(共30张PPT)
第五章
三角函数
5.4 三角函数的图象与性质
课时11 正切函数的性质与图象
教学目标
1. 类比正弦函数图象和性质的学习过程,探究正切函数的图象和性质,进一步体会研究函数的方法.
2. 学会用描点法结合奇偶性和周期性作出正切函数的图象,掌握其特征,正确理解正切函数的性质.
3. 能正确地运用正切函数的图象和性质解决相关问题,提高运用所学知识分析问题、解决问题的能力.
学习目标
课程目标 学科核心素养
类比正弦函数的图象和性质的学习过程,探究正切函数的图象和性质 在探究正切函数的图象和性质的过程中,培养数学抽象、逻辑推理等素养
会用描点法作出正切函数的图象,掌握其图象特征,理解正切函数的性质 在描绘正切函数图象、理解正切函数性质的过程中,培养直观想象、数学抽象等素养
能够正确地运用正切函数的图象和性质解决与正切函数有关的问题 在运用正切函数的图象和性质解决相关问题的过程中,培养逻辑推理、数学运算等素养
情境导学
在足球比赛中,甲方边锋从乙方所守球门附近带球过人,沿直线向前推进.试问:边锋在何处射门的可命中角最大 设球门两立柱分别为A、B两点,边锋为C点,∠ACB=α ,问题即为C在何处时,视角∠ACB=α最大,为了解决这一问题,需要研究正切函数的性质.前面同学们学习了正弦函数和余弦函数的图象和性质,你能说说正弦函数的图象与性质的研究过程吗 你能否根据研究正弦函数、余弦函数的图象与性质的经验,来研究正切函数的图象与性质 可以从哪些角度入手
初探新知
【问题1】正切函数y＝tan x的定义域是什么？
【问题2】根据已有的知识准备，你能得到正切函数的哪些性质？
【问题3】正切函数的周期性和奇偶性对研究正切函数的图象有什么帮助？
【活动1】探究正切函数的周期性和奇偶性
【活动2】运用已有经验，探究正切函数的图象
【问题4】根据已有的经验，如何画出正切函数的图象？
【问题5】请你画出y＝tan x，x∈[0,)的图象.
【问题6】结合正切函数的性质，画出整个定义域上正切函数的图象．
【活动3】探究正切函数的单调性和值域,对正切函数的性质形成完整的认识
【问题7】请你观察正切函数的图象，说出正切函数的图象有何特征．
【问题8】正切函数在定义域内是增函数吗？为什么？
【问题9】正切函数有最大(小)值吗？正切函数的值域是什么？
【问题10】你能从正切函数的图象出发,进一步认识正切函数的性质吗
典例精析
【例1】 比较tan() 与tan() 的大小．
思路点拨：利用诱导公式将两个函数值化到同一单调区间内，再运用函数的单调性比较大小．
【解】由于tan ()＝tan() ＝tan() ＝－tan ，tan() ＝－tan() ＝－tan ，又0< <<，而y＝tan x在(0,)上单调递增，所以tan －tan ，即tan() >tan() .
【方法规律】
比较正切值的大小，可利用诱导公式将角转化到区间(,)内，再利用正切函数在 上单调递增这一性质，转化为比较两个角的大小即可。
【变式训练1】不通过求值，比较下列各组中两个正切函数值的大小：
(1) tan (－138°)与tan (－143°)；
(2) tan 与 tan .
【解】
【解】
【例2】 [教材改编题]函数y＝tan x(－≤x≤，且x≠0)的值域是________________.
思路点拨：利用正切函数的图象，直观感知．
[－1，0)∪(0，1]
【解】画出正切函数的图象：
由图可知，当－≤x≤，且x≠0时，y∈[－1，0)∪(0，1].即函数的值域是
[－1，0)∪(0，1].
【方法规律】
已知正切函数的解析式和定义域,求正切函数的值域,一般方法是数形结合,先作出正切函数的图象,再根据图象和单调性确定值域.解题时,一定要注意定义域.
【变式训练2】 函数y＝tan (π－x)，x∈(,)的值域为__________.
