2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修一 1.4 空间向量的应用

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2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修一 1.4 空间向量的应用
一、选择题
1．（2023高二下·响水）已知直线，的方向向量分别为，，则直线，夹角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
2．（2023高二下·成都期中）已知，，，则平面ABC的一个法向量可以是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2023高二下·响水）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，在“鳖臑”中，平面，，且，为的中点，则异面直线与夹角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
4．（2023高二下·成都期中）若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角等于，则直线l与平面所成的角等于（　　）
A． B． C． D．
5．（2023·上虞模拟）如图，为直角梯形，.连，将沿翻折成三棱锥，当三棱锥外接球表面积的最小值时，二面角的余弦值为（　　）
A． B．0 C． D．
6．（2023·遂宁模拟）如图，正方体的棱长为2，线段上有两个动点（在的左边），且．下列说法不正确的是（　　）
A．当运动时，二面角的最小值为
B．当运动时，三棱锥体积不变
C．当运动时，存在点使得
D．当运动时，二面角为定值
7．（2023·静安模拟）若直线的方向向量为，平面的法向量为，则能使∥的是（　　）
A．
B．
C．
D．
8．（2023·商洛模拟）在四棱锥中，底面，底面是边长为的正方形，，则直线与平面所成角的正弦值为（　　）
A． B． C． D．
9．（2023·河南模拟）如图，直线平面，垂足为，正四面体（所有棱长都相等的三棱锥）的棱长为2，在平面内，是直线上的动点，当到的距离最大时，该正四面体在平面上的射影面积为（　　）
A． B． C． D．
10．（2023高二上·石景山期末）已知是直线l的方向向量，是平面的法向量．若，则下列选项正确的是（　　）
A． B．
C． D．
11．（2023·河南模拟）已知正方体的棱长为1，点在线段上，有下列四个结论：
①；
②点到平面的距离为；
③二面角的余弦值为；
④若四面体的所有顶点均在球的球面上，则球的体积为.
其中所有正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．（2023高一下·温州期末）如图，在长方体中，，，为棱上一点，且，平面上一动点满足，设是该长方体外接球上一点，则，两点间距离的最大值是（　　）
A． B． C． D．
二、多项选择题
13．（2023高二上·南山期末）如图，已知正方体的棱长为，、分别为棱、的中点，则下列结论正确的为（　　）
A． B．
C． D．为平面的一个法向量
14．（2023·邵阳模拟）在正方体中，，，则（　　）
A．为钝角
B．
C．平面
D．直线与平面所成角的正弦值为
15．（2023高三上·泉州期末）已知正方体的棱长为，为棱的中点，点满足，其中，，则（　　）
A．当时，平面
B．当时，
C．当时，三棱锥的体积是定值
D．当点落在以为球心，为半径的球面上时，的取值范围是
16．（2023·广州模拟）已知正四面体的棱长为分别为正四面体棱的中点，为面内任意一点，则下列结论正确的是（　　）
A．平面截正四面体的外接球所得截面的面积为
B．若存在，使得，则线段长度的最小值为
C．过点作平面平面，若平面平面，平面平面，则所成角的正弦值为
D．平面与平面夹角的余弦值为
三、填空题
17．（2023高二下·成都期中）如图，在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，则点C到平面的距离等于　 　.
18．（2023高二下·富民期中）已知向量是直线的一个方向向量，向量是平面的一个法向量，若直线⊥平面，则实数的值为　 　.
19．（2023·漳州模拟）已知长方体的底面是边长为的正方形，若，则该长方体的外接球的表面积为　 　；记分别是方向上的单位向量，且，，则（m，n为常数）的最小值为　 　．
20．（2023高二上·永嘉期末）在空间直角坐标系中，已知点，，，则点到平面的距离为　 　.
21．（2022高二上·山西期中）若空间中有三点，则到直线的距离为　 　；点到平面的距离为　 　.
