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2023-2024学年高中数学人教A版必修一 2.2 基本不等式
一、选择题
1．（2023高一上·五华期末）若，，且，则的最大值为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．9
2．（2023高一上·厦门期末）设实数满足，则函数的最大值是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023高一上·宝安期末）若，且a≠b，则中的最大值是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023高一上·北碚期末）已知x>0，y>0，且x＋2y＝4，则(1＋x)(1＋2y)的最大值为（ ）
A．36 B．4 C．16 D．9
5．（2023高一上·宁波期末）已知，且，则的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．
6．（2023高一上·张家口期末）若，，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023高一上·大连期末）已知，，且满足，则的最大值为（ ）
A．9 B．6 C．4 D．1
8．（2023高一上·宁波期末）已知，，则（ ）
A．的最大值为且的最大值为
B．的最大值为且的最小值为0
C．的最小值为且的最大值为
D．的最小值为且的最小值为0
9．（2023高一上·武汉期末）已知，，且，则的最小值为（ ）
A． B． C．9 D．7
10．（2022高一上·河南月考）已知为正实数，以下不等式成立的有（ ）
①；②；③；④
A．②④ B．②③ C．②③④ D．①④
二、多项选择题
11．（2022高一上·清远期中）下列结论中正确的有（ ）
A．若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是
B．若，则“”的充要条件是“”
C．“”是“”的充分不必要条件
D．当时，的最小值为
12．（2023高一上·孝义期末）已知，b为实数，且，则下列命题正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
13．（2023高一上·嵩明期末）已知，，，当且仅当时，则下列结论正确的是（ ）
A．取得最大值为 B．取得最小值为
C．取得最大值为 D．取得最小值为
14．（2023高一上·官渡期末）已知a，，且，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
15．（2023高一上·宝安期末）且，则的可能取值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
16．（2023高一上·温州期末）已知正实数x，y满足，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
17．（2023高一上·榆林期末）若正实数、满足，则的最小值为 .
18．（2022高一上·深圳期末）已知，且，则的最小值为 .
19．（2023高一上·红桥月考）已知，则的最小值为 ．
20．（2023高一上·东莞期末）某公园设计了一座八边形的绿化花园，它的主体造型平面图（如图2）是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为的十字型区域，计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为99元/；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为8元/；在四个矩形（图中阴影部分）上不做任何设计．设总造价为S（单位：元），AD长为x（单位：m），则绿化花园总造价S的最小值为 元．
21．（2022高一上·宝鸡期末）设实数满足，函数的最小值为 .
22．（2023高一上·青岛期末）已知，，满足，则的最小值是 ．
四、解答题
23．（2022高一上·金台期中）
（1）在面积为定值的矩形中，边长是多少时矩形的周长最小？
（2）在周长为定值的矩形中，边长是多少时矩形的面积最大？
24．（2023高一上·北海期末）已知．
（1）当，时，求的最小值；
（2）当，时，求的最小值．
25．（2023高一上·榆林期末）已知，.
（1）若，求的最大值；
（2）若，证明：.
26．（2022高一上·定州期中）已知正实数，满足.求
（1）的最小值；
（2）的最小值；
（3）的最小值.
27．（2022高一上·河南月考）已知，且，.
（1）求的最小值；
（2）求的最小值.
28．（2022高一上·青岛期中）已知关于x的方程有两个不相等的实数根．
（1）证明：；
（2）证明：；
（3）设，求S的最大值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】因为，，且，
所以，当且仅当时等号成立，
所以的最大值为9.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合均值不等式求最值的方法，进而得出ab的最大值。
2．【答案】D
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】因为，所以，
所以
当且仅当时，等号成立，
故答案为：D.
【分析】，利用基本不等式可求出答案.
3．【答案】A
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】因为，所以，
根据基本不等式可知，当且仅当时等号成立，
因为，所以；同理，
综上所述，上述四个式子中最大值为.
故答案为：A
【分析】根据题意，得到，结合基本不等式得到和，即可求解.
4．【答案】D
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】由题意，，，所以，当且仅当时取“=”.
故答案为：D.
【分析】利用基本不等式的性质求解可得 (1＋x)(1＋2y)的最大值 .
5．【答案】B
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】因为，所以，令，则且
，代入中得：
当即时取“=”，
所以最小值为1.
