湖南省衡阳市重点中学2022-2023学年高一上学期新生分班考试数学模拟试卷（含解析）

2022-2023学年度高一新生分班考试数学模拟试卷
一．选择题（共12小题）
1．据统计，2019年重庆中考报名人数为320000人，320000用科学记数法表示为（　　）
A．3.2×104 B．3.2×105 C．3.2×106 D．32×106
2．已知x，y满足方程组，则无论m取何值，x，y恒有关系式是（　　）
A．x+y＝1 B．x+y＝﹣1 C．x+y＝9 D．x+y＝﹣9
3．如图，设k（a＞b＞0），则k的值可以为（　　）
A． B．1 C． D．2
4．已知：关于x的一元二次方程x2﹣（R﹣r）xd2＝0有两个相等的实数根，其中R、r分别是⊙O1、⊙O2的半径，d为两圆的圆心距，则⊙O1与⊙O2的位置关系是（　　）
A．外离 B．外切 C．相交 D．内切
5．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥AB，AD＝CD，cos∠DCA，BC＝10，则AB的值是（　　）
A．3 B．6 C．8 D．9
6．如图，正△ABC的边长为3，绕其中心O将△ABC旋转180°得到△DEF，则△ABC和△DEF重叠部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
7．若关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣4m﹣1＝0有两个实数根x1，x2，且（x1+2）（x2+2）﹣2x1x2＝17，则m＝（　　）
A．2或6 B．2或8 C．2 D．6
8．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，其对称轴为直线x＝﹣1，给出下列结论：（1）b2＞4ac；（2）abc＞0；（3）2a+b＝0；（4）a+b+c＞0；（5）4a﹣2b+c＜0．则正确的结论有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
9．如图，∠EFG＝90°，EF＝10，OG＝17，cos∠FGO，则点F的坐标是（　　）
A．（8，） B．（8，12） C．（6，） D．（6，10）
10．下列计算正确的是（　　）
A．（a﹣b）2＝a2﹣b2 B．3
C．5a2b﹣2a2b＝3 D．|3.14﹣π|＝|π﹣3.14|
11．一组数：2，1，3，x，7，y，23，…，满足“前两个数依次为a、b，紧随其后的第三个数是2a﹣b”，例如这组数中的第三个数“3”是由“2×2﹣1”得到的，那么这组数中y表示的数为（　　）
A．9 B．﹣9 C．8 D．﹣8
12．我国古代数学家刘徽利用圆内接正多边形创立了“割圆术”，现将半径为2的圆十二等分构造出2个矩形和1个正方形（如图），则阴影部分的面积是（　　）
A．1 B． C． D．
二．填空题（共7小题）
13．若t为实数，x2﹣4x+t﹣2＝0的两个非负实数根为a，b，则代数式（a2﹣1）（b2﹣1）的最小值　 　
14．已知不相等的实数a、b满足a2﹣3a﹣1＝0，b2﹣3b﹣1＝0，则　 　．
15．关于x的方程（）2＝2，方程的所有的所有实根的和为　 　．
16．如果关于x的一元二次方程2x2+3x+5m＝0的两个实数根都小于1，那么实数m的取值范围是 　 　．
17．如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB于点E，cosA，BE＝4，则DE的长为 　 　．
18．如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”．已知点A、B、C、D分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为y＝（x﹣1）2﹣4，AB为半圆的直径，则这个“果圆”被y轴截得的弦CD的长为　 　．
19．方程[x3]+[x2]+[x]＝{x}﹣1的解是 　 　．
三．解答题（共7小题）
20．我们定义：方程的解为整数的方程为“青竹”方程，其中的整数解称为“湘一结”．
（1）一元一次方程：ax﹣2＝0（a≠0）为“青竹”方程，求整数a的值；
（2）已知关于x，y的“青竹”方程：（a+1）xy＝a2+2a+3（a≠﹣1，且a为整数），其中一个“湘一结”为1，请求出另一个“湘一结”；
（3）已知关于y的“青竹”方程：，求整数x的值和其中的“湘一结”．
21．新冠肺炎期间，各地积极抗疫，建起了方舱医院，如图，某方舱医院内一张长200cm，高50cm的病床靠墙摆放，在上方安装空调，高度CE＝250cm，下沿EF与墙垂直，出风口F离墙20cm，空调开启后，挡风板FG与FE夹角成136°，风沿FG方向吹出，为了病人不受空调风干扰，不能直接吹到病床上，请问空调安装的高度足够吗？为什么？（参考数据：sin46°≈0.72，cos46°≈0.69，tan46°≈1.04）
