(共27张PPT)
第五章
三角函数
5.3 诱导公式
课时6 诱导公式(1)
教学目标
1. 借助单位圆和任意角的三角函数的定义,探究和推导三角函数诱导公式二、三、四.
2. 在推导诱导公式二、三、四的过程中,理解和掌握诱导公式二、三、四的结构特征.
3. 能熟练运用诱导公式二、三、四进行简单三角函数式的求值、化简与恒等式的证明.
学习目标
课程目标 学科核心素养
能借助三角函数的定义及单位圆的对称性推导出诱导公式二、三、四 在探究、发现和推导诱导公式二、三、四的过程中,培养数学抽象、直观想象等素养
理解诱导公式二、三、四的内涵,掌握诱导公式二、三、四的结构特征 在理解诱导公式二、三、四的内涵与结构特征的过程中,培养数学抽象、逻辑推理等素养
会运用诱导公式二、三、四求解一些简单的三角函数式的求值、化简与证明问题 在运用诱导公式二、三、四求解有关问题的过程中,培养逻辑推理、数学运算等素养
情境导学
如图所示的建筑中，我们看到古今建筑大师都充分利用了圆的对称性将美学和建筑学完美融合，同时也将建筑物的空间利用最大化．
对称性是圆最重要的性质，我们可利用圆的对称性研究三角函数的对称性．前面我们由三角函数的定义得到了终边相同的角的同一三角函数的值相等，即公式一：sin (α＋2kπ)＝sin α，cos (α＋2kπ)＝cos α，tan (α＋2kπ)＝tan α，k∈Z.
在平面直角坐标系中，角的终边除了重合外，还有哪些比较特殊的关系呢？
初探新知
【问题1】如图，在平面直角坐标系内，设任意角α的终边与单位圆交于点P1，作点P1关于原点的对称点P2.以OP2为终边的角β与角α有什么关系？
【活动1】研究终边关于坐标原点对称的角的三角函数值的关系
【问题2】角β与角α的三角函数值之间有什么关系？
【问题3】诱导公式二对任意角α都成立吗
【问题4】我们是怎样推导出公式二的？
【活动2】类比公式二的推导方法，推导公式三和公式四
【问题5】在之前的讨论中我们知道角的终边除了关于原点对称的情况外，还有关于x轴、y轴对称的情况．请你试着探究当角的终边关于x轴、y轴对称时，三角函数值之间的关系．
【问题6】你能发现公式一、二、三、四的共同特征吗？
【活动3】归纳总结求任意角三角函数值的一般流程
【问题7】诱导公式二、三、四中等式右端的符号由角的象限确定,怎样判断任意角所在的象限呢
【问题8】从诱导公式二、三、四的结构特征来看,它们的主要作用是什么
【问题9】我们可以怎样运用诱导公式二、三、四来计算任意角的三角函数值 请举例说明.
【问题10】你能归纳出运用诱导公式一、二、三、四求任意角的三角函数值的一般步骤吗
典例精析
【例1】 [教材改编题]求下列三角函数值：
(1) sin ； (2) tan (－1 320°).
思路点拨：化负角为正角，化大角为小角．
【解】(1) sin ＝sin （4+）＝sin ＝sin （）＝sin＝.
(2) tan (－1 320°)＝－tan 1 320°＝－tan (4×360°－120°)＝－tan (－120°)＝tan 120°＝tan (180°－60°)＝－tan 60°＝－.
【变式训练1】sin (－1 200°)cos 1 290°＋cos (－1 020°)·sin (－1 050°)＝________.
1
【解】
【例2】 化简：sin (π＋α)cos αtan (－π－α).
思路点拨：利用诱导公式进行角的转化．
【解】 原式＝－sin αcos αtan (－2π＋π－α)＝－sin α
cos αtan (π－α)＝－sin αcos α(－tan α)＝sin αsin α＝sin2α.
【方法规律】
化简三角函数式时，若不能直接利用诱导公式，可通过变形向诱导公式转化，运用整体思想把某些角看成一个整体，再灵活运用诱导公式化简．
【变式训练2】化简：.
【解】
【例3】 已知A,B,C是△ABC的三个内角,求证:
(1) cos(2A+B+C)=-cosA;
(2)tan = -tan
思路点拨 △ABC的三个内角应满足A+B+C=π,根据这一关系,注意到等式两边表达式的差异,灵活地运用诱导公式,将左右两边实现统一即可.．
【解】 因为A,B,C是△ABC的三个内角,所以A+B+C=π.