故答案为：B
【分析】令，则且，，再利用基本不等式即可求出答案.
6．【答案】C
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】因为，，，
则，
当且仅当时，即时，等号成立；
所以，即的最大值为，
故答案为：C.
【分析】利用基本不等式“1”的妙用求得的最小值，即可得到的最大值.
7．【答案】D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】因为，，，
所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以，即的最大值为1。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合均值不等式变形求最值的方法，进而求出的最大值。
8．【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】利用，则，整理得，
当且仅当，即时取得等号，即的最小值为；
利用，，即，整理得，即，
当且仅当时取得等号，故的最大值为.
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合均值不等式变形求最值的方法，进而找出正确的选项。
9．【答案】A
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】因为，，且，
所以
当，时等号成立，
所以的最小值为。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合均值不等式变形求最值的方法，进而得出 的最小值 。
10．【答案】C
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数恒成立问题；基本不等式在最值问题中的应用；不等式的基本性质
【解析】【解答】只有时①成立；
（当且仅当时等号成立），②恒成立；
，当且仅当，时等号成立.
故在a，b均为正实数时恒成立，③恒成立；
令，则可以看成当时，函数的函数值恒大于
由函数图象可知④恒成立.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合不等式的基本性质、均值不等式求最值的方法、平方数的性质、绝对值的定义，进而找出不等式成立的选项。
11．【答案】A,C,D
【知识点】充分条件；基本不等式；不等式的基本性质
【解析】【解答】对于A项，等价于，，则，解得，A项正确；
对于B项，因为，显然，，所以；因为，若，则，B项不正确；
对于C项，，所以等价于，即，所以或.显然“”是“或”的充分不必要条件，C项正确；
对于D项，当时，，当且仅当，即时，等号成立，D项正确.
故答案为：ACD.
【分析】转化为，，计算，可得，即可判断A项；根据不等式的性质，可判断B项；求出的等价条件为或，即可判断C项；根据基本不等式，即可判断D项.
12．【答案】A,D
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】对于A，由基本不等式可知当时，，当且仅当时取等号，所以A符合题意；
对于B，取，，而，B不符合题意；
对于C，取，则，C不符合题意，
对于D，因为，，所以，且，
所以，，所以且，所以D 正确，
故答案为：AD.
【分析】利用基本不等式可判断A，举例可判断B C，利用基本不等式可判断D.
13．【答案】A,C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】因为，，故，所以，当且仅当时，等号成立，
所以取得最大值为，A符合题意，显然B不符合题意；
因为，所以，当且仅当时，等号成立，
所以取得最大值为，C符合题意，D不符合题意．
故答案为：AC．
【分析】利用已知条件结合均值不等式求最值的方法，进而得出结论正确的选项。
14．【答案】B,C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】对于A，因为，故当时，不等式不成立，A不正确；
对于B，因为，所以恒成立，当且仅当时，等号成立，B符合题意；
对于C，因为，所以，则，当且仅当时，等号成立，C符合题意；
对于D，因为，所以，当时满足，但，此时，D不正确.
故答案为：BC.
【分析】利用已知条件结合均值不等式求最值的方法，进而找出不等式成立的选项。
15．【答案】B,C,D
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】，
当且仅当即时等号成立，取得最小值，
所以的不可能为，可能取值为，
故答案为：BCD.
【分析】化简，结合基本不等式，即可求解.
16．【答案】A,D
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】由题知，正实数满足，
所以，
对于A，因为，
所以，
所以，即，A符合题意；
对于B，，
当且仅当且，即时取等号，B不符合题意；
对于C，因为，
所以，
所以
所以，
当且仅当，且，即时取等号，C不符合题意；
对于D，由A得，
所以
，
当且仅当，且，即时取等号，D符合题意；
故答案为：AD
【分析】运用基本不等式得，求解即可判断A；；由题得，根据乘“1”法，结合基本不等式即可判断B；由题得得，结合基本不等式即可判断C；由选项A得，又，即可判断D.
17．【答案】49
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】因为正实数、满足，
所以.
当且仅当，即，时，等号成立，故的最小值为.
故答案为：49.
【分析】由乘1法，，结合不等式的基本性质，即可求得最小值.
