2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修一 1.2 空间向量基本定理 同步练习

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名称 2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修一 1.2 空间向量基本定理 同步练习
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科目 数学
更新时间 2023-08-06 14:09:17

文档简介

2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修一 1.2 空间向量基本定理 同步练习
一、选择题
1.(2023高二上·鄠邑期末)已知是空间的一个基底,则下列说法错误的是(  )
A.若,则
B.两两共面,但不共面
C.一定存在x,y,使得
D.一定能构成空间的一个基底
2.(2023高二上·汕尾期末)已知矩形为平面外一点,且平面,分别为上的点,,则(  )
A. B. C.1 D.
3.(2022高二上·清远期中)在平行六面体中,底面ABCD是边长为a的正方形,侧棱的长为b,且.则(  )
A.的长为
B.直线与AC所成角的余弦值
C.的长为
D.直线与BC所成角的余弦值
4.(2022高二上·信阳期中)设向量,,不共面,空间一点P满足,则A,B,C,P四点共面的一组数对是(  )
A. B.
C. D.
5.(2022高二上·辽宁月考)已知四棱锥的底面为平行四边形,M,N分别为棱,上的点,,N是的中点,向量,则(  )
A., B.,
C., D.,
6.(2022高二上·河南月考)已知A,B,C,D四点在平面内,且任意三点都不共线,点P为平面外的一点,满足,则z=(  )
A.2 B.1 C.-1 D.-2
7.(2022高二上·沧州月考)已知是不共面的三个向量,则能构成空间的一个基底的一组向量是(  )
A. B.
C. D.
8.(2022高二下·海安期末)已知,,是空间的三个单位向量,下列说法正确的是(  )
A.若,,则
B.若,,两两共面,则,,共面
C.对于空间的任意一个向量,总存在实数,,,使得
D.若是空间的一组基底,则也是空间的一组基底
二、多项选择题
9.(2021高二上·山东月考)设 是空间的一组基底,则下列结论正确的是(  )
A.基底 中的向量可以为任意向量.
B.空间中任一向量 ,存在唯一有序实数组 ,使
C.若 , ,则
D. 也可以构成空间的一组基底.
10.(2021高二上·广东期中)以下四个命题中错误的是(  )
A.空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示
B.若 为空间向量的一组基底,则 构成空间向量的另一组基底
C.对空间任意一点 和不共线的三点 、 、 ,若 ,则 、 、 、 四点共面
D.任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底
11.(2021高三上·山东月考)若构成空间的一个基底,则下列向量共面的是(  )
A.
B.
C.
D.
12.(2020高二上·夏津月考)在以下命题中,不正确的命题有(  )
A. 是 , 共线的充要条件
B.若 ,则存在唯一的实数 ,使
C.对空间任意一点 和不共线的三点 , , ,若 ,则 , , , 四点共面
D.若 为空间的一个基底,则 构成空间的另一个基底
13.(2021高二上·深圳期中)在三维空间中,定义向量的外积: 叫做向量 与 的外积,它是一个向量,满足下列两个条件:① , ,且 , 和 构成右手系(即三个向量的方向依次与右手的拇指、食指、中指的指向一致,如图所示):② 的模 ( 表示向量 , 的夹角)在正方体 中,有以下四个结论,正确的有(  )
A.
B.
C. 共线
D. 与正方体表面积的数值相等
三、填空题
14.(2022高二上·黑龙江期末)已知P,A,B,C四点共面,对空间任意一点O,若,则   .
15.(2023·达州模拟)如图,、、分别是正方体的棱、、的中点,是上的点,平面.若,则   .
16.(2022高二上·深圳期中)如图,在正四面体中,分别为的中点,是线段上一点,且,若,则的值为   .
17.(2021高二上·茂名期中)下列关于空间向量的命题中,
①若向量 , 与空间任意向量都不能构成基底,则 ;
②若非零向量 , , 满足 , ,则有 ;
③若 , , 是空间的一组基底,且 ,则 , , , 四点共面;
④若向量 , , ,是空间一组基底,则 , , 也是空间的一组基底.
上述命题中,正确的有   .
18.(2018高二上·集宁月考)已知 是空间任一点, 四点满足任三点均不共线,但四点共面,且 ,则    .
19.已知点M,N分别是空间四面体OABC的边OA和BC的中点,P为线段MN的中点,若=++,则实数λ+μ+γ=   
20.(2022高二下·苍南月考)已知空间向量 满足 ,则对任意实数 , 的最小值是   .
四、解答题
21.如图,在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=5,AD=3,AA1=4,∠DAB=90°,∠BAA1=∠DAA1=60°,E是CC1的中点,设=,=,=.
(1)用,,表示;
(2)求AE的长?
22.如图,在空间平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中,若以,,为空间的一个基底,用这个基底表示.
23.如图,设O是 ABCD所在平面外的任一点,已知=,=,=你能用,,表示吗?若能,用,,表示出;若不能,请说明理由.
24.(2019高二上·佛山月考)平行六面体 中,以顶点 为端点的三条棱长都为1,且两两夹角为 .
(1)求 的长;
(2)求异面直线 与 夹角的余弦值.
25.(2022高二上·河南月考)如图所示,在四棱锥中,底面是边长为的正方形,,且平面,分别为棱的中点.
(1)用向量表示;
(2)求异面直线与所成角的余弦值.
答案解析部分
1.【答案】C
【知识点】空间向量基本定理;共面向量定理
【解析】【解答】对于A,若不全为0,则 共面,与题意矛盾,A符合题意;
对于B,是空间的一个基底,则 两两共面,但 不共面,B符合题意;
对于C, 不共面,则不存在实数,使得 ,C不符合题意;
对于D,若 共面, , 无解,
故 不共面,一定能构成空间的一个基底,D符合题意
故答案为:C.
【分析】由不全为0,得到 共面,可判定A正确;根据空间向量的基底的定义,可判定B正确;由 不共面,得到不存在实数,使得 ,可判定C错误;设向量 共面, 列出方程组无解,可判定D正确.
2.【答案】B
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】因为,
所以

