由勾股定理得：．
故选：．
7．如图，正方形的面积为2，菱形的面积为1，则，两点间的距离为　　
A．1 B．2 C． D．
【答案】
【分析】连接交于，由正方形的面积为2，求得，又菱形的面积为1，故，从而可得．
【解答】解：连接交于，如图：
正方形的面积为2，
，
，
菱形的面积为1，
，
，
；
故选：．
8．如图，正方形的边长为10，，，连接，则线段的长为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】延长交于点，根据正方形的性质证明，可得、、，由勾股定理可得的长．
【解答】解：如图，延长交于点，
，，，
，
和是直角三角形，
在和中，
，
，
，，
，，
又，，
，，
在和中，
，
，
，，，
，
同理可得，
在中，，
故选：．
9．如图，在正方形，平分，于点，若，则的长为　　
A．2 B． C． D．1
【答案】
【分析】根据正方形的性质、角平分线的性质及等腰直角三角形的三边比值为来解答即可．
【解答】解：四边形为正方形，
，，．
．
又平分，，
．
，，
为等腰直角三角形．
，
．
．
．
故选：．
10．如图，在正方形中，为对角线、的交点，、分别为边、上一点，且，连接．若，则的长为　　
A． B． C． D．3
【答案】
【分析】由题意证明，所以，则是等腰直角三角形；过点作，解三角形即可得出的长，进而可求出的长．
【解答】解：在正方形中，和为对角线，
，，，
，
；
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形；
过点作，如图，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
．
故选：．
类型3：利用正方形的性质求角度
11．如图，是正方形内位于对角线下方的一点，，则的度数为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】先根据正方形的性质得出，即可得出，再根据三角形内角和定理得出，从而求出的度数．
【解答】解：四边形是正方形，
，
即，
，
，
在中，，
，
故选：．
12．如图，在正方形中，已知点是线段上的一个动点（点与点不重合），作交于点．现以，为邻边构造平行四边形，连结，则的最小值为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】由“”可证，可得，由“”可证，可得，，可证点在的角平分线上运动，即可求解．
【解答】解：如图，过点作，交的延长线于点，延长，交于点，
四边形是平行四边形，
，，，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
又，
，
，，
，
，
，
点在的角平分线上运动，
，，
，
当点运动到点时，有最小值为，
即的最小值为，
故选：．
13．如图，在矩形中，，对角线、相交于点，以为边在下方作正方形，已知，连接，则的度数为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据正方形的面积可得，证明的等边三角形，由，即可解决问题．
【解答】解：，
，
，
四边形是矩形，
，，，，
，
，
的等边三角形，
，
，
，
，
，
故选：．
14．如图，在正方形的外侧，作等边三角形，连接，则的度数为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据等边三角形的性质及正方形的性质可得到，从而可求得的度数，则的度数就不难求了．
【解答】解：根据等边三角形和正方形的性质可知，
，
．
，
故选：．
15．如图，在正方形的外侧作等边，则的度数为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】由四边形是正方形，是正三角形可得，利用正方形和正三角形的内角性质即可得答案．
【解答】解：四边形是正方形，
，，
又是正三角形，
，，
是等腰三角形，，
．
故选：．
类型4：利用正方形的性质求面积
16．如图，点是正方形内一点，．若，，则阴影部分的面积为　　
A．19 B．20 C．22 D．25
【答案】
【分析】用正方形面积减去面积即可．
【解答】解：四边形是正方形，，
，
，，，
，
，
；
故选：．
17．如图，在中，，高，正方形一边在上，点，分别在，上，交于点，则正方形的面积为　　
A．200 B．400 C．600 D．900
【答案】
【分析】设正方形的边长，易证四边形是矩形，则，根据正方形的性质得出，推出，根据相似三角形的性质计算即可得解．
【解答】解：设正方形的边长，
四边形是正方形，
，，
，
是的高，
，
四边形是矩形，
，
，
（相似三角形对应边上的高的比等于相似比），
，，
，
，
解得：，
正方形的面积为．
故选：．
18．如图，在正方形中，点是边的中点，如果，那么四边形的面积是　　
A． B．25 C．20 D．
【答案】
【分析】要求四边形的面积，需要求出正方形的边长，再根据梯形的面积公式计算即可，设的长是，则正方形的边长就，根据勾股定理可得：，据此求出的值，再利用面积公式计算即可解答．
【解答】解：设的长是，则正方形的边长就是，根据勾股定理可得：
，
所以正方形面积，
答：四边形的面积是20，
故选：．
19．三个边长为的正方形按图所示的方式重叠在一起，点是其中一个正方形的中心，则重叠部分的面积为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】连接，，由正方形的性质可得，证明可得，进而可求解．