22．（2023高二下·成都期中）如图，正方体的棱长为，若空间中的动点满足，，则下列命题正确的是　 　．（请用正确命题的序号作答）
①若，则点到平面的距离为；
②若，则二面角的平面角为；
③若，则三棱锥的体积为；
④若，则点的轨迹构成的平面图形的面积为．
四、解答题
23．（2023高二下·定远期末）如图，在四棱锥中，平面平面，，，．
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离；
（3）求平面与平面的夹角．
24．（2023高一下·温州期末）如图，在矩形中，，，点是边上的动点，沿将翻折至，使二面角为直二面角．
（1）当时，求证：；
（2）当线段的长度最小时，求二面角的正弦值．
25．（2023高一下·温州期末） 如图，正方形是圆柱的轴截面，是圆柱的母线，圆柱的体积为．
（1）求圆柱的表面积；
（2）若，求点到平面的距离．
26．（2023高二下·杭州）如图，在三棱柱中，所有棱长均为，，．
（1）证明：平面平面．
（2）求平面与平面的夹角的正弦值．
27．（2023高二下·简阳月考）如图所示多面体ABCDEF中，平面 平面ABCD， 平面ABCD， 是正三角形，四边形ABCD是菱形， ， ，
（1）求证： 平面ABCD；
（2）求二面角 的正弦值.
28．（2023高二下·金华期末）如图四棱锥，点在圆上，，顶点在底面的射影为圆心，点在线段上.
（1）若，当//平面时，求的值；
（2）若与不平行，四棱锥的体积为，求直线与平面所成角的正弦值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】解：因为直线 ，的方向向量分别为，，
所以 ，
则直线 ， 夹角的余弦值为 .
故选：B.
【分析】利用空间向量的夹角公式计算可得答案.
2．【答案】A
【知识点】平面的法向量
【解析】【解答】，，令法向量为，则，
，可取.
故答案为：A.
【分析】 根据已知条件，先求出，坐标，再结合法向量的定义，列出方程组，即可求解出答案.
3．【答案】B
【知识点】空间向量的数乘运算；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】解：如图，“鳖臑”A-BCD 是由正方体的四个顶点构成的，
以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1，
则 ， ， ， ， ，
则 ， ，
，
则异面直线BM与CD夹角的余弦值为 ．
故选：B．
【分析】将“鳖臑”A-BCD放在正方体内部，建立空间直角坐标系即可利用向量求异面直线BM与CD夹角的余弦值．
4．【答案】C
【知识点】用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【解答】令直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的夹角为，
，，.
故答案为：C
【分析】根据线面角的正弦值等于线与面法向量夹角余弦值的绝对值，求解可得答案.
5．【答案】B
【知识点】用空间向量研究二面角
【解析】【解答】因为ABCD为直角梯形，AB//CD，AD⊥DC，AD=3，CD=，AB=，
所以AC= ，∠DAC=30°
∠BAC=60°，△ABC为等边三角形，△ACD为直角三角形，
设△ABC的中心为O1，AC的中点为E ，三棱锥 外接球的球心为O，
则OO1⊥平面ABC，OE⊥平面DAC，因为OA≥O1，所以三棱锥外接球表面积的最小，
即外接球的半径最小时， OA=O1A即O与O1重合，此时OE⊥平面DAC ，
即O1E⊥平面DAC，O1E 在平面ABC内，
故平面ABC⊥平面DAC，即二面角 为，余弦值为0.
故选：B.
【分析】 由题可得△ABC为等边三角形，设△ABC的中心为O1 ，AC的中点为E ，三棱锥 外接球的球心为O，根据球的性质可得O与O1重合时符合题意，即可求得二面角的余弦值.
