2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修一 1.3 空间向量的运算坐标表示 同步练习

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2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修一 1.3 空间向量的运算坐标表示 同步练习
一、选择题
1．（2023高二上·汕尾期末）已知空间向量，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】空间向量运算的坐标表示
【解析】【解答】.
故答案为：C
【分析】利用空间向量坐标的线性运算法则得到答案.
2．（2023高二下·北仑开学考）已知空间向量，，，若，则（　　）
A．2 B．-2 C．14 D．-14
【答案】C
【知识点】空间向量运算的坐标表示
【解析】【解答】解：因为，，，
所以，
所以，
所以m-n=6-(-8)=14，
故选：C
【分析】利用空间向量平行的性质，列出方程组，解得m，n即可得答案.
3．（2022高二上·沂水期中）已知空间向量，，则（　　）
A． B．6 C．36 D．40
【答案】B
【知识点】空间向量的数量积运算；空间向量运算的坐标表示
【解析】【解答】由题意，.
故答案为：B
【分析】写出两向量的差，求出模即可.
4．（2022高二上·东海期中）已知三点，且，则实数的值为（　　）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
【答案】A
【知识点】空间向量运算的坐标表示；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】由两点间的距离公式，及可得：，解得.
故答案为：A
【分析】根据两点间的距离公式和，列出方程，即可求解.
5．（2022高二上·绍兴月考）设，，与垂直，则等于（　　）
A．6 B．14 C．-14 D．-6
【答案】C
【知识点】空间向量的数量积运算；空间向量运算的坐标表示
【解析】【解答】由题设，，
∴，
∴.
故答案为：C
【分析】根据已知向量坐标求的坐标，再由空间向量垂直的坐标表示求.
6．（2022高二下·汕尾期末）如图，平行六面体中，为的中点.若，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】向量加减混合运算及其几何意义；空间向量运算的坐标表示
【解析】【解答】，故，，，即
故答案为：A.
【分析】根据题意由向量的加减运算性质，结合已知条件代入数值计算出结果即可。
7．（2022高二上·东光期中）已知则（　　）
A．2 B． C．1 D．0
【答案】D
【知识点】空间向量运算的坐标表示；向量的数量积判断向量的共线与垂直
【解析】【解答】由可得
∵，故，
∴，，
∴，
故答案为：D
【分析】根据向量的坐标运算，求得，根据，列出方程，即可求解.
8．如图，直角梯形，，，，是边中点，沿翻折成四棱锥，则点到平面距离的最大值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】空间向量运算的坐标表示；平面的法向量；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】根据题意建立空间直角坐标系，如图：
可得：C(0，0，0)、B(1，0，0)、A(1，1，0)、E(0，1，0)
设点D的坐标为（0，b，c），由题意可得：0＜b＜2，0＜c≤1，
所以
设平面的法向量为，可得：
即
令z=1，则x=c，
所以平面的一个法向量为
点C到平面的距离d=
又因为0＜c≤1，
所以，当c=1时，等号成立，
所以距离d的最大值是，
故选：B.
【分析】根据已知条件，建立空间直角坐标系，设出点的坐标（0，b，c），求出平面的法向量，利用空间向量中点到面的距离公式，得到距离d关于参数c的函数，求函数的最大值（即距离的最大值）。
二、多项选择题
9．（2022高二上·营口开学考）已知向量，，，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B,C,D
【知识点】空间向量的数量积运算；空间向量运算的坐标表示；向量的数量积判断向量的共线与垂直
【解析】【解答】解：因为，，
所以，所以，A不符合题意；
因为，，所以，B符合题意；
因为，所以，C符合题意；
因为，，所以，所以，D符合题意.
故答案为：BCD
【分析】对于A：由已知条件可得，根据求模公式即可判断A；对于B：由已知得，，通过内积即可判断B；对于C：由已知得，通过内积判断C即可；对于D：由，，可得，即可判断.
10．（2023高二上·三明期末）在空间直角坐标系中，已知向量，.以下各组值中能使得的是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B,C
【知识点】空间向量运算的坐标表示；向量的数量积判断向量的共线与垂直
【解析】【解答】向量，，于是当且仅当，即，
对于A，当，时，，A不是；
对于B，当，时，，B是；
对于C，当，时，，C是；
对于D，当，时，，D不是.