22．每年十月的第二个周四是世界爱眼日，为预防近视，超市决定对某型号护眼台灯进行降价销售．降价前，进价为50元的护眼台灯以80元售出，平均每月能售出120盏，调查表明：这种护眼台灯每盏售价每降低1元，其月平均销售量将增加10盏．
（1）写出月销售利润y（单位：元）与销售价x（单位：元/盏）之间的函数表达式：
（2）当销售价定为多少元时，所得月利润最大？最大月利润为多少元？
23．如图，AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，过A作AD∥OC交⊙O于点D，过D作DE⊥AB于点E，交CO的延长线于点F，连接CD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若直径AB的长为12，DE＝2EF，求tanF的值．
24．如图，点P在双曲线（k＞0）第一象限内的分支上运动，以P为圆心的圆保持与y轴相切于点A，与双曲线交于点B，点B在点P上方．
（1）当点P的横坐标为2时，⊙P与y轴的切点A（0，），试求双曲线的解析式；
（2）切点A是否有可能与坐标原点O重合？
（3）在（1）的条件下，是否存在点P，使得△ABP为正三角形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
25．如图，正方形ABCD的边长是2厘米，E为CD的中点，Q为正方形ABCD边上的一个动点，动点Q以每秒1厘米的速度从A出发沿A→B→C→D运动，最终到达点D，若点Q运动时间为x秒．
（1）当x＝1时，S△AQE＝　 　平方厘米；当x时，S△AQE＝　 　平方厘米．
（2）在点Q的运动路线上，当点Q与点E相距的路程不超过厘米时，求x的取值范围．
（3）若△AQE的面积为平方厘米，直接写出x值．
26．如图，抛物线yx2x与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，经过点C的直线l与抛物线交于另一点E（4，a），抛物线的顶点为点Q，抛物线的对称轴与x轴交于点D．
（1）求直线CE的解析式．
（2）如图2，P为直线CE下方抛物线上一动点，直线CE与x轴交于点F，连接PF，PC．当△PCF的面积最大时，求点P的坐标及△PCF面积的最大值．
（3）如图3，连接CD，将（1）中抛物线沿射线CD平移得到新抛物线y′，y′经过点D，y′的顶点为点H，在直线QH上是否存在点G，使得△DQG为等腰三角形？若存在，求出点G的坐标．
2022-2023学年度高一新生分班考试数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．据统计，2019年重庆中考报名人数为320000人，320000用科学记数法表示为（　　）
A．3.2×104 B．3.2×105 C．3.2×106 D．32×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：320000用科学记数法表示为3.2×105，
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2．已知x，y满足方程组，则无论m取何值，x，y恒有关系式是（　　）
A．x+y＝1 B．x+y＝﹣1 C．x+y＝9 D．x+y＝﹣9
【分析】由方程组消去m，得到一个关于x，y的方程，化简这个方程即可．
【解答】解：由方程组，
有y﹣5＝m
∴将上式代入x+m＝4，
得到x+（y﹣5）＝4，
∴x+y＝9．
故选：C．
【点评】解二元一次方程组的基本思想是“消元”，基本方法是代入法和加减法，此题实际是消元法的考核．
3．如图，设k（a＞b＞0），则k的值可以为（　　）
A． B．1 C． D．2
【分析】分别表示出两个阴影部分的面积，然后结合分式的约分法则进行约分化简．
【解答】解：由题意，S甲阴影＝a2﹣b2，S乙阴影＝a2﹣ab，
∴k，
又∵a＞b＞0，
∴2a＞a+b＞a，
∴12，
故选：C．
【点评】本题考查分式的化简，掌握利用平方差公式和提取公因式进行因式分解和约分的技巧是解题关键．
4．已知：关于x的一元二次方程x2﹣（R﹣r）xd2＝0有两个相等的实数根，其中R、r分别是⊙O1、⊙O2的半径，d为两圆的圆心距，则⊙O1与⊙O2的位置关系是（　　）
A．外离 B．外切 C．相交 D．内切
【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，则Δ＝0，从而得到R、r、d之间的数量关系，进而判断两圆的位置关系．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣（R﹣r）xd2＝0有两个相等的实数根，
