2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修一 1.1 空间向量及其运算 同步练习
一、选择题
1．（2023高二上·榆林期末）如图在平行六面体中，相交于，为的中点，设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】空间向量的加减法；空间向量的数乘运算
【解析】【解答】由已知得，，
故答案为：C
【分析】根据向量的运算法则，结合，即可求解.
2．（2023高二上·北海期末）在棱长为的正方体中，是的中点，则（ ）
A．0 B．1 C． D．2
【答案】D
【知识点】空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：如图，建立空间直角坐标系，
则，
所以，，
所以，.
故答案为：D
【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可.
3．（2022高二上·通州期中）如图，在四面体中，点为棱的中点，设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】空间向量的加减法；空间向量的数乘运算
【解析】【解答】连接，
因为为棱的中点，，，
所以，
所以，
故答案为：A
【分析】根据空间向量的线性运算法则，得到，利用，即可求解.
4．（2022高二上·房山期中）如图，空间四边形中，，，.点在上，且，为的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】空间向量的加减法；空间向量的数乘运算；共面向量定理
【解析】【解答】.
故答案为：B.
【分析】根据空间向量的线性运算法则，准确化简，即可求解.
5．（2022高一下·凉州期中）如图，向量，，，则向量可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】空间向量的加减法
【解析】【解答】
故答案为：C.
【分析】根据空间向量的线性运算法则，准确化简，即可求解.
6．（2022高二上·山西期中）下列关于空间向量的说法中错误的是（ ）
A．零向量与任意向量平行
B．任意两个空间向量一定共面
C．零向量是任意向量的方向向量
D．方向相同且模相等的两个向量是相等向量
【答案】C
【知识点】零向量；相等向量与相反向量；共面向量定理
【解析】【解答】由已知，
A，零向量方向是任意的，所以零向量任意向量平行，该选项正确；
B，平面由两个不平行的向量确定，任意两个向量可通过平移形成相交，故一定可以确定一个平面，该选项正确；
C，在直线上取非零向量，把与向量平行的非零向量称为直线的方向向量，该选项错误；
D，方向相同且模相等的两个向量是相等向量，该选项正确.
故答案为：C.
【分析】根据零向量的性质可判断A、C；根据共面向量的定义可判断B；根据相等向量的定义可判断D.
7．（2022高二上·湖州期中）点是棱长为1的正方体的底面上一点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】空间向量的数量积运算
【解析】【解答】如图，设，，
，
因为
所以当时，有最小值，
当或时，都取得最大值0，
故答案为：D.
【分析】利用空间向量的坐标运算，利用函数最值求解.
8．（2022高二上·宝安期中）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，分别是的中点，是的中点，若，则（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【知识点】空间向量的加减法；共面向量定理
【解析】【解答】连接如下图：
由于是的中点，
.
根据题意知.
.
故答案为：C.
【分析】连接，根据是的中点，化简得到，结合题意，即可求解.
9．（2022高二上·大兴期中）如图，四面体的所有棱长都相等，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：因为四面体的所有棱长都相等，，，
所以，两两夹角为，且分别为的中点，
所以，，，
设四面体的棱长为，
所以，，
，
，
所以
故答案为：B
【分析】，，再根据向量模的公式和夹角公式求解即可.
10．（2022高二上·河南月考）如图所示，在平行六面体中，E，F，H分别为，，DE的中点．若，，，则向量可用表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】空间向量的加减法
【解析】【解答】由题意，，
且，
，
故答案为：B.
【分析】根据空间向量的线性运算，即可表示出相应的向量。
二、多项选择题
11．（2020高二上·济宁月考）设动点 在正方体 的对角线 上，记 当 为钝角时，则实数可能的取值是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A,B
【知识点】空间向量的数量积运算
【解析】【解答】以 为原点， ， ， 分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，如图所示：
设正方体的边长为 ，则 ， ， ， ，
， ， ，
所以 .
又因为 ，
，
因为 为钝角，所以 ，
即 ，
解得 .