【解】
【例3】 [教材改编题]已知函数y＝tan(－x+ .
(1) 求函数的定义域；
(2) 求函数的周期；
(3) 求函数的单调区间．
思路点拨 利用正切函数的性质，通过代数变形可以得出相应的结论．
【解】(1) 自变量x的取值应满足－2x＋≠＋kπ，k∈Z，即x≠－－，k∈Z，所以函数的定义域是{x|x≠－－，k∈Z}．
(2) 设z＝－2x＋，又tan (z－π)＝tan z，所以tan (－2x＋－π)＝tan(－2x＋) ，即tan[－2(x＋)＋] ＝tan(－2x＋) ，因为对 x∈{x|x≠－－，k∈Z}．都有tan[－2(x＋)＋] ＝tan(－2x＋)，所以函数的周期为(以上推导过程也可以得出y＝A tan (ωx＋φ)的最小正周期为T＝).
(3) 因为y＝tan (－2x＋)＝－tan(2x－) ，所以函数y＝tan(2x－) 的单调递增区间就是函数y＝tan(－2x＋) 的单调递减区间．由－＋kπ<2x－<＋kπ，解得－＋【方法规律】
1. 求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tan x有意义，即x≠＋kπ，k∈Z.
2. 求y＝A tan (ωx＋φ)(ω>0)的单调区间时，由kπ－<ωx＋φ【变式训练3】已知函数f(x)＝tan(x－) .
(1) 求f(x)的最小正周期；
(2) 求f(x)的定义域和单调区间；
(3) 求方程f(x)＝的解集．
【解】
【解】
（备选例题）已知函数f(x)=Atan(ωx+φ)（A>0,ω>0,|φ|<）的图象与x轴相交的两相邻点的坐标为（，0）和（，0）,且过点(0,-3).
(1) 求f(x)的解析式;
(2) 求满足f(x)≥的x的取值范围.
思路点拨 (1) 为求f(x)的解析式,常可用待定系数法,根据题设条件分别求出A、ω和φ的值即可. (2) 为求满足f(x)≥的x的取值范围,可运用正切函数的图象,结合正切函数的周期性和单调性求解.
【解】
【方法规律】
(1) 求函数f(x)=Atan(ωx+φ)（A>0,ω>0,|φ|<）的解析式,其关键在于求出A、ω和φ的值,常用的方法是待定系数法.
(2) 三角不等式的求解,主要方法是图象法,作出三角函数的图象,结合正切函数的周期性和单调性求出不等式的解集,体现数形结合思想和方法的应用.
课堂反思
通过本节课的学习，你学到了哪些知识？
2.你认为本节课的重点和难点是什么？
随堂演练
B
D
1. 函数y＝tan 是( )
A. 最小正周期为4π的奇函数 B. 最小正周期为2π的奇函数
C. 最小正周期为4π的偶函数 D. 最小正周期为2π的偶函数
2. 函数y=tanx+sinx-|tanx-sinx|在区间（，）,内的图象是( )
3. (多选)下列说法中正确的是( )
A. sin 145°B. 函数y＝tan (ωx＋φ)(ω≠0)的最小正周期为
C. 函数y＝2tan x(≤x)的值域是[2，＋∞)
D. 函数y＝tan x在定义域上是增函数
AC
4. 函数y=3tan（2x+的定义域是 ________________。
{x|x＋，k∈Z}
5. 已知函数f(x)＝tan(2x－),求函数f(x)的最小正周期和单调区间.
解析
同学们再见！
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第五章
三角函数
5.4 三角函数的图象与性质
课时8 正弦函数、余弦函数的图象
教学目标
1. 从三角函数的定义出发,借助单位圆和诱导公式,运用描点法作出正弦函数y=sinx,x∈R的图象.
2. 结合诱导公式,利用正弦函数的图象的平移直接得到余弦函数的图象,加深对图象平移本质的认识.
3. 建立对正弦函数和余弦函数的图象特征的正确理解,感受正弦函数、余弦函数图象在解题中的应用.