∴（R+r）2﹣d2＝0，
即（R+r+d）（R+r﹣d）＝0，
又R+r+d≠0，
∴R+r﹣d＝0，即R+r＝d，
∴两圆外切．
故选：B．
【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式以及两圆的位置关系与数量之间的联系，即两圆外切，圆心距等于两圆半径之和．
5．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥AB，AD＝CD，cos∠DCA，BC＝10，则AB的值是（　　）
A．3 B．6 C．8 D．9
【分析】要求AB边长，须求∠ACB的余弦值．由题中已知易证∠ACB＝∠DCA，得∠ACB的余弦值，从而求解．
【解答】解：∵在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝CD，
∴∠DAC＝∠DCA＝∠ACB．
∵cos∠DCA，AC⊥AB，BC＝10，
∴cos∠ACB，
∴AC＝8，AB＝6．
故选：B．
【点评】考查综合应用解直角三角形、直角三角形性质进行逻辑推理能力和运算能力．
6．如图，正△ABC的边长为3，绕其中心O将△ABC旋转180°得到△DEF，则△ABC和△DEF重叠部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据等边三角形的特殊性，重叠部分为正六边形，四周空白部分的小三角形是等边三角形，从而得出重叠部分的面积是△ABC与三个小等边三角形的面积之差．
【解答】解：根据旋转的意义，图中空白部分的小三角形也是等边三角形，且边长为1，面积是△ABC的 ．
仔细观察图形，重叠部分的面积是△ABC与三个小等边三角形的面积之差，
△ABC的面积是，一个小等边三角形的面积是，所以重叠部分的面积是．
故选：A．
【点评】本题考查了图形的旋转变化，三角形面积的求法，难度不大，但容易错．
7．若关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣4m﹣1＝0有两个实数根x1，x2，且（x1+2）（x2+2）﹣2x1x2＝17，则m＝（　　）
A．2或6 B．2或8 C．2 D．6
【分析】利用根与系数的关系表示出x1x2与x1+x2，已知等式整理后代入计算即可求出m的值．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣4m﹣1＝0有两个实数根x1，x2，
∴Δ＝（﹣2m）2﹣4（m2﹣4m﹣1）≥0，即m，且x1x2＝m2﹣4m﹣1，x1+x2＝2m，
∵（x1+2）（x2+2）﹣2x1x2＝17，
∴x1x2+2（x1+x2）+4﹣2x1x2＝17，即2（x1+x2）+4﹣x1x2＝17，
∴4m+4﹣m2+4m+1＝17，即m2﹣8m+12＝0，
解得：m＝2或m＝6．
故选：A．
【点评】此题考查了根的判别式，以及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式与根与系数的关系是解本题的关键．
8．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，其对称轴为直线x＝﹣1，给出下列结论：（1）b2＞4ac；（2）abc＞0；（3）2a+b＝0；（4）a+b+c＞0；（5）4a﹣2b+c＜0．则正确的结论有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据抛物线与x轴交点的各数对（1）进行判断；由抛物线开口方向得到a＞0，由抛物线与y轴的交点在x轴下方得到c＜0，由抛物线的对称轴为直线x1，得到b＝2a＞0，于是可对（2）进行判断；利用b＝2a可对（3）进行判断；根据自变量为1时函数值为正数可对（4）进行判断；根据自变量为﹣2时函数值为负数可对（5）进行判断．
【解答】解：∵抛物线与x轴有2个交点，
∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，所以（1）正确；
∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线与y轴交于（0，c），
∴c＜0，
∵抛物线的对称轴为直线x1，
∴b＝2a＞0，
∴abc＜0，所以（2）错误；
∵b＝2a，即2a﹣b＝0，所以（3）错误；
∵x＝1时，y＞0，
∴a+b+c＞0，所以（4）正确；
∵x＝﹣2时，y＜0，