故答案为：AB
【分析】首先以 为原点， ， ， 分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，根据题意得到 ，再解不等式即可得到答案.
12．设 ， 为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A,D
【知识点】空间向量的数量积运算
【解析】【解答】由数量积的性质和运算律可知AD是正确的；
而 运算后是实数， 没有这种运算，B不正确；
，C不正确.
故答案为：AD.
【分析】根据题意由数量积的运算性质以及向量的运算性质对选项逐一判断即可得出答案。
13．（2021高二上·福田期中）判断下列结论正确的是（ ）
A．空间中任意两个非零向量 ， 共面．
B．在三个向量的数量积运算中 ．
C．对于非零向量 ，由数量积 ，则 ．
D．若 ， ， ， 是空间任意四点，则有 ．
【答案】A,D
【知识点】相等向量与相反向量；向量加法的三角形法则；平面向量的数量积运算；共面向量定理
【解析】【解答】对于A：空间中任意两个非零向量 ， 可以构成一个平面，A符合题意；
对于B：向量的数量积不满足结合律，B不符合题意；
对于C：当 互相垂直时，C不符合题意；
对于D：根据向量的加法法则可知： ，
故 ，D符合题意。
故答案为：AD
【分析】利用已知条件结合向量共面的判断方法、数量积的运算法则、数量积的定义和向量相等的判断方法、三角形法则，从而找出结论正确的选项。
14．（2022高二上·沧州月考）下列命题正确的是（ ）
A．零向量与任意向量平行
B．是向量的必要不充分条件
C．向量与向量是共线向量，则点，，，必在同一条直线上
D．空间中任意两个向量，，则一定成立
【答案】A,B
【知识点】空间向量的概念；共面向量定理
【解析】【解答】A选项：零向量的方向是任意的，所以零向量与任意向量都平行，A选项正确；
B选项：向量是即有方向又有大小的量，若，与反向，不一定成立，若，则，B选项正确；
C选项：向量与向量是共线向量，则与方向相同或相反，点，，，可能在同一条直线上，也可能组成平行四边形，C选项错误；
D选项：由，，，所以与不一定相等，D选项错误；
故答案为：AB.
【分析】根据空间向量的相关概念，逐一进行判断即可。
15．（2022高二上·东光期中）在棱长均为1的四面体中，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,B,C
【知识点】空间向量的加减法；空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：取的中点，连接，，∴，，
，平面，
所以平面，又平面，所以，则，A符合题意；
因为，B符合题意；
∵，，
又，，
所以，C符合题意；
因为，
所以，D不正确，
故答案为：ABC.
【分析】取的中点，连接，，证得平面，得到，可判定A符合题意；根据向量的线性运算法则，准确化简，可判定B符合题意；由，，结合向量的数量积的运算公式，可判定C符合题意；由向量的模长公式和数量积的公式，可判定D不正确.
16．（2022高二上·福州期中）给出下列命题，其中正确的命题是（ ）
A．若 ，则 或
B．若向量 是向量 的相反向量，则
C．在正方体 中，
D．若空间向量 ， ， 满足 ， ，则
【答案】B,C,D
【知识点】空间向量的概念；共面向量定理
【解析】【解答】对于A：若，即向量与的模相等，但方向不确定，A不符合题意；
对于B：相反向量是指大小相等方向相反的两个向量，B符合题意；
对于C：在正方体中，与大小相等，方向相同，故，所以C符合题意；
对于D：若 ，，则方向相同大小相等，故，若中有零向量结论也正确，所以D符合题意.
故答案为：BCD.
【分析】根据向量的基本概念，以及共线向量和向量相等的定义，逐项判定，即可求解.
三、填空题
17．（2022高二上·柳州期中）在直三棱柱中，若，则= .(用表示)
【答案】
【知识点】空间向量的加减法
【解析】【解答】连接则.
故答案为：
【分析】连接根据，即可求解.
18．已知 、 、 、 为空间中任意四点，化简 .