故答案为：BC
【分析】根据题意，利用数量积的运算公式，得到，结合选项验证，即可求解.
11．（2022高二上·黑龙江期末）如图，在三棱锥中，平面，，，，以B为原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，设平面PAB和平面PBC的一个法向量分别为，，则下列结论中正确的是（）
A．点P的坐标为 B．
C． D．
【答案】A,D
【知识点】空间向量运算的坐标表示；向量语言表述面面的垂直、平行关系
【解析】【解答】由题意可得 ， ， ， ，
所以 ， .
设 ，则 ，即 ，
取 ，可得 .
因为 ， ，且
所以 平面PAB，即
所以平面 平面PAB，
所以 ，所以 .
综上所述，B，C不符合题意，A，D符合题意.
故答案为：AD
【分析】根据题意，结合空间向量的表示方法得到可判定A正确；求得向量 和 ，的坐标，结合平面法向量的求法，求得平面的一个法向量 ，可判定C错误，D正确；结合 ，进而得到平面 平面PAB，求得 可判断C错误.
12．（2022高二上·辽宁月考）已知向量， 则（　　）
A． B．
C． D．与的夹角为
【答案】A,B,D
【知识点】空间向量的数量积运算；空间向量运算的坐标表示；向量的数量积判断向量的共线与垂直
【解析】【解答】因为，
所以A，B符合题意；
因为，所以C不符合题意；
设与的夹角为，因为，所以，
故与的夹角为，D符合题意．
故答案为：ABD
【分析】根据向量的数量积的运算公式，模的公式，以及夹角公式，逐项判定，即可求解.
13．（2023高二上·南山期末）如图，已知正方体的棱长为，、分别为棱、的中点，则下列结论正确的为（　　）
A． B．
C． D．为平面的一个法向量
【答案】B,C
【知识点】空间向量的数量积运算；空间向量运算的坐标表示；向量的数量积判断向量的共线与垂直；平面的法向量
【解析】【解答】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、、、
、、、.
对于A选项，，，则，A不符合题意；
对于B选项，，，则，B对；
对于C选项，，故，C对；
对于D选项，，故不是平面的一个法向量，D不符合题意.
故答案为：BC.
【分析】以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，由，可判定A不符合题意；由，则，可判定B正确；由，结合向量的模的公式，求得，可判定C正确；由，可判定D不符合题意.
14．（2023·梅州模拟）如图，在直三棱柱中，，，，为棱的中点；为棱上的动点（含端点），过点A 作三棱柱的截面，且交于，则（　　）
A．线段的最小值为
B．棱上的不存在点，使得平面
C．棱上的存在点，使得
D．当为棱的中点时，
【答案】A,B,D
【知识点】空间向量运算的坐标表示；向量方法证明线、面的位置关系定理
【解析】【解答】如图，以为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
由于与底面垂直，因此当与重合时，在平面内，，此时最小为，A符合题意；
，，
若，与不垂直，因此不可能与平面垂直，B符合题意；
设，则，，
若，则，即，此方程无实数解，因此棱上的不存在点，使得，C不符合题意；
是中点时，，，D符合题意．
故答案为：ABD．
【分析】以为原点，建立空间直角坐标系，由与底面垂直，得到当与重合时，最小，可判定A符合题意；求得向量的坐标，根据，可判定B符合题意；设，由，得到，列出方程，根据方程无实数解，可判定C不符合题意；当是中点时，求得，可判定D符合题意．
三、填空题
15．（2023高二上·南山期末）已知，，若，则　 　．
【答案】-4
【知识点】共线向量与共面向量；空间向量运算的坐标表示；向量语言表述面面的垂直、平行关系
【解析】【解答】因为，，若，则，解得.
故答案为：-4.
【分析】根据，得到方程，即可求解.
16．（2022高二上·大同期中）已知，则　 　．
【答案】
【知识点】向量的模；空间向量运算的坐标表示
【解析】【解答】因为，
所以，
所以．
答案：
【分析】计算出向量的坐标，代入向量模的计算公式，即可求出答案.