故,故.
故答案为:B
【分析】根据空间向量基本定理求出,求出答案.
3.【答案】C
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】对于A,,

所以,A不符合题意;
对于B,由题意可知:,,
所以,

所以,B不符合题意;
对于C,,,

所以,C符合题意;
对于D,由B的分析可知:,由题意可知:,

所以,D不符合题意,
故答案为:C.
【分析】利用空间向量的运算逐项进行计算即可判断.
4.【答案】B
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】因为向量,,不共面,,
所以当且仅当时,A,B,C,P四点共面,
对于A,,A不符合题意;
对于B,,B符合题意;
对于C,,C不符合题意;
对于D,,D不符合题意.
故答案为:B.
【分析】由题设条件可知,A,B,C,P四点共面等价于,由此对选项逐一检验即可.
5.【答案】B
【知识点】空间向量基本定理;空间向量的加减法;空间向量的数乘运算
【解析】【解答】解:因为,所以,

又,
所以.
故答案为:B.
【分析】根据向量的线性运算,化简得到,结合题意,即可求得的值.
6.【答案】A
【知识点】空间向量基本定理;空间向量的加减法
【解析】【解答】因为四点在平面内,且点为平面外的一点,
而,所以,
所以,所以
所以,解得.
故答案为:A.
【分析】根据空间向量的线性运算,表示出相应的向量,即可求出参数z的值。
7.【答案】B
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】对于A. ,A不符合题意;
对于B. 不共面,B符合题意;
对于C. ,C不符合题意
对于D. ,D不符合题意
故答案为:B
【分析】根据不共面的向量可以作为空间向量的一组基底,逐一判断即可。
8.【答案】A,D
【知识点】空间向量的概念;空间向量基本定理
【解析】【解答】解:,,是空间的三个单位向量,
由,,则,A符合题意;
,,两两共面,但是,,不一定共面,,,可能两两垂直,B不符合题意;
由空间向量基本定理,可知只有当,,不共面,才能作为基底,才能得到,C不符合题意;
若 是空间的一组基底,则,,不共面,可知也不共面,所以也是空间的一组基底,D符合题意.
故答案为:AD.
【分析】直接利用共线向量和共面向量,向量的基底等基础知识和相关的定义判断A、B、C、D的结论.
9.【答案】B,D
【知识点】利用数量积判断平面向量的垂直关系;空间向量基本定理
【解析】【解答】对A, 是空间的一组基底,则 不共面,不能为任意向量,A不符合题意;
根据空间向量基本定理可知B符合题意;
对C,由 , 可得 垂直于 所确定的平面,但 不一定垂直,C不符合题意;
对D, ,令 ,则 ,
于是 ,则 不共面,所以 可以构成空间的一组基底.
故答案为:BD.
【分析】利用已知条件结合基底的判断方法、平面向量基本定理、数量积为0两向量垂直的等价关系,从而找出结论正确的选项。
10.【答案】A,C,D
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】A中忽略三个基底要求不共面的限制,A不符合题意;
若 为空间向量的一组基底,则 、 、 互不共面,且 、 、 均为非零向量,假设 、 、 共面,可设 ,所以 ,该方程组无解,故 、 、 不共面,因此, 可构成空间向量的一组基底,B符合题意;
由于 ,∵ ,此时, 、 、 、 四点不共面,C不符合题意;
任何三个不共面的向量都可构成空间向量的一组基底,三个向量不共线时可能共面,D不符合题意.
故答案为:ACD.
【分析】 根据空间向量基本定理及其推论,对选项逐一判断即可得出答案。
11.【答案】A,B,D
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】A,因为,所以共面;
B,因为,所以共面;
C,在构成的平面内,不在这个平面内,不符合.
D,因为共线,所以共面.
故答案为:ABD
【分析】由空间向量基底的定义,对选项逐一判断即可得出答案。
12.【答案】A,B,C
【知识点】平面向量的共线定理;三点共线;空间向量基本定理
【解析】【解答】解:对于A,当 ,则 , 共线成立,
但 , 同向共线时, ,
所以 是 , 共线的充分不必要条件,A不正确;
对于B,当 时, ,不存在唯一的实数 ,使 ,B不正确;
对于C,由于 ,而 ,
根据共面向量定理知, , , , 四点不共面,C不正确;
对于D,若 为空间的一个基底,则 不共面,
由基底的定义可知, 不共面,
则 构成空间的另一个基底,D符合题意.
故答案为:ABC.
【分析】根据向量共线的性质,即可判断A选项;根据零向量与任意向量共线以及向量共线定理,即可判断B选项;根据向量的共面定理的定义,即可判断C选项;根据不共面的三个向量可构成空间的一个基底,结合共面向量定理,即可判断D选项.
13.【答案】A,C,D
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】设正方体的棱长为 ,
对于A,如图,因为 为等边三角形,故 ,
因为 ,而 为等边三角形,
故 ,A符合题意.
对于B,根据定义, , ,两者不相等,B不符合题意.
对于C,因为 平面 ,结合外积的定义可得 与 共线,
C符合题意.
对于D, ,故它与正方体的表面积相同,
故答案为:ACD.
【分析】 根据题意运用新定义及空间向量基本概念,对选项逐一判断即可得出答案。
14.【答案】-2
【知识点】空间向量基本定理;空间向量的加减法
【解析】【解答】
P,A,B,C四点共面,则存在实数 ,使得
所以

所以 ,解得
故答案为:-2
【分析】根据四点共面,利用空间向量的共面定理,得到 ,化简的得到 ,结合题意列出方程组,即可求解.
15.【答案】1
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】设,其中,,