学习目标
课程目标 学科核心素养
能借助单位圆画正弦函数的图象,掌握五点法作正弦函数图象简图的步骤 在画正弦函数图象的过程中,培养直观想象、数学抽象等素养
会用平移变换法由正弦函数的图象画余弦函数的图象,加深对图象平移的本质的认识 通过运用平移变换法作余弦函数图象,明确正弦函数和余弦函数图象间的联系,培养数学抽象、逻辑推理等素养
理解三角函数的图象特征和基本性质,感受正弦函数、余弦函数的图象在解题中的应用 通过运用正弦函数、余弦函数的图象和性质解决相关的问题,培养逻辑推理、数学运算等素养
情境导学
请你动手做一做这个实验：将小塑料瓶底部扎一小孔做成漏斗，再挂在架子上，就做成了一个简易的单摆．在漏斗下方放一块纸板，纸板中间沿长边方向画一条直线作为坐标系的x轴.把漏斗灌上细沙并沿与x轴垂直的方向拉离平衡位置，放手使它摆动，同时沿x轴匀速拉动纸板，这样可在纸板上得到一条曲线，
如图1，它表示单摆相对平衡位置的位移y(纵坐标)随着时间x(横坐标)变化的情况．图2就是某个“正弦曲线”或“余弦曲线”的图象．
图1 图2
如何画正弦函数和余弦函数的图象呢？
初探新知
【问题1】我们已经学习了幂函数、指数函数、对数函数图象的画法，请你回忆一下，我们是怎样做的？步骤是什么？
【问题2】在[0，2π]上任取一个值x0，如何利用正弦函数的定义确定正弦函数值sin x0，描出点T(x0，sin x0)呢？
【活动1】确定正弦函数图象画法的基本途径
【问题3】怎样作出图象上更多的点呢？
【问题4】怎样连线呢？
【问题5】你能根据函数y＝sin x在[0，2π]内的图象，想象y＝sin x，x∈R的图象吗？
【活动2】会用五点(画图)法画正弦函数的图象
【问题6】观察函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象，哪些点起关键作用？
【问题7】如何画出函数y＝sin x，x∈[0，2π]图象的简图？
【活动3】用平移法由正弦函数的图象得到余弦函数的图象
【问题8】在诱导公式中，cos x和sin x可否相互转换？
【问题9】如何利用y＝sin x的图象画出y＝cos x的图象？
【问题10】能否用五点法作出余弦函数在[－π，π]上的简图？
典例精析
【例1】 用五点法作出下列函数的图象：
(1) y＝1－sin x，x∈[－2π，0]；
(2) y＝cos x＋，x∈[－π，π].
思路点拨：(1) 取x分别为－2π，－，－π，－，0，求出对应的y，然后描点，用光滑的曲线连接即可．
(2) 取x分别为－π，－，0，，π，求出对应的y，然后描点，用光滑的曲线连接即可．
【解】 (1) 找五个关键点列表：
描点、连线，画图如下：
x －2π － －π － 0
sin x 0 1 0 －1 0
1－sin x 1 0 1 2 1
(2) 找五个关键点列表：
描点、连线，画图如下：
x －π － 0 π
cos x －1 0 1 0 －1
cos x＋ － －
【方法规律】
【变式训练1】用五点法作出y＝1－cos x，x∈[－,]的图象．
【解】找五个关键点列表：
变式训练1答图
【例2】 [教材改编题]已知函数f(x)＝(sin x－|sin x|)
(1) 画出函数f(x)的草图；
(2) 当x∈[－2π，2π]时，利用图象求不等式f(x)≤－的解集．
思路点拨：(1) 去掉绝对值符号，画分段函数的图象．(2) 借助图象，写出满足不等式的解集．
【解】(1) y＝(sin x－|sin x|)＝ ,
由此可得图象：
【方法规律】
某些函数的图象可通过图象变换，如平移变换、对称变换作出．对于解析式含绝对值的函数可先化为分段函数，再解决相应问题．
(2) 画直线y＝－，那么不等式f(x)≤－代表的是[－2π，2π]区间内，图象在直线y＝－下方部分的x的取值范围，如图：
由图象可知f(x)≤－的解集为[－,-]∪[,].
