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第五章
三角函数
5.2 三角函数的概念
课时5 同角三角函数的基本关系
教学目标
1. 经历同角三角函数的基本关系的探索、发现过程,能运用任意角的三角函数的定义加以证明.
2. 理解同角三角函数的基本关系的结构特征,体会同一个角的三个不同三角函数间的内在联系.
3. 掌握同角三角函数的基本关系在求解三角函数式的化简、求值和证明等方面的问题中的应用.
学习目标
课程目标 学科核心素养
利用单位圆和任意角的三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系 在探索、发现和推导同角三角函数基本关系的过程中,培养直观想象、数学抽象等素养
理解同角三角函数的基本关系的结构特征,体会同一个角的三个三角函数间的关系 在理解同角三角函数的基本关系的结构特征的过程中,培养数学抽象、逻辑推理等素养
掌握同角三角函数的基本关系在三角函数式的化简、求值和证明等问题中的应用 在运用同角三角函数的基本关系解题的过程中,培养逻辑推理、数学运算等素养
情境导学
如图1是宁夏沙坡头景区黄河索道，滑索总长800 m，滑索的高低落差54 m，滑索的起始点建在高度为72 m、倾斜角为60°的沙坡头顶端，沙坡头斜面长200 m．我们设滑索起始点为A，在对岸的落点为B，沙坡头山脚点为C，山顶在地面的垂直投影点为D，可得图2.
图1
要想知道飞跃处的黄河宽度(CH)，只须求出cos β的值，由余弦定义可求得EB(DH)，进而可求黄河宽CH.由已知AD＝72，AE＝54，AB＝800，易得sin β＝＝，而能否由sin β求得cos β，是我们继续求解本题的关键．为此，我们需要研究sin β与cos β之间的关系．
图2
初探新知
【问题1】你能从点的坐标、角的三个三角函数值的代数结构上发现同角的三个三角函数值之间有什么关系吗？
【活动1】利用单位圆，结合三角函数的定义探究同三
角函数基本关系
【问题2】同角三角函数的基本关系还有哪些变形形式？
【问题3】该关系式是否对任意角α均成立？
【活动2】由终边上任意一点坐标探究同角三角函数的基本关系
【问题4】若已知角终边上任意一点的坐标，那么同角三角函数的基本关系是否依然成立？
【问题5】请你证明上述结论．
【活动3】探究同角三角函数基本关系的应用
【问题6】同角三角函数的基本关系的主要作用是什么
【问题7】同角三角函数的基本关系式的特点和运用的前提条件是什么
典例精析
【例1】 已知tan α＝，求sinα和cosα的值.
【解】由tan α>0，所以α为第一象限或第三象限角．由tan α＝得cos α＝2sin α.由 cos α＝2sin α，sin2α＋cos2α＝1，得sin 2α＝.当α为第一象限角时，sin α>0，sin α＝；当α为第三象限角时，sin α<0，sin α＝－.cosα=-=-.
【方法规律】
已知角α的某一三角函数值求角α的其他三角函数值时，要根据已知条件灵活选择基本关系式求解计算．当角α的终边所在象限不明确时，要数形结合，分类讨论．所得结论要根据角α的终边所在象限的具体情形一一列出．
【变式训练1】若θ为第二象限角，tan θ＝－，则sin θ＋cos θ＝________．
【解】
【例2】 已知－(1) 求的值；
(2) 求sin x－cos x的值．
思路点拨：观察式子的代数结构，灵活利用同角三角函数的基本关系进行转换。
【解】
【方法规律】
(1) 利用sin2α+cos2α=1可实现正弦、余弦的互化,开方时要
根据角α所在象限确定符号;利用=tanα可以实现角α的弦切互化.
(2) 应用公式时注意方程思想的应用:对于sinα+cosα,sinαcosα,
sinα-cosα这三个式子,利用(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα,
可以知一求二.
(3) 注意公式逆用及变形应用:1=sin2α+cos2α,sin2α=1-cos2α,
cos2α=1-sin2α.