【答案】
【知识点】空间向量的加减法
【解析】【解答】
故答案为： .
【分析】由向量的加、减法运算法则计算出结果即可。
19．对于空间中的非零向量 ， ， ，有下列各式：
① ；
② ；
③ ；
④ .
其中一定不成立的是 （填序号）．
【答案】②
【知识点】空间向量的加减法
【解析】【解答】根据空间向量的加减法运算,对于① 恒成立；
对于③当 , 方向相同时,有 ；
对于④当 , 方向相同且 时,有| .
对于②由向量减法可知 ,所以②一定不成立．
故答案为: ②
【分析】结合向量的加、减法运算法则以及向量的性质即可得出答案。
20．（2022·浙江模拟）若、、是棱长为的正四面体棱上互不相同的三点，则的取值范围是 .
【答案】
【知识点】空间向量的加减法；空间向量的数乘运算；空间向量的数量积运算
【解析】【解答】如下图所示，由任意性，设点、、分别棱长为的正三棱锥的棱、、上的动点，
设，其中，则，
所以，，
所以，，
当且仅当线段与棱或重合时，等号成立，即的最大值为，
，当且仅当与点或重合，、重合于点或点时，等号成立，
但、、为不同的三点，则，
由上可知的最大值为，取线段的中点，
则，
当且仅当线段与棱重合且为棱的中点时，等号成立，则.
综上所述，.
故答案为：.
【分析】如下图所示，由任意性，设点、、分别棱长为的正三棱锥的棱、、上的动点，设，可得，进一步得，从而得到，再由可得，即可解决问题。
21．（2019高二上·北京月考）正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为1,若动点p在线段 上运动, 则 的取值范围是 ．
【答案】[0,1]
【知识点】空间向量的数量积运算
【解析】【解答】以 所在的直线为x轴，以 所在的直线为y轴，以 所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系，
则 、 、 、 、 ，∴ 、 ，∵点 在线段 上运动，∴ ，且 ，
∴ ，∴ ，故答案为 。
【分析】以 所在的直线为x轴，以 所在的直线为y轴，以 所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系，进而求出点D、C、A、B、的坐标，再利用向量的坐标表示和数乘向量的坐标表示、再结合三角形法则和向量的坐标运算，从而求出向量的坐标，再利用数量积的坐标表示结合的取值范围，从而求出数量积 的取值范围。
22．（2019高二上·绥德月考）在棱长为a的正方体 中，向量 与向量 所成的角为 .
【答案】120°
【知识点】空间向量的数量积运算
【解析】【解答】如下图所示，以点A为坐标原点， 、 、 所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系 ，
则 、 、 、 ， ， ，
，
，则 .
因此，向量 与向量 所成的角为 120° .
故答案为： 120° .
【分析】以点A为坐标原点， 、 、 所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得向量 与向量 所成的角.
四、解答题
23．（2021高二上·湖州期中）如图，在平行六面体 中， ， .
求：(Ⅰ) ；
(Ⅱ) 的长.
【答案】解：(Ⅰ)
；
(Ⅱ)
，所以
【知识点】空间向量的数量积运算
【解析】【分析】(1)根据空间向量数量积的定义求解即可；
(2) 由 ，利用空间向量数量积的运算法则求解即可.
24．如图，点M，N分别在对角线 上，且 ．求证：向量 共面．
【答案】证明：如图，在 上取点 ，使 ，
又 ，
，又 ，
，
同理， ，
故由 、 、 共面可知，
向量 ， ， 共面
【知识点】共面向量定理
【解析】【分析】根据题意由已知条件结合线线平行的性质定理即可得出线线平行，再由向量共面的性质定理即可得出结果。
25．（2022高二上·抚顺期中）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，Q为的中点.
（1）用，，表示；
（2）若底面是正方形，且，，求.
【答案】（1）解：
（2）解：
，
所以
【知识点】向量的模；平面向量的基本定理；空间向量的数量积运算
【解析】【分析】（1）根据空间向量基本定理结合空间向量的线性运算即可得解；
（2），再根据向量数量积的运算律计算即可得解.
