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2023-2024学年高中数学人教A版必修一 2.1 等式性质和不等式性质 同步练习
一、选择题
1．（2023高一下·宝山期末）如果，那么下列式子中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
2． 已知为非零实数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2022高一上·洛阳期中）已知，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2022高三上·河南期中）若，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2023高一下·信阳开学考）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（2023高一上·青岛期末）若，则下列不等式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023高一下·富锦月考）若，则下列不等式中成立的是（）
A． B． C． D．
8．（2022高一上·博罗期中）设，则（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题
9．（2023高一上·永吉期末）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为符号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若，，，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，，则 D．若，则
10．（2022高一上·湖北月考）已知实数x，y满足，则（ ）．
A． B．
C． D．
11．（2022高一上·浙江月考）设，则下列不等关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
12．（2022高一上·南阳期中）已知a、b、c、d均为实数，有下列命题，正确的是（ ）．
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
13．（2022高一上·云南月考）若，则（ ）
A． B． C． D．
14．（2022高一上·葫芦岛月考）已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
15．（2023高一上·保山期末）下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，，则
C．若，则
D．若，，则
16．（2023高一下·浙江期中）已知实数，则下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
17．（2022高一上·通榆月考）已知，则与的大小关系为 .
18．（2021高一上·辽宁月考）比较大小： （用“>”或“<”符号填空）．
19．（2020高二上·咸阳期末）设 ， ， ，则M与N的大小关系为 .
20．（2022高一上·河南月考）（1）已知糖水中含有糖（），若再添加糖完全溶解在其中，则糖水变得更甜了（即糖水中含糖浓度变大）.根据这个事实，则 .（填“>，<，=，≥，≤”之一）.
（2），，则M N（填“>，<，=，≥，≤”之一）.
21．（2020高一下·珠海期末）已知a＞0，b＞0，则p＝ ﹣a与q＝b﹣ 的大小关系是 ．
22．（2019高二上·中山月考）如果a>b，给出下列不等式：
① ；②a3>b3；③ ；④2ac2>2bc2；⑤ >1；⑥a2＋b2＋1>ab＋a＋b.
其中一定成立的不等式的序号是 ．
四、解答题
23．（2022高一上·东阳月考）已知1≤a+b≤4，-1≤a-b≤2，求4a-2b的取值范围.
24．（2022高一上·呼和浩特期中）证明不等式．
（1），bd＞0，求证：；
（2）已知a＞b＞c＞0，求证：．
25．（2022高一上·黔东南期中）求解下列问题：
（1）已知，比较和的大小；
（2）已知，比较与的大小.
26．（2020高一上·长春期中）已知 ，且 ，试判断 与 的大小，并用比较法给出证明.
27．（2020高一上·重庆月考）若 ， ， ，试比较 与 的大小.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】不等关系与不等式；不等式比较大小
【解析】【解答】解：由aab>0，A正确；
由a-b>0，则，B错误；
由a由a故选：A
【分析】利用不等式的性质，逐项判断作答.
2．【答案】D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】当时，， 所以得不出；
若，则，若，则，即，所以得不出，故 “”是“”的既不充分也不必要条件 .
故答案为：D
【分析】把数值进行特殊结合，再利用充分条件与必要条件的定义进行判断。
3．【答案】D
【知识点】不等关系与不等式；不等式比较大小
【解析】【解答】对于A选项，由不等式的基本性质可得，A不符合题意；
对于B选项，由不等式的基本性质可得，B不符合题意；
对于C选项，，C不符合题意；
对于D选项，，则，D对.
故答案为：D.
【分析】根据不等式的基本性质和作差比较法，逐项判定，即可求解.
4．【答案】B
【知识点】不等关系与不等式；不等式比较大小
【解析】【解答】A：不妨取，，，则，A不符合题意；
B：由得，又，所以，B符合题意；
C：当时，，，C不符合题意；
D：当时，没有意义，D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据不等式的基本性质和特殊值验证法，逐项判定，即可求解.
5．【答案】D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等关系与不等式
【解析】【解答】当时，不能推出，
当时，不能推出，
所以“”是“”的既不充分也不必要条件.
故答案为：D
【分析】由，得出充分性不成立，再由时，得到必要性不成立，即可求解.
6．【答案】B
【知识点】不等式比较大小；不等式的基本性质
【解析】【解答】因为，所以，A不符合题意；
因为，所以，则有，B符合题意；
因为，所以，又因为，所以，则，C不符合题意；
因为，所以，两边同时除以2可得：，D不符合题意，
故答案为：B.