【变式训练2】(多选)已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝－，则下列结论中正确的是( )
A. θ∈（，π） B. cos θ＝－
C. tan θ＝－ D. sin θ－cos θ＝
ACD
【解】
【例3】 已知tan α＝2，求下列各式的值：
(1) ；
(2) ；
(3)4sin2α－3sinαcos α－5cos2α.
思路点拨 注意到所求式子都是关于sinα，cos α的分式齐次式(或可化为分式齐次式)，可将分子、分母同除以cos α的整数次幂，把所求值的式子用tan α表示，再将tan α＝2代入求其值．
【解】 (1) ＝＝＝－1.
(2) ＝＝＝.
(3)sin2α＋cos2α＝1，则有 4sin2α－3sinαcos α－5cos2α＝＝＝＝1.
【方法规律】
已知tanα，求关于sin α和cos α齐次式的值的基本方法：
(1) 形如的分式，可将分子、分母同时除以cos α；形如的分式，可将分子、分母同时除以cos2α，将正、余弦转化为正切，从而求值．
(2)形如a sin2α＋b sinαcos α＋c cos2α的式子，可将其看成分母为1的分式，再将分母1变形为sin2α＋cos2α，转化为形如的分式求解．
【变式训练3】已知＝2，求下列各式的值：
(1) tan α；(2) ；(3) 2sin2α－3sinαcos α.
【解】
（备选例题）[2020·湖北省武汉市新洲区第一中学高一期末]在平面直角坐标系xOy中,以x轴非负半轴为始边作角α∈（0，）,β∈（，）,它们的终边分别与单位圆相交于A,B两点,已知点A,B的横坐标分别为,-.
(1) 求3sin2α-sinαcosα+1的值;
(2) 化简并求cosβ的值.
【解】
【方法规律】
利用同角三角函数关系式和任意角的三角函数的定义求值或化简时,关键是寻求条件、结论间的联系,灵活地使用公式进行变形,解题注意角的范围对三角函数符号的影响,防止因符号而造成解题差错.
课堂反思
通过本节课的学习，你学到了哪些知识？
2.你认为本节课的重点和难点是什么？
随堂演练
1. 已知α是第二象限角，sin α＝ ，则cos α的值为( )
A. － B. － C. D.
2. 已知tan α＝－，则的值为( )
A. B. － C. D.
A
B
3. (多选)若α是第二象限角，则下列各式中成立的有( )
A. tan α＝－
B. ＝sin α－cos α
C. cos α＝－
D. ＝sin α＋cos α
4. 若tan2α=2tan2β+1,则2sin2α-sin2β=_____________.
5. 已知0<α<,若cosα-sinα=-,则sinα+cosα的值为_______,
的值为_______.
BC
1
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第五章
三角函数
5.2 三角函数的概念
课时4 三角函数的概念(2)
教学目标
1. 利用任意角的三角函数的定义,推导出任意角的三角函数值在各个象限内的符号的规律.
2. 借助任意角的三角函数的定义,得出终边相同角的同一三角函数的值相等即诱导公式一.
3. 能正确理解任意角的三角函数在各个象限内的符号规律和诱导公式一,初步掌握其应用.