因为平面,则、、共面,显然、不共线,
所以,存在、,使得,


因为为空间中的一组基底,所以,,解得,
因此,.
故答案为:1.
【分析】设,其中,,,,分析可知、、共面,则存在、,使得,根据空间向量的基本定理可得方程组,解出,即可得出.
16.【答案】
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】
所以,所以.
【分析】利用基向量表示,结合空间向量基本定理可得.
17.【答案】①③④
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】解:对于①, 若向量 , 与空间任意向量都不能构成基底,则向量 , 与空间任意向量都共面,则与必共线,即//,故①正确;
对于②, 若非零向量 , , 满足 , ,当非零向量 , , 不共面时, 与可以不平行,故②不正确;
对于③,因为 ,所以,
所以,所以共面,所以 , , , 四点共面,故③正确;
对于④,若向量 , ,是空间一组基底,则向量 , , 不共面,则对任意实数x,y都有,即,
所以 , , 不共面,所以 , , 也是空间的一组基底.故④正确.
故答案为:①③④
【分析】根据空间向量基本定理可知,能作为基底的向量一定是不共面的向量,由此对四个命题逐个分析可得答案.
18.【答案】-1
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】∵ 2x 3y 4z ,
∴ 2x 3y 4z ,
∵O是空间任意一点,A、B、C、D四点满足任三点均不共线,但四点共面
∴﹣2x﹣3y﹣4z=1
∴2x+3y+4z=﹣1
故答案为:﹣1
【分析】根据空间向量的基本定理,得到﹣2x﹣3y﹣4z=1,即可求出的值.
19.【答案】
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】如图,连接ON,在△OMN中,点P是MN中点,
则由平行四边形法则得
=
=
∴λ+μ+γ=,
故答案为:.
【分析】要充分利用图形的直观性,熟练利用向量加法的三角形法则进行运算。
20.【答案】6
【知识点】空间向量基本定理;空间向量的数乘运算;空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【解答】解:由题意易知 是空间内两个单位向量,且 ,
因为< >∈[0,π] ,则< > ,
不妨设 , ,
设 ,则由 ,解得 ,则 ,
因为 可得 t=±6,
则 ,
当且仅当 时,即λ=2,μ=4时,等号成立,
因此, 则对任意实数 , 的最小值是6
故答案为:6 .
【分析】根据已知可设 , ,根据已知条件求出m,n,t 的值,将向量 用坐标加以表示,利用空间向量的模长公式可求解.
21.【答案】解:(1)根据向量的三角形法则得到
=++=++
(2)∵||2=(++)2
=2+2+2+2++
=25+9+4+0+(20+12) cos60°
=54
∴||=3
即AE的长为3.
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【分析】(1)根据向量的三角形法则把要表示的向量写成以几何体的棱为基底的向量的加法的形式,从向量的起点出发,沿着棱到终点.
(2)根据上一问表示出的结果,把要求的向量两边平方,把得到平方式展开,得到已知向量的模长和数量积的关系,代入数据做出结果.
22.【答案】解:∵=+,=+,=+,
∴=++=(++)
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【分析】利用向量的平行四边形法则可得:=+,=+,=+,利用空间向量的平行六面体法则可得=++代入即可得出。
23.【答案】解:根据向量加法与减法的几何意义,得;
向量+=,=﹣;
又在平行四边形ABCD中,=,
∴=+
=+
=+﹣
=﹣+.
∴能用,,表示出.
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【分析】根据向量的加法与减法的几何意义,得出用,,表示的线性表示。
24.【答案】(1)解:记 =a, =b, =c,
则|a|=|b|=|c|=1,〈a,b〉=〈b,c〉=〈c,a〉=60°,
∴a·b=b·c=c·a= .
| |2=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(a·b+b·c+c·a)=1+1+1+2× =6,
∴| |= ,即AC1的长为 .
(2)解: =b+c-a, =a+b,∴| |= ,| |= ,
· =(b+c-a)·(a+b)=b2-a2+a·c+b·c=1.
∴cos〈 , 〉= = .
∴AC与BD1夹角的余弦值为 .
【知识点】异面直线及其所成的角;空间向量基本定理
【解析】【分析】(1)记 =a, =b, =c,并将其作为一组基底,利用空间向量的基本定理表示出 ,然后利用向量的模长计算公式及数量积的运算律即可求解;(2)利用向量夹角求两条异面直线夹角,但注意向量夹角为锐角或直角时两者相等,当向量夹角为钝角时,两者互补.
25.【答案】(1)解:.
(2)解:以为坐标原点,正方向为轴,可建立如图所示空间直角坐标系,
则,,,,,,