18．【答案】6
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】因为，，
所以，
令，
则，
其中，当且仅当，即时，等号成立，
故，此时，，
故答案为：6
【分析】利用已知条件结合换元法和均值不等式变形求最值的方法得出 的最小值。
19．【答案】4
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】，
当且仅当即即时等号成立，
所以的最小值为4，
故答案为：4.
【分析】利用基本不等式可求出 的最小值 .
20．【答案】1440
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；函数模型的选择与应用
【解析】【解答】设 长为 ， 则 ，
即
，
所以
.
当且仅当 ，
即 时， 等号成立，
所以当 时， 取最小值为1440 .
故答案为：1440.
【分析】利用已知条件结合矩形的面积和求和的方法建立函数的模型，再结合均值不等式求最值的方法得出绿化花园总造价S的最小值。
21．【答案】
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】由题意，
所以，
故，
当且仅当，即时等号成立，
所以函数的最小值为.
故答案为：.
【分析】利用拼凑法结合基本不等式即可求解.
22．【答案】
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】由，得，
所以.
当且仅当即时等号成立，
所以的最小值是.
故答案为：.
【分析】由，得，，然后利用基本不等式即可求出 的最小值.
23．【答案】（1）解：设矩形的相邻两条边的长分别是，，
由已知得，由，
可得，
所以，
当且仅当时，等号成立，
因此，当这个矩形是边长为的正方形时，它的周长最小，最小值为；
（2）解：设矩形的相邻两条边的长分别是，，则，矩形的面积为，
因为，
所以，当且仅当时，等号成立，
因此，当这个矩形是边长为的正方形时，它的面积最大，最大为．
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合矩形的周长公式和均值不等式求最值的方法，进而得出当这个矩形是边长为的正方形时，它的周长最小，进而得出矩形的周长的最小值。
（2） 利用已知条件结合矩形的面积公式和均值不等式求最值的方法，进而得出当这个矩形是边长为的正方形时，它的面积最大，进而得出矩形的面积的最大值。
24．【答案】（1）解：因为，，，则，
所以，
当且仅当且，即时，等号成立，
所以，故的最小值为.
（2）解：因为，，，则，，
所以，
当且仅当且，即时，等号成立，
所以，故的最小值为.
【知识点】基本不等式
【解析】【分析】（1）根据已知条件，结合基本不等式即可求出 的最小值；
（2）根据已知条件，结合基本不等式即可求出 的最小值．
25．【答案】（1）解：因为，所以.
，
当且仅当，，时，等号成立，
故的最大值为9.
（2）证明：因为，
所以，又，
解得，
当且仅当时，等号成立.
故.
【知识点】基本不等式
【解析】【分析】（1） 由题意得，，根据基本不等式即可求得最值；
（2） 根据基本不等式，结合已知条件得到，解得，即得结论.
26．【答案】（1）解：因为，是正数，，
所以，
因为，，
所以，
当且仅当，时等号成立，
故的最小值为；
（2）解：由可得，即，
所以，，
又，因为，，
所以
当且仅当，时等号成立，故的最小值为．
（3）解：由可得，所以，
所以，，
所以
当且仅当，时等号成立，
故的最小值为.
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）化简得到，结合基本不等式，即可求解.
（2） 根据题意得到，化简得到，结合基本不等式，即可求解；
（3）根据题意得到，化简得到，结合基本不等式，即可求解.
27．【答案】（1）解：因为，，
所以
，
当且仅当，且，即，时等号成立，
则的最小值为3.
（2）解：
，
因为，所以，
所以原式
，
当且仅当，且，即，时等号成立，
则的最小值为.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合均值不等式变形求最值的方法得出 的最小值。
（2）利用 ，再利用，所以，再利用均值不等式变形求最值的方法得出 的最小值。
28．【答案】（1）证明：因为关于x的方程有两个不相等的实数根，
所以，
则，
所以；
（2）证明：由题意得，
因为，
所以，
因为，所以，
所以；
（3）解：由题意，
则
，
因为，
所以，
当且仅当，即时，取等号，
所以S的最大值为.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；一元二次方程的解集及其根与系数的关系
【解析】【分析】 （1）利用关于x的方程有两个不相等的实数根结合判别式法证出不等式成立。
（2） 由题意结合韦达定理得，再利用，再结合放缩法得出，再利用，从而证出不等式成立。
（3）利用已知条件结合韦达定理合均值不等式求最值的方法，从而得出S的最大值。
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2023-2024学年高中数学人教A版必修一 2.2 基本不等式
一、选择题
1．（2023高一上·五华期末）若，，且，则的最大值为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．9
【答案】D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】因为，，且，
所以，当且仅当时等号成立，
所以的最大值为9.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合均值不等式求最值的方法，进而得出ab的最大值。
2．（2023高一上·厦门期末）设实数满足，则函数的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】因为，所以，
所以
当且仅当时，等号成立，
故答案为：D.
