2023-2024学年高中数学人教A版必修一1.2 集合间的关系 同步练习
一、选择题
1．（2023高一上·厦门期末）若集合是与的公倍数，，，且，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．以上选项均不正确
【答案】C
【知识点】集合中元素的确定性、互异性、无序性；集合间关系的判断
【解析】【解答】对于集合，当时，是与的公倍数，因此是的正整数倍，
即是与的公倍数，，且，
∴由集合中元素的互异性，集合中元素有6，12，18，24，30，…，
对于集合，当时，是的正整数倍，
∴集合中元素有6，12，18，24，30，…，
∴.
故答案为：C.
【分析】根据集合的描述法，对两个集合中描述元素的语言和等式进行分析，可得答案.
2．（2022高一上·清远月考）集合A={x|x2=1}，B={x|ax=1}，若B A，则实数a的值为（ ）
A．1 B．-1 C．±1 D．0或±1
【答案】D
【知识点】集合关系中的参数取值问题
【解析】【解答】解：A={x|x2=1}={1，-1}.当a=0时，，满足B A；当a≠0时，B=，因为B A，所以=1或=-1，即a=±1.综上所述，a=0或a=±1.
故答案为：D
【分析】对a进行分类讨论，结合B A 求得a的值.
3．（2022高一上·安徽月考）已知集合，集合，则C的子集的个数为（ ）
A．3 B．8 C．7 D．16
【答案】B
【知识点】子集与真子集
【解析】【解答】由题意得，所以集合的子集的个数为。
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合元素与集合的关系，进而得出集合C，再结合子集的定义，进而得出集合C的子集的个数。
4．（2022高一上·河北期中）下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则
B．集合有两个真子集
C．若，则
D．不存在奇数的立方是偶数
【答案】D
【知识点】子集与真子集；命题的真假判断与应用
【解析】【解答】对于A：当时，，A不正确；
对于B：的真子集为，只有一个，B不正确；
对于C：时，不成立，C不正确；
对于D：任何奇数的立方均为奇数，D符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据集合的相关知识可判断A、B；利用特殊值法可判断C；利用全称命题相关知识可判断D.
5．（2022高一上·博罗期中）设集合，，若，则的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】集合关系中的参数取值问题
【解析】【解答】
由数轴可得，若，则。
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合集合间的包含关系，再结合分类讨论的方法，从而借助数轴求出实数a的取值范围。
6．（2022高一上·东莞期中）已知集合，，，则（ ）
A．0 B．1 C．0或1 D．
【答案】B
【知识点】集合关系中的参数取值问题
【解析】【解答】因为，且，则，
又，即，所以，即。
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合集合间的包含关系，进而得出实数m的值。
7．（2022高一上·绵阳期中）已知集合，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】元素与集合的关系；集合间关系的判断
【解析】【解答】由题意知集合，
故，A不符合题意；
，B不符合题意；
，C符合题意；
，D不符合题意。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合元素与集合的关系和集合间的包含关系，进而找出正确的选项。
8．（2022高一上·湖南期中）已知集合，对于它的任一非空子集，可以将中的每一个元素都乘再求和，例如，则可求得和为，对所有非空子集，这些和的总和为（ ）
A．80 B．160 C．162 D．320
【答案】B
【知识点】集合间关系的判断；分类加法计数原理
【解析】【解答】因为元素，，，，，在集合的所有非空子集中分别出现次，
则对的所有非空子集中元素执行乘再求和，
则这些和的总和是．
故答案为：B.
【分析】先计算出集合的非空子集个数，然后结合新定义计算结果所出现的情况，把结果相加即可.
二、多项选择题
9．（2022高一上·河北期中）已知集合，当时，的值可以是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A,C
【知识点】集合相等
【解析】【解答】i.当时，；
ii.当时，，此时，则．
故答案为：AC．
【分析】根据已知条件，结合集合相等的定义，分，两种情况讨论，即可求出 的值 .