26．如图所示，若P为平行四边形ABCD所在平面外一点，点H为PC上的点，且 点G在AH上，且 =m，若G，B，P，D四点共面，求m的值.
【答案】解：连接BD，BG.
∵ = - , = ,∴ = - ,
∵ = + ，∴ = + - =- + + .
∵ ,∴ = ，∴ = (- + + )= + + .
又∵ = - ，∴ = + + ，
∵ =m,∴ =m· = + + ,
∵ =- + = - + ,
∴ =(1 ) +( -1) + .
又∵G,B,P,D四点共面，∴1 =0,m= .
即m的值是 .
【知识点】共面向量定理
【解析】【分析】 连接BD，BG ，利用共线定理和三角形法则表示向量的方法，再结合已知条件和平面向量基本定理，进而结合四点共面的判断方法，从而求出m的值。
27．如图所示，N，N分别是四面体OABC的棱OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分点，用向量 ， ， 表示 和 .
【答案】解： ；
【知识点】空间向量的加减法
【解析】【分析】根据向量减法的三角形法则可知：==；根据向量加法的平行四边形法则可知：=（+）；而根据向量加法的三角形法则可知：=+=+.
28．在空间四边形ABCD中，G为△BCD的重心，E，F分别为CD和AD的中点，试化简 ，并在图中标出化简结果的向量．
【答案】解：∵G为△BCD的重心，BE是CD边上的中线，
∴ ，又
，
∴ .
标注的向量如图所示.
【知识点】空间向量的加减法
【解析】【分析】根据三角形重心的性质可知=，根据向量的减法的三角形法则将用和表示，进而求解.
1 / 12023-2024学年高中数学人教A版选择性必修一 1.1 空间向量及其运算 同步练习
一、选择题
1．（2023高二上·榆林期末）如图在平行六面体中，相交于，为的中点，设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023高二上·北海期末）在棱长为的正方体中，是的中点，则（ ）
A．0 B．1 C． D．2
3．（2022高二上·通州期中）如图，在四面体中，点为棱的中点，设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022高二上·房山期中）如图，空间四边形中，，，.点在上，且，为的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022高一下·凉州期中）如图，向量，，，则向量可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022高二上·山西期中）下列关于空间向量的说法中错误的是（ ）
A．零向量与任意向量平行
B．任意两个空间向量一定共面
C．零向量是任意向量的方向向量
D．方向相同且模相等的两个向量是相等向量
7．（2022高二上·湖州期中）点是棱长为1的正方体的底面上一点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022高二上·宝安期中）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，分别是的中点，是的中点，若，则（ ）
A．1 B． C． D．
9．（2022高二上·大兴期中）如图，四面体的所有棱长都相等，，，则（ ）
A． B． C． D．
10．（2022高二上·河南月考）如图所示，在平行六面体中，E，F，H分别为，，DE的中点．若，，，则向量可用表示为（ ）
A． B．
C． D．
二、多项选择题
11．（2020高二上·济宁月考）设动点 在正方体 的对角线 上，记 当 为钝角时，则实数可能的取值是（ ）
A． B． C． D．1
12．设 ， 为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（ ）．
A．
B．
C．
D．
13．（2021高二上·福田期中）判断下列结论正确的是（ ）
A．空间中任意两个非零向量 ， 共面．
B．在三个向量的数量积运算中 ．
C．对于非零向量 ，由数量积 ，则 ．
D．若 ， ， ， 是空间任意四点，则有 ．
14．（2022高二上·沧州月考）下列命题正确的是（ ）
A．零向量与任意向量平行
B．是向量的必要不充分条件
C．向量与向量是共线向量，则点，，，必在同一条直线上
D．空间中任意两个向量，，则一定成立
15．（2022高二上·东光期中）在棱长均为1的四面体中，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
16．（2022高二上·福州期中）给出下列命题，其中正确的命题是（ ）
A．若 ，则 或
B．若向量 是向量 的相反向量，则
C．在正方体 中，
D．若空间向量 ， ， 满足 ， ，则
三、填空题
17．（2022高二上·柳州期中）在直三棱柱中，若，则= .(用表示)
18．已知 、 、 、 为空间中任意四点，化简 .