17．（2022高二上·辽宁月考）已知，，， 则以，为邻边的平行四边形的面积是　 　.
【答案】
【知识点】空间向量的正交分解及其坐标表示；空间向量运算的坐标表示
【解析】【解答】由已知得，，，
所以，所以是边长为的等边三角形，
则平行四边形的面积，
故答案为：.
【分析】根据向量的坐标运算，求得，得到是边长为的等边三角形，结合面积公式，即可求解.
18．（2022高二下·福州期中）已知向量，，．若，则　 　．
【答案】-11
【知识点】空间向量运算的坐标表示
【解析】【解答】因为，，，
所以，
又因为，所以，解得，
故答案为：-11.
【分析】由空间向量的坐标公式，结合向量垂直的性质代入数值计算出结果即可。
19．（2022高二上·光明期末）已知向量，，若，则　 　．
【答案】-2
【知识点】共线向量与共面向量；空间向量运算的坐标表示
【解析】【解答】由于，所以.
故答案为：-2
【分析】根据，列出方程组，即可求解.
20．（2021高二上·宁波期中）已知 ， ，若 ，则 的取值范围为　 　．
【答案】[1，+ ∞)
【知识点】数量积的坐标表达式；空间中的点的坐标；空间向量运算的坐标表示
【解析】【解答】解：因为 ， ，且 所以 ，
所以实数 满足 .
因为 表示原点到直线 上的点之间的距离，
所以设坐标原点到直线 的距离为 ，则 所以
所以 的取值范围为[1，+ ∞)
故答案为：[1，+ ∞)
【分析】根据题意由数量积的坐标公式整理即可得出，再由点到直线的距离公式代入数值计算出，从而即可求出代数式的取值范围。
四、解答题
21．（2021高二上·河东期中）已知 ， ， .
（1）若四边形 为平行四边形，求实数 ， 的值；
（2）若四边形 的对角线互相垂直，求实数 ， 满足的关系式.
【答案】（1）因为 ， ，且 ，所以 ， 不共线
由四边形 为平行四边形，所以
则 ，所以
（2）
由四边形 的对角线互相垂直
所以 ，则 ，即
【知识点】空间中的点的坐标；空间向量的数量积运算；空间向量运算的坐标表示
【解析】【分析】(1)根据题意首先求出向量的坐标，再由平行四边形的几何性质结合向量的运算性质，整理化简计算出a与b的值。
(2)由已知条件结合向量以及数量积的坐标公式，代入数值计算出结果即可。
22．如图，建立空间直角坐标系 .单位正方体 顶点A位于坐标原点，其中点 ，点 ，点 .
（1）若点E是棱 的中点，点F是棱 的中点，点G是侧面 的中心，则分别求出向量 的坐标；
（2）在（1）的条件下，分别求出 ， 的值.
【答案】（1）解：因为点E是棱 的中点，点F是棱 的中点，点G是侧面 的中心
所以
所以
（2）解：由（1）可得
又由 ，所以
【知识点】空间向量的数量积运算；空间向量运算的坐标表示
【解析】【分析】(1)由正方体的几何性质以及空间中点的性质即可求出各个点的坐标，由此即可求出向量的坐标。
(2)由(1)的结论结合空间数量积的运算公式即可得出的值，再由空间向量模的定义即可求出的值。
23．（2021高二上·安徽月考）已知向量 ， ， .
（1）若 ，求 的值；
（2）若 ， ，求 的值.
【答案】（1）解：由 ，则存在实数 ，使 ，即 ，
所以 ，解得 ，所以 .
则 ，所以
（2）解：由 ，可得 ，即 ，解得 ，
又由 ，可得 ，解得 ，
当 时， ， ，
所以 .