10．（2022高一上·重庆月考）下列关系式正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】元素与集合的关系；集合间关系的判断；集合相等
【解析】【解答】A：由集合相等易知，A符合题意；
B：，B不正确；
C：，故正确；
D：空集是任何集合的子集，则，D符合题意；
故答案为：ACD.
【分析】利用集合相等的判断方法、元素与集合的关系、集合的包含关系判断方法，进而找出关系正确的选项。
11．（2022高一上·杭州期中）若集合，，且，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,B,C
【知识点】集合间关系的判断
【解析】【解答】由，解得或，故，
因为，，
所以当时，；
当时，，则或，
所以或；
综上：或或，ABC符合题意.
故答案为：ABC.
【分析】求得，根据，分和，两种情况讨论，列出方程，即可求解.
12．（2022高一上·碑林期中）下列说法正确的是（ ）
A．任何集合都是它自身的真子集
B．集合共有4个子集
C．集合
D．集合
【答案】B,C
【知识点】子集与真子集；集合间关系的判断
【解析】【解答】对A，空集不是它自身的真子集，A不符合题意；
对B，因为集合中有2个元素，所以有个子集，B符合题意；
对C，因为两个集合中的元素均为被3除余1的所有整数，所以两个集合相等，C符合题意；
对D，因为，当时，，所以，但，故两个集合不相等，D不符合题意。
故答案为：BC.
【分析】利用已知条件结合子集和真子集的定义、集合相等的判断方法，从而找出说法正确的选项。
三、填空题
13．（2023高一上·电白期末）设集合，，若，则a的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】集合关系中的参数取值问题
【解析】【解答】因为，，，
所以，所以a的取值范围是，
故答案为：.
【分析】根据子集的性质即可求出a的取值范围.
14．（2022高一上·河北期中）已知集合，若，则a的值为 ．
【答案】-2
【知识点】集合关系中的参数取值问题
【解析】【解答】当时，即.当时，，不合题意，舍去；当时，，满足题意.
当时，，不合题意，舍去.
故．
故答案为：-2.
【分析】 根据题意，分别令和两种情况结合集合的性质进行讨论，可求出 a的值 .
15．（2022高一上·河南期中）集合，，若，则实数的值组成的集合为 ．
【答案】
【知识点】集合间关系的判断
【解析】【解答】解得，由，∴集合，
，且，∴或或，
时，方程没有实数根，∴；
时，方程的解为，∴；
时，不成立，∴．
所以实数组成的集合为．
故答案为：
【分析】解集合A中的不等式，得集合，由，通过分类讨论求解实数的值.
16．（2022高一上·陈仓期中）已知集合，则 ．
【答案】1
【知识点】集合相等
【解析】【解答】易知．∵，
∴，即，
∴，．
又由集合中元素的互异性，知，
∴，
故。
故答案为：1。
【分析】利用已知条件结合集合相等的判断方法和集合的元素的互异性，进而得出满足要求的a，b的值，从而得出的值。
17．（2022高一上·安阳期中）已知集合只有个子集，则实数 ．
【答案】3
【知识点】子集与真子集
【解析】【解答】只有个子集，有且仅有一个元素；
当时，，则，不合题意；
当时，若有且仅有一个元素，则，解得：；
综上所述：。
故答案为：3。
【分析】利用已知条件结合分类讨论的方法和子集的定义，进而得出实数a的值。
18．（2022高一上·金坛期中）设，且满足且，则 .
【答案】3
【知识点】集合相等；集合关系中的参数取值问题
【解析】【解答】因为且
，
所以，
所以
，即.
故答案为：3
【分析】根据集合相等得到，即可得到答案.
19．（2022高一上·菏泽期中），则 ．
【答案】0
【知识点】集合关系中的参数取值问题
【解析】【解答】由题意得或，
当时，满足题意，
当时，，舍去，
综上，，
故答案为：0
【分析】由题意得或，再根据集合元素的互异性可得a的值.
20．（2022高一上·湖南期中）集合的真子集的个数是 ．
【答案】7
【知识点】子集与真子集
【解析】【解答】因为，
则的元素个数为，A有个真子集．
故答案为：.