【分析】，利用基本不等式可求出答案.
3．（2023高一上·宝安期末）若，且a≠b，则中的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】因为，所以，
根据基本不等式可知，当且仅当时等号成立，
因为，所以；同理，
综上所述，上述四个式子中最大值为.
故答案为：A
【分析】根据题意，得到，结合基本不等式得到和，即可求解.
4．（2023高一上·北碚期末）已知x>0，y>0，且x＋2y＝4，则(1＋x)(1＋2y)的最大值为（ ）
A．36 B．4 C．16 D．9
【答案】D
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】由题意，，，所以，当且仅当时取“=”.
故答案为：D.
【分析】利用基本不等式的性质求解可得 (1＋x)(1＋2y)的最大值 .
5．（2023高一上·宁波期末）已知，且，则的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】因为，所以，令，则且
，代入中得：
当即时取“=”，
所以最小值为1.
故答案为：B
【分析】令，则且，，再利用基本不等式即可求出答案.
6．（2023高一上·张家口期末）若，，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】因为，，，
则，
当且仅当时，即时，等号成立；
所以，即的最大值为，
故答案为：C.
【分析】利用基本不等式“1”的妙用求得的最小值，即可得到的最大值.
7．（2023高一上·大连期末）已知，，且满足，则的最大值为（ ）
A．9 B．6 C．4 D．1
【答案】D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】因为，，，
所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以，即的最大值为1。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合均值不等式变形求最值的方法，进而求出的最大值。
8．（2023高一上·宁波期末）已知，，则（ ）
A．的最大值为且的最大值为
B．的最大值为且的最小值为0
C．的最小值为且的最大值为
D．的最小值为且的最小值为0
【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】利用，则，整理得，
当且仅当，即时取得等号，即的最小值为；
利用，，即，整理得，即，
当且仅当时取得等号，故的最大值为.
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合均值不等式变形求最值的方法，进而找出正确的选项。
9．（2023高一上·武汉期末）已知，，且，则的最小值为（ ）
A． B． C．9 D．7
【答案】A
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】因为，，且，
所以
当，时等号成立，
所以的最小值为。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合均值不等式变形求最值的方法，进而得出 的最小值 。
10．（2022高一上·河南月考）已知为正实数，以下不等式成立的有（ ）
①；②；③；④
A．②④ B．②③ C．②③④ D．①④
【答案】C
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数恒成立问题；基本不等式在最值问题中的应用；不等式的基本性质
【解析】【解答】只有时①成立；
（当且仅当时等号成立），②恒成立；
，当且仅当，时等号成立.
故在a，b均为正实数时恒成立，③恒成立；
令，则可以看成当时，函数的函数值恒大于
由函数图象可知④恒成立.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合不等式的基本性质、均值不等式求最值的方法、平方数的性质、绝对值的定义，进而找出不等式成立的选项。
二、多项选择题
11．（2022高一上·清远期中）下列结论中正确的有（ ）
A．若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是
B．若，则“”的充要条件是“”
C．“”是“”的充分不必要条件
D．当时，的最小值为
【答案】A,C,D
【知识点】充分条件；基本不等式；不等式的基本性质
【解析】【解答】对于A项，等价于，，则，解得，A项正确；
对于B项，因为，显然，，所以；因为，若，则，B项不正确；
对于C项，，所以等价于，即，所以或.显然“”是“或”的充分不必要条件，C项正确；
对于D项，当时，，当且仅当，即时，等号成立，D项正确.
故答案为：ACD.
【分析】转化为，，计算，可得，即可判断A项；根据不等式的性质，可判断B项；求出的等价条件为或，即可判断C项；根据基本不等式，即可判断D项.
