登录二一教育在线组卷平台 助您教考全无忧
2023-2024学年高中数学人教A版必修一 1.1 集合的概念 同步练习
一、选择题
1．（2023高一上·西安期末）已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】元素与集合关系的判断
【解析】【解答】因为，，
所以.
故答案为：B.
【分析】根据集合的描述法及元素与集合的关系求解.
2．（2023高一上·钦州期末）当一个非空数集满足：如果，，则，，，且时，时，我们称就是一个数域.以下关于数域的说法：是任何数域的元素若数域有非零元素，则集合是一个数域．有理数集是一个数域.其中正确的选项是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】集合的含义；元素与集合关系的判断
【解析】【解答】对于①，当且时，
所以是任何数域的元素，①正确；
对于②，当时，且时，由数域定义知，
所以1+1=2，1+2=3，...1+2018=2019，②正确；
对于③，当时，，③错误；
对于④，如果，，则则，，，且时，，所以有理数集是一个数域.
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合数域的定义和元素与集合的关系，进而找出正确的选项。
3．（2023高一上·钦州期末）定义集合运算：.设，，则集合中的所有元素之和为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【知识点】集合的含义；元素与集合关系的判断
【解析】【解答】当时，；当时，；
当时，；当时，；
所以，所以中所有元素之和为0，
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合集合运算的定义，进而得出集合中的所有元素，再结合求和法得出 集合中的所有元素之和 。
4．（2022高一上·如皋期中）已知集合且，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】元素与集合关系的判断
【解析】【解答】，， 且.
故答案为：C
【分析】根据已知条件，结合集合M的定义，即可求出答案.
5．（2022高一上·陈仓期中）下列所给对象能构成集合的是（ ）
A．2020年全国I卷数学试题的所有难题
B．比较接近2的全体正数
C．未来世界的高科技产品
D．所有整数
【答案】D
【知识点】集合的含义
【解析】【解答】选项的对象都具有不确定性，所以它们的对象不能构成集合；而选项的对象具有确定性，能构成集合。
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合集合元素的确定性，进而找出构成集合的选项。
6．（2022高一上·呼和浩特期中）集合，用列举法可以表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】集合的表示法
【解析】【解答】解：因为，可得；
所以.
故答案为：C
【分析】利用已知条件，化简求解可得答案.
7．（2022高一上·杭州期中）下列表述正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】元素与集合关系的判断
【解析】【解答】对于A，因为是整数集，所以，A符合题意；
对于B，因为是实数集，所以，B不符合题意；
对于C，因为是有理数集，所以，C不符合题意；
对于D，因为是自然数集，所以，D不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据元素与集合的关系，逐项判定，即可求解.
8．（2022高一上·泗洪期中）已知，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】元素与集合关系的判断
【解析】【解答】对于A，令，得，则，A不符合题意，
对于B，令，得，则，B不符合题意，
对于C，令，得，则，C不符合题意，
对于D，令，得，则，D符合题意，
故答案为：D
【分析】根据已知条件，结合元素与几何关系逐项进行判断，可得答案.
二、多项选择题
9．（2022高一上·陈仓期中）方程组的解集以下表示正确的为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,B
【知识点】集合的表示法
【解析】【解答】解方程组得，
所以此方程组的解集的表示正确的是A，B.
故答案为：AB.
【分析】利用已知条件结合解二元一次方程组的方法，再结合集合的表示方法，进而得出方程组的解集的正确表示。
10．（2022高一上·河南月考）下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,D
【知识点】元素与集合关系的判断
【解析】【解答】根据常见数集的表示可知，，，，。
故答案为：AD
【分析】利用已知条件结合元素与集合的关系，进而找出结论正确的选项。
11．（2022高一上·浙江月考）已知集合，则下列属于集合A的元素有（ ）
A． B．2 C．4 D．6
【答案】B,C,D
【知识点】元素与集合关系的判断
【解析】【解答】由题意得：
的取值为，解得满足要求的为2，4，5，6，7，9，10，11，12，14，20 。
故答案为：BCD
【分析】利用已知条件结合元素与集合的关系，进而得出属于集合A的元素。
12．（2022高一上·邢台月考）下列说法中，正确的是（ ）
A．的近似值的全体构成一个集合
B．自然数集中最小的元素是0
C．在整数集中，若，则
D．一个集合中不可以有两个相同的元素
【答案】B,C,D
【知识点】元素与集合关系的判断；集合的确定性、互异性、无序性
【解析】【解答】因为“的近似值”不具有确定性，所以不能构成集合，A不符合题意：
因为自然数集中最小的元素是0，所以B符合题意；
若，则也是整数，即，C符合题意；
同一集合中的元素是互不相同的，D符合题意．
故答案为：BCD
【分析】 由集合的含义及元素与集合的关系逐项进行判断，即可得答案.