学习目标
课程目标 学科核心素养
通过三角函数的定义,理解任意角的三角函数值在各象限内的符号规律 通过探究任意角的三角函数值在各象限内的符号规律,培养数学抽象、逻辑推理等素养
借助任意角的三角函数的定义,推导出诱导公式一,理解诱导公式一的意义 通过借助任意角的三角函数的定义推导诱导公式一,培养直观想象、逻辑推理等素养
理解任意角的三角函数值在各象限内的符号规律和诱导公式一,掌握它们的应用 通过运用三角函数值在各象限内的符号规律和诱导公式一,培养逻辑推理、数学运算等素养
情境导学
上一课时我们已经分析过了摩天轮的转动情况，并抽象出了任意角的三角函数定义．把摩天轮所得的模型一般化，记点P为座舱位置，将点P放入单位圆(r＝1)中，观察点P坐标随点P位置变化的具体情况．
对任意角α，其顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆(圆心在原点O，半径为1)的交点为P.请你思考：若知道角α的值，你能写出动点P的坐标吗？点P在不同象限时，角α的三角函数值变化有什么规律？点P在不同象限时，点P的坐标变化有什么规律？上述两个规律是否有内在联系？
初探新知
【问题1】怎样确定三角函数值在各象限的符号呢？
【活动1】探究三角函数值在各象限的符号规律
【问题2】你能在坐标系中直观地表示三角函数值在各象限的符号规律吗？
【活动2】探究终边相同的角的同一三角函数值之间的关系
【问题3】与角α终边相同的角怎样表示？
【问题4】终边相同的角的同一三角函数值之间有什么关系？
【问题5】诱导公式一揭示了三角函数值怎样的变化规律？
【问题6】诱导公式一有什么作用？
典例精析
【例1】 [教材改编题]以原点为圆心的单位圆上一点从P(1，0)出发：
(1) 沿单位圆逆时针方向运动弧长，到达点Q，则点Q坐标为________；
(2) (多选)若到达点M时，记∠POM为θ，当θ终边OM落在第二象限时，下列结论中正确的有( )
A. sin θ>0 B. sin θ<0 C. tan θ>0 D. tan θ<0
思路点拨：(1) 可由三角函数定义确定点Q的坐标．(2) 可由各象限角三角函数值的符号规律作出判断．
(,)
AD
【解】(1) 单位圆半径r＝1，圆弧PQ的长为l，圆心角为α，α＝＝＝2π＋.设Q(x，y)，由任意角三角函数定义，可得x＝cos α＝cos ＝，y＝sin α＝sin ＝，故点Q坐标为(,).
(2) 当终边OM落在第二象限，即角θ的终边位于第二象限时，设终边上点的坐标为(x，y)，其中x<0，y>0.由sinθ与y同号，cos θ与x同号，tan θ与同号，知AD正确．
【【方法规律】
(1) 由任意角的三角函数的定义,已知一个角的大小,可以在这个角的终边上确定一个点,从而可求出这个角的各个三角函数的值;(2) 利用三角函数值在各个象限内的符号规律,可判断已知角的各个三角函数值的符号.
【变式训练1】(1) 已知点P(sin α，cos α)在第二象限，则角α的终边在( )
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
(2) (多选)的值为0，则α是( )
A. 第一象限角 B. 第二象限角
C. 第三象限角 D. 第四象限角
D
AC
【解】
(1)点P(sin α，cos α)在第二象限时，则sin α＜0，cos α＞0.由sin α<0，则α的终边在第三、四象限；由cos α>0，则α的终边在第一、四象限．综上，角α的终边在第四象限．故选D.
【例2】 [教材改编题]确定下列三角函数值的符号，然后用计算工具验证：
(1) sin 156°；(2) cos (－450°)；
(3) tan() ；(4) tan 556°；
(5) sin (－465°)；(6) cos .
思路点拨：用公式一把任意角的三角函数值分别转化为0°～360°(或0～2π)范围内角的三角函数值，利用三角函数值的符号规律直接判号．
【解】(1) 156°是第二象限角，所以sin 156°>0.
(2) cos (－450°)＝cos (－450°＋2×360°)＝cos 270°，270°角的终边在y轴的负半轴上，所以cos (－450°)＝0.
(3) tan() ＝tan(+4) ＝tan，是第四象限角，所以tan() <0.
(4) tan 556°＝tan（196°+360°） ＝tan 196°，196°是第三象限角，所以tan 556°＞0.
(5) sin (－465°)＝sin (－465°＋720°)＝sin 255°，255°是第三象限角，所以sin (－465°)<0.