即异面直线与所成角的余弦值为.
【知识点】空间向量基本定理;异面直线
【解析】【分析】(1)根据空间向量的线性运算,表示相应的向量即可;
(2)建立空间直角坐标系,写出点的坐标,表示相应的向量,结合空间向量的数量积运算,两异面直线所成角的余弦值。
1 / 12023-2024学年高中数学人教A版选择性必修一 1.2 空间向量基本定理 同步练习
一、选择题
1.(2023高二上·鄠邑期末)已知是空间的一个基底,则下列说法错误的是(  )
A.若,则
B.两两共面,但不共面
C.一定存在x,y,使得
D.一定能构成空间的一个基底
【答案】C
【知识点】空间向量基本定理;共面向量定理
【解析】【解答】对于A,若不全为0,则 共面,与题意矛盾,A符合题意;
对于B,是空间的一个基底,则 两两共面,但 不共面,B符合题意;
对于C, 不共面,则不存在实数,使得 ,C不符合题意;
对于D,若 共面, , 无解,
故 不共面,一定能构成空间的一个基底,D符合题意
故答案为:C.
【分析】由不全为0,得到 共面,可判定A正确;根据空间向量的基底的定义,可判定B正确;由 不共面,得到不存在实数,使得 ,可判定C错误;设向量 共面, 列出方程组无解,可判定D正确.
2.(2023高二上·汕尾期末)已知矩形为平面外一点,且平面,分别为上的点,,则(  )
A. B. C.1 D.
【答案】B
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】因为,
所以

故,故.
故答案为:B
【分析】根据空间向量基本定理求出,求出答案.
3.(2022高二上·清远期中)在平行六面体中,底面ABCD是边长为a的正方形,侧棱的长为b,且.则(  )
A.的长为
B.直线与AC所成角的余弦值
C.的长为
D.直线与BC所成角的余弦值
【答案】C
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】对于A,,

所以,A不符合题意;
对于B,由题意可知:,,
所以,

所以,B不符合题意;
对于C,,,

所以,C符合题意;
对于D,由B的分析可知:,由题意可知:,

所以,D不符合题意,
故答案为:C.
【分析】利用空间向量的运算逐项进行计算即可判断.
4.(2022高二上·信阳期中)设向量,,不共面,空间一点P满足,则A,B,C,P四点共面的一组数对是(  )
A. B.
C. D.
【答案】B
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】因为向量,,不共面,,
所以当且仅当时,A,B,C,P四点共面,
对于A,,A不符合题意;
对于B,,B符合题意;
对于C,,C不符合题意;
对于D,,D不符合题意.
故答案为:B.
【分析】由题设条件可知,A,B,C,P四点共面等价于,由此对选项逐一检验即可.
5.(2022高二上·辽宁月考)已知四棱锥的底面为平行四边形,M,N分别为棱,上的点,,N是的中点,向量,则(  )
A., B.,
C., D.,
【答案】B
【知识点】空间向量基本定理;空间向量的加减法;空间向量的数乘运算
【解析】【解答】解:因为,所以,