三、填空题
13．（2022高一上·清远期中）设集合，．若，则实数a的值为 ．
【答案】0
【知识点】集合的确定性、互异性、无序性
【解析】【解答】由题可知：，且
所以，得或1
当时，，不符合集合中元素的互异性
所以
故答案为：0
【分析】根据，得到，然后结合集合中元素的互异性可得结果.
14．（2022高一上·武冈期中）用列举法表示 ．
【答案】
【知识点】集合的表示法
【解析】【解答】解：因为且，所以或或或，
解得或或或，
所以对应的分别为、、、，
即；
故答案为：
【分析】由且，可得a的可能取值分别为2，3，4，7，由此可得对应的的值，可得答案.
15．（2022高一上·北海期中）已知，则a的所有可能取值为 ．
【答案】3或##-2或3
【知识点】集合的确定性、互异性、无序性
【解析】【解答】分类讨论
①当，，集合为，满足集合的元素具有互异性；
②，可解得；当时，与己有元素2重复，不满足互异性；
当时，集合为，满足集合的元素具有互异性．
综上，或．
故答案为： 3或-2．
【分析】根据元素与集合的关系分类讨论，结合集合中元素的性质可得答案.
16．（2022高一上·博罗期中）非空有限数集满足：若，，则必有，，．则满足条件且含有两个元素的数集 ．（写出一个即可）
【答案】（或）
【知识点】集合的含义；元素与集合关系的判断
【解析】【解答】不妨设，根据题意有，ab， 所以，，中必有两个是相等的，
若，则，故，又或，所以（舍去）或或，此时，
若，则，此时，故，此时．若，则，此时，故，此时，
综上所述，或。
故答案为：（或）。
【分析】利用已知条件结合元素与集合的关系以及元素的互异性，进而得出满足条件且含有两个元素的数集S。
17．（2022高一上·广丰月考）设P，Q为两个非空实数集合，P中含有0，2两个元素，Q中含有1，6两个元素，定义集合P+Q中的元素是a+b，其中，，则中元素的个数是 ．
【答案】4
【知识点】集合的确定性、互异性、无序性
【解析】【解答】依题意，，
所以共有个元素.
故答案为：4
【分析】根据新定义求出 中元素的个数 .
18．（2022高一上·河北期中）集合，用列举法表示是 .
【答案】
【知识点】集合的表示法
【解析】【解答】 。
故答案为： 。
【分析】利用已知条件结合一元一次不等式求解方法得出集合，再利用列举法表示集合。
19．（2022高一上·淮安期中）已知集合，且，则m的值为
【答案】-1.1，3
【知识点】元素与集合关系的判断
【解析】【解答】当，满足题意；
当，满足题意.
故答案为：-1.1，3
【分析】分两种情况或，讨论即可得解.
20．（2022高一上·东阳月考）若，则，就称是伙伴关系集合，集合的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合个数为 .
【答案】15
【知识点】集合的含义；集合的表示法
【解析】【解答】因为，；，；
，；，；
这样所求集合即由，，“和” ，“和”这“四大”元素所组成的集合的非空子集．
所以满足条件的集合的个数为，
故答案为：15.
【分析】根据伙伴关系集合的定义，得到由，，“和” ，“和”这四类元素所组成的集合的非空子集，进而得到答案.
21．（2022高一上·连州月考）已知集合M=，N=，定义集合A=，则A中元素的个数是
【答案】8
【知识点】元素与集合关系的判断
【解析】【解答】由题意，集合M=，N=
故集合A=，有8个元素。
故答案为：8。
【分析】利用已知条件结合集合A的定义，再利用元素与集合的关系和元素的互异性，进而求出集合A，从而得出集合A的元素个数。
22．（2022高一上·河南月考）定义两种新运算“”与“”，满足如下运算法则：对任意的，有.若且，则用列举法表示的 .