【变式训练2】 函数y＝|tan x|·cos x(0x)的图象是( )
D
【解】
【例3】 利用正弦曲线，求满足思路点拨 作出正弦函数的图象，再利用数形结合法求解．
【解】 首先作出y＝sin x在[0，2π]上的图象，如图所示．作直线y＝，根据特殊角的正弦值，可知该直线与y＝sin x，x∈[0，2π]的交点横坐标为和；作直线y＝，该直线与y＝sin x，x∈[0，2π]的交点横坐标为和.
观察图象可知，在[0，2π]上，当【方法规律】
一些简单含有正弦函数、余弦函数等的三角不等式的求解,常可运用三角函数的图象进行,先在[0,2π]作出正弦函数、余弦函数的图象,求出符合条件的角x的集合,再根据诱导公式一得出其解集.
【变式训练3】函数y＝1－sin x，x∈[0，2π]的图象与直线y＝的交点个数是________．
2
【解】
变式训练3答图
（备选例题）已知函数f(x)=
(1) 作出该函数的图象;
(2) 若f(x)=,求x的值;
(3) 若a∈R,讨论方程f(x)=a的解的个数.
思路点拨 (1) 根据正弦函数、余弦函数的图象即可画出. (2) 讨论x的范围,根据解析式即可求解. (3) 方程f(x)=a的解的个数等价于y=f(x)与y=a的图象的公共点个数,结合图象即可得出.
【解】
(1) f(x)的函数图象如下. (2) 当-π≤x<0时,f(x)=cosx=,解得x=-,当0≤x≤π时,f(x)=sinx=,解得x=或x=,综上,x=-或x=或x=. (3) 方程f(x)=a的解的个数等价于y=f(x)与y=a的图象的公共点个数,则由(1)中函数图象可得,当a>1或a<-1时,解的个数为0;当-1≤a<0或a=1时,解的个数为1;当0≤a<1时,解的个数为3.
课堂反思
通过本节课的学习，你学到了哪些知识？
2.你认为本节课的重点和难点是什么？
随堂演练
1. 对于正弦函数y＝sin x的图象，下列说法中错误的是( )
A. 向左右无限伸展 B. 与y＝cos x的图象形状相同，只是位置不同
C. 与x轴有无数个交点 D.关于y轴对称
2. 函数y＝－sin x，x∈[－,]的简图是( )
D
D
3. (多选)下列叙述中正确的有( )
A. y＝sin x，x∈[0，2π]的图象关于点P(π，0)成中心对称
B. y＝cos x，x∈[0，2π]的图象关于直线x＝π成轴对称
C. y＝cos x，x∈[0，2π]的图象关于x轴对称
D. 正弦函数、余弦函数的图象不超过直线y＝1和y＝－1所夹的范围
ABD
4. sin x>0，x∈[0，2π]的解集是________.
5. 函数f(x)＝sin x＋3|sin x|，x∈[0，2π]的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围为________.
(0，π)
(2，4)
同学们再见！
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第五章
三角函数
5.4 三角函数的图象与性质
课时10 正弦函数、余弦函数的性质
——单调性和最大值、最小值
教学目标
1. 通过正弦函数、余弦函数的图象,探究 y=sinx,x∈R和y=cosx,x∈R的单调性和最值.
2. 会用“整体”思想求函数函数y=Asin(ωx+φ)、函数y=Acos(ωx+φ)的最值及单调区间.
3. 能正确地运用正弦函数和余弦函数的图象和单调性求解有关三角函数值的大小比较等问题.