∴4a﹣2b+c＜0，所以（5）正确．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数与系数的关系：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）；常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）．当Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
9．如图，∠EFG＝90°，EF＝10，OG＝17，cos∠FGO，则点F的坐标是（　　）
A．（8，） B．（8，12） C．（6，） D．（6，10）
【分析】过点F作AB⊥y轴交y轴于点A，过点G作GB⊥AB于B，根据余弦的定义求出AE，根据勾股定理求出AF，进而得出BF，根据余弦的定义求出FG，根据勾股定理计算，求出BG，根据坐标与图形性质解答即可．
【解答】解：过点F作AB⊥y轴交y轴于点A，过点G作GB⊥AB于B，
则∠FGO+∠FGB＝90°，∠BFG+∠FGB＝90°，∠AEF+∠AFE＝90°，
∴∠BFG＝∠FGO，
∵AB⊥y轴，GB⊥AB，∠AOG＝90°，
∴四边形AOGB为矩形，
∴AO＝GB，AB＝OG＝17，
∵∠EFG＝90°，
∴∠AFE+∠BFG＝90°，
∴∠AEF＝∠BFG＝∠FGO，
在Rt△AEF中，cos∠AEF，即，
解得，AE＝6，
由勾股定理得，AF8，
∴BF＝AB﹣AF＝17﹣8＝9，
在Rt△BFG中，cos∠BFG，即，
解得，FG＝15，
由勾股定理得，BG12，
则点F的坐标是（8，12），
故选：B．
【点评】本题考查的是解直角三角形，坐标与图形性质，掌握锐角三角函数的定义、矩形的性质是解题的关键．
10．下列计算正确的是（　　）
A．（a﹣b）2＝a2﹣b2 B．3
C．5a2b﹣2a2b＝3 D．|3.14﹣π|＝|π﹣3.14|
【分析】根据完全平方公式，二次根式的化简，合并同类项以及绝对值的性质求解，即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．
【解答】解：A、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故本选项错误；
B、3，故本选项错误；
C、5a2b﹣2a2b＝3a2b，故本选项错误；
D、|3.14﹣π|＝|π﹣3.14|，故本选项正确．
故选：D．
【点评】此题考查了完全平方公式，二次根式的化简，合并同类项以及绝对值的性质．此题比较简单，注意熟记公式与性质是解此题的关键．
11．一组数：2，1，3，x，7，y，23，…，满足“前两个数依次为a、b，紧随其后的第三个数是2a﹣b”，例如这组数中的第三个数“3”是由“2×2﹣1”得到的，那么这组数中y表示的数为（　　）
A．9 B．﹣9 C．8 D．﹣8
【分析】根据“从第三个数起，前两个数依次为a、b，紧随其后的数就是2a﹣b”，首先建立方程2×3﹣x＝7，求得x，进一步利用此规定求得y即可．
【解答】解：解法一：常规解法
∵从第三个数起，前两个数依次为a、b，紧随其后的数就是2a﹣b，
∴2×3﹣x＝7，
∴x＝﹣1，
则2×（﹣1）﹣7＝y，
解得y＝﹣9．
解法二：技巧型
∵从第三个数起，前两个数依次为a、b，紧随其后的数就是2a﹣b，
∴7×2﹣y＝23，
∴y＝﹣9．
故选：B．
【点评】此题考查数字的变化规律，注意利用定义新运算方法列方程解决问题．
12．我国古代数学家刘徽利用圆内接正多边形创立了“割圆术”，现将半径为2的圆十二等分构造出2个矩形和1个正方形（如图），则阴影部分的面积是（　　）
A．1 B． C． D．
【分析】根据正多边形与圆的对称性、垂径定理以及正多边形与圆的计算，可求出∠AOD＝120°，∠BOC＝90°，由直角三角形的边角关系求出OM、AM、BM，根据三角形的面积公式进行计算即可．
【解答】解：如图，连接OA、OB、OC、OD，过点O作OM⊥AD，垂足为M，
由圆的对称性可知，点A、点D是⊙O的三等分点，四边形BCFE是正方形，
∴∠AOD360°＝120°，∠BOC360°＝90°，
在Rt△AOM中，OA＝2，∠AOM＝60°，
∴OMOA＝1，AMOA，
在Rt△BOM中，∠BOM＝45°，OM＝1，
∴BM＝OM＝1，
∴AB＝AM﹣BM1，
∴8个阴影三角形的面积和为：（1）（1）×8＝16﹣8，
故选：C．
【点评】本题考查正多边形和圆，理解正多边形和圆的对称性，掌握正多边形和圆的相关计算的方法是正确解答的前提．
二．填空题（共7小题）
13．若t为实数，x2﹣4x+t﹣2＝0的两个非负实数根为a，b，则代数式（a2﹣1）（b2﹣1）的最小值　﹣15　
【分析】先根据根与系数的关系可得a+b＝4，ab＝t﹣2，将所求代数式化简代入可得结论．
【解答】解：∵x2﹣4x+t﹣2＝0的两个非负实数根为a，b，
∴a+b＝4，ab＝t﹣2，Δ＝16﹣4（t﹣2）≥0．