12．（2023高一上·孝义期末）已知，b为实数，且，则下列命题正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】A,D
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】对于A，由基本不等式可知当时，，当且仅当时取等号，所以A符合题意；
对于B，取，，而，B不符合题意；
对于C，取，则，C不符合题意，
对于D，因为，，所以，且，
所以，，所以且，所以D 正确，
故答案为：AD.
【分析】利用基本不等式可判断A，举例可判断B C，利用基本不等式可判断D.
13．（2023高一上·嵩明期末）已知，，，当且仅当时，则下列结论正确的是（ ）
A．取得最大值为 B．取得最小值为
C．取得最大值为 D．取得最小值为
【答案】A,C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】因为，，故，所以，当且仅当时，等号成立，
所以取得最大值为，A符合题意，显然B不符合题意；
因为，所以，当且仅当时，等号成立，
所以取得最大值为，C符合题意，D不符合题意．
故答案为：AC．
【分析】利用已知条件结合均值不等式求最值的方法，进而得出结论正确的选项。
14．（2023高一上·官渡期末）已知a，，且，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B,C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】对于A，因为，故当时，不等式不成立，A不正确；
对于B，因为，所以恒成立，当且仅当时，等号成立，B符合题意；
对于C，因为，所以，则，当且仅当时，等号成立，C符合题意；
对于D，因为，所以，当时满足，但，此时，D不正确.
故答案为：BC.
【分析】利用已知条件结合均值不等式求最值的方法，进而找出不等式成立的选项。
15．（2023高一上·宝安期末）且，则的可能取值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】B,C,D
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】，
当且仅当即时等号成立，取得最小值，
所以的不可能为，可能取值为，
故答案为：BCD.
【分析】化简，结合基本不等式，即可求解.
16．（2023高一上·温州期末）已知正实数x，y满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,D
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】由题知，正实数满足，
所以，
对于A，因为，
所以，
所以，即，A符合题意；
对于B，，
当且仅当且，即时取等号，B不符合题意；
对于C，因为，
所以，
所以
所以，
当且仅当，且，即时取等号，C不符合题意；
对于D，由A得，
所以
，
当且仅当，且，即时取等号，D符合题意；
故答案为：AD
【分析】运用基本不等式得，求解即可判断A；；由题得，根据乘“1”法，结合基本不等式即可判断B；由题得得，结合基本不等式即可判断C；由选项A得，又，即可判断D.
三、填空题
17．（2023高一上·榆林期末）若正实数、满足，则的最小值为 .
【答案】49
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】因为正实数、满足，
所以.
当且仅当，即，时，等号成立，故的最小值为.
故答案为：49.
【分析】由乘1法，，结合不等式的基本性质，即可求得最小值.
18．（2022高一上·深圳期末）已知，且，则的最小值为 .
【答案】6
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】因为，，
所以，
令，
则，
其中，当且仅当，即时，等号成立，
故，此时，，
故答案为：6
【分析】利用已知条件结合换元法和均值不等式变形求最值的方法得出 的最小值。
19．（2023高一上·红桥月考）已知，则的最小值为 ．
【答案】4
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】，
当且仅当即即时等号成立，
所以的最小值为4，
故答案为：4.
【分析】利用基本不等式可求出 的最小值 .
20．（2023高一上·东莞期末）某公园设计了一座八边形的绿化花园，它的主体造型平面图（如图2）是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为的十字型区域，计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为99元/；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为8元/；在四个矩形（图中阴影部分）上不做任何设计．设总造价为S（单位：元），AD长为x（单位：m），则绿化花园总造价S的最小值为 元．
【答案】1440
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；函数模型的选择与应用
【解析】【解答】设 长为 ， 则 ，
即
，
所以
.
当且仅当 ，
即 时， 等号成立，
所以当 时， 取最小值为1440 .
故答案为：1440.
【分析】利用已知条件结合矩形的面积和求和的方法建立函数的模型，再结合均值不等式求最值的方法得出绿化花园总造价S的最小值。
21．（2022高一上·宝鸡期末）设实数满足，函数的最小值为 .
【答案】
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】由题意，
所以，
故，
当且仅当，即时等号成立，
所以函数的最小值为.
故答案为：.
【分析】利用拼凑法结合基本不等式即可求解.