学习目标
课程目标 学科核心素养
掌握正弦函数、余弦函数的单调性,会求正弦函数、余弦函数的单调区间 通过借助三角函数的图象研究三角函数的单调性,培养直观想象、数学运算等素养
学会运用正弦函数和余弦函数的图象求正弦型函数、余弦型函数的最大值、最小值 通过运用图象求正弦型函数、余弦型函数的最大值、最小值,培养直观想象、数学运算等素养
能正确地运用正弦函数、余弦函数的图象和单调性求解有关比较三角函数值大小的问题 在比较三角函数值大小的过程中,培养逻辑推理、数学运算素养
情境导学
如图，一段半径为R、圆心角为90°的扇形圆木，欲按图中阴影部分锯成横断面为四边形OABC的木料．
怎样锯才能使截面面积最大？
连接OB，设∠AOB＝θ，0°<θ<90°.作BM⊥OA，垂足为M，BN⊥OC，垂足为N，则BM＝R sinθ，BN＝
R cosθ，四边形OABC的面积S＝S△OAB＋S△OCB＝
R2（BM+BN）＝R2(+)
问题转化为求三角函数的最大值问题．如何求三角函数的最大值呢？
初探新知
【问题1】请你思考：如何研究正弦函数的单调性呢？
【问题2】你能写出正弦函数y＝sin x，x∈R在一个周期内的单调区间及其函数值的变化情况吗？
【问题3】你能写出正弦函数y＝sin x，x∈R的单调区间及其函数值的变化情况吗？
【问题4】类比正弦函数，请你写出余弦函数y＝cos x，x∈R的单调区间及其函数值的变化情况.
【活动1】探究正弦函数、余弦函数的单调性
【活动2】探究正弦函数、余弦函数的最大值、最小值
【问题5】正弦函数的最大值和最小值分别是多少？
【问题6】自变量x的值是多少时，正弦函数取到最大值、最小值？
【问题7】余弦函数的最大值和最小值分别是多少？
【问题8】自变量x的值是多少时，余弦函数取到最大值、最小值？
【问题9】函数y＝A sin (ωx＋φ)，x∈R(A>0)的最大值和最小值分别是多少？
【问题10】函数y＝A cos (ωx＋φ)，x∈R(A>0)的最大值和最小值分别是多少？
典例精析
【例1】 下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出取最大值、最小值时自变量x的集合，并求出最大值、最小值．
(1) y＝－cos x＋，x∈R；
(2) y＝sin (－2x)，x∈R.
思路点拨：此类问题求解的基本依据是正弦、余弦函数的最大(小)值．通过换元的方法转化求解。
【解】 容易知道，这两个函数都有最大值、最小值．
(1) 使函数y＝－cos x＋，x∈R取得最大值的x的集合，就是使函数y＝cos x，x∈R 取得最小值的x的集合{x|x＝(2k＋1)π，k∈Z}；使函数y＝－cos x＋，x∈R取得最小值的x的集合，就是使函数 y＝cos x，x∈R取得最大值的x的集合{x|x＝2kπ，k∈Z}．函数y＝－cos x＋，x∈R的最大值是1＋＝；最小值是－1＋＝－.
(2) 令 z＝－2x，使函数y＝sin z，z∈R 取得最大值的 z 的集合，就是使y＝sin z，z∈R 取得最大值的z的集合{z|z＝＋2kπ，k∈Z}，由z＝－2x＝＋2kπ，得x＝－－kπ. 所以，使函数y＝sin (－2x)，x∈R 取得最大值的x 的集合是{x|x＝－－kπ，k∈Z}.同理，使函数y＝sin (－2x)，x∈R取得最小值的x 的集合是{x|x＝－kπ，k∈Z}.函数y＝sin (－2x)，x∈R的最大值是，最小值是－.
【方法规律】
对于形如y＝A sin (ωx＋φ)＋B的函数，一般先通过变量代换将其化归为y＝A sin z＋B(设z＝ωx＋φ)的形式，然后进行求解．解题过程中，要注意参数A的正负对结果的影响．
【变式训练1】函数y＝1－2cos x的最小值、最大值分别为( )
A. 0，3 B. －1，3 C. －1，1 D. 0，1
B
【解】
【例2】不通过求值，比较sin ，cos ，sin 的大小关系．
思路点拨：可利用三角函数的单调性比较同名三角函数值的大小．为此，先用诱导公式将已知角化为同一单调区间内的角，然后再比较大小．
【解】由诱导公式可得cos ＝sin() ＝sin ，
sin ＝sin() ＝sin ．
因为－<<<<，且正弦函数y＝sin x在[－,]上单调递增，所以sin 【方法规律】
解决此类问题的关键是利用诱导公式将已知角转化到同一三角函数的同一个单调区间上进行研究．
【变式训练2】 比较下列各组中函数值的大小：
(1) cos ()与cos ()；(2) sin 194°与cos 160°.
