数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.4.1圆的标准方程（共18张ppt）

(共18张PPT)
2.4 圆的方程
2.4.1 圆的标准方程
多边形和圆是平面几何中的两类基本图形.建立直线的方程后，我们可以运用它研究多边形这些“直线形”，解决边所在直线的平行或垂直、边与边的交点以及点到线段所在直线的距离等问题.类似地，为了研究圆地有关性质，解决与圆有关地问题，我们首先需要建立圆的方程.
引言
※
思考
在平面直角坐标系中，如何确定一个圆？
圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的点的集合.
圆心坐标，半径
确定一个圆
问题探究
A
M
O
x
y
r
圆心A(a,b)，半径为r，圆上任意一点M(x,y)满足
|AM|=r，即
两边同时平方，得
(x - a)2+(y - b)2= r2
一、圆的标准方程
圆心为A(a,b)，半径为 r 的圆的标准方程
(x - a)2+(y - b)2= r2
与直线方程比，圆的标准方程有什么特点？
圆心为原点，半径为 r 的圆的标准方程
x 2 + y 2= r2
练习巩固
例1求圆心为A(2,-3)，半径为5的圆的标准方程，并判断点M1(5,-7)，M2(-2,-1)是否在这个圆上.
【分析】根据点的坐标与圆的方程的关系，只要判断一个点的坐标是否满足圆的方程，就可以得到这个点是否在圆上.
练习巩固
例1求圆心为A(2,-3)，半径为5的圆的标准方程，并判断点M1(5,-7)，M2(-2,-1)是否在这个圆上.
解: 圆心为A(2,-3)，半径为5的圆的标准方程是
(x-2)2+(y+3)2=25
把点M1(5,-7)的坐标代入方程(x-2)2+(y+3)2=25的左边，
得(5-2)2+(-7+3)2=25，等式成立，所以点M1在这个圆上.
把点M2(-2,-1)的坐标代入方程(x-2)2+(y+3)2=25的左边，
得(-2-2)2+(-1+3)2≠25，等式不成立，所以点M1不在这个圆上.
练习巩固
练习1写出下列圆的标准方程：
(1) 圆心为C(-3,4)，半径是；
(2) 圆心为C(-8,3)，且经过点M(-5,-1).
【答案】(1) (x+3)2+(y-4)2=5
(2) (x+8)2+(y-3)2=25
思考
点M0(x0,y0)在圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2内的条件是什么？在圆(x-a)2+(y-b)2=r2外的条件是什么？
C
C
C
M0
M0
M0
(x0-a)2+(y0-b)2(x0-a)2+(y0-b)2=r2
(x0-a)2+(y0-b)2>r2
在圆内
在圆上
在圆外
练习巩固
例2 已知圆的标准方程是(x-3)2+(y+2)2=16，判断下列各点在圆上、圆外，还是在圆内.
(1) M1(4,-5) (2)M2(6,1) (3)M3(3,-6).
解:(1) M1代入圆的方程，(4-3)2+(-5+2)2<16，所以点M1在圆内；
(1) M2代入圆的方程，(6-3)2+(1+2)2>16，所以点M1在圆外；
(1) M3代入圆的方程，(3-3)2+(-6+2)2=16，所以点M1在圆上.
练习巩固
例3 ABC的三个顶点分别是A(5,1)，B(7,-3)，C(2,-8)，求 ABC的外接圆的标准方程.
练习巩固
【代数法】: 设所求的方程是 (x-a)2+(y-b)2=r2
把三个点的坐标代入上式，可得
故外接圆的标准方程是(x-2)2+(y+3)2=25
练习巩固
【几何法】: (AB与BC中垂线的交点即为圆心)
因为A(5,1)，B(7,-3)
所以AB的中点坐标为(6,-1)，且kAB=-2
所以AB中垂线的斜率为，
则AB中垂线方程为y+1=(x-6)，即x-2y-8=0,
同理可得，BC的中垂线方程为x+y+1=0
联立两个中垂线方程，得圆心坐标为M(2,-3)
所以半径r=|AM|=
故外接圆的标准方程是(x-2)2+(y+3)2=25
A
B
C
练习巩固
例4 已知圆心为C的圆经过A(1,1)，B(2,-2)两点，且圆心C在直线l：x-y+1=0上，求此圆的标准方程.
练习巩固
【代数法】: 设所求的方程是 (x-a)2+(y-b)2=r2
把点A,B的坐标代入圆得方程，圆心C(a,b)代入直线l，得
故外接圆的标准方程是(x+3)2+(y+2)2=25
练习巩固
例4 已知圆心为C的圆经过A(1,1)，B(2,-2)两点，且圆心C在直线l：x-y+1=0上，求此圆的标准方程.
几何角度:如何确定圆心呢？
x
O
A(1,1)
B(2,-2)
y
圆心
在l上
在AB中垂线上
AB中点
AB斜率
练习巩固
【几何法】: (AB与BC中垂线的交点即为圆心)
因为A(1,1)，B(2,-2)
所以AB的中点坐标为(,-)，且kAB=-3
所以AB中垂线的斜率为，
则AB中垂线方程为y+=(x-)，即x-3y-3=0,
联立中垂线方程与直线l: x-y+1=0，得圆心坐标为M(-3,-2)
所以半径r=|AM|=
故外接圆的标准方程是(x+3)2+(y+2)2=25
x
O
A(1,1)
B(2,-2)
y
课堂小结
圆心为A(a,b)，半径为 r 的圆的标准方程
(x - a)2+(y - b)2= r2
圆心为原点，半径为 r 的圆的标准方程
x 2 + y 2= r2