(1) 因为cos(2A+B+C)=cos[(A+B+C)+A]=cos(π+A)=-cosA,所以等式成立.
(2) 因为tan=tan=tan=-tan=
-tan,所以等式成立.
【方法规律】
三角恒等式的证明本质上是运用三角函数公式对等式左右两边的表达式进行化简,使其实现表达形式的一致,可以是化左为右,也可以是化右为左,或者是左右归一,原则是由繁到简.灵活地运用题设条件与三角函数公式是实现证明的关键.用诱导公式一、二化大角为小角,用公式三化负角为正角,化简条件和结论后再求值.
【变式训练3】已知k，求证则
【解】
（备选例题）已知α是第三象限角,且f(α)=
(1) 若sin(α-3π)=,求f(α)的值;
(2) 若α=-1920°,求f(α)的值.
思路点拨 利用诱导公式先化简,再求值.
(1) 化简f(α)==-cosa,由条件求得cosα,从而求得f(α).
(2) 由诱导公式一得f(α)=-cos(-1920°)=-cos(-120°).
【解】
【方法规律】
根据已知条件,分析问题特征,灵活地选取适用的诱导公式和同角三角函数的基本关系式,对所给三角函数式进行化简,实现求值.要注意诱导 公式一、二、三、四是一个有机的整体,解题时必须学会根据角的特征,或对所给的角进行适当的变形,再选取相应的公式进行化简运算.
课堂反思
通过本节课的学习，你学到了哪些知识？
2.你认为本节课的重点和难点是什么？
随堂演练
1. [2019·新课标Ⅰ卷(文)改编题]tan 225°的值是( )
A. － B. C. －1 D. 1
2. 已知sin(π+α)=,那么sin(2π-α)的值是 ( )
A. - B. -
C. D.
3. [2021·温州高一期末]在平面直角坐标系中，角α的顶点与原点重合，终边与单位圆的交点为P(,)，则sin (π－α)的值为( )
A. B.－ C. D.－
D
C
A
4. 若sin (π－α)＝，cos (－α)＝，则m＝________.
5. [2017·北京卷改编题]在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以x轴的非负半轴为始边，它们的终边关于y轴对称．若sin α＝，则cos αcos β＋sin αsin β＝________.
0或8
同学们再见！
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第五章
三角函数
5.3 诱导公式
课时7 诱导公式(2)
教学目标
1. 借助单位圆和任意角的三角函数的定义,运用类比联想的方法自主探究、发现诱导公式五和六.
2. 类比诱导公式二、三、四的证明方法,运用任意角的三角函数定义完成诱导公式五、六的证明.
3. 学会运用诱导公式一~六,求解有关任意角的三角函数的求值、化简及三角恒等式证明等问题.
学习目标
课程目标 学科核心素养
类比诱导公式二、三、四的探究方式,自主探究和发现诱导公式五、六 运用类比联想的方法自主探究和发现诱导公式五、六,培养数学抽象、直观想象等素养
学会运用任意角的三角函数的定义,自主推导和证明诱导公式五、六 在运用任意角的三角函数的定义证明诱导公式五、六的过程中,培养数学抽象、逻辑推理等素养
会运用诱导公式一~六解决三角函数的求值、化简及三角恒等式的证明等问题 通过运用诱导公式一~六解决三角函数的求值、化简等问题,培养逻辑推理、数学运算等素养
情境导学
剪纸是我国的一项古老的民间艺术，它普遍存在于各族人民的社会生活中，是各种民俗活动的重要组成部分.2006年，剪纸艺术遗产经国务院批准列入第一批国家级非物质文化遗产名录．如图1是花纹样式的剪纸，将其放入直角坐标系中，如图2，我们可以发现这个图案具有四条对称轴，它们可以分别对应x轴、y轴及各象限的角平分线．
之前我们探究了单位圆中终边关于原点及坐标轴对称的角的三角函数值之间的关系，你还能找出单位圆中终边关于四个象限的角平分线对称的角的三角函数值之间的关系吗？
初探新知
【问题1】如图，P1是单位圆上一点，作点P1关于直线y＝x的对称点P5，以OP5为终边的角β与角α有什么样的代数关系？
【活动1】推导诱导公式五
【问题2】计算：
sin ＝________，cos ＝________；
cos ＝________，sin ＝________．
【问题3】与这两个角之间有怎样的关系？观察上述运算结果，猜想终边关于y＝x对称的角的三角函数值间可能存在的关系．
【问题4】你认为符合这样的终边特征的角的三角函数值相互对应的规律恒成立吗？
【问题5】你能结合单位圆，利用三角函数的定义来证明该猜想吗？
【活动2】在诱导公式五的基础上，推导诱导公式六
【问题6】由公式五，我们知道了角－α与α的终边是关于直线y＝x对称的，那么角＋α与角－α、角α的终边分别具有怎样的关系？
【问题7】＋α与α的三角函数值之间有怎样的关系？你能给出证明吗？
【问题8】由诱导公式五和六,你能推导出tan（±α）与tanα的关系吗
【问题9】诱导公式一~四的结构特征可以概括为“函数名不变,符号看象限”,你能类似地概括出诱导公式五和六的结构特征吗
【问题10】诱导公式一~六都叫做三角函数的诱导公式,你能用简洁的语言概括出三角函数的诱导公式的结构特征吗
【问题11】三角函数的诱导公式有什么作用
典例精析
【例1】 求证：
(1) sin（） ＝cos α；
(2) cos（） ＝sin α.