【解答】解：连接，，
由题意知：四边形，四边形都是正方形，
，，，，
，
在和中，
，
，
，
，
．
故选：．
20．如图，在正方形中，点在边上，以为边作矩形，使经过点，若，则矩形的面积是　　
A．2 B．4 C． D．
【答案】
【分析】连接，则的面积为2，而矩形的面积是面积的2倍，所以矩形的面积为4．
【解答】解：连接，过点作，如图：
则，
．
故选：．
类型5：正方形的判定
21．如图，小红作了如下操作：分别以，为圆心，大于 长为半径作弧，两弧分别相交于点，，依次连接，，，，则下列说法一定正确的是　　
A． B．
C． D．四边形是正方形
【答案】
【分析】根据线段垂直平分线的性质即可得到结论．
【解答】解：由作图知是线段的垂直平分线，
，，，
无法证明，，四边形是正方形，
故选：．
22．下列说法错误的是　　
A．对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形
B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
C．有一个内角是直角的四边形是矩形
D．对角线相等且互相平分的四边形是矩形
【答案】
【分析】根据正方形、菱形、矩形的判定分别进行判断即可．
【解答】解：．对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形，故选项正确，不符合题意；
．对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故选项正确，不符合题意；
．有一个内角是直角的平行四边形是矩形，故选项错误，符合题意；
．对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故选项正确，不符合题意；
故选：．
23．下列四个菱形中分别标注了部分数据，根据所标数据，可以判断菱形是正方形的是　　
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】根据菱形的性质及正方形的判定可得出结论．
【解答】解：．由不能判定菱形是正方形，故不符合题意；
．四边形是菱形，
，
，
，
四边形是正方形，
故符合题意；
．由不能判定菱形是正方形，故不符合题意；
．由不能判定菱形是正方形，故不符合题意．
故选：．
24．小明在学习了中心对称图形后，整理了平行四边形和特殊平行四边形之间的关系图，如图所示，从下列条件：
①；
②；
③；
④平分中，
选择其中一个条件填入　　处，补全关系图，其中所有正确选项的序号是　　
A．①③ B．①④ C．①③④ D．②③④
【答案】
【分析】根据正方形的判定方法解答即可．
【解答】解：根据一组邻边相等的矩形是正方形，可得①符合题意；
矩形的对角线本身是相等的，所以添不能判定四边形是正方形，故②不符合题意；
根据对角线互相垂直的矩形是正方形，可得③符合题意；
由平分，可证明矩形的四边相等，根据四边相等的矩形是正方形，可得④符合题意，
所以所有正确选项的序号是①③④．
故选：．
25．如图，在矩形中，对角线与相交，添加下列条件不能判定矩形是正方形的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据正方形的判定方法即可一一判断．
【解答】解：、正确．邻边相等的矩形是正方形，不符合题意；
、错误．矩形的对角线相等，但对角线相等的矩形不一定是正方形，故符合题意；
、正确．四边形是矩形，
，，
，
矩形为正方形，故不符合题意；
、正确，，
，
矩形是正方形，故不符合题意．
故选：．
26．如图，一个四边形顺次添加下列中的三个条件便得到正方形：
．两组对边分别相等
．一组对边平行且相等
．一组邻边相等
．一个角是直角
顺次添加的条件：
①
②
③，
则正确的添加顺序是　　
A．仅① B．①② C．①③ D．②③
【答案】
【分析】由平行四边形，菱形，正方形的判定，即可判断．
【解答】解：①，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，一组邻边相等的四边形是菱形，有一个角是直角的菱形是正方形，符合题意；
②．只能判定四边形是菱形，不能判定四边形是正方形，不符合题意．
③，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，有一组邻边相等的矩形是正方形，符合题意．
故选：．
类型6：中点四边形
27．我们把顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．下列说法正确的个数为　　
①任意四边形的中点四边形是平行四边形；
②平行四边形的中点四边形是菱形；
③矩形的中点四边形是菱形；
④菱形的中点四边形是正方形；
⑤正方形的中点四边形是正方形；
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】
【分析】利用三角形中位线定理可得新四边形的对边平行且等于原四边形一条对角线的一半，那么根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定所得的四边形一定是平行四边形．
【解答】解：①任意四边形的中点四边形是平行四边形；符合题意；
②平行四边形的中点四边形是平行四边形；不符合题意；
③矩形的中点四边形是菱形；符合题意；