19．对于空间中的非零向量 ， ， ，有下列各式：
① ；
② ；
③ ；
④ .
其中一定不成立的是 （填序号）．
20．（2022·浙江模拟）若、、是棱长为的正四面体棱上互不相同的三点，则的取值范围是 .
21．（2019高二上·北京月考）正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为1,若动点p在线段 上运动, 则 的取值范围是 ．
22．（2019高二上·绥德月考）在棱长为a的正方体 中，向量 与向量 所成的角为 .
四、解答题
23．（2021高二上·湖州期中）如图，在平行六面体 中， ， .
求：(Ⅰ) ；
(Ⅱ) 的长.
24．如图，点M，N分别在对角线 上，且 ．求证：向量 共面．
25．（2022高二上·抚顺期中）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，Q为的中点.
（1）用，，表示；
（2）若底面是正方形，且，，求.
26．如图所示，若P为平行四边形ABCD所在平面外一点，点H为PC上的点，且 点G在AH上，且 =m，若G，B，P，D四点共面，求m的值.
27．如图所示，N，N分别是四面体OABC的棱OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分点，用向量 ， ， 表示 和 .
28．在空间四边形ABCD中，G为△BCD的重心，E，F分别为CD和AD的中点，试化简 ，并在图中标出化简结果的向量．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】空间向量的加减法；空间向量的数乘运算
【解析】【解答】由已知得，，
故答案为：C
【分析】根据向量的运算法则，结合，即可求解.
2．【答案】D
【知识点】空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：如图，建立空间直角坐标系，
则，
所以，，
所以，.
故答案为：D
【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可.
3．【答案】A
【知识点】空间向量的加减法；空间向量的数乘运算
【解析】【解答】连接，
因为为棱的中点，，，
所以，
所以，
故答案为：A
【分析】根据空间向量的线性运算法则，得到，利用，即可求解.
4．【答案】B
【知识点】空间向量的加减法；空间向量的数乘运算；共面向量定理
【解析】【解答】.
故答案为：B.
【分析】根据空间向量的线性运算法则，准确化简，即可求解.
5．【答案】C
【知识点】空间向量的加减法
【解析】【解答】
故答案为：C.
【分析】根据空间向量的线性运算法则，准确化简，即可求解.
6．【答案】C
【知识点】零向量；相等向量与相反向量；共面向量定理
【解析】【解答】由已知，
A，零向量方向是任意的，所以零向量任意向量平行，该选项正确；
B，平面由两个不平行的向量确定，任意两个向量可通过平移形成相交，故一定可以确定一个平面，该选项正确；
C，在直线上取非零向量，把与向量平行的非零向量称为直线的方向向量，该选项错误；
D，方向相同且模相等的两个向量是相等向量，该选项正确.
故答案为：C.
【分析】根据零向量的性质可判断A、C；根据共面向量的定义可判断B；根据相等向量的定义可判断D.
7．【答案】D
【知识点】空间向量的数量积运算
【解析】【解答】如图，设，，
，
因为
所以当时，有最小值，
当或时，都取得最大值0，
故答案为：D.
【分析】利用空间向量的坐标运算，利用函数最值求解.
8．【答案】C
【知识点】空间向量的加减法；共面向量定理
【解析】【解答】连接如下图：
由于是的中点，
.
根据题意知.
.
故答案为：C.
【分析】连接，根据是的中点，化简得到，结合题意，即可求解.
9．【答案】B
【知识点】空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：因为四面体的所有棱长都相等，，，
所以，两两夹角为，且分别为的中点，
所以，，，
设四面体的棱长为，
所以，，
，
，
所以
故答案为：B
【分析】，，再根据向量模的公式和夹角公式求解即可.