当 时， ， ，
所以
【知识点】向量的模；数量积的坐标表达式；共线向量与共面向量；空间向量运算的坐标表示
【解析】【分析】(1)由已知条件IE共线向量的坐标公式代入整理得到关于m与n的方程组，求解出结果然后由向量模的公式代入数值计算出结果即可。
(2)首先由向量垂直的数量积坐标公式代入数值计算出n的值，由此即可得出向量的坐标，再由数量积的坐标公式计算出结果即可。
24．已知点 ， ， ．
（1）若D为线段 的中点，求线段 的长；
（2）若 ，且 ，求a的值，并求此时向量 与 夹角的余弦值．
【答案】（1）解：由题意，点 ， 且点D为线段 的中点，
可得 ，则 ，所以 ，
即线段 的长为
（2）解：由点 ， ，则 ，
所以 ，解得 ，所以 ，
则 ，
即向量 与 夹角的余弦值为
【知识点】空间向量的数量积运算；空间向量的夹角与距离求解公式；空间向量运算的坐标表示
【解析】【分析】(1)根据题意由空间的斜率坐标公式计算出中点的坐标，再由向量模的定义代入数值计算出结果即可。
(2)首先由空间点的坐标求出向量的坐标再由空间数量积的坐标公式代入数值计算出夹角的余弦值由此即可得出向量的夹角。
25．（2021高二上·湖北月考）已知正方体 棱长为1，O为 中点，以D为原点， 所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系 .
（1）求平面 的法向量 ，并证明 平面 ；
（2）求异面直线 与 夹角的余弦值.
【答案】（1）证明： ，故 ，
设平面 的一个法向量为 ，
由 得 ，
令 ，则 ，所以 .
又 ，从而 .
∵ 平面 ，所以 平面 ；
（2）设 分别为直线 与 的方向向量．
则由 ， ，得 .
所以两异面直线 与 的夹角 的余弦值为 ．
【知识点】直线与平面平行的判定；空间向量运算的坐标表示；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【分析】(1)根据题意建立空间直角坐标系，写出各点坐标，结合数量积的坐标公式，求解平面的一个法向量即可得证。
(2)写出，的坐标，根据空间向量的夹角计算公式即可得解。
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2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修一 1.3 空间向量的运算坐标表示 同步练习
一、选择题
1．（2023高二上·汕尾期末）已知空间向量，则（　　）
A． B． C． D．
2．（2023高二下·北仑开学考）已知空间向量，，，若，则（　　）
A．2 B．-2 C．14 D．-14
3．（2022高二上·沂水期中）已知空间向量，，则（　　）
A． B．6 C．36 D．40
4．（2022高二上·东海期中）已知三点，且，则实数的值为（　　）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
5．（2022高二上·绍兴月考）设，，与垂直，则等于（　　）
A．6 B．14 C．-14 D．-6
6．（2022高二下·汕尾期末）如图，平行六面体中，为的中点.若，则（　　）
A． B．
C． D．
7．（2022高二上·东光期中）已知则（　　）
A．2 B． C．1 D．0
8．如图，直角梯形，，，，是边中点，沿翻折成四棱锥，则点到平面距离的最大值为（　　）
A． B． C． D．
二、多项选择题
9．（2022高二上·营口开学考）已知向量，，，则（　　）
A． B．
C． D．
10．（2023高二上·三明期末）在空间直角坐标系中，已知向量，.以下各组值中能使得的是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
11．（2022高二上·黑龙江期末）如图，在三棱锥中，平面，，，，以B为原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，设平面PAB和平面PBC的一个法向量分别为，，则下列结论中正确的是（）
A．点P的坐标为 B．
C． D．
12．（2022高二上·辽宁月考）已知向量， 则（　　）
A． B．
C． D．与的夹角为
13．（2023高二上·南山期末）如图，已知正方体的棱长为，、分别为棱、的中点，则下列结论正确的为（　　）
A． B．
C． D．为平面的一个法向量
14．（2023·梅州模拟）如图，在直三棱柱中，，，，为棱的中点；为棱上的动点（含端点），过点A 作三棱柱的截面，且交于，则（　　）
A．线段的最小值为
B．棱上的不存在点，使得平面
C．棱上的存在点，使得
D．当为棱的中点时，
三、填空题
15．（2023高二上·南山期末）已知，，若，则　 　．
16．（2022高二上·大同期中）已知，则　 　．
17．（2022高二上·辽宁月考）已知，，， 则以，为邻边的平行四边形的面积是　 　.