【分析】根据可得：，然后根据不等式的性质逐项进行检验即可求解.
7．【答案】B
【知识点】不等式比较大小
【解析】【解答】解： ，则 ，所以选项A错误，选项B正确；
， ab-1的符号不能确定，所以大小不能确定，所以选项C错误；
，则 ，所以选项D错误.
故选：B
【分析】直接利用作差法比较每一个选项的式子的大小即得解.
8．【答案】A
【知识点】不等式比较大小
【解析】【解答】因为
恒成立，
所以。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合作差比较大小的方法，进而结合不等式的基本性质，进而比较出M，N的大小。
9．【答案】A,C,D
【知识点】不等关系与不等式；不等式比较大小
【解析】【解答】解：对于A，当b>a>0，所以ab>0，不等式b>a两边同时除以ab，得 ，A正确；
对于B，当c=0时，ac=bc，B错误；
对于C，由不等式性质，易知当a>b，c>d，则a+c>b+d，C正确；
对于D，因为ac2>bc2，所以c2>0，两边同除以c2得a>b，D正确.
故选：ACD
【分析】根据不等式的性质，逐项判断即可得答案.
10．【答案】A,C
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】因为，，，所以，A符合题意；
因为，所以，解得，B不符合题意：
因为，又，所以，C符合题意，D不符合题意：
故答案为：AC．
【分析】根据不等式的基本性质，可判定A正确，B不正确，由，结合不等式的基本性质，可判定C正确，D不正确.
11．【答案】A,B,D
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】因为，故，则，A符合题意；
由，不等式两边同时除以b，可得，B符合题意；
因为，故，故，C不符合题意；
由可得，故，D符合题意，
故答案为：ABD
【分析】根据不等式的基本性质，逐项判定，即可求解.
12．【答案】A,B,C
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】对于A，因为，，所以，即，A符合题意；
对于B，因为，又，即，所以，B符合题意；
对于C，因为，又，即，所以，C符合题意；
对于D，因为，，，所以，即，D不符合题意．
故答案为：ABC.
【分析】根据不等式的基本性质，结合作差比较法，逐项判定，即可求解.
13．【答案】B,D
【知识点】不等式比较大小
【解析】【解答】因为所以故，
又，所以
A，C不符合题意，B，D符合题意，
故答案为：BD
【分析】结合作差比较法，求得，再由，得到，即可求解.
14．【答案】A,B
【知识点】不等式比较大小；不等式的基本性质
【解析】【解答】当时，由可得，当时，由可得，A符合题意.
因为，所以，所以，B符合题意.
当，时，，C不符合题意.
当，时，，D不符合题意.
故答案为：AB.
【分析】利用不等式的性质可判断A；利用作差法可判断B；利用赋值法可判断C、D.
15．【答案】B,C
【知识点】不等式比较大小；不等式的基本性质
【解析】【解答】对于A，，异号时，不等式不成立，A不符合题意；
对于B，由，
又，，所以，即，B符合题意；
对于C，由，所以，C符合题意；
对于D，，，，，则，，不满足，D不符合题意．
故答案为：BC．
【分析】当，异号时即可判断A；利用作差法得，再根据题意判断即可判断B；根据，两边平方后不等式也成立即可判断C；利用特殊值法即可判断D．
16．【答案】B,C,D
【知识点】不等式比较大小
【解析】【解答】A、当 时 ，满足 ， ，不满足 ，A错误；
B、由题知， ，B正确；
C、由题知，，有 ，C正确；
D、由题知， ，，又， ，D正确。
故答案为：BCD
【分析】A可举反例，BCD根据不等式的性质逐一判断选项。
17．【答案】
【知识点】不等式比较大小
【解析】【解答】由题设，，故，所以。
故答案为：。
【分析】利用已知条件结合绝对值的性质和平方数的性质，再结合不等式的基本性质，进而比较出 与的大小关系。
18．【答案】＞
【知识点】不等式比较大小
【解析】【解答】解： ，
故 ，
故 ，
故答案为：＞
【分析】平方作差可得，进而可得其平方的大小，可得原式的大小。
19．【答案】M＞N
【知识点】不等式比较大小
【解析】【解答】
，
故答案为：M＞N.