又,
所以.
故答案为:B.
【分析】根据向量的线性运算,化简得到,结合题意,即可求得的值.
6.(2022高二上·河南月考)已知A,B,C,D四点在平面内,且任意三点都不共线,点P为平面外的一点,满足,则z=(  )
A.2 B.1 C.-1 D.-2
【答案】A
【知识点】空间向量基本定理;空间向量的加减法
【解析】【解答】因为四点在平面内,且点为平面外的一点,
而,所以,
所以,所以
所以,解得.
故答案为:A.
【分析】根据空间向量的线性运算,表示出相应的向量,即可求出参数z的值。
7.(2022高二上·沧州月考)已知是不共面的三个向量,则能构成空间的一个基底的一组向量是(  )
A. B.
C. D.
【答案】B
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】对于A. ,A不符合题意;
对于B. 不共面,B符合题意;
对于C. ,C不符合题意
对于D. ,D不符合题意
故答案为:B
【分析】根据不共面的向量可以作为空间向量的一组基底,逐一判断即可。
8.(2022高二下·海安期末)已知,,是空间的三个单位向量,下列说法正确的是(  )
A.若,,则
B.若,,两两共面,则,,共面
C.对于空间的任意一个向量,总存在实数,,,使得
D.若是空间的一组基底,则也是空间的一组基底
【答案】A,D
【知识点】空间向量的概念;空间向量基本定理
【解析】【解答】解:,,是空间的三个单位向量,
由,,则,A符合题意;
,,两两共面,但是,,不一定共面,,,可能两两垂直,B不符合题意;
由空间向量基本定理,可知只有当,,不共面,才能作为基底,才能得到,C不符合题意;
若 是空间的一组基底,则,,不共面,可知也不共面,所以也是空间的一组基底,D符合题意.
故答案为:AD.
【分析】直接利用共线向量和共面向量,向量的基底等基础知识和相关的定义判断A、B、C、D的结论.
二、多项选择题
9.(2021高二上·山东月考)设 是空间的一组基底,则下列结论正确的是(  )
A.基底 中的向量可以为任意向量.
B.空间中任一向量 ,存在唯一有序实数组 ,使
C.若 , ,则
D. 也可以构成空间的一组基底.
【答案】B,D
【知识点】利用数量积判断平面向量的垂直关系;空间向量基本定理
【解析】【解答】对A, 是空间的一组基底,则 不共面,不能为任意向量,A不符合题意;
根据空间向量基本定理可知B符合题意;
对C,由 , 可得 垂直于 所确定的平面,但 不一定垂直,C不符合题意;
对D, ,令 ,则 ,
于是 ,则 不共面,所以 可以构成空间的一组基底.
故答案为:BD.
【分析】利用已知条件结合基底的判断方法、平面向量基本定理、数量积为0两向量垂直的等价关系,从而找出结论正确的选项。
10.(2021高二上·广东期中)以下四个命题中错误的是(  )
A.空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示
B.若 为空间向量的一组基底,则 构成空间向量的另一组基底
C.对空间任意一点 和不共线的三点 、 、 ,若 ,则 、 、 、 四点共面
D.任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底
【答案】A,C,D
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】A中忽略三个基底要求不共面的限制,A不符合题意;