22．（2023高一上·青岛期末）已知，，满足，则的最小值是 ．
【答案】
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】由，得，
所以.
当且仅当即时等号成立，
所以的最小值是.
故答案为：.
【分析】由，得，，然后利用基本不等式即可求出 的最小值.
四、解答题
23．（2022高一上·金台期中）
（1）在面积为定值的矩形中，边长是多少时矩形的周长最小？
（2）在周长为定值的矩形中，边长是多少时矩形的面积最大？
【答案】（1）解：设矩形的相邻两条边的长分别是，，
由已知得，由，
可得，
所以，
当且仅当时，等号成立，
因此，当这个矩形是边长为的正方形时，它的周长最小，最小值为；
（2）解：设矩形的相邻两条边的长分别是，，则，矩形的面积为，
因为，
所以，当且仅当时，等号成立，
因此，当这个矩形是边长为的正方形时，它的面积最大，最大为．
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合矩形的周长公式和均值不等式求最值的方法，进而得出当这个矩形是边长为的正方形时，它的周长最小，进而得出矩形的周长的最小值。
（2） 利用已知条件结合矩形的面积公式和均值不等式求最值的方法，进而得出当这个矩形是边长为的正方形时，它的面积最大，进而得出矩形的面积的最大值。
24．（2023高一上·北海期末）已知．
（1）当，时，求的最小值；
（2）当，时，求的最小值．
【答案】（1）解：因为，，，则，
所以，
当且仅当且，即时，等号成立，
所以，故的最小值为.
（2）解：因为，，，则，，
所以，
当且仅当且，即时，等号成立，
所以，故的最小值为.
【知识点】基本不等式
【解析】【分析】（1）根据已知条件，结合基本不等式即可求出 的最小值；
（2）根据已知条件，结合基本不等式即可求出 的最小值．
25．（2023高一上·榆林期末）已知，.
（1）若，求的最大值；
（2）若，证明：.
【答案】（1）解：因为，所以.
，
当且仅当，，时，等号成立，
故的最大值为9.
（2）证明：因为，
所以，又，
解得，
当且仅当时，等号成立.
故.
【知识点】基本不等式
【解析】【分析】（1） 由题意得，，根据基本不等式即可求得最值；
（2） 根据基本不等式，结合已知条件得到，解得，即得结论.
26．（2022高一上·定州期中）已知正实数，满足.求
（1）的最小值；
（2）的最小值；
（3）的最小值.
【答案】（1）解：因为，是正数，，
所以，
因为，，
所以，
当且仅当，时等号成立，
故的最小值为；
（2）解：由可得，即，
所以，，
又，因为，，
所以
当且仅当，时等号成立，故的最小值为．
（3）解：由可得，所以，
所以，，
所以
当且仅当，时等号成立，
故的最小值为.
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）化简得到，结合基本不等式，即可求解.
（2） 根据题意得到，化简得到，结合基本不等式，即可求解；
（3）根据题意得到，化简得到，结合基本不等式，即可求解.
27．（2022高一上·河南月考）已知，且，.
（1）求的最小值；
（2）求的最小值.
【答案】（1）解：因为，，
所以
，
当且仅当，且，即，时等号成立，
则的最小值为3.
（2）解：
，
因为，所以，
所以原式
，
当且仅当，且，即，时等号成立，
则的最小值为.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合均值不等式变形求最值的方法得出 的最小值。
（2）利用 ，再利用，所以，再利用均值不等式变形求最值的方法得出 的最小值。
28．（2022高一上·青岛期中）已知关于x的方程有两个不相等的实数根．
（1）证明：；
（2）证明：；
（3）设，求S的最大值．
【答案】（1）证明：因为关于x的方程有两个不相等的实数根，
所以，
则，
所以；
（2）证明：由题意得，
因为，
所以，
因为，所以，
所以；
（3）解：由题意，
则
，
因为，
所以，
当且仅当，即时，取等号，
所以S的最大值为.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；一元二次方程的解集及其根与系数的关系
【解析】【分析】 （1）利用关于x的方程有两个不相等的实数根结合判别式法证出不等式成立。
（2） 由题意结合韦达定理得，再利用，再结合放缩法得出，再利用，从而证出不等式成立。
（3）利用已知条件结合韦达定理合均值不等式求最值的方法，从而得出S的最大值。
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