【分析】利用作差法和不等式的性质即可得到答案。
20．【答案】（1）<
（2）>
【知识点】不等式比较大小；不等式的基本性质
【解析】【解答】（1）∵，
又∵，，
∴，即；
（2）因为，，
故。
故答案为： < ； > 。
【分析】利用已知条件结合作差比较大小的方法和不等式的基本性质，进而比较出的大小和M，N的大小。
21．【答案】p≥q
【知识点】不等式比较大小
【解析】【解答】因为 ， ， 与 ，
所以 ， 时取等号，
所以 ．
故答案为：p≥q．
【分析】由已知结合作差法进行变形后即可比较大小。
22．【答案】②⑥
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】令 ， ，排除①， ，排除③选项， ，排除⑤.当 时，排除④.由于幂函数 为 上的递增函数，故 ，②是一定成立的.由于 ，故 .故⑥正确.所以一定成立的是②⑥.
【分析】对 分别赋值，然后对各个不等式进行排除，对于无法排除的选项利用函数的单调性和差比较法证明成立.
23．【答案】解：令4a-2b=x(a+b)+y(a-b)，
所以4a-2b=(x+y)a+(x-y)b.
所以
解得
因为1≤a+b≤4，-1≤a-b≤2，
所以
所以-2≤4a-2b≤10.
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【分析】令 ，得出方程组，求得，进而求得，结合不等式的基本性质，即可求解.
24．【答案】（1）证明：，
因为，，所以，，
又bd＞0，所以，，
即.
（2）证明：因为a＞b＞c＞0，
所以有，，，，
则，，
即有，成立；
因为，，所以，，
又，所以，成立.
所以，有.
【知识点】不等式比较大小；不等式的基本性质
【解析】【分析】（1）利用作差法，结合已知条件即可证得 ；
（2）由 a＞b＞c＞0，得，，， 利用作差法可证得 ．
25．【答案】（1）解：－．
所以；
（2）解：∵，∴，，
∴，
所以．
【知识点】不等式比较大小
【解析】【分析】利用作差法比较大小即可.
26．【答案】解：
因为 ，
所以 ，即 ，当且仅当 时等号成立.
【知识点】不等式比较大小
【解析】【分析】利用作差法比较证明即可。
27．【答案】解：
， ，
， ， ， ，
， .
， 又 ，
，即
【知识点】不等式比较大小
【解析】【分析】用作差法比较，作差后通分，并因式分解，然后判断正负后可得．
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2023-2024学年高中数学人教A版必修一 2.1 等式性质和不等式性质 同步练习
一、选择题
1．（2023高一下·宝山期末）如果，那么下列式子中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】不等关系与不等式；不等式比较大小
【解析】【解答】解：由aab>0，A正确；
由a-b>0，则，B错误；
由a由a故选：A
【分析】利用不等式的性质，逐项判断作答.
2． 已知为非零实数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】当时，， 所以得不出；
若，则，若，则，即，所以得不出，故 “”是“”的既不充分也不必要条件 .
故答案为：D
【分析】把数值进行特殊结合，再利用充分条件与必要条件的定义进行判断。
3．（2022高一上·洛阳期中）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】不等关系与不等式；不等式比较大小
【解析】【解答】对于A选项，由不等式的基本性质可得，A不符合题意；
对于B选项，由不等式的基本性质可得，B不符合题意；
对于C选项，，C不符合题意；
对于D选项，，则，D对.
故答案为：D.
【分析】根据不等式的基本性质和作差比较法，逐项判定，即可求解.
4．（2022高三上·河南期中）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】不等关系与不等式；不等式比较大小
【解析】【解答】A：不妨取，，，则，A不符合题意；
B：由得，又，所以，B符合题意；
C：当时，，，C不符合题意；
D：当时，没有意义，D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据不等式的基本性质和特殊值验证法，逐项判定，即可求解.
5．（2023高一下·信阳开学考）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等关系与不等式
【解析】【解答】当时，不能推出，
当时，不能推出，
所以“”是“”的既不充分也不必要条件.
故答案为：D
【分析】由，得出充分性不成立，再由时，得到必要性不成立，即可求解.
6．（2023高一上·青岛期末）若，则下列不等式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】不等式比较大小；不等式的基本性质
【解析】【解答】因为，所以，A不符合题意；
因为，所以，则有，B符合题意；
因为，所以，又因为，所以，则，C不符合题意；
因为，所以，两边同时除以2可得：，D不符合题意，
故答案为：B.