若 为空间向量的一组基底,则 、 、 互不共面,且 、 、 均为非零向量,假设 、 、 共面,可设 ,所以 ,该方程组无解,故 、 、 不共面,因此, 可构成空间向量的一组基底,B符合题意;
由于 ,∵ ,此时, 、 、 、 四点不共面,C不符合题意;
任何三个不共面的向量都可构成空间向量的一组基底,三个向量不共线时可能共面,D不符合题意.
故答案为:ACD.
【分析】 根据空间向量基本定理及其推论,对选项逐一判断即可得出答案。
11.(2021高三上·山东月考)若构成空间的一个基底,则下列向量共面的是(  )
A.
B.
C.
D.
【答案】A,B,D
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】A,因为,所以共面;
B,因为,所以共面;
C,在构成的平面内,不在这个平面内,不符合.
D,因为共线,所以共面.
故答案为:ABD
【分析】由空间向量基底的定义,对选项逐一判断即可得出答案。
12.(2020高二上·夏津月考)在以下命题中,不正确的命题有(  )
A. 是 , 共线的充要条件
B.若 ,则存在唯一的实数 ,使
C.对空间任意一点 和不共线的三点 , , ,若 ,则 , , , 四点共面
D.若 为空间的一个基底,则 构成空间的另一个基底
【答案】A,B,C
【知识点】平面向量的共线定理;三点共线;空间向量基本定理
【解析】【解答】解:对于A,当 ,则 , 共线成立,
但 , 同向共线时, ,
所以 是 , 共线的充分不必要条件,A不正确;
对于B,当 时, ,不存在唯一的实数 ,使 ,B不正确;
对于C,由于 ,而 ,
根据共面向量定理知, , , , 四点不共面,C不正确;
对于D,若 为空间的一个基底,则 不共面,
由基底的定义可知, 不共面,
则 构成空间的另一个基底,D符合题意.
故答案为:ABC.
【分析】根据向量共线的性质,即可判断A选项;根据零向量与任意向量共线以及向量共线定理,即可判断B选项;根据向量的共面定理的定义,即可判断C选项;根据不共面的三个向量可构成空间的一个基底,结合共面向量定理,即可判断D选项.
13.(2021高二上·深圳期中)在三维空间中,定义向量的外积: 叫做向量 与 的外积,它是一个向量,满足下列两个条件:① , ,且 , 和 构成右手系(即三个向量的方向依次与右手的拇指、食指、中指的指向一致,如图所示):② 的模 ( 表示向量 , 的夹角)在正方体 中,有以下四个结论,正确的有(  )
A.
B.
C. 共线
D. 与正方体表面积的数值相等
【答案】A,C,D
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】设正方体的棱长为 ,
对于A,如图,因为 为等边三角形,故 ,
因为 ,而 为等边三角形,
故 ,A符合题意.
对于B,根据定义, , ,两者不相等,B不符合题意.
对于C,因为 平面 ,结合外积的定义可得 与 共线,
C符合题意.
对于D, ,故它与正方体的表面积相同,
故答案为:ACD.
【分析】 根据题意运用新定义及空间向量基本概念,对选项逐一判断即可得出答案。
三、填空题
14.(2022高二上·黑龙江期末)已知P,A,B,C四点共面,对空间任意一点O,若,则   .
【答案】-2
【知识点】空间向量基本定理;空间向量的加减法
【解析】【解答】
P,A,B,C四点共面,则存在实数 ,使得
所以