则，解得：2≤t≤6，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝42﹣2（t﹣2）＝﹣2t+20，
∴（a2﹣1）（b2﹣1）＝a2b2﹣（a2+b2）+1＝（t﹣2）2+2t﹣20+1＝t2﹣2t﹣15＝（t﹣1）2﹣16，
∵2≤t≤6，
∴当t＝2时，代数式（a2﹣1）（b2﹣1）有最小值，
∴代数式（a2﹣1）（b2﹣1）的最小值是1﹣16＝﹣15，
故答案为：﹣15．
【点评】本题主要考查了根与系数的关系及根的判别式，属于中档题，关键要掌握x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q．
14．已知不相等的实数a、b满足a2﹣3a﹣1＝0，b2﹣3b﹣1＝0，则　﹣11　．
【分析】利用已知条件可把a、b看作方程x2﹣3x﹣1＝0的两实数解，则根据根与系数的关系得到a+b＝3，ab＝﹣1，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵不相等的实数a、b满足a2﹣3a﹣1＝0，b2﹣3b﹣1＝0，
∴a、b可看作方程x2﹣3x﹣1＝0的两实数解，
∴a+b＝3，ab＝﹣1，
∴11．
故答案为：﹣11．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．
15．关于x的方程（）2＝2，方程的所有的所有实根的和为　　．
【分析】可根据方程特点设y，则原方程可化为y+y2＝2．解一元二次方程求y，再求x．
【解答】解：设y，则原方程可化为y+y2＝2．解得y1＝1，y2＝﹣2，
当y1＝1时，1，无解；
当y2＝﹣2时，2，x，经检验x，是原方程的解．
故答案为．
【点评】本题考查用换元法解分式方程的能力．它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧．
16．如果关于x的一元二次方程2x2+3x+5m＝0的两个实数根都小于1，那么实数m的取值范围是 　﹣1＜m　．
【分析】先根据题意求得m的取值，再根据关于x的一元二次方程2x2+3x+5m＝0的两个实数根都小于1，得x＜1，m＞﹣1，从而得出实数m的取值范围．
【解答】解：Δ＝9﹣40m≥0，∴m①
方法一：x＝＜1，∴m＞﹣1
方法二：记y＝f（x）＝2x2+3x+5m，
∴由②
由①②得：﹣1＜m．
故答案为﹣1＜m．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式以及抛物线与x轴的交点问题，是中考压轴题，难度较大．
17．如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB于点E，cosA，BE＝4，则DE的长为 　8　．
【分析】设菱形ABCD边长为x，解直角三角形求得AD、AE．再由勾股定理求得DE即可．
【解答】解：设菱形ABCD边长为x，
∵BE＝4，
∴AE＝x﹣4，
∵DE⊥AB，
∴∠AED＝90°，
∴cosA，
∴AEADx，
∴x﹣4x，
解得：x＝10，
∴AD＝10，AE＝10﹣4＝6，
∴DE8，
故答案为：8．
【点评】本题考查了菱形的性质、锐角三角函数定义以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质和锐角三角函数定义，求出菱形的边长是解题的关键．
18．如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”．已知点A、B、C、D分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为y＝（x﹣1）2﹣4，AB为半圆的直径，则这个“果圆”被y轴截得的弦CD的长为　3　．
【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A、B、D的坐标，进而可得出OD、OA、OB，根据圆的性质可得出OM的长度，在Rt△COM中，利用勾股定理可求出CO的长度，再根据CD＝CO+OD即可求出结论．
【解答】解：当x＝0时，y＝（x﹣1）2﹣4＝﹣3，
∴点D的坐标为（0，﹣3），
∴OD＝3；
当y＝0时，有（x﹣1）2﹣4＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∴点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0），
∴AB＝4，OA＝1，OB＝3．
连接CM，则CMAB＝2，OM＝1，如图所示．
在Rt△COM中，CO，