【分析】根据可得：，然后根据不等式的性质逐项进行检验即可求解.
7．（2023高一下·富锦月考）若，则下列不等式中成立的是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】不等式比较大小
【解析】【解答】解： ，则 ，所以选项A错误，选项B正确；
， ab-1的符号不能确定，所以大小不能确定，所以选项C错误；
，则 ，所以选项D错误.
故选：B
【分析】直接利用作差法比较每一个选项的式子的大小即得解.
8．（2022高一上·博罗期中）设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】不等式比较大小
【解析】【解答】因为
恒成立，
所以。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合作差比较大小的方法，进而结合不等式的基本性质，进而比较出M，N的大小。
二、多项选择题
9．（2023高一上·永吉期末）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为符号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若，，，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，，则 D．若，则
【答案】A,C,D
【知识点】不等关系与不等式；不等式比较大小
【解析】【解答】解：对于A，当b>a>0，所以ab>0，不等式b>a两边同时除以ab，得 ，A正确；
对于B，当c=0时，ac=bc，B错误；
对于C，由不等式性质，易知当a>b，c>d，则a+c>b+d，C正确；
对于D，因为ac2>bc2，所以c2>0，两边同除以c2得a>b，D正确.
故选：ACD
【分析】根据不等式的性质，逐项判断即可得答案.
10．（2022高一上·湖北月考）已知实数x，y满足，则（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A,C
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】因为，，，所以，A符合题意；
因为，所以，解得，B不符合题意：
因为，又，所以，C符合题意，D不符合题意：
故答案为：AC．
【分析】根据不等式的基本性质，可判定A正确，B不正确，由，结合不等式的基本性质，可判定C正确，D不正确.
11．（2022高一上·浙江月考）设，则下列不等关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】因为，故，则，A符合题意；
由，不等式两边同时除以b，可得，B符合题意；
因为，故，故，C不符合题意；
由可得，故，D符合题意，
故答案为：ABD
【分析】根据不等式的基本性质，逐项判定，即可求解.
12．（2022高一上·南阳期中）已知a、b、c、d均为实数，有下列命题，正确的是（ ）．
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
【答案】A,B,C
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】对于A，因为，，所以，即，A符合题意；
对于B，因为，又，即，所以，B符合题意；
对于C，因为，又，即，所以，C符合题意；
对于D，因为，，，所以，即，D不符合题意．
故答案为：ABC.
【分析】根据不等式的基本性质，结合作差比较法，逐项判定，即可求解.
13．（2022高一上·云南月考）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B,D
【知识点】不等式比较大小
【解析】【解答】因为所以故，
又，所以
A，C不符合题意，B，D符合题意，
故答案为：BD
【分析】结合作差比较法，求得，再由，得到，即可求解.
14．（2022高一上·葫芦岛月考）已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,B
【知识点】不等式比较大小；不等式的基本性质
【解析】【解答】当时，由可得，当时，由可得，A符合题意.
因为，所以，所以，B符合题意.
当，时，，C不符合题意.
当，时，，D不符合题意.
故答案为：AB.
【分析】利用不等式的性质可判断A；利用作差法可判断B；利用赋值法可判断C、D.
15．（2023高一上·保山期末）下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，，则
C．若，则
D．若，，则
【答案】B,C
【知识点】不等式比较大小；不等式的基本性质
【解析】【解答】对于A，，异号时，不等式不成立，A不符合题意；
对于B，由，
又，，所以，即，B符合题意；
对于C，由，所以，C符合题意；
对于D，，，，，则，，不满足，D不符合题意．
故答案为：BC．
【分析】当，异号时即可判断A；利用作差法得，再根据题意判断即可判断B；根据，两边平方后不等式也成立即可判断C；利用特殊值法即可判断D．
16．（2023高一下·浙江期中）已知实数，则下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B,C,D
【知识点】不等式比较大小
【解析】【解答】A、当 时 ，满足 ， ，不满足 ，A错误；
B、由题知， ，B正确；
C、由题知，，有 ，C正确；
D、由题知， ，，又， ，D正确。
故答案为：BCD
【分析】A可举反例，BCD根据不等式的性质逐一判断选项。
三、填空题
17．（2022高一上·通榆月考）已知，则与的大小关系为 .