【解】
【解】
【例3】 求函数y＝sin(－x+) ，x∈[－2π，2π]的单调区间．
思路点拨 令z＝－x+，x∈[－2π，2π]，当自变量x的值增大时，z的值随之减小，因此若函数 y＝sin z在某个区间上单调递增，则y＝sin(－x+) 在相应的区间上单调递减.
【解】令z＝－x+，x∈[－2π，2π]，则 z∈[－，].因为y＝sin z，z∈[－，]的单调递增区间是[－，]，且由－≤－x+≤，得－≤x≤，所以函数y＝sin ，x∈[－2π，2π]的单调递减区间是.又因为y＝sin z，z∈[－，]的单调递减区间是[－，]和[，]，且由－≤－x+≤－，≤－x+≤，得≤x≤2π，－2π≤x≤－，所以函数y＝sin(－x+) ，x∈[－2π，2π]的单调递增区间是[－2π，－π]和[，2π]．
【方法规律】
研究正弦型函数和余弦型函数单调性,一般思路是通过变量代换,将其等价转化为y=sinz或y=cosz在相应区间上的单调性问题,再借助正弦函数在相应区间上的图象,直观判断获得结论.
【变式训练3】函数y＝cos (－x)的单调递增区间是( )
A. [+2kπ，+2kπ](k∈Z)
B. [－+2kπ，+2kπ](k∈Z)
C. [－+2kπ，+2kπ](k∈Z)
D. [－+2kπ，+2kπ](k∈Z)
B
【解】
（备选例题）定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),且在[-4,-3]上单调递增,α,β是锐角三角形的两个内角,求证:f(sinα)>f(cosβ).
思路点拨 因为α,β是锐角三角形的两个内角,所以0【解】
由f(x+1)=-f(x),得f(x+2)=-f(x+1)=f(x),所以函数f(x)是周期函数,且2是它的一个周期.因为函数f(x)在[-4,-3]上单调递增,所以函数f(x)在[0,1]上单调递增.又α,β是锐角三角形的两个内角,则有α+β>,即>α>-β>0,因为y=sinx在上单调递增,所以sinα>sin=cosβ,且sinα∈[0,1],cosβ∈[0,1],所以f(sinα)>f(cosβ).
【方法规律】
函数的周期性、奇偶性和单调性有着紧密的联系,应用十分广泛,比较大小、证明不等式以及求不等式的解集等问题,常常需用借助函数的周期性、奇偶性和单调性间的关系来进行问题的转化,再运用函数的单调性来实现解题的目的.
课堂反思
通过本节课的学习，你学到了哪些知识？
2.你认为本节课的重点和难点是什么？
随堂演练
1. 函数y＝2－3cos x的最小值、最大值分别是( )
A. －1，5 B. －1，1 C. 0，5 D. 0，3
2. [2020·江苏梅村高级中学检测]函数y＝－sin(x+) 的一个单调递减区间是( )
A. [，] B.[，] C. [－，] D. [－，]
A
D
3. (多选)已知函数f(x)＝cos(x+) ，则( )
A. 2π为f(x)的一个周期
B. y＝f(x)的图象关于直线x＝对称
C. f(x)在(,)上单调递减
D. f(x＋π)的一个零点为
AD
5. 函数y＝3cos(x) 在x＝____________时，y取最大值.
函数y＝3sin(x) ，x∈[0，π]的单调递减区间是________.
[，]
4kπ＋(k∈Z)
4. cos1,cos2,cos3的大小关系是 .
cos1>cos2>cos3
同学们再见！
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第五章
三角函数
5.4 三角函数的图象与性质
课时9 正弦函数、余弦函数的性质
——周期性和奇偶性
教学目标
1. 理解周期函数、函数的周期和最小正周期等概念,能根据定义判断一个函数是否为周期函数.