10．【答案】B
【知识点】空间向量的加减法
【解析】【解答】由题意，，
且，
，
故答案为：B.
【分析】根据空间向量的线性运算，即可表示出相应的向量。
11．【答案】A,B
【知识点】空间向量的数量积运算
【解析】【解答】以 为原点， ， ， 分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，如图所示：
设正方体的边长为 ，则 ， ， ， ，
， ， ，
所以 .
又因为 ，
，
因为 为钝角，所以 ，
即 ，
解得 .
故答案为：AB
【分析】首先以 为原点， ， ， 分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，根据题意得到 ，再解不等式即可得到答案.
12．【答案】A,D
【知识点】空间向量的数量积运算
【解析】【解答】由数量积的性质和运算律可知AD是正确的；
而 运算后是实数， 没有这种运算，B不正确；
，C不正确.
故答案为：AD.
【分析】根据题意由数量积的运算性质以及向量的运算性质对选项逐一判断即可得出答案。
13．【答案】A,D
【知识点】相等向量与相反向量；向量加法的三角形法则；平面向量的数量积运算；共面向量定理
【解析】【解答】对于A：空间中任意两个非零向量 ， 可以构成一个平面，A符合题意；
对于B：向量的数量积不满足结合律，B不符合题意；
对于C：当 互相垂直时，C不符合题意；
对于D：根据向量的加法法则可知： ，
故 ，D符合题意。
故答案为：AD
【分析】利用已知条件结合向量共面的判断方法、数量积的运算法则、数量积的定义和向量相等的判断方法、三角形法则，从而找出结论正确的选项。
14．【答案】A,B
【知识点】空间向量的概念；共面向量定理
【解析】【解答】A选项：零向量的方向是任意的，所以零向量与任意向量都平行，A选项正确；
B选项：向量是即有方向又有大小的量，若，与反向，不一定成立，若，则，B选项正确；
C选项：向量与向量是共线向量，则与方向相同或相反，点，，，可能在同一条直线上，也可能组成平行四边形，C选项错误；
D选项：由，，，所以与不一定相等，D选项错误；
故答案为：AB.
【分析】根据空间向量的相关概念，逐一进行判断即可。
15．【答案】A,B,C
【知识点】空间向量的加减法；空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：取的中点，连接，，∴，，
，平面，
所以平面，又平面，所以，则，A符合题意；
因为，B符合题意；
∵，，
又，，
所以，C符合题意；
因为，
所以，D不正确，
故答案为：ABC.
【分析】取的中点，连接，，证得平面，得到，可判定A符合题意；根据向量的线性运算法则，准确化简，可判定B符合题意；由，，结合向量的数量积的运算公式，可判定C符合题意；由向量的模长公式和数量积的公式，可判定D不正确.
16．【答案】B,C,D
【知识点】空间向量的概念；共面向量定理
【解析】【解答】对于A：若，即向量与的模相等，但方向不确定，A不符合题意；
对于B：相反向量是指大小相等方向相反的两个向量，B符合题意；
对于C：在正方体中，与大小相等，方向相同，故，所以C符合题意；
对于D：若 ，，则方向相同大小相等，故，若中有零向量结论也正确，所以D符合题意.
故答案为：BCD.
【分析】根据向量的基本概念，以及共线向量和向量相等的定义，逐项判定，即可求解.
17．【答案】
【知识点】空间向量的加减法
【解析】【解答】连接则.
故答案为：
【分析】连接根据，即可求解.
18．【答案】
【知识点】空间向量的加减法
【解析】【解答】
故答案为： .
【分析】由向量的加、减法运算法则计算出结果即可。
19．【答案】②
【知识点】空间向量的加减法
【解析】【解答】根据空间向量的加减法运算,对于① 恒成立；
对于③当 , 方向相同时,有 ；
对于④当 , 方向相同且 时,有| .