【分析】先根据题意写出集合A的具体元素，再利将其真子集的个数给求出来即可.
21．（2022高一上·湖北期中）若集合，，则 （用列举法表示），集合与集合的关系为：A B（填入适当的符号）.
【答案】；
【知识点】集合间关系的判断
【解析】【解答】因为，，
所以集合中的元素是集合的子集：，
所以集合，
因为集合是集合的一个元素，所以，
故答案为：；
【分析】由题意得集合是集合的子集，应用列举法写出集合，即可得到答案.
22．（2022高一上·温州期中）满足的集合的个数为 ．
【答案】4
【知识点】子集与真子集
【解析】【解答】由子集定义可知：集合所有可能的结果为，，，，共个。
故答案为：4。
【分析】利用已知条件结合子集的定义，进而求出满足要求的集合M的个数。
23．（2022高一上·浙江期中）已知集合，集合；若 ，则 ；
【答案】-1
【知识点】集合相等
【解析】【解答】由题意知集合，集合B=，，
由，由集合元素的互异性可知且且，则，
故由可得，则，，故，
所以。
故答案为：-1。
【分析】利用已知条件结合集合相等的判断方法和元素的互异性，进而得出a，b的值，从而得出a+b的值。
四、解答题
24．（2022高一上·温州期中）已知集合
（1）若集合A有且只有两个子集，求实数m的值.
（2）当时，若，且，求的值
【答案】（1）解：因为集合A有且只有两个子集，所以集合A中只有一个元素，
①当时，符合要求；
②当时，则，即.
综上所述，-3或3.
（2）解：当时，集合
即
即
.
【知识点】子集与真子集；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）利用集合A有且只有两个子集，所以集合A中只有一个元素， 再利用分类讨论的方法结合元素与集合的关系和判别式法，进而得出满足要求的实数m的值。
（2）利用m的值求出集合A，再利用一元二次方程求解方法得出集合A中的元素，再结合平方差公式和指数幂的运算法则，进而得出 的值 。
25．（2022高一上·浙江月考）
（1）从集合中，选出由5个数组成的子集，使得这5个数中的任何两个数的和不等于11，则这样的子集共有多少个？
（2）设集合，集合B是A的子集，且集合B任意两数之差都不等于6或7．问：集合B中最多有多少个元素？说明理由．
【答案】（1）解：将和为11的数分组：共5组，只要从这五组每组中各取一个数就符合题意，每组有2种取法，故有个子集；
（2）解：构造A的下列13个子集：，，A中每一个数恰好属于2个子集，
假设从A中取7个元素，由抽屉原理知其中必有2个元素属于同一个子集，它们的差为6或7．
因此，A中任意7个元素都不能同时属于集合B，即B中最多只有6个元素，
又中任意两数之差不等于6或7，此时符合要求，
∴集合B中最多有6个元素．
【知识点】集合中元素的个数问题；子集与交集、并集运算的转换
【解析】【分析】（1）先求得和为11的数组，再从每个数组中各任取一个数，即可求解；
（2）构造集合A的13个子集 ，， 从A中任取7个元素，根据抽屉原理得到它们的差为6或7，进而求得集合B中最多的元素个数.
26．（2022高一上·淮南月考）已知为实数，，．
（1）当时，求的取值集合；
（2）当时，求的取值集合.
【答案】（1）解：因为，
所以当时，，当时，．
又，所以，此时，满足．
所以当时，的取值集合为．
（2）解：当时，，不成立；
当时，，，成立；
当且时，，，由，得，所以．
综上，的取值集合为．
【知识点】集合关系中的参数取值问题
【解析】【分析】(1)易知方程 的解为1，m，从而可得 ，从而求出 的取值集合；
(2)以B是否为空集分类讨论即可求出 的取值集合.