所以 ,解得
故答案为:-2
【分析】根据四点共面,利用空间向量的共面定理,得到 ,化简的得到 ,结合题意列出方程组,即可求解.
15.(2023·达州模拟)如图,、、分别是正方体的棱、、的中点,是上的点,平面.若,则   .
【答案】1
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】设,其中,,


因为平面,则、、共面,显然、不共线,
所以,存在、,使得,


因为为空间中的一组基底,所以,,解得,
因此,.
故答案为:1.
【分析】设,其中,,,,分析可知、、共面,则存在、,使得,根据空间向量的基本定理可得方程组,解出,即可得出.
16.(2022高二上·深圳期中)如图,在正四面体中,分别为的中点,是线段上一点,且,若,则的值为   .
【答案】
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】
所以,所以.
【分析】利用基向量表示,结合空间向量基本定理可得.
17.(2021高二上·茂名期中)下列关于空间向量的命题中,
①若向量 , 与空间任意向量都不能构成基底,则 ;
②若非零向量 , , 满足 , ,则有 ;
③若 , , 是空间的一组基底,且 ,则 , , , 四点共面;
④若向量 , , ,是空间一组基底,则 , , 也是空间的一组基底.
上述命题中,正确的有   .
【答案】①③④
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】解:对于①, 若向量 , 与空间任意向量都不能构成基底,则向量 , 与空间任意向量都共面,则与必共线,即//,故①正确;
对于②, 若非零向量 , , 满足 , ,当非零向量 , , 不共面时, 与可以不平行,故②不正确;
对于③,因为 ,所以,
所以,所以共面,所以 , , , 四点共面,故③正确;
对于④,若向量 , ,是空间一组基底,则向量 , , 不共面,则对任意实数x,y都有,即,
所以 , , 不共面,所以 , , 也是空间的一组基底.故④正确.
故答案为:①③④
【分析】根据空间向量基本定理可知,能作为基底的向量一定是不共面的向量,由此对四个命题逐个分析可得答案.
18.(2018高二上·集宁月考)已知 是空间任一点, 四点满足任三点均不共线,但四点共面,且 ,则    .
【答案】-1
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】∵ 2x 3y 4z ,
∴ 2x 3y 4z ,
∵O是空间任意一点,A、B、C、D四点满足任三点均不共线,但四点共面
∴﹣2x﹣3y﹣4z=1
∴2x+3y+4z=﹣1
故答案为:﹣1
【分析】根据空间向量的基本定理,得到﹣2x﹣3y﹣4z=1,即可求出的值.
19.已知点M,N分别是空间四面体OABC的边OA和BC的中点,P为线段MN的中点,若=++,则实数λ+μ+γ=   
【答案】
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】如图,连接ON,在△OMN中,点P是MN中点,
则由平行四边形法则得
=
=
∴λ+μ+γ=,
故答案为:.
【分析】要充分利用图形的直观性,熟练利用向量加法的三角形法则进行运算。
20.(2022高二下·苍南月考)已知空间向量 满足 ,则对任意实数 , 的最小值是   .
【答案】6
【知识点】空间向量基本定理;空间向量的数乘运算;空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【解答】解:由题意易知 是空间内两个单位向量,且 ,
因为< >∈[0,π] ,则< > ,
不妨设 , ,
设 ,则由 ,解得 ,则 ,
因为 可得 t=±6,
则 ,
当且仅当 时,即λ=2,μ=4时,等号成立,
因此, 则对任意实数 , 的最小值是6
故答案为:6 .