(6) 是第二象限角，所以cos <0.计算工具验证略．
【方法规律】
判断任意角的三角函数值符号的一般步骤：
① 变形：将已知的任意角写成2kπ＋α的形式，其中α∈[0，2π)，k∈Z；
② 转化：根据公式一，转化为求角α的某个三角函数值；
③ 判号：利用三角函数值的符号规律，判断角α的符号．
【变式训练2】不用计算器，sin 180°，sin 591.2°，sin (－358°)三者的大小顺序是( )
A. sin 180°B. sin (－358°)C. sin 591.2°D. sin 591.2°D
【解】
sin (－358°)＝sin(－358°+360°) ＝sin 2°，2°是第一象限角，则sin (－358°)＞0；180°角的终边在x轴负半轴，sin 180°＝0；sin 591.2°＝sin(－231.2°+360°) ＝sin 231.2°，231.2°是第三象限角，则sin 591.2°＝sin 231.2°<0.可得sin 591.2°【例3】 [教材改编题]求下列三角函数值：
(1) sin810°+cos-420°+tan1 125°
(2) cos+tan（-）
思路点拨 用诱导公式一,把任意角的三角函数值分别转化为0°~360°(0~2π)范围内角的三角函数值,完成求值计算.
【方法规律】
求任意角的三角函数值的一般步骤:
① 变形:将已知的任意角写成2kπ+α的形式,其中α∈,k∈Z;② 转化:根据公式一,转化为求角α的某个三角函数值;③ 求值:若角为特殊角,可直接求出该角的三角函数值.
【解】
【变式训练3】求出下列各式的值：
(1) cos 1 470°；
(3) sin ()＋cos ·tan 4.
【解】
（1）cos 1 470°＝（cos 360°×4＋30°)＝
（2）
思路点拨 (1) 求出点B的纵坐标,运用任意角的三角函数定义求解. (2) 易得α=,从而可得角β的集合,运用诱导公式一,求出求出sinβ. (3) 运用三角函数值的符号规律作出判断.
（备选例题）在平面直角坐标系xOy中,角α的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于点A,它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B,始边不动,终边在运动.
(1) 若点B的横坐标为-,求tanα的值;
(2) 若△AOB为等边三角形,写出与角α终边相同的角β的集合,并求出sinβ的值;
(3) 若点B在第二象限,试判断cos(sinα)·sin(cosα)的符号.
【解】
(1) 设点B的纵坐标为m,则由题意m2+（-）2=1,且m>0,所以m=,故B（-，）,根据三角函数的定义得tanα==-.
(2)
(3) 因为点B在第二象限,所以α是第二象限的角,得00,sin(cosα)<0,所以cos(sinα)·sin(cosα)<0.
【方法规律】
(1) 已知一个角的终边的位置,运用任意角的三角函数的定义求出这个角的三角函数的值;(2) 运用诱导公式一,可将求任意角的三角函数值转化为求0°~360°(或0~2π)范围内角的三角函数值;(3) 要确定三角函数值的符号,只要确定该角所在的象限.
课堂反思
通过本节课的学习，你学到了哪些知识？
2.你认为本节课的重点和难点是什么？
随堂演练
1. [2021·湖北省十堰市高一期末改编题]若tan θ·sin2θ<0，则角θ在( )
A．第一象限 B.第二象限
C. 第二象限或第四象限 D.第二象限或第三象限
2. [2021·福建省漳州市高一期末改编题]已知角α的终边经过点(3a-9,a+2),且cosα≤0,sinα>0,则实数a的取值范围是 ( )
A. (-2,3] B. (-2,3)
C. [-2,3) D. [-2,3]
3. (多选)已知sin α·cos α<0，tan α·sin α<0，下列说法中正确的是( )
A. －α的终边在第四象限 B. 必是第三象限角
C. α是第二象限角 D. 2α是第三、四象限角
C
A
AC
4. [教材改编题]确定下列三角函数值的符号：
cos π：________；tan 700°17′：________．
5. 已知角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P(sin 120°，cos 120°)，则满足条件的α的集合为________． ，tanα= .