2. 学会借助诱导公式以及正弦函数、余弦函数的图象,探究正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性.
3. 理解正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性,掌握正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性的应用.
学习目标
课程目标 学科核心素养
理解函数的周期性以及周期函数与最小正周期等概念,体会三角函数“周而复始”的变化规律 在理解和运用周期函数、函数的周期性等概念的过程中,培养数学抽象、逻辑推理等素养
理解正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性,会研究正弦型函数和余弦型的周期性和奇偶性 在探究和理解正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性的过程中,培养直观想象、数学抽象等素养
能正确地运用正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性解决与正弦函数、余弦函数有关的问题 在运用正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性解题的过程中,培养逻辑推理、数学运算等素养
情境导学
四季轮回，周而复始；春夏秋冬，生生不息．每个季节都有属于自己的美丽，“春有百花秋有月，夏有凉风冬有雪”，只要用心欣赏品味，岁月无时不溢彩，四季无时不流韵．像这样以相同的间隔重复出现的现象就是周期现象．你知道数学中有哪些周期现象吗？
初探新知
【问题1】从情境导学中，我们知道周期现象具有周而复始的特征．那么函数中是否会有周期现象呢？你能用数学语言来描述函数的周期性吗？
【问题2】若T是函数y＝f(x)的周期，则周期T有什么特点？是否唯一？
【问题3】你知道什么是函数的最小正周期吗？是否所有的周期函数都有最小正周期呢？
【活动1】探究周期函数与最小正周期的概念
【问题4】若函数y=f(x)是周期函数,且最小正周期为T,则函数y=f(x)的图象具有怎样的特征
【活动2】探究正弦函数、余弦函数的周期性
【问题5】等式sin (x＋2π)＝sin x；cos (x＋2π)＝cos x，是否对任意的x∈R都成立？
【问题6】正弦函数y＝sin x是不是周期函数？若是，请写出正弦函数的周期．
【问题7】根据上述定义，正弦函数y＝sin x的最小正周期是多少？
【问题8】余弦函数y＝cos x是不是周期函数？若是，请写出余弦函数的周期及它的最小正周期．
【活动3】探究正弦函数、余弦函数的奇偶性
【问题9】观察正弦曲线，你能说出正弦函数的奇偶性吗？
【问题10】观察余弦曲线，你能说出余弦函数的奇偶性吗？
【问题11】你能根据函数奇偶性的定义判断正弦函数、余弦函数的奇偶性吗？
典例精析
【例1】 [教材改编题]求下列函数的周期：
(1) y＝3cos x，x∈R；
(2) y＝sin 2x，x∈R；
(3) y＝2sin （3x+），x∈R；
(4) y＝A sin (ωx＋φ)，x∈R(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)．
思路点拨：利用三角函数的周期性，通过代数变形，得出等式f(x＋T)＝f(x)，从而求出相应的周期．
【解】 (1) x∈R，有3cos (x＋2π)＝3cos x，由周期函数的定义可知，原函数的周期为2π.
(2) 令z＝2x，由x∈R得z∈R，且y＝sin z的周期为2π，即sin (z＋2π)＝sin z，于是sin (2x＋2π)＝sin 2x，所以sin 2(x＋π)＝sin 2x，x∈R.由周期函数的定义可知，原函数的周期为π.
(3) 令z＝3x＋，由x∈R得z∈R，且y＝2sin z的周期为2π，即2sin (z＋2π)＝2sin z，于是2sin （3x++2）＝2sin（3x+） ，
所以2sin[3(x+)+] ＝2sin（3x+） .由周期函数的定义可知，原函数的周期为.
【解】 (4) 令z＝ωx＋φ，由x∈R得z∈R，且y＝A sin z的周期为2π，即A sin (z＋2π)＝A sin z，于是A sin (ωx＋φ＋2π)＝A sin (ωx＋φ)，所以A sin[(x+)+φ] ＝2sin (ωx＋φ).由周期函数的定义可知，原函数的周期为.