【答案】
【知识点】集合的表示法
【解析】【解答】当时，；
当时，；
当，时，，
所以。
故答案为：。
【分析】 利用定义两种新运算“”与“” 结合分类讨论的方法，进而用列举法表示集合A。
四、解答题
23．（2023高一上·密云月考）已知集合，规定：集合中元素的个数为，且．若，则称集合是集合的衍生和集．
（1）当，时，分别写出集合，的衍生和集；
（2）当时，求集合的衍生和集的元素个数的最大值和最小值．
【答案】（1）解：由衍生和集的定义知：集合的衍生和集；集合的衍生和集.
（2）解：当时，设集合，且；
，
集合的衍生和集的元素个数的最小值为；
若集合中任意两个元素的和不相等，则衍生和集的元素个数取得最大值，最大值为；
最大值为，最小值为.
【知识点】集合的含义；元素与集合关系的判断
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合衍生和集的定义，进而分别写出集合，的衍生和集。
（2）利用已知条件结合衍生和集的定义，再结合数列的单调性，从而得出集合的衍生和集的元素个数的最大值和最小值。
24．（2022高一上·东阳月考）用描述法表示下列集合：
（1）所有被3整除的整数组成的集合；
（2）不等式的解集；
（3）方程的所有实数解组成的集合；
（4）抛物线上所有点组成的集合；
（5）集合.
【答案】（1）解：所有被3整除的整数组成的集合，用描述法可表示为：
（2）解：不等式的解集，用描述法可表示为：.
（3）解：方程的所有实数解组成的集合，
用描述法可表示为：.
（4）解：抛物线上所有点组成的集合，
用描述法可表示为：.
（5）解：集合，用描述法可表示为：且.
【知识点】集合的表示法
【解析】【分析】（1）根据集合的表示方法，即可求解；
（2）由不等式，解得，进而求得不等式的解集；
（3）根据题意，利用集合的表示方法，即可求解；
（4）根据题意，利用集合的表示方法，即可求解；
（5）根据数字的特征，结合集合的标准方法，即可求解.
二一教育在线组卷平台（zujuan.21cnjy.com）自动生成 1 / 1登录二一教育在线组卷平台 助您教考全无忧
2023-2024学年高中数学人教A版必修一 1.1 集合的概念 同步练习
一、选择题
1．（2023高一上·西安期末）已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023高一上·钦州期末）当一个非空数集满足：如果，，则，，，且时，时，我们称就是一个数域.以下关于数域的说法：是任何数域的元素若数域有非零元素，则集合是一个数域．有理数集是一个数域.其中正确的选项是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023高一上·钦州期末）定义集合运算：.设，，则集合中的所有元素之和为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．（2022高一上·如皋期中）已知集合且，，，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2022高一上·陈仓期中）下列所给对象能构成集合的是（ ）
A．2020年全国I卷数学试题的所有难题
B．比较接近2的全体正数
C．未来世界的高科技产品
D．所有整数
6．（2022高一上·呼和浩特期中）集合，用列举法可以表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2022高一上·杭州期中）下列表述正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022高一上·泗洪期中）已知，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题
9．（2022高一上·陈仓期中）方程组的解集以下表示正确的为（ ）
A． B．
C． D．
10．（2022高一上·河南月考）下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．（2022高一上·浙江月考）已知集合，则下列属于集合A的元素有（ ）
A． B．2 C．4 D．6
12．（2022高一上·邢台月考）下列说法中，正确的是（ ）
A．的近似值的全体构成一个集合
B．自然数集中最小的元素是0
C．在整数集中，若，则
D．一个集合中不可以有两个相同的元素
三、填空题
13．（2022高一上·清远期中）设集合，．若，则实数a的值为 ．
14．（2022高一上·武冈期中）用列举法表示 ．
15．（2022高一上·北海期中）已知，则a的所有可能取值为 ．
16．（2022高一上·博罗期中）非空有限数集满足：若，，则必有，，．则满足条件且含有两个元素的数集 ．（写出一个即可）
17．（2022高一上·广丰月考）设P，Q为两个非空实数集合，P中含有0，2两个元素，Q中含有1，6两个元素，定义集合P+Q中的元素是a+b，其中，，则中元素的个数是 ．
18．（2022高一上·河北期中）集合，用列举法表示是 .
19．（2022高一上·淮安期中）已知集合，且，则m的值为
20．（2022高一上·东阳月考）若，则，就称是伙伴关系集合，集合的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合个数为 .