④菱形的中点四边形是矩形；符合题意；
⑤正方形的中点四边形是正方形；符合题意；
故选：．
28．定义：对于一个凸四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中正四边形”．
（1）概念理解：下列四边形中一定是“中正四边形”的是 　　；
．平行四边形．矩形．菱形．正方形
（2）性质探究：如图1，四边形是“中正四边形”，观察图形，直接写出关于四边形对角线的两条结论；
（3）问题解决：如图2，为锐角三角形，以的两边，为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连接，，．求证：四边形是“中正四边形”．
【答案】（1）；
（2）①，②；
（3）证明见解答过程．
【分析】（1）根据中正四边形的概念得出结论即可；
（2）根据三角形中位线的性质得出结论即可；
（3）先根据三角形中位线的性质证四边形是平行四边形，再证，得出四边形是菱形，然后得出四边形是正方形即可得证结论．
【解答】解：（1）根据中正四边形的概念知，正方形一定是“中正四边形”，
故答案为：；
（2）性质探究：四边形是“中正四边形”，
四边形是正方形，
，且，
且，且，
①，②；
（3）问题解决：如图2，取四边形各边中点分别为、、、并顺次连接成四边形，连接交于，连接交于，
四边形各边中点分别为、、、，
、、、分别是、、、的中位线，
，，，，，，，，
，，，，
四边形是平行四边形，
四边形和四边形都是正方形，
，，，
又，
，
即，
在和中，
，
，
，，
又，，
，
是菱形，
，
，
又，，
，
，
又，，
，
菱形是正方形，
即原四边形是“中正四边形”．
类型7：正方形的判定与性质综合
29．如图，将正方形的各边，，，顺次延长至，，，，且使，则四边形是　　
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
【答案】
【分析】根据正方形的性质和已知条件可证得，于是得到，可证得四边形是菱形，再证得，即可证明四边形是正方形．
【解答】解：四边形是正方形，
，，
，
，
，
即，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
即，
同理可得，，，
，，，
，
四边形是菱形，
又，
四边形是正方形．
故选：．
30．如图在正方形中，点是对角线，交点，过点作射线，分别交，于点，，且，，交于点．有下列结论：
①；
②；
③四边形的面积为正方形面积的；
④．其中正确的是　　
A．③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【答案】
【分析】利用正方形的性质和全等三角形的判定与性质逐一分析即可得出正确答案．
【解答】解：①在正方形中，，，，
，
，
，
在和中，
，
，故①正确；
②，
，
四边形为正方形，
，
，故②正确；
③由①全等可得四边形的面积与面积相等，
四边形的面积为正方形面积的，故③正确；
④在中，，根据勾股定理，得：
，故④正确；
综上所述，正确的是①②③④，
故选：．
31．边长为的正方形按如图所示分割成五个小矩形，其中⑤号小矩形是边长为的正方形，若①号小矩形的周长为，且满足，则下列小矩形中一定是正方形的是　　
A．① B．② C．③ D．④
【答案】
【分析】根据题意，可以设①号小矩形的长为，然后即可表示出其它的小矩形的长和宽，从而可以判断哪个矩形一定是正方形，本题得以解决．
【解答】解：设①号小矩形的长为，则④号小矩形的宽为，
①号小矩形的周长为，且满足，
①号小矩形的宽为，
③号小矩形的宽为，
④号小矩形的长为，
④号小矩形的长和宽都是，
即④号小矩形的是正方形，
故选：．
32．如图，点，，，分别是正方形的四条边上的点，并且，则下列结论不一定正确的是　　
A．
B．
C．四边形是正方形
D．四边形的面积是四边形面积的一半
【答案】
【分析】由四边形是正方形，，，又由，即可得，然后利用即可证得，由此可得；由此可判断；由全等可证得；由，可判定四边形是菱形，又由，易得，即可证得四边形是正方形，由此可判断，；最后再判断选项即可．
【解答】解：四边形是正方形，
，，
，
，
，
，，故选项正确，不符合题意；
，
四边形是菱形，
，故选项正确，不符合题意；
，
，
，
，
，
四边形是正方形．故选项正确，不符合题意；
四边形的面积，四边形面积，
若四边形的面积是四边形面积的一半，
则，即．
若，则四边形的面积不是四边形面积的一半，
故选项不一定正确，符合题意．
故选：．
33．如图，已知四边形为正方形，，为对角线上一点，连接，过点作，交的延长线于点，以，为邻边作矩形，连接．下列结论：①矩形是正方形；②；③平分；④．其中结论正确的序号有　　
A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④
【答案】
【分析】过作，过作于，因为四边形是正方形，得出，，推出，则，则四边形是正方形，则，又因为四边形是矩形，推出，利用证明，推出，则矩形是正方形，判断①正确；则，，因为四边形是正方形，所以，，则，利用证明，则，，因为，则平分，判断③正确；则，判断②错误；因为四边形为正方形，是正方形，利用证明，推出．判断④正确．
【解答】解：过作，过作于，如图所示，
四边形是正方形，
，，
，
，
四边形是正方形，
，
四边形是矩形，
，
，
在和中，
，
，
，
矩形是正方形，
故①正确；
，，
四边形是正方形，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