∴CD＝CO+OD＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、圆以及勾股定理，利用二次函数图象上点的坐标特征求出点A、B、D的坐标是解题的关键．
19．方程[x3]+[x2]+[x]＝{x}﹣1的解是 　﹣1　．
【分析】首先由题意确定x的值，然后得到方程x3+x2+x＝0﹣1，解此方程即可求得原方程的解．
【解答】解：由题意可得：[x]是指不大于x的最大整数，{x}表示x的小数部分，
∵[x3]+[x2]+[x]＝{x}﹣1，[x3]，[x2]，[x]，1为整数，
∴{x}﹣1也是整数，
∴{x}＝0，
∴x＝0，
∴原方程化为：x3+x2+x＝0﹣1，
∴（x+1）（x2+1）＝0，
解得：x＝﹣1．
【点评】此题考查了取整函数的意义．解此题的关键是抓住x是整数．
三．解答题（共7小题）
20．我们定义：方程的解为整数的方程为“青竹”方程，其中的整数解称为“湘一结”．
（1）一元一次方程：ax﹣2＝0（a≠0）为“青竹”方程，求整数a的值；
（2）已知关于x，y的“青竹”方程：（a+1）xy＝a2+2a+3（a≠﹣1，且a为整数），其中一个“湘一结”为1，请求出另一个“湘一结”；
（3）已知关于y的“青竹”方程：，求整数x的值和其中的“湘一结”．
【分析】（1）根据“青竹”方程ax﹣2＝0（a≠0）的解为整数，可得为整数，由此可得答案；
（2）根据题意将x＝1代入，根据a，y均为整数，先求出a的值，再代入求得y的值即可求解；
（3）根据完全平方公式求得x的值，从而得到y的值．
【解答】解：（1）ax﹣2＝0，
解得x，
∵一元一次方程：ax﹣2＝0（a≠0）为“青竹”方程，
∴为整数，
∴整数a的值为±1，±2；
（2）设x＝1，代入（a+1）xy＝a2+2a+3得（a+1）y＝a2+2a+3，
则y＝a+1，
∵a，y为整数，
∴a+1＝±1，±2，
∵a≠﹣1，
∴a＝0，﹣2，1，﹣3，
当a＝0时，y＝3，
当a＝1时，y＝3，
当a＝﹣2时，y＝﹣3，
当a＝﹣3时，y＝﹣3，
∴y＝±3；
（3）∵是关于y的“青竹”方程，
∴x2+4x﹣31是一个完全平方数，
设x2+4x﹣31＝m2（m为整数），
∴（x+2）2﹣m2＝35，
∵35＝1×35＝5×7＝（﹣1）×（﹣35）＝（﹣5）×（﹣7），
∴，解得，此时y＝2+17＝19；
或，解得，此时y＝2+17＝19；
或，解得，此时y＝2+1＝3；
或，解得，此时y＝2+1＝3；
或，解得，此时y＝2+17＝19；
或，解得，此时y＝2+17＝19；
或，解得，此时y＝2+1＝3；
或，解得，此时y＝2+1＝3．
∴x＝4或16或﹣8或﹣20，y＝3或19．
【点评】此题考查的无理方程，能够正确理解“青竹”方程的概念和掌握完全平方公式是解决此题关键．
21．新冠肺炎期间，各地积极抗疫，建起了方舱医院，如图，某方舱医院内一张长200cm，高50cm的病床靠墙摆放，在上方安装空调，高度CE＝250cm，下沿EF与墙垂直，出风口F离墙20cm，空调开启后，挡风板FG与FE夹角成136°，风沿FG方向吹出，为了病人不受空调风干扰，不能直接吹到病床上，请问空调安装的高度足够吗？为什么？（参考数据：sin46°≈0.72，cos46°≈0.69，tan46°≈1.04）
【分析】延长FG交直线AD于点H，过F作FO⊥AD于点O，在Rt△FHO中，利用正切函数的定义求出HO，与200cm进行比较即可．
【解答】解：空调安装的高度足够．理由如下：
如图，延长FG交直线AD于点H，过F作FO⊥AD于点O，
则FO＝ED＝250﹣50＝200（cm），AO＝200﹣20＝180（cm），∠HFO＝136°﹣90°＝46°．
∵在Rt△FHO中，tan46°，
∴HO＝FO×tan46°≈200×1.04＝208＞180，
∴HO＞AO，
∴空调安装的高度足够．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，三角函数的定义，理解题意准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
22．每年十月的第二个周四是世界爱眼日，为预防近视，超市决定对某型号护眼台灯进行降价销售．降价前，进价为50元的护眼台灯以80元售出，平均每月能售出120盏，调查表明：这种护眼台灯每盏售价每降低1元，其月平均销售量将增加10盏．
（1）写出月销售利润y（单位：元）与销售价x（单位：元/盏）之间的函数表达式：
（2）当销售价定为多少元时，所得月利润最大？最大月利润为多少元？
【分析】（1）根据“总利润＝单件利润×销售量”可得；
（2）利用配方法求出二次函数最值即可得出答案．
【解答】解：（1）设售价为x元/盏，月销售利润y元，根据题意得：
y＝（x﹣50）[120+10（80﹣x）]＝﹣10x2+1420x﹣46000；