【分析】根据已知可设 , ,根据已知条件求出m,n,t 的值,将向量 用坐标加以表示,利用空间向量的模长公式可求解.
四、解答题
21.如图,在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=5,AD=3,AA1=4,∠DAB=90°,∠BAA1=∠DAA1=60°,E是CC1的中点,设=,=,=.
(1)用,,表示;
(2)求AE的长?
【答案】解:(1)根据向量的三角形法则得到
=++=++
(2)∵||2=(++)2
=2+2+2+2++
=25+9+4+0+(20+12) cos60°
=54
∴||=3
即AE的长为3.
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【分析】(1)根据向量的三角形法则把要表示的向量写成以几何体的棱为基底的向量的加法的形式,从向量的起点出发,沿着棱到终点.
(2)根据上一问表示出的结果,把要求的向量两边平方,把得到平方式展开,得到已知向量的模长和数量积的关系,代入数据做出结果.
22.如图,在空间平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中,若以,,为空间的一个基底,用这个基底表示.
【答案】解:∵=+,=+,=+,
∴=++=(++)
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【分析】利用向量的平行四边形法则可得:=+,=+,=+,利用空间向量的平行六面体法则可得=++代入即可得出。
23.如图,设O是 ABCD所在平面外的任一点,已知=,=,=你能用,,表示吗?若能,用,,表示出;若不能,请说明理由.
【答案】解:根据向量加法与减法的几何意义,得;
向量+=,=﹣;
又在平行四边形ABCD中,=,
∴=+
=+
=+﹣
=﹣+.
∴能用,,表示出.
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【分析】根据向量的加法与减法的几何意义,得出用,,表示的线性表示。
24.(2019高二上·佛山月考)平行六面体 中,以顶点 为端点的三条棱长都为1,且两两夹角为 .
(1)求 的长;
(2)求异面直线 与 夹角的余弦值.
【答案】(1)解:记 =a, =b, =c,
则|a|=|b|=|c|=1,〈a,b〉=〈b,c〉=〈c,a〉=60°,
∴a·b=b·c=c·a= .
| |2=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(a·b+b·c+c·a)=1+1+1+2× =6,
∴| |= ,即AC1的长为 .
(2)解: =b+c-a, =a+b,∴| |= ,| |= ,
· =(b+c-a)·(a+b)=b2-a2+a·c+b·c=1.
∴cos〈 , 〉= = .
∴AC与BD1夹角的余弦值为 .
【知识点】异面直线及其所成的角;空间向量基本定理
【解析】【分析】(1)记 =a, =b, =c,并将其作为一组基底,利用空间向量的基本定理表示出 ,然后利用向量的模长计算公式及数量积的运算律即可求解;(2)利用向量夹角求两条异面直线夹角,但注意向量夹角为锐角或直角时两者相等,当向量夹角为钝角时,两者互补.
25.(2022高二上·河南月考)如图所示,在四棱锥中,底面是边长为的正方形,,且平面,分别为棱的中点.
(1)用向量表示;
(2)求异面直线与所成角的余弦值.
【答案】(1)解:.
(2)解:以为坐标原点,正方向为轴,可建立如图所示空间直角坐标系,
则,,,,,,

即异面直线与所成角的余弦值为.
【知识点】空间向量基本定理;异面直线
【解析】【分析】(1)根据空间向量的线性运算,表示相应的向量即可;
(2)建立空间直角坐标系,写出点的坐标,表示相应的向量,结合空间向量的数量积运算,两异面直线所成角的余弦值。
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