18．（2022高二下·福州期中）已知向量，，．若，则　 　．
19．（2022高二上·光明期末）已知向量，，若，则　 　．
20．（2021高二上·宁波期中）已知 ， ，若 ，则 的取值范围为　 　．
四、解答题
21．（2021高二上·河东期中）已知 ， ， .
（1）若四边形 为平行四边形，求实数 ， 的值；
（2）若四边形 的对角线互相垂直，求实数 ， 满足的关系式.
22．如图，建立空间直角坐标系 .单位正方体 顶点A位于坐标原点，其中点 ，点 ，点 .
（1）若点E是棱 的中点，点F是棱 的中点，点G是侧面 的中心，则分别求出向量 的坐标；
（2）在（1）的条件下，分别求出 ， 的值.
23．（2021高二上·安徽月考）已知向量 ， ， .
（1）若 ，求 的值；
（2）若 ， ，求 的值.
24．已知点 ， ， ．
（1）若D为线段 的中点，求线段 的长；
（2）若 ，且 ，求a的值，并求此时向量 与 夹角的余弦值．
25．（2021高二上·湖北月考）已知正方体 棱长为1，O为 中点，以D为原点， 所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系 .
（1）求平面 的法向量 ，并证明 平面 ；
（2）求异面直线 与 夹角的余弦值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】空间向量运算的坐标表示
【解析】【解答】.
故答案为：C
【分析】利用空间向量坐标的线性运算法则得到答案.
2．【答案】C
【知识点】空间向量运算的坐标表示
【解析】【解答】解：因为，，，
所以，
所以，
所以m-n=6-(-8)=14，
故选：C
【分析】利用空间向量平行的性质，列出方程组，解得m，n即可得答案.
3．【答案】B
【知识点】空间向量的数量积运算；空间向量运算的坐标表示
【解析】【解答】由题意，.
故答案为：B
【分析】写出两向量的差，求出模即可.
4．【答案】A
【知识点】空间向量运算的坐标表示；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】由两点间的距离公式，及可得：，解得.
故答案为：A
【分析】根据两点间的距离公式和，列出方程，即可求解.
5．【答案】C
【知识点】空间向量的数量积运算；空间向量运算的坐标表示
【解析】【解答】由题设，，
∴，
∴.
故答案为：C
【分析】根据已知向量坐标求的坐标，再由空间向量垂直的坐标表示求.
6．【答案】A
【知识点】向量加减混合运算及其几何意义；空间向量运算的坐标表示
【解析】【解答】，故，，，即
故答案为：A.
【分析】根据题意由向量的加减运算性质，结合已知条件代入数值计算出结果即可。
7．【答案】D
【知识点】空间向量运算的坐标表示；向量的数量积判断向量的共线与垂直
【解析】【解答】由可得
∵，故，
∴，，
∴，
故答案为：D
【分析】根据向量的坐标运算，求得，根据，列出方程，即可求解.
8．【答案】B
【知识点】空间向量运算的坐标表示；平面的法向量；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】根据题意建立空间直角坐标系，如图：
可得：C(0，0，0)、B(1，0，0)、A(1，1，0)、E(0，1，0)
设点D的坐标为（0，b，c），由题意可得：0＜b＜2，0＜c≤1，
所以
设平面的法向量为，可得：
即
令z=1，则x=c，
所以平面的一个法向量为
点C到平面的距离d=
又因为0＜c≤1，
所以，当c=1时，等号成立，
所以距离d的最大值是，
故选：B.
【分析】根据已知条件，建立空间直角坐标系，设出点的坐标（0，b，c），求出平面的法向量，利用空间向量中点到面的距离公式，得到距离d关于参数c的函数，求函数的最大值（即距离的最大值）。
9．【答案】B,C,D
【知识点】空间向量的数量积运算；空间向量运算的坐标表示；向量的数量积判断向量的共线与垂直
【解析】【解答】解：因为，，
所以，所以，A不符合题意；
因为，，所以，B符合题意；
因为，所以，C符合题意；
因为，，所以，所以，D符合题意.