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第五章
三角函数
5.2 三角函数的概念
课时3 三角函数的概念(1)
教学目标
1. 从现实生活中的周期现象出发,感受利用单位圆上动点P(x,y)坐标变化定义任意角的三角函数.
2. 运用数学抽象、直观想象、逻辑推理完成三角函数概念的数学化,体会数学概念建构的基本路径.
3. 掌握任意角的三角函数的定义在解题中的应用,培养用定义解题的意识,提高用定义解题的能力.
学习目标
课程目标 学科核心素养
经历三角函数概念的建构过程,体会用单位圆上点的坐标刻画任意角三角函数的方法 通过用单位圆上点的坐标定义任意角的三角函数,培养数学抽象、直观想象素养
理解任意角的三角函数的概念,能根据定义求出任意角α的正弦、余弦和正切的值 通过运用任意角的三角函数的定义求任意角α的三角函数值,培养逻辑推理、数学运算素养
运用任意角的三角函数的定义研究三角函数的定义域和值域,体会定义在解题中的应用 在运用任意角的三角函数的定义推导符号法则和解题的过程中,培养数学运算、逻辑推理等素养
情境导学
伦敦眼(如图1)坐落在英国伦敦泰晤士河畔，为伦敦的著名旅游观光点之一．它的总高度为135 m，共有32个座舱，每个座舱可载客约25名，旋转一圈需用时30 min.
摩天轮是游乐园的常见项目，我们能否用数学方法来刻画游乐园的摩天轮座舱位置，方便我们研究任意时刻座舱所在位置的变化情况呢？比如，假设它的中心离地面的高度为h0，它的直径为2R，并按逆时针方向匀速转动．若坐在座舱中，从初始位置OA出发(如图2所示)，转过30°后，离地面的高度h为多少？转过45°后呢？
初探新知
【问题1】对于一个任意角，如何定义它的三角函数呢？
【活动1】从函数角度理解三角函数的定义
【问题2】怎样从函数的角度理解三角函数的定义呢？
【活动2】探究角的终边上任意一点的坐标与该角三角函数之间的关系
【问题4】能否找到一个方法计算当α∈(0，＋∞)时，h的高度？
【问题5】如图，建立直角坐标系，随着点P位置的改变，∠AOP的三角函数值会改变吗？请举例说明．
【问题6】参照摩天轮的模型，对任意角α，α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与圆心在原点O的单位圆交于点P(x，y)(如图).当α大小变化时，点P在单位圆上的位置也随之变化，相应的坐标能否计算？举例说明．
【问题7】任意给定一个角α∈R，它的终边OP与单位圆交点P的坐标能唯一确定吗？
【问题8】我们能否用数学语言准确刻画上述数学模型终点P(x，y)的位置变化情况？
【问题9】已知角α的终边上任意一点的坐标,能否直接由角的终边上任意一点的坐标来表示角α的三角函数值呢
【问题10】给出一个任意角α,你都能求出它的正弦函数、余弦函数和正切函数值吗
【活动3】尝试任意角的三角函数的定义的应用,深化对任意角的三角函数的理解
【问题11】三角函数既然是函数,你能说出任意角α的三个三角函数的对应关系、定义域、值域吗
典例精析
【例1】求－的正弦、余弦和正切值．
思路点拨：角的终边与单位圆的交点→对照角的终边所在象限求值→与图象结合验证运算结果的正负．
【解】 角α＝－＝－4π＋，与∠AOB＝的终边相同，如图，易知角α的终边与单位圆交点坐标为（，），故sin α＝，cos α＝，tan α＝.
【方法规律】
确定角的终边所在象限，画出角的终边与单位圆的交点，运用勾股定理算出交点的横、纵坐标，根据三角函数定义写出相应的三角函数值．
【变式训练1】求的正弦、余弦、正切值．
【解】
变式训练1答图
【例2】 已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合．
(1) 若它的终边过点P（，），求角α的三角函数值；
(2) 若它的终边过点P(－4m，3m)(m≠0)，求角α的三角函数值．
思路点拨：用角的终边上任意一点的坐标及其比值来定义三角函数．
【解】 (1) 由角α的终边过点P（，），得sin α＝，cos α＝，tan α＝.