6．【答案】C
【知识点】棱柱的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积；用空间向量研究二面角
【解析】【解答】对A：建立如图所示的空间直角坐标系，
则．
因为在上，且，，
可设，则，
则，
设平面的法向量为，
又，所以，即，
取，则，
平面的法向量为，所以．
设二面角的平面角为，则为锐角，故，
因为，在上单调递减，
所以，故，
当且仅当时，取得最大值，即取最小值，A说法正确．
对B：因为，点A到平面的距离为，
所以体积为，即体积为定值，B说法正确．
对C：若，则四点共面，与和是异面直线矛盾，C说法错误．
对D：连接，平面即为平面，而平面即为平面，故当运动时，二面角的大小保持不变，D说法正确．
故答案为：C
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求解二面角夹角的余弦值，根据其范围，即可判断A；利用棱锥体积公式，即可求得三棱锥的体积，即可判断B；由反证法判断C；平面即为平面，而平面即为平面，从而得出二面角为定值，可判断D.
7．【答案】C
【知识点】直线与平面平行的判定；直线的方向向量；平面的法向量
【解析】【解答】由∥，则直线的方向向量为与平面的法向量为互相垂直，
A：，
A不正确；
B：，
B不正确；
C：，
C符合题意；
D：，
D不正确；
故答案为：C.
【分析】由∥，则直线的方向向量为与平面的法向量为互相垂直，再结合数量积为0两向量垂直的等价关系，再利用数量积的坐标表示得出正确的选项。
8．【答案】B
【知识点】用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【解答】如图所示，
以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
设直线与平面所成的角为，所以，
故答案为：B.
【分析】以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，利用向量法可求出直线与平面所成角的正弦值.
9．【答案】D
【知识点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】因为直线平面，垂足为，所以点是以为直径的球面上的点，
所以到的距离为四面体上以为直径的球面上的点到的距离，
最大距离为到球心的距离半径，即与的公垂线半径，如图所示：
取的中点，的中点，连接，，，因为，
所以， ，，
所以到的最大距离为，此时，，
当取得最大距离时，垂直平面，且平行平面，
所以投影是以为底，到 的距离投影，即为高的等腰三角形，其面积．
故答案为：D．
【分析】由题意知点是以为直径球面上的点，得到到的距离为四面体上以为直径的球面上的点到的距离，最大距离为与与的公垂线半径，再由垂直平面，且平行平面求解.
10．【答案】C
【知识点】直线的方向向量；平面的法向量
【解析】【解答】若，则，
即，解得，且，即.
故答案为：C.
【分析】根据题意，由线面垂直的判断方法可得，则有，求解出，可得答案.
11．【答案】B
【知识点】球的体积和表面积；空间中直线与直线之间的位置关系；点、线、面间的距离计算；二面角的平面角及求法
【解析】【解答】如图，连接.因为四边形为正方形，所以.
又，所以，故①正确；
因为，平面，平面，
所以平面，
所以点到平面的距离即为点到平面的距离.
因为，
所以，解得，故②正确；
由题意知为全等的等边三角形，
当点为的中点时，连接，则，
所以为二面角的平面角.
由题意知，
在中，由余弦定理，得，
即，所以，故③错误；
因为四面体的外接球即为正方体的外接球，
所以球的半径为，其体积为，故④错误.
综上所述，正确结论的个数是2.
故答案为：B.
【分析】连接，利用四边形为正方形，所以，再利用，所以；利用结合线线平行证出线面平行，所以平面，进而得出点到平面的距离为点到平面的距离，再利用结合三棱锥的体积公式得出d的值；由题意知为全等的等边三角形，当点为的中点时，连接，再利用等边三角形三线合一，则，所以为二面角的平面角，由题意知，在中，由余弦定理得出的值；利用四面体的外接球为正方体的外接球，进而得出球的半径，再结合球的体积公式得出其体积，进而得出正确结论的个数。
12．【答案】B
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】解：以C为原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系.
设Q(x，y，z) ，长方体外接球球心记为O .
则 ，
因为 ，所以①.
又动点Q在面A1BE上，所以可设 ，
则②.
将②代入①中整理得③.
在三棱锥A-A1BE中， AE=AB=AA1=6 且AE，AB，AA1两两互相垂直，
所以三棱锥A-A1BE为正三棱锥且底边 .