1 / 12023-2024学年高中数学人教A版必修一1.2 集合间的关系 同步练习
一、选择题
1．（2023高一上·厦门期末）若集合是与的公倍数，，，且，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．以上选项均不正确
2．（2022高一上·清远月考）集合A={x|x2=1}，B={x|ax=1}，若B A，则实数a的值为（ ）
A．1 B．-1 C．±1 D．0或±1
3．（2022高一上·安徽月考）已知集合，集合，则C的子集的个数为（ ）
A．3 B．8 C．7 D．16
4．（2022高一上·河北期中）下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则
B．集合有两个真子集
C．若，则
D．不存在奇数的立方是偶数
5．（2022高一上·博罗期中）设集合，，若，则的范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022高一上·东莞期中）已知集合，，，则（ ）
A．0 B．1 C．0或1 D．
7．（2022高一上·绵阳期中）已知集合，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022高一上·湖南期中）已知集合，对于它的任一非空子集，可以将中的每一个元素都乘再求和，例如，则可求得和为，对所有非空子集，这些和的总和为（ ）
A．80 B．160 C．162 D．320
二、多项选择题
9．（2022高一上·河北期中）已知集合，当时，的值可以是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（2022高一上·重庆月考）下列关系式正确的有（ ）
A． B．
C． D．
11．（2022高一上·杭州期中）若集合，，且，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
12．（2022高一上·碑林期中）下列说法正确的是（ ）
A．任何集合都是它自身的真子集
B．集合共有4个子集
C．集合
D．集合
三、填空题
13．（2023高一上·电白期末）设集合，，若，则a的取值范围是 ．
14．（2022高一上·河北期中）已知集合，若，则a的值为 ．
15．（2022高一上·河南期中）集合，，若，则实数的值组成的集合为 ．
16．（2022高一上·陈仓期中）已知集合，则 ．
17．（2022高一上·安阳期中）已知集合只有个子集，则实数 ．
18．（2022高一上·金坛期中）设，且满足且，则 .
19．（2022高一上·菏泽期中），则 ．
20．（2022高一上·湖南期中）集合的真子集的个数是 ．
21．（2022高一上·湖北期中）若集合，，则 （用列举法表示），集合与集合的关系为：A B（填入适当的符号）.
22．（2022高一上·温州期中）满足的集合的个数为 ．
23．（2022高一上·浙江期中）已知集合，集合；若 ，则 ；
四、解答题
24．（2022高一上·温州期中）已知集合
（1）若集合A有且只有两个子集，求实数m的值.
（2）当时，若，且，求的值
25．（2022高一上·浙江月考）
（1）从集合中，选出由5个数组成的子集，使得这5个数中的任何两个数的和不等于11，则这样的子集共有多少个？
（2）设集合，集合B是A的子集，且集合B任意两数之差都不等于6或7．问：集合B中最多有多少个元素？说明理由．
26．（2022高一上·淮南月考）已知为实数，，．
（1）当时，求的取值集合；
（2）当时，求的取值集合.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】集合中元素的确定性、互异性、无序性；集合间关系的判断
【解析】【解答】对于集合，当时，是与的公倍数，因此是的正整数倍，
即是与的公倍数，，且，
∴由集合中元素的互异性，集合中元素有6，12，18，24，30，…，
对于集合，当时，是的正整数倍，
∴集合中元素有6，12，18，24，30，…，
∴.
故答案为：C.
【分析】根据集合的描述法，对两个集合中描述元素的语言和等式进行分析，可得答案.
2．【答案】D
【知识点】集合关系中的参数取值问题
【解析】【解答】解：A={x|x2=1}={1，-1}.当a=0时，，满足B A；当a≠0时，B=，因为B A，所以=1或=-1，即a=±1.综上所述，a=0或a=±1.
故答案为：D
【分析】对a进行分类讨论，结合B A 求得a的值.