21．（2022高一上·连州月考）已知集合M=，N=，定义集合A=，则A中元素的个数是
22．（2022高一上·河南月考）定义两种新运算“”与“”，满足如下运算法则：对任意的，有.若且，则用列举法表示的 .
四、解答题
23．（2023高一上·密云月考）已知集合，规定：集合中元素的个数为，且．若，则称集合是集合的衍生和集．
（1）当，时，分别写出集合，的衍生和集；
（2）当时，求集合的衍生和集的元素个数的最大值和最小值．
24．（2022高一上·东阳月考）用描述法表示下列集合：
（1）所有被3整除的整数组成的集合；
（2）不等式的解集；
（3）方程的所有实数解组成的集合；
（4）抛物线上所有点组成的集合；
（5）集合.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】元素与集合关系的判断
【解析】【解答】因为，，
所以.
故答案为：B.
【分析】根据集合的描述法及元素与集合的关系求解.
2．【答案】A
【知识点】集合的含义；元素与集合关系的判断
【解析】【解答】对于①，当且时，
所以是任何数域的元素，①正确；
对于②，当时，且时，由数域定义知，
所以1+1=2，1+2=3，...1+2018=2019，②正确；
对于③，当时，，③错误；
对于④，如果，，则则，，，且时，，所以有理数集是一个数域.
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合数域的定义和元素与集合的关系，进而找出正确的选项。
3．【答案】A
【知识点】集合的含义；元素与集合关系的判断
【解析】【解答】当时，；当时，；
当时，；当时，；
所以，所以中所有元素之和为0，
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合集合运算的定义，进而得出集合中的所有元素，再结合求和法得出 集合中的所有元素之和 。
4．【答案】C
【知识点】元素与集合关系的判断
【解析】【解答】，， 且.
故答案为：C
【分析】根据已知条件，结合集合M的定义，即可求出答案.
5．【答案】D
【知识点】集合的含义
【解析】【解答】选项的对象都具有不确定性，所以它们的对象不能构成集合；而选项的对象具有确定性，能构成集合。
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合集合元素的确定性，进而找出构成集合的选项。
6．【答案】C
【知识点】集合的表示法
【解析】【解答】解：因为，可得；
所以.
故答案为：C
【分析】利用已知条件，化简求解可得答案.
7．【答案】A
【知识点】元素与集合关系的判断
【解析】【解答】对于A，因为是整数集，所以，A符合题意；
对于B，因为是实数集，所以，B不符合题意；
对于C，因为是有理数集，所以，C不符合题意；
对于D，因为是自然数集，所以，D不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据元素与集合的关系，逐项判定，即可求解.
8．【答案】D
【知识点】元素与集合关系的判断
【解析】【解答】对于A，令，得，则，A不符合题意，
对于B，令，得，则，B不符合题意，
对于C，令，得，则，C不符合题意，
对于D，令，得，则，D符合题意，
故答案为：D
【分析】根据已知条件，结合元素与几何关系逐项进行判断，可得答案.
9．【答案】A,B
【知识点】集合的表示法
【解析】【解答】解方程组得，
所以此方程组的解集的表示正确的是A，B.
故答案为：AB.
【分析】利用已知条件结合解二元一次方程组的方法，再结合集合的表示方法，进而得出方程组的解集的正确表示。
10．【答案】A,D
【知识点】元素与集合关系的判断
【解析】【解答】根据常见数集的表示可知，，，，。
故答案为：AD
【分析】利用已知条件结合元素与集合的关系，进而找出结论正确的选项。
11．【答案】B,C,D
【知识点】元素与集合关系的判断
【解析】【解答】由题意得：
的取值为，解得满足要求的为2，4，5，6，7，9，10，11，12，14，20 。
故答案为：BCD
【分析】利用已知条件结合元素与集合的关系，进而得出属于集合A的元素。
12．【答案】B,C,D
【知识点】元素与集合关系的判断；集合的确定性、互异性、无序性
【解析】【解答】因为“的近似值”不具有确定性，所以不能构成集合，A不符合题意：
因为自然数集中最小的元素是0，所以B符合题意；
若，则也是整数，即，C符合题意；
同一集合中的元素是互不相同的，D符合题意．
故答案为：BCD
【分析】 由集合的含义及元素与集合的关系逐项进行判断，即可得答案.