故答案为：BCD
【分析】对于A：由已知条件可得，根据求模公式即可判断A；对于B：由已知得，，通过内积即可判断B；对于C：由已知得，通过内积判断C即可；对于D：由，，可得，即可判断.
10．【答案】B,C
【知识点】空间向量运算的坐标表示；向量的数量积判断向量的共线与垂直
【解析】【解答】向量，，于是当且仅当，即，
对于A，当，时，，A不是；
对于B，当，时，，B是；
对于C，当，时，，C是；
对于D，当，时，，D不是.
故答案为：BC
【分析】根据题意，利用数量积的运算公式，得到，结合选项验证，即可求解.
11．【答案】A,D
【知识点】空间向量运算的坐标表示；向量语言表述面面的垂直、平行关系
【解析】【解答】由题意可得 ， ， ， ，
所以 ， .
设 ，则 ，即 ，
取 ，可得 .
因为 ， ，且
所以 平面PAB，即
所以平面 平面PAB，
所以 ，所以 .
综上所述，B，C不符合题意，A，D符合题意.
故答案为：AD
【分析】根据题意，结合空间向量的表示方法得到可判定A正确；求得向量 和 ，的坐标，结合平面法向量的求法，求得平面的一个法向量 ，可判定C错误，D正确；结合 ，进而得到平面 平面PAB，求得 可判断C错误.
12．【答案】A,B,D
【知识点】空间向量的数量积运算；空间向量运算的坐标表示；向量的数量积判断向量的共线与垂直
【解析】【解答】因为，
所以A，B符合题意；
因为，所以C不符合题意；
设与的夹角为，因为，所以，
故与的夹角为，D符合题意．
故答案为：ABD
【分析】根据向量的数量积的运算公式，模的公式，以及夹角公式，逐项判定，即可求解.
13．【答案】B,C
【知识点】空间向量的数量积运算；空间向量运算的坐标表示；向量的数量积判断向量的共线与垂直；平面的法向量
【解析】【解答】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、、、
、、、.
对于A选项，，，则，A不符合题意；
对于B选项，，，则，B对；
对于C选项，，故，C对；
对于D选项，，故不是平面的一个法向量，D不符合题意.
故答案为：BC.
【分析】以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，由，可判定A不符合题意；由，则，可判定B正确；由，结合向量的模的公式，求得，可判定C正确；由，可判定D不符合题意.
14．【答案】A,B,D
【知识点】空间向量运算的坐标表示；向量方法证明线、面的位置关系定理
【解析】【解答】如图，以为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
由于与底面垂直，因此当与重合时，在平面内，，此时最小为，A符合题意；
，，
若，与不垂直，因此不可能与平面垂直，B符合题意；
设，则，，
若，则，即，此方程无实数解，因此棱上的不存在点，使得，C不符合题意；
是中点时，，，D符合题意．
故答案为：ABD．
【分析】以为原点，建立空间直角坐标系，由与底面垂直，得到当与重合时，最小，可判定A符合题意；求得向量的坐标，根据，可判定B符合题意；设，由，得到，列出方程，根据方程无实数解，可判定C不符合题意；当是中点时，求得，可判定D符合题意．
15．【答案】-4
【知识点】共线向量与共面向量；空间向量运算的坐标表示；向量语言表述面面的垂直、平行关系
【解析】【解答】因为，，若，则，解得.
故答案为：-4.
【分析】根据，得到方程，即可求解.
16．【答案】
【知识点】向量的模；空间向量运算的坐标表示
【解析】【解答】因为，
所以，
所以．
答案：
【分析】计算出向量的坐标，代入向量模的计算公式，即可求出答案.
17．【答案】
【知识点】空间向量的正交分解及其坐标表示；空间向量运算的坐标表示
【解析】【解答】由已知得，，，
所以，所以是边长为的等边三角形，
则平行四边形的面积，
故答案为：.
【分析】根据向量的坐标运算，求得，得到是边长为的等边三角形，结合面积公式，即可求解.