3．【答案】B
【知识点】子集与真子集
【解析】【解答】由题意得，所以集合的子集的个数为。
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合元素与集合的关系，进而得出集合C，再结合子集的定义，进而得出集合C的子集的个数。
4．【答案】D
【知识点】子集与真子集；命题的真假判断与应用
【解析】【解答】对于A：当时，，A不正确；
对于B：的真子集为，只有一个，B不正确；
对于C：时，不成立，C不正确；
对于D：任何奇数的立方均为奇数，D符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据集合的相关知识可判断A、B；利用特殊值法可判断C；利用全称命题相关知识可判断D.
5．【答案】B
【知识点】集合关系中的参数取值问题
【解析】【解答】
由数轴可得，若，则。
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合集合间的包含关系，再结合分类讨论的方法，从而借助数轴求出实数a的取值范围。
6．【答案】B
【知识点】集合关系中的参数取值问题
【解析】【解答】因为，且，则，
又，即，所以，即。
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合集合间的包含关系，进而得出实数m的值。
7．【答案】C
【知识点】元素与集合的关系；集合间关系的判断
【解析】【解答】由题意知集合，
故，A不符合题意；
，B不符合题意；
，C符合题意；
，D不符合题意。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合元素与集合的关系和集合间的包含关系，进而找出正确的选项。
8．【答案】B
【知识点】集合间关系的判断；分类加法计数原理
【解析】【解答】因为元素，，，，，在集合的所有非空子集中分别出现次，
则对的所有非空子集中元素执行乘再求和，
则这些和的总和是．
故答案为：B.
【分析】先计算出集合的非空子集个数，然后结合新定义计算结果所出现的情况，把结果相加即可.
9．【答案】A,C
【知识点】集合相等
【解析】【解答】i.当时，；
ii.当时，，此时，则．
故答案为：AC．
【分析】根据已知条件，结合集合相等的定义，分，两种情况讨论，即可求出 的值 .
10．【答案】A,C,D
【知识点】元素与集合的关系；集合间关系的判断；集合相等
【解析】【解答】A：由集合相等易知，A符合题意；
B：，B不正确；
C：，故正确；
D：空集是任何集合的子集，则，D符合题意；
故答案为：ACD.
【分析】利用集合相等的判断方法、元素与集合的关系、集合的包含关系判断方法，进而找出关系正确的选项。
11．【答案】A,B,C
【知识点】集合间关系的判断
【解析】【解答】由，解得或，故，
因为，，
所以当时，；
当时，，则或，
所以或；
综上：或或，ABC符合题意.
故答案为：ABC.
【分析】求得，根据，分和，两种情况讨论，列出方程，即可求解.
12．【答案】B,C
【知识点】子集与真子集；集合间关系的判断
【解析】【解答】对A，空集不是它自身的真子集，A不符合题意；
对B，因为集合中有2个元素，所以有个子集，B符合题意；
对C，因为两个集合中的元素均为被3除余1的所有整数，所以两个集合相等，C符合题意；
对D，因为，当时，，所以，但，故两个集合不相等，D不符合题意。
故答案为：BC.
【分析】利用已知条件结合子集和真子集的定义、集合相等的判断方法，从而找出说法正确的选项。
13．【答案】
【知识点】集合关系中的参数取值问题
【解析】【解答】因为，，，
所以，所以a的取值范围是，
故答案为：.
【分析】根据子集的性质即可求出a的取值范围.
14．【答案】-2
【知识点】集合关系中的参数取值问题
【解析】【解答】当时，即.当时，，不合题意，舍去；当时，，满足题意.
当时，，不合题意，舍去.
故．
故答案为：-2.
【分析】 根据题意，分别令和两种情况结合集合的性质进行讨论，可求出 a的值 .
15．【答案】
【知识点】集合间关系的判断
【解析】【解答】解得，由，∴集合，
，且，∴或或，
时，方程没有实数根，∴；
时，方程的解为，∴；
时，不成立，∴．
所以实数组成的集合为．
故答案为：
【分析】解集合A中的不等式，得集合，由，通过分类讨论求解实数的值.