【答案】
【知识点】不等式比较大小
【解析】【解答】由题设，，故，所以。
故答案为：。
【分析】利用已知条件结合绝对值的性质和平方数的性质，再结合不等式的基本性质，进而比较出 与的大小关系。
18．（2021高一上·辽宁月考）比较大小： （用“>”或“<”符号填空）．
【答案】＞
【知识点】不等式比较大小
【解析】【解答】解： ，
故 ，
故 ，
故答案为：＞
【分析】平方作差可得，进而可得其平方的大小，可得原式的大小。
19．（2020高二上·咸阳期末）设 ， ， ，则M与N的大小关系为 .
【答案】M＞N
【知识点】不等式比较大小
【解析】【解答】
，
故答案为：M＞N.
【分析】利用作差法和不等式的性质即可得到答案。
20．（2022高一上·河南月考）（1）已知糖水中含有糖（），若再添加糖完全溶解在其中，则糖水变得更甜了（即糖水中含糖浓度变大）.根据这个事实，则 .（填“>，<，=，≥，≤”之一）.
（2），，则M N（填“>，<，=，≥，≤”之一）.
【答案】（1）<
（2）>
【知识点】不等式比较大小；不等式的基本性质
【解析】【解答】（1）∵，
又∵，，
∴，即；
（2）因为，，
故。
故答案为： < ； > 。
【分析】利用已知条件结合作差比较大小的方法和不等式的基本性质，进而比较出的大小和M，N的大小。
21．（2020高一下·珠海期末）已知a＞0，b＞0，则p＝ ﹣a与q＝b﹣ 的大小关系是 ．
【答案】p≥q
【知识点】不等式比较大小
【解析】【解答】因为 ， ， 与 ，
所以 ， 时取等号，
所以 ．
故答案为：p≥q．
【分析】由已知结合作差法进行变形后即可比较大小。
22．（2019高二上·中山月考）如果a>b，给出下列不等式：
① ；②a3>b3；③ ；④2ac2>2bc2；⑤ >1；⑥a2＋b2＋1>ab＋a＋b.
其中一定成立的不等式的序号是 ．
【答案】②⑥
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】令 ， ，排除①， ，排除③选项， ，排除⑤.当 时，排除④.由于幂函数 为 上的递增函数，故 ，②是一定成立的.由于 ，故 .故⑥正确.所以一定成立的是②⑥.
【分析】对 分别赋值，然后对各个不等式进行排除，对于无法排除的选项利用函数的单调性和差比较法证明成立.
四、解答题
23．（2022高一上·东阳月考）已知1≤a+b≤4，-1≤a-b≤2，求4a-2b的取值范围.
【答案】解：令4a-2b=x(a+b)+y(a-b)，
所以4a-2b=(x+y)a+(x-y)b.
所以
解得
因为1≤a+b≤4，-1≤a-b≤2，
所以
所以-2≤4a-2b≤10.
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【分析】令 ，得出方程组，求得，进而求得，结合不等式的基本性质，即可求解.
24．（2022高一上·呼和浩特期中）证明不等式．
（1），bd＞0，求证：；
（2）已知a＞b＞c＞0，求证：．
【答案】（1）证明：，
因为，，所以，，
又bd＞0，所以，，
即.
（2）证明：因为a＞b＞c＞0，
所以有，，，，
则，，
即有，成立；
因为，，所以，，
又，所以，成立.
所以，有.
【知识点】不等式比较大小；不等式的基本性质
【解析】【分析】（1）利用作差法，结合已知条件即可证得 ；
（2）由 a＞b＞c＞0，得，，， 利用作差法可证得 ．
25．（2022高一上·黔东南期中）求解下列问题：
（1）已知，比较和的大小；
（2）已知，比较与的大小.
【答案】（1）解：－．
所以；
（2）解：∵，∴，，
∴，
所以．
【知识点】不等式比较大小
【解析】【分析】利用作差法比较大小即可.
26．（2020高一上·长春期中）已知 ，且 ，试判断 与 的大小，并用比较法给出证明.
【答案】解：
因为 ，
所以 ，即 ，当且仅当 时等号成立.
【知识点】不等式比较大小
【解析】【分析】利用作差法比较证明即可。
27．（2020高一上·重庆月考）若 ， ， ，试比较 与 的大小.
【答案】解：
， ，
， ， ， ，
， .
， 又 ，
，即
【知识点】不等式比较大小
【解析】【分析】用作差法比较，作差后通分，并因式分解，然后判断正负后可得．
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