（2）∵y＝﹣10x2+1420x﹣46000＝﹣10（x﹣71）2+4410，
∴当销售价定为71元时，所得月利润最大，最大月利润为4410元．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及二次函数最值求法，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系．
23．如图，AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，过A作AD∥OC交⊙O于点D，过D作DE⊥AB于点E，交CO的延长线于点F，连接CD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若直径AB的长为12，DE＝2EF，求tanF的值．
【分析】（1）连接OD，根据平行线和等腰三角形的性质可得OC平分∠BOD，从而证明△BOC≌△DOC，根据切线的性质可得OB⊥BC，然后利用全等三角形的性质即可解答；
（2）利用平行可证明8字模型相似三角形△AED∽△OEF，从而求出OE，然后Rt△DEO中，利用勾股定理求出DE，进而求出EF，最后在Rt△OEF中，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）证明：连接OD，
∵AD∥OC，
∴∠ODA＝∠DOC，∠BOC＝∠A，
∵OD＝OA，
∴∠ODA＝∠A，
∴∠BOC＝∠DOC，
∵OC＝OC，OB＝OD，
∴△BOC≌△DOC（SAS），
∴∠ODC＝∠OBC，
∵BC与⊙O相切，
∴OB⊥BC，
∴∠ODC＝∠OBC＝90°
∵OD是半径
∴CD是⊙O的切线；
（2）∵AD∥OC，
∴∠F＝∠EDA，∠EOF＝∠A
∴△AED∽△OEF，
∴，
∵DE＝2EF，
∴AE＝2OE，
∵AB＝12，
∴OAAB＝6，
∵AE+OE＝6，
∴OE+2OE＝6，
∴OE＝2，
∵DE⊥AB，
∴∠DEO＝90°
在Rt△DEO中，由勾股定理得：DE4，
∴EFDE＝2，
在Rt△OEF中，tanF，
∴tanF的值为．
【点评】本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，垂径定理，切线的判定与性质，圆周角定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键．
24．如图，点P在双曲线（k＞0）第一象限内的分支上运动，以P为圆心的圆保持与y轴相切于点A，与双曲线交于点B，点B在点P上方．
（1）当点P的横坐标为2时，⊙P与y轴的切点A（0，），试求双曲线的解析式；
（2）切点A是否有可能与坐标原点O重合？
（3）在（1）的条件下，是否存在点P，使得△ABP为正三角形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）点P的横坐标为2时，⊙P与y轴的切点A（0，），可得点P的坐标为：（2，），然后由待定系数法即可求得双曲线的解析式；
（2）利用反证法，若切点A与坐标原点O重合，可得即点P在x轴上，又由反比例函数与x轴不相交，可得切点A不能与坐标原点O重合；
（3）设点P的坐标为：（a，），由△ABP为正三角形，可求得点B的坐标为：（a，a），又由点B在双曲线y上，即可得方程a×（a）＝2，解此方程即可求得a的值，继而求得答案．
【解答】解：（1）∵点P的横坐标为2时，⊙P与y轴的切点A（0，），
∴点P的坐标为：（2，），
∴，
∴k＝2，
∴双曲线y的解析式为：y；
（2）切点A不能与坐标原点O重合．
理由：若切点A与坐标原点O重合，
则点P的纵坐标为0，
即点P在x轴上，
∵反比例函数与x轴不相交，
∴点P不能在x轴上，
∴切点A不能与坐标原点O重合；
（3）存在．
理由：设点P的坐标为：（a，），
则AP＝a，
过点B作BC⊥AP于点C，
∵△ABP为正三角形，
∴ACAPa，∠BAP＝60°，
在Rt△BAC中，BC＝AC cos∠BAPaa，
∴点B的坐标为：（a，a），
∵点B在双曲线y上，
∴a×（a）＝2，
解得：a2＝4，
∴a＝±2．
∵点P在第一象限，
∴a＝2，
∴点P的坐标为：（2，）．
【点评】此题考查了待定系数法求反比例函数的解析式、切线的性质、正三角形的性质以及点与反比例函数的性质．此题难度较大，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．
25．如图，正方形ABCD的边长是2厘米，E为CD的中点，Q为正方形ABCD边上的一个动点，动点Q以每秒1厘米的速度从A出发沿A→B→C→D运动，最终到达点D，若点Q运动时间为x秒．
（1）当x＝1时，S△AQE＝　1　平方厘米；当x时，S△AQE＝　　平方厘米．