【方法规律】
求三角函数周期的一般方法：
1. 用周期函数的定义求函数的周期．
2. 根据第(4)小题的结论，我们可以直接写出形如y＝A sin (ωx＋φ)，x∈R(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)和y＝A cos (ωx＋φ)，x∈R(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的周期T＝.
【变式训练1】求下列函数的周期：
(1) y＝cos ，x∈R；
(2) y＝sin （x），x∈R.
【解】
【例2】 [教材改编题]判断下列函数的奇偶性：
(1) y＝sin 2x；(2) y＝sin（x） .
思路点拨：利用函数奇偶性的定义求解．
【解】(1) 令f(x)＝y＝sin 2x，因为f(x)的定义域R关于原点对称，且f(－x)＝sin 2(－x)＝－sin 2x＝－f(x)，所以函数为奇函数．
(2) 令g(x)＝y＝sin（x），g(x)的定义域R关于原点对称．因为g(x)＝sin（x） ＝－cos x，所以g(－x)＝－cos(－x) ＝－cos x＝g(x)，所以函数为偶函数．
【方法规律】
判断函数的奇偶性的一般方法是运用奇偶性的定义,先看定义域,再判断f(-x)和f(x)之间的数量关系.若定义域关于原点不对称,则f(x)为非奇非偶函数;若定义域关于原点对称,满足f(-x)=-f(x),则f(x)为奇函数,满足f(-x)=f(x),则f(x)为偶函数.
【变式训练2】 下列函数中周期为，且为偶函数的是( )
A. y＝sin 4x
B. y＝cos x
C. y＝sin （x）
D. y＝cos （）
C
【解】
【例3】[2022·河南省南阳市第一中学高一月考]定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x∈[0，]时，f(x)＝sin x，求f()的值．
思路点拨 借助函数的周期性和奇偶性，把所求目标函数值化归到已知解析式的自变量范围中．
【解】 因为f(x)的最小正周期T＝π，所以f()＝f()＝f()，又y＝f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)，所以f()＝f()＝f()＝sin ＝.
【方法规律】
解决函数的奇偶性与周期性综合问题的方法：利用函数的周期性，把x＋nT
(n∈Z)的函数值转化为x的函数值，利用奇偶性，找到－x与x的函数值的关系，从而解决求值问题．
【变式训练3】已知f(x)是以π为周期的偶函数，且x∈[0，]时，f(x)＝1－sin x，求当x∈[，]时，f(x)的解析式．
【解】
（备选例题）作出下列函数的图象并根据图象判断函数的奇偶性和周期性:
(1) y=(cosx+|cosx|);
(2) y=.
思路点拨 根据绝对值的定义去掉绝对值符号将函数关系转化为分段函数,分段作出其图象,再根据图象对其奇偶性和周期性作出判断.
【解】
【方法规律】
与正弦函数、余弦函数有关的复杂函数的图象,通常是先找出这个复杂函数与已知常见函数之间的联系,再利用常见函数的图象通过平移变换、对称变换等得出所要求作的图象.判断函数的奇偶性与周期性的常用方法:一是运用定义;二是借助图象.
课堂反思
通过本节课的学习，你学到了哪些知识？
2.你认为本节课的重点和难点是什么？
随堂演练
1. 下列函数中，最小正周期为π的是( )
A. y＝sin x B. y＝cos x
C. y＝sin x D. y＝cos 2x
2. 函数y＝|sin x|的最小正周期为( )
A. B. π C. 2π D. 4π
3. (多选)下列函数中，最小正周期为π的偶函数有( )
A. y＝sin x B. y＝|cos x|
C. y＝2cos x D. y＝sin （）
D
B
BD
4. 若函数f(x)＝sin （ω） (ω>0)的最小正周期为，则f()＝________.
5. [2020·吉林省长春外国语学校期初]已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，若对于任意实数x≥0，都有f(x＋4)＝f(x)，且当x∈[0，2)时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(2 020)＋f(－2 021)的值为________．
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同学们再见！
Goodbye Students！