13．【答案】0
【知识点】集合的确定性、互异性、无序性
【解析】【解答】由题可知：，且
所以，得或1
当时，，不符合集合中元素的互异性
所以
故答案为：0
【分析】根据，得到，然后结合集合中元素的互异性可得结果.
14．【答案】
【知识点】集合的表示法
【解析】【解答】解：因为且，所以或或或，
解得或或或，
所以对应的分别为、、、，
即；
故答案为：
【分析】由且，可得a的可能取值分别为2，3，4，7，由此可得对应的的值，可得答案.
15．【答案】3或##-2或3
【知识点】集合的确定性、互异性、无序性
【解析】【解答】分类讨论
①当，，集合为，满足集合的元素具有互异性；
②，可解得；当时，与己有元素2重复，不满足互异性；
当时，集合为，满足集合的元素具有互异性．
综上，或．
故答案为： 3或-2．
【分析】根据元素与集合的关系分类讨论，结合集合中元素的性质可得答案.
16．【答案】（或）
【知识点】集合的含义；元素与集合关系的判断
【解析】【解答】不妨设，根据题意有，ab， 所以，，中必有两个是相等的，
若，则，故，又或，所以（舍去）或或，此时，
若，则，此时，故，此时．若，则，此时，故，此时，
综上所述，或。
故答案为：（或）。
【分析】利用已知条件结合元素与集合的关系以及元素的互异性，进而得出满足条件且含有两个元素的数集S。
17．【答案】4
【知识点】集合的确定性、互异性、无序性
【解析】【解答】依题意，，
所以共有个元素.
故答案为：4
【分析】根据新定义求出 中元素的个数 .
18．【答案】
【知识点】集合的表示法
【解析】【解答】 。
故答案为： 。
【分析】利用已知条件结合一元一次不等式求解方法得出集合，再利用列举法表示集合。
19．【答案】-1.1，3
【知识点】元素与集合关系的判断
【解析】【解答】当，满足题意；
当，满足题意.
故答案为：-1.1，3
【分析】分两种情况或，讨论即可得解.
20．【答案】15
【知识点】集合的含义；集合的表示法
【解析】【解答】因为，；，；
，；，；
这样所求集合即由，，“和” ，“和”这“四大”元素所组成的集合的非空子集．
所以满足条件的集合的个数为，
故答案为：15.
【分析】根据伙伴关系集合的定义，得到由，，“和” ，“和”这四类元素所组成的集合的非空子集，进而得到答案.
21．【答案】8
【知识点】元素与集合关系的判断
【解析】【解答】由题意，集合M=，N=
故集合A=，有8个元素。
故答案为：8。
【分析】利用已知条件结合集合A的定义，再利用元素与集合的关系和元素的互异性，进而求出集合A，从而得出集合A的元素个数。
22．【答案】
【知识点】集合的表示法
【解析】【解答】当时，；
当时，；
当，时，，
所以。
故答案为：。
【分析】 利用定义两种新运算“”与“” 结合分类讨论的方法，进而用列举法表示集合A。
23．【答案】（1）解：由衍生和集的定义知：集合的衍生和集；集合的衍生和集.
（2）解：当时，设集合，且；
，
集合的衍生和集的元素个数的最小值为；
若集合中任意两个元素的和不相等，则衍生和集的元素个数取得最大值，最大值为；
最大值为，最小值为.
【知识点】集合的含义；元素与集合关系的判断
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合衍生和集的定义，进而分别写出集合，的衍生和集。
（2）利用已知条件结合衍生和集的定义，再结合数列的单调性，从而得出集合的衍生和集的元素个数的最大值和最小值。
24．【答案】（1）解：所有被3整除的整数组成的集合，用描述法可表示为：
（2）解：不等式的解集，用描述法可表示为：.
（3）解：方程的所有实数解组成的集合，
用描述法可表示为：.
（4）解：抛物线上所有点组成的集合，
用描述法可表示为：.
（5）解：集合，用描述法可表示为：且.
【知识点】集合的表示法
【解析】【分析】（1）根据集合的表示方法，即可求解；
（2）由不等式，解得，进而求得不等式的解集；
（3）根据题意，利用集合的表示方法，即可求解；
（4）根据题意，利用集合的表示方法，即可求解；
（5）根据数字的特征，结合集合的标准方法，即可求解.
二一教育在线组卷平台（zujuan.21cnjy.com）自动生成 1 / 1