对于②由向量减法可知 ,所以②一定不成立．
故答案为: ②
【分析】结合向量的加、减法运算法则以及向量的性质即可得出答案。
20．【答案】
【知识点】空间向量的加减法；空间向量的数乘运算；空间向量的数量积运算
【解析】【解答】如下图所示，由任意性，设点、、分别棱长为的正三棱锥的棱、、上的动点，
设，其中，则，
所以，，
所以，，
当且仅当线段与棱或重合时，等号成立，即的最大值为，
，当且仅当与点或重合，、重合于点或点时，等号成立，
但、、为不同的三点，则，
由上可知的最大值为，取线段的中点，
则，
当且仅当线段与棱重合且为棱的中点时，等号成立，则.
综上所述，.
故答案为：.
【分析】如下图所示，由任意性，设点、、分别棱长为的正三棱锥的棱、、上的动点，设，可得，进一步得，从而得到，再由可得，即可解决问题。
21．【答案】[0,1]
【知识点】空间向量的数量积运算
【解析】【解答】以 所在的直线为x轴，以 所在的直线为y轴，以 所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系，
则 、 、 、 、 ，∴ 、 ，∵点 在线段 上运动，∴ ，且 ，
∴ ，∴ ，故答案为 。
【分析】以 所在的直线为x轴，以 所在的直线为y轴，以 所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系，进而求出点D、C、A、B、的坐标，再利用向量的坐标表示和数乘向量的坐标表示、再结合三角形法则和向量的坐标运算，从而求出向量的坐标，再利用数量积的坐标表示结合的取值范围，从而求出数量积 的取值范围。
22．【答案】120°
【知识点】空间向量的数量积运算
【解析】【解答】如下图所示，以点A为坐标原点， 、 、 所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系 ，
则 、 、 、 ， ， ，
，
，则 .
因此，向量 与向量 所成的角为 120° .
故答案为： 120° .
【分析】以点A为坐标原点， 、 、 所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得向量 与向量 所成的角.
23．【答案】解：(Ⅰ)
；
(Ⅱ)
，所以
【知识点】空间向量的数量积运算
【解析】【分析】(1)根据空间向量数量积的定义求解即可；
(2) 由 ，利用空间向量数量积的运算法则求解即可.
24．【答案】证明：如图，在 上取点 ，使 ，
又 ，
，又 ，
，
同理， ，
故由 、 、 共面可知，
向量 ， ， 共面
【知识点】共面向量定理
【解析】【分析】根据题意由已知条件结合线线平行的性质定理即可得出线线平行，再由向量共面的性质定理即可得出结果。
25．【答案】（1）解：
（2）解：
，
所以
【知识点】向量的模；平面向量的基本定理；空间向量的数量积运算
【解析】【分析】（1）根据空间向量基本定理结合空间向量的线性运算即可得解；
（2），再根据向量数量积的运算律计算即可得解.
26．【答案】解：连接BD，BG.
∵ = - , = ,∴ = - ,
∵ = + ，∴ = + - =- + + .
∵ ,∴ = ，∴ = (- + + )= + + .
又∵ = - ，∴ = + + ，
∵ =m,∴ =m· = + + ,
∵ =- + = - + ,
∴ =(1 ) +( -1) + .
又∵G,B,P,D四点共面，∴1 =0,m= .
即m的值是 .
【知识点】共面向量定理
【解析】【分析】 连接BD，BG ，利用共线定理和三角形法则表示向量的方法，再结合已知条件和平面向量基本定理，进而结合四点共面的判断方法，从而求出m的值。
27．【答案】解： ；
【知识点】空间向量的加减法
【解析】【分析】根据向量减法的三角形法则可知：==；根据向量加法的平行四边形法则可知：=（+）；而根据向量加法的三角形法则可知：=+=+.
28．【答案】解：∵G为△BCD的重心，BE是CD边上的中线，
∴ ，又
，
∴ .
标注的向量如图所示.
【知识点】空间向量的加减法
【解析】【分析】根据三角形重心的性质可知=，根据向量的减法的三角形法则将用和表示，进而求解.
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