【证明】 (1) 因为左边＝sin（） ＝sin（4） ＝sin（）＝cos α＝右边，所以原式成立．
(2) 因为左边＝cos（） ＝cos（4） ＝cos （）＝cos （）＝sin α＝右边，所以原式成立．
【方法规律】
1. 化负角为正角，化大角为小角.
2. 角中含有加减π的整数倍时，用公式去掉π的整数倍.
3. 适当运用诱导公式五、六，转化为锐角三角函数进行函数值的运算．
【变式训练1】求证：＋＝2sin α.
【证明】
因为左边=+=2sinα=右边,所以原式成立.
【例2】 已知f(α)＝，求f().
思路点拨：根据三角函数式中角的特点,灵活地运用诱导公式一~六,先化简,再求值.
【解】f(α)＝＝cos α.代入α＝，可得f()＝cos ＝.
【方法规律】
观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异,灵活运用诱导公式进行角的转化和化归,先化简,再计算求值.运用诱导公式时,要抓住两点:一是函数名是否要改变,怎么改变;二是符号怎样确定.从角的特征分析,灵活地运用诱导公式是实现解题的关键.
【变式训练2】 [教材改编题]已知sin ＝－，计算：(1) sin ；(2) sin (π＋α)；(3) cos .
【解】
【例3】 [教材改编题]已知sin＝，且0思路点拨 充分利用诱导公式，根据已知角对所求角进行转化和代换．注意根据角－x所在象限对其三角函数值的影响．
【解】＋＝，
所以sin ＝sin []＝cos .
sin ＝，
所以cos ＝±＝±.
0所以cos ＝，所以sin ＝.
【方法规律】
抓住角 -x与 +x互余的特征进行角的变换,灵活地运用诱导公式将所求角用已知角表示,从而解决问题.解题时,要学会抓住角的特征分析,发现已知角与所求角的和、差与(k∈Z)的关系,再借助诱导公式来转化.
【变式训练3】已知θ是第四象限角，且sin＝，则tan ＝________.
【解】
【解】
（备选例题）已知sin（x+）= ,求sin（）+cos2()的值.
思路点拨 利用诱导公式先化简,-sin(x+)+[-cos(x+)]2
【解】
【方法规律】
应用诱导公式与三角函数的基本关系时要注意:① 三角式的化简通常先用诱导公式,将角度统一后再用同角三角函数关系式,这可以避免交错使用公式时导致的混乱;② 在运用公式时正确判断符号至关重要;③ 三角函数的化简、求值是三角函数中的两类基本问题,要予以重视;④ 正确理解“奇变偶不变,符号看象限”可以提高解题的效率.
课堂反思
通过本节课的学习，你学到了哪些知识？
2.你认为本节课的重点和难点是什么？
随堂演练
1.若cos ＝，则sin 的值为( )
A. B. C. － D. －
2.已知sin＝，那么cos (π＋α)的值为( )
A. － B. － C. D.
A
B
3. (多选)下列四个结论中正确的有( )
A. sin (π＋α)＝－sin α成立的条件是角α是锐角
B. 若cos (nπ－α)＝(n∈Z)，则cos α＝
C. 若α≠(k∈Z)，则tan ＝－
D. 若sin α＋cos α＝1，则sin nα＋cos nα＝1
CD
4. 化简：sin (π＋α)cos ＋sin cos (π＋α)＝______.
5. [2019·北京市第二十二中学高三月考]若sin α＝，且α为第二象限角，则cos ＝________，tan (π－α)＝________.
-1
同学们再见！
Goodbye Students！