18．【答案】-11
【知识点】空间向量运算的坐标表示
【解析】【解答】因为，，，
所以，
又因为，所以，解得，
故答案为：-11.
【分析】由空间向量的坐标公式，结合向量垂直的性质代入数值计算出结果即可。
19．【答案】-2
【知识点】共线向量与共面向量；空间向量运算的坐标表示
【解析】【解答】由于，所以.
故答案为：-2
【分析】根据，列出方程组，即可求解.
20．【答案】[1，+ ∞)
【知识点】数量积的坐标表达式；空间中的点的坐标；空间向量运算的坐标表示
【解析】【解答】解：因为 ， ，且 所以 ，
所以实数 满足 .
因为 表示原点到直线 上的点之间的距离，
所以设坐标原点到直线 的距离为 ，则 所以
所以 的取值范围为[1，+ ∞)
故答案为：[1，+ ∞)
【分析】根据题意由数量积的坐标公式整理即可得出，再由点到直线的距离公式代入数值计算出，从而即可求出代数式的取值范围。
21．【答案】（1）因为 ， ，且 ，所以 ， 不共线
由四边形 为平行四边形，所以
则 ，所以
（2）
由四边形 的对角线互相垂直
所以 ，则 ，即
【知识点】空间中的点的坐标；空间向量的数量积运算；空间向量运算的坐标表示
【解析】【分析】(1)根据题意首先求出向量的坐标，再由平行四边形的几何性质结合向量的运算性质，整理化简计算出a与b的值。
(2)由已知条件结合向量以及数量积的坐标公式，代入数值计算出结果即可。
22．【答案】（1）解：因为点E是棱 的中点，点F是棱 的中点，点G是侧面 的中心
所以
所以
（2）解：由（1）可得
又由 ，所以
【知识点】空间向量的数量积运算；空间向量运算的坐标表示
【解析】【分析】(1)由正方体的几何性质以及空间中点的性质即可求出各个点的坐标，由此即可求出向量的坐标。
(2)由(1)的结论结合空间数量积的运算公式即可得出的值，再由空间向量模的定义即可求出的值。
23．【答案】（1）解：由 ，则存在实数 ，使 ，即 ，
所以 ，解得 ，所以 .
则 ，所以
（2）解：由 ，可得 ，即 ，解得 ，
又由 ，可得 ，解得 ，
当 时， ， ，
所以 .
当 时， ， ，
所以
【知识点】向量的模；数量积的坐标表达式；共线向量与共面向量；空间向量运算的坐标表示
【解析】【分析】(1)由已知条件IE共线向量的坐标公式代入整理得到关于m与n的方程组，求解出结果然后由向量模的公式代入数值计算出结果即可。
(2)首先由向量垂直的数量积坐标公式代入数值计算出n的值，由此即可得出向量的坐标，再由数量积的坐标公式计算出结果即可。
24．【答案】（1）解：由题意，点 ， 且点D为线段 的中点，
可得 ，则 ，所以 ，
即线段 的长为
（2）解：由点 ， ，则 ，
所以 ，解得 ，所以 ，
则 ，
即向量 与 夹角的余弦值为
【知识点】空间向量的数量积运算；空间向量的夹角与距离求解公式；空间向量运算的坐标表示
【解析】【分析】(1)根据题意由空间的斜率坐标公式计算出中点的坐标，再由向量模的定义代入数值计算出结果即可。
(2)首先由空间点的坐标求出向量的坐标再由空间数量积的坐标公式代入数值计算出夹角的余弦值由此即可得出向量的夹角。
25．【答案】（1）证明： ，故 ，
设平面 的一个法向量为 ，
由 得 ，
令 ，则 ，所以 .
又 ，从而 .
∵ 平面 ，所以 平面 ；
（2）设 分别为直线 与 的方向向量．
则由 ， ，得 .
所以两异面直线 与 的夹角 的余弦值为 ．
【知识点】直线与平面平行的判定；空间向量运算的坐标表示；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【分析】(1)根据题意建立空间直角坐标系，写出各点坐标，结合数量积的坐标公式，求解平面的一个法向量即可得证。
(2)写出，的坐标，根据空间向量的夹角计算公式即可得解。
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