平分，
故③正确；
，
故②错误；
四边形为正方形，是正方形，
，
．
故④正确．
故选：．
类型8：正方形的判定与性质解答题
34．如图，已知：在四边形中，，的垂直平分线交于点，交于点，且．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）当　45　时，四边形是正方形；
（3）在（2）的条件下，若，则四边形的面积为 　　．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）45；
（3）12．
【分析】（1）根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等，有，，根据四边相等的四边形是菱形即可判断；
（2）若四边形是正方形，则，而，则，若，则，可得四边形是正方形；
（3）根据梯形面积公式即可得到答案．
【解答】（1）证明：垂直平分，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
四边形是菱形；
（2）解：当时，四边形是正方形，理由如下：
若四边形是正方形，则，
，
，
，
，
由（1）知四边形是菱形，
四边形是正方形；
故答案为：45；
（3）解：由（2）知，四边形是正方形，，
四边形的面积为，
故答案为：12．
35．【阅读理解】明朝数学家程大位在数学著作《直指算法统宗》中以《西江月》词牌叙述了一道“荡秋千”
问题：
原文：平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索有几？ 译文：将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？（注古代5尺为1步）
为了解决这个问题，需要依据问题建立数学模型．小明同学编写出了下列数学问题：
如图，秋千绳索静止的时候，踏板离地高一尺尺），将它往前推进两步尺），此时踏板升高离地五尺尺）．已知：于点，于点，于点，．求：秋千绳索或的长度．请你解答下列问题：
（1）四边形是 　　；
．一般平行四边形．矩形．菱形．正方形
（2）求的长．
【答案】（1）；
（2）14.5尺．
【分析】（1）根据有三个角是直角的四边形是矩形，可得结论；
（2）设绳索有尺长，此时绳索长，向前推出的10尺，和秋千的上端为端点，垂直地面的线可构成直角三角形，根据勾股定理可求解．
【解答】解：（1），，，
，
四边形是矩形，
故答案为：；
（2）设的长为尺，
尺，尺，
（尺，
在中，尺，尺，尺，
由勾股定理得：，
解得：．
答：的长为14.5尺．
36．菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为菱形或矩形的“接近度”．
（1）设菱形相邻两个内角的度数分别为、，若我们将菱形的“接近度”定义为，于是越小，菱形就越接近正方形．
①当菱形的一个内角为时，“接近度” 　30　；
②当菱形的“接近度” 　　时，菱形就是正方形．
（2）若我们将菱形的“接近度”定义为，则：
①当菱形的一个内角为时，“接近度” 　　；
②当菱形的“接近度” 　　时，菱形就是正方形．
（3）小军同学仿照菱形的“接近度”的定义，给出了如下矩形的“接近度”的定义：
设矩形相邻两条边长分别是和，将矩形的“接近度”定义为，于是越小，矩形越接近于正方形．
你认为他的定义 　　（填“合理”或“不合理” ．
【答案】（1）①30；②0；
（2）①；②1；
（3）不合理，理由见解答．
【分析】（1）①②根据菱形的“接近度”定义，越小，菱形就越接近正方形，解答即可；
（2）①②根据菱形的“接近度”定义为，解答即可；
（3）根据矩形的“接近度”定义为，只有矩形的越接近1，矩形才越接近正方形，进行说明．
【解答】解：（1）①内角为，
与它相邻内角的度数为．
菱形的“接近度” ，
故答案为：30；
②当菱形的“接近度”等于0时，菱形是正方形，
故答案为：0；
（2）若我们将菱形的“接近度”定义为，则：
①当菱形的一个内角为时，“接近度” ；
故答案为：；
②当菱形的“接近度” 时，菱形就是正方形，
故答案为：1；
（3）不合理，理由如下：
越接近1，矩形越接近于正方形；
当时，矩形就变成了正方形，即只有矩形的越接近1，矩形才越接近正方形，
故答案为：不合理．
37．如图，在正方形和中，点，，在同一条直线上，是线段的中点，连接，连接并延长，交于点．请证明：
（1）四边形是矩形．
（2）当时，四边形是正方形．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析．
【分析】（1）根据正方形的性质和平角的定义证明即可证明平行四边形是矩形；
（2）根据正方形的性质，结合已知条件，证明，得出，进而证明，，，得出，即可得出，根据邻边相等的矩形是正方形．
【解答】（1）解：四边形是正方形，
，
，
四边形是平行四边形，
平行四边形是矩形；
（2）证明：在正方形和中，点，，在同一条直线上，
，，，
，
，
是线段的中点，
，
又，
，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
矩形是正方形．
38．如图，在正方形中，是对角线上一点，，，垂足分别为点，．求证：四边形是正方形．
【答案】证明见解答过程．
【分析】根据邻边相等的矩形是正方形证明即可．
【解答】证明：四边形是正方形，
，，
，，
，
四边形是矩形，
，
，
四边形是正方形．