16．【答案】1
【知识点】集合相等
【解析】【解答】易知．∵，
∴，即，
∴，．
又由集合中元素的互异性，知，
∴，
故。
故答案为：1。
【分析】利用已知条件结合集合相等的判断方法和集合的元素的互异性，进而得出满足要求的a，b的值，从而得出的值。
17．【答案】3
【知识点】子集与真子集
【解析】【解答】只有个子集，有且仅有一个元素；
当时，，则，不合题意；
当时，若有且仅有一个元素，则，解得：；
综上所述：。
故答案为：3。
【分析】利用已知条件结合分类讨论的方法和子集的定义，进而得出实数a的值。
18．【答案】3
【知识点】集合相等；集合关系中的参数取值问题
【解析】【解答】因为且
，
所以，
所以
，即.
故答案为：3
【分析】根据集合相等得到，即可得到答案.
19．【答案】0
【知识点】集合关系中的参数取值问题
【解析】【解答】由题意得或，
当时，满足题意，
当时，，舍去，
综上，，
故答案为：0
【分析】由题意得或，再根据集合元素的互异性可得a的值.
20．【答案】7
【知识点】子集与真子集
【解析】【解答】因为，
则的元素个数为，A有个真子集．
故答案为：.
【分析】先根据题意写出集合A的具体元素，再利将其真子集的个数给求出来即可.
21．【答案】；
【知识点】集合间关系的判断
【解析】【解答】因为，，
所以集合中的元素是集合的子集：，
所以集合，
因为集合是集合的一个元素，所以，
故答案为：；
【分析】由题意得集合是集合的子集，应用列举法写出集合，即可得到答案.
22．【答案】4
【知识点】子集与真子集
【解析】【解答】由子集定义可知：集合所有可能的结果为，，，，共个。
故答案为：4。
【分析】利用已知条件结合子集的定义，进而求出满足要求的集合M的个数。
23．【答案】-1
【知识点】集合相等
【解析】【解答】由题意知集合，集合B=，，
由，由集合元素的互异性可知且且，则，
故由可得，则，，故，
所以。
故答案为：-1。
【分析】利用已知条件结合集合相等的判断方法和元素的互异性，进而得出a，b的值，从而得出a+b的值。
24．【答案】（1）解：因为集合A有且只有两个子集，所以集合A中只有一个元素，
①当时，符合要求；
②当时，则，即.
综上所述，-3或3.
（2）解：当时，集合
即
即
.
【知识点】子集与真子集；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）利用集合A有且只有两个子集，所以集合A中只有一个元素， 再利用分类讨论的方法结合元素与集合的关系和判别式法，进而得出满足要求的实数m的值。
（2）利用m的值求出集合A，再利用一元二次方程求解方法得出集合A中的元素，再结合平方差公式和指数幂的运算法则，进而得出 的值 。
25．【答案】（1）解：将和为11的数分组：共5组，只要从这五组每组中各取一个数就符合题意，每组有2种取法，故有个子集；
（2）解：构造A的下列13个子集：，，A中每一个数恰好属于2个子集，
假设从A中取7个元素，由抽屉原理知其中必有2个元素属于同一个子集，它们的差为6或7．
因此，A中任意7个元素都不能同时属于集合B，即B中最多只有6个元素，
又中任意两数之差不等于6或7，此时符合要求，
∴集合B中最多有6个元素．
【知识点】集合中元素的个数问题；子集与交集、并集运算的转换
【解析】【分析】（1）先求得和为11的数组，再从每个数组中各任取一个数，即可求解；
（2）构造集合A的13个子集 ，， 从A中任取7个元素，根据抽屉原理得到它们的差为6或7，进而求得集合B中最多的元素个数.
26．【答案】（1）解：因为，
所以当时，，当时，．
又，所以，此时，满足．
所以当时，的取值集合为．
（2）解：当时，，不成立；
当时，，，成立；
当且时，，，由，得，所以．
综上，的取值集合为．
【知识点】集合关系中的参数取值问题
【解析】【分析】(1)易知方程 的解为1，m，从而可得 ，从而求出 的取值集合；
(2)以B是否为空集分类讨论即可求出 的取值集合.
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