（2）在点Q的运动路线上，当点Q与点E相距的路程不超过厘米时，求x的取值范围．
（3）若△AQE的面积为平方厘米，直接写出x值．
【分析】（1）根据三角形的面积公式可得出答案；
（2）由题意得出一元一次不等式组，解不等式组即可得出答案；
（3）分三种情况，根据面积得出一元一次方程，解方程即可得出答案．
【解答】解：（1）①∵E为CD的中点，
∴DE＝1，
∵动点Q以每秒1厘米的速度从A出发沿A→B→C→D运动，
∴当x＝1时，AQ＝1，
∴S△AQEAQ×AD1×2＝1，
②∵AQ，
∴点Q在AB上，
∴S△AQEAQ×AD；
故答案为：①1；②．
（2）根据题意，得，
解得：．
∴x的取值范围是 ．
（3）①当点Q在AB上，
∵S△AQEx×2，
∴x，
②当点Q在BC上时，
∵S△AQE＝S梯形ABCE﹣S△ABQ﹣S△CQE
2×（x﹣2）1×（4﹣x）．
∴x（不合题意，舍去），
③当点Q在CD上时，
若点Q在点E下方时，
∵S△AQE，
∴x．
若点Q在点E上方时，
∵S△AQE，
∴x．
综合以上可得x或或．
【点评】本题是三角形综合题，考查了三角形的面积，正方形的性质，解一元一次不等式组等知识，熟练掌握分类讨论思想是解题的关键．
26．如图，抛物线yx2x与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，经过点C的直线l与抛物线交于另一点E（4，a），抛物线的顶点为点Q，抛物线的对称轴与x轴交于点D．
（1）求直线CE的解析式．
（2）如图2，P为直线CE下方抛物线上一动点，直线CE与x轴交于点F，连接PF，PC．当△PCF的面积最大时，求点P的坐标及△PCF面积的最大值．
（3）如图3，连接CD，将（1）中抛物线沿射线CD平移得到新抛物线y′，y′经过点D，y′的顶点为点H，在直线QH上是否存在点G，使得△DQG为等腰三角形？若存在，求出点G的坐标．
【分析】（1）抛物线的解析式可变形为y（x+1）（x﹣3），从而可得点A和点B的坐标，然后再求出点C和点E的坐标，设直线CE的解析式为y＝kx+b，将点C和点E的坐标代入求得k和b的值，即可得出CE的解析式；
（2）由直线CE的解析式可求出点F的坐标；过点P作x轴的垂线，交CE于点M，设点P的横坐标为m，表达出点P和点M的坐标，利用铅垂法表达△PCF的面积，再利用二次函数的性质求出△PCF的最大值及点P的坐标；
（3）由平移后的抛物线经过点D，可得点H的坐标，点Q的坐标；分DQ＝DG，QD＝QG，GD＝GQ三种情况结合背景图形，解直角三角形即可得到点G的坐标．
【解答】解：（1）抛物线yx2x与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，
令x＝0，则y；令y＝0，则y（x+1）（x﹣3）＝0，则x＝﹣1或x＝3；
∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，），
经过点C的直线l与抛物线交于另一点E（4，a），
∴a424，即a，
∴E（4，），
设直线CE的解析式为：y＝kx+b，
∴，解得，
∴直线CE的解析式为：yx；
（2）∵直线CE与x轴交于点F，
∴F（，0），
如图，过点P作x轴的垂线，交CE于点M，
设点P的横坐标为m，
∴P（m，m2m），M（m，m），
∴MPm（m2m）m2m，
∴S△PCF（xF﹣xC） MP（m2m）（m﹣2）2，
∴当m＝2时，S△PCF的最大值为，此时P（2，）．
（3）在直线QH上存在点G，使得△DQG为等腰三角形，理由如下：
∵抛物线yx2x（x﹣1）2，
∴D（1，0），Q（1，），
∴DQ，tan∠OCD，
∴∠OCD＝30°，
抛物线沿射线CD平移得到新抛物线y′，y′经过点D，如图，
则y′的顶点为点H（2，），∠DQH＝∠OCD＝30°，
∴直线QH的解析式为yx．
①当DG1＝DQ时，如图所示，过点G1作G1I⊥DQ于点I，
此时∠G1DI＝60°，
∴DIDG1，G1IDI＝2，
∴G1（3，）；
②当QG1＝QD时，如图所示，过点G2作G2T⊥DQ于点T，过点G3作G3S⊥DQ于点S，
∴G2TQG2，TQG2T＝2，
∴G2（1，2）；
同理可得，G3S，SQ＝2，
∴G3（1，﹣2）；
③当GD＝GQ时，如图所示，此时点G4为DQ的中垂线与直线QH的交点，
∴G4的纵坐标为，
∴G4（，）；
综上，点G的坐标为：（3，）；（1，2）；（1，﹣2）；（，）．
【点评】本题是二次函数的综合题，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，等腰三角形的存在性等；求出△PCF的面积与x的函数解析式是解答（2）的关键；分DQ＝DG，QD＝QG，GD＝GQ三种情况分别进行计算是解答问题（3）的关键。