(2)由角α的终边过点P(－4m，3m)(m≠0)，
r＝＝5|m|.
当m>0时，sin α＝，cos α＝，tan α＝－；
当m<0时，sin α＝，cos α＝，tan α＝－.
【方法规律】
当点P是角的终边与单位圆的交点时，横坐标x即为cos α，纵坐标y即为sin α，即为tan α(α≠＋kπ，k∈Z)；当点P是角的终边上任意一点时，需要先求出r＝，然后求出对应角的三角函数值：sin α＝，cos α＝，tan α＝(α≠＋kπ，k∈Z).
【变式训练2】[教材改编题]如图，角α的终边在射线y＝x(x≤0)上，求sin α，cos α，tan α的值．
【解】
变式训练2答图
【例3】[2021·北京师范大学第二附属中学高一期末改编题]设α是一个任意角.
(1) 已知P是单位圆上的一点，以射线OP为终边的角α的正弦值为－，求cos α，tan α的值；
(2) 若角α顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边为射线3x＋4y＝0(x≤0)，求的值；
(3) 若角α顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线3x＋4y＝0上，求的值．
思路点拨 定点——定象限——取值计算．
【解】(1) 设P(x，y)，由三角函数的定义知sin α＝y＝－，r2＝x2＋y2且r＝1，则x＝±.当x＝时，cos α＝x＝，tan α＝－；当x＝－时，cos α＝x＝－，tan α＝.
(2) 设射线3x＋4y＝0(x≤0)上任意一点P(－4m，3m)(m>0)，则sin α＝，cos α＝－，tan α＝－，那么＝－.
(3) 设直线3x＋4y＝0上任意一点P(－4m，3m)，r＝＝5|m|.当m>0时，sin α＝，cos α＝－，tan α＝－，＝－；当m<0时，sin α＝－，cos α＝，tan α＝－，＝.
【方法规律】
充分利用直角坐标系，定终边，找终边上点的坐标所满足的特殊关系，数形结合运用三角函数定义计算三角函数值．
【变式训练3】[2022·山东省德州市高一期末改编题]已知角α的终边经过点P(4a,-3a)(a≠0),求2sinα+cosα的值.
【解】
思路点拨 先根据题设条件和任意角的三角函数的定义将sinθ用m表示,建立m的方程,求出m的值,然后再由任意角的三角函数的定义来求cosθ和tanθ的值.
（备选例题）
已知角θ的终边经过点P(-,m)(m≠0),且sinθ=m.试判断θ所在的象限,并求cosθ和tanθ的值
【解】
【方法规律】
根据角的终边上任意一点的坐标,便可求出该角的三角函数;当角的终边在y轴上时,其正切函数值不存在;由于角既是图形,又可与实数建立一一对应关系,因此三角函数是以实数为自变量的函数.在本题中,由于求出的m值有两个,因此在求角θ的余弦和正切值时要分两种情况进行讨论.
课堂反思
通过本节课的学习，你学到了哪些知识？
2.你认为本节课的重点和难点是什么？
随堂演练
1. 已知sin α＝－，且α为第四象限角，则tan α的值为( )
A. B. － C. D. －
2. 已知角α的终边过点P(1，－1)，则tan α的值为( )
A. 1 B. －1 C. D. －
3. (多选)已知sin 2α＝1，那么角α的终边可能落在( )
A. x 轴正半轴 B. x轴负半轴
C. y轴正半轴 D. y轴负半轴
D
B
CD
4. [2017·北京卷]在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以x轴的非负半轴为始边，它们的终边关于y轴对称．若sin α＝，则sin β＝________.
5. [2020·天津第一中学高一期末]已知点P(x，3)是角θ终边上一点，且cos θ＝－，则x的值为________.
同学们再见！
Goodbye Students！