当AQ⊥面A-A1BE时， |AQ|最小，在正三棱锥A-A1BE中由等体积法有
解得 |AQ| .
在Rt△AQE中，AE=6 ，此时|EQ|有最大值 .
又|EQ| .
先代入②再代入③有|EQ| .
则 ，此时有最大值，解得 .
当点Q与点E重合时，满足 ， |AQ|最大，此时 .
则 .
点Q到外接球球心距离为|OQ|④.
将②代入④中整理得|OQ| .
又 ，所以|OQ| .
因为 ，所以当时，|OQ|max.
因为长方体外接球半径为 .
所以P，Q两点间距离的最大值为 .
故选：B
【分析】建立空间直角坐标系，设出点Q坐标，结合平面向量基本定理可得求出点Q到外接球球心距离的最大值，然后加上外接球半径即为要求的最大值.
13．【答案】B,C
【知识点】空间向量的数量积运算；空间向量的线性运算的坐标表示；向量的数量积判断向量的共线与垂直；平面的法向量
【解析】【解答】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、、、
、、、.
对于A选项，，，则，A不符合题意；
对于B选项，，，则，B对；
对于C选项，，故，C对；
对于D选项，，故不是平面的一个法向量，D不符合题意.
故答案为：BC.
【分析】以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，由，可判定A不符合题意；由，则，可判定B正确；由，结合向量的模的公式，求得，可判定C正确；由，可判定D不符合题意.
14．【答案】B,C,D
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【解答】令，以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图．
，
，则为锐角，A不符合题意；
，，，B符合题意；
，
设平面的法向量为，
不妨设，则，
，
，又平面，则平面，C符合题意；
平面，则是平面的一个法向量，又，
则直线与平面所成角的正弦值为，D符合题意.
故答案为：BCD．
【分析】建立空间直角坐标系，通过计算判断A；通过计算，判断B；求出平面的法向量，通过验证判断C；是平面的一个法向量，借助向量夹角公式可判断D．
15．【答案】A,B,D
【知识点】空间向量的线性运算的坐标表示；空间向量平行的坐标表示；空间向量垂直的坐标表示；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、、、、
、.
对于A选项，当时，，
所以，，平面，平面，平面，A对；
对于B选项，当时，，
，即点，
则，，
所以，，故，B对；
对于C选项，设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
，
所以，点到平面的距离为不是定值，
而的面积为定值，故四面体的体积不是定值，C不符合题意；
对于D选项，因为，其中，，则点在侧面内，
平面，平面，，
所以，，
所以，点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，
因为，，所以，，
所以，，
因为，，设，，其中，则，
所以，，D对.
故答案为：ABD.
【分析】以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，当时，根据向量的运算，求得得到，进而证得平面，可判定A正确；当时，得到和，进而得到，，结合数量积的运算公式，求得，可判定B正确；求得平面的法向量，结合距离公式，得到不是定值，可判定C不符合题意；由，根据平面，得到，得到点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，进而可判定D正确.
16．【答案】A,B,D
【知识点】球内接多面体；用空间向量求直线间的夹角、距离；用空间向量研究二面角
【解析】【解答】解：A选项，连接NB ，过点P作PT⊥平面ABC ，则点T在线段BN上，且BT=BN，
球心O在PT上，连接OB，设正四面体的外接球半径为R，则OB=OP=R ，
因为正四面体的棱长为1，所以 ，
由勾股定理，得OT2+BT2=OB2，即 ，解得 ，
过点T作TK⊥BN交BC于点K，则以点T为坐标原点， TK，TN，TP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则
设平面EBC的法向量为 ，
则 ，
令y=1 ，则 ，则 ，
则点到平面EBC的距离为 ，
即球心O在平面EBC上，
则平面EBC截正四面体P-ABC的外接球所得截面的面积为 ，A正确；
B选项，设F(s，t，0) ，则 ，
由 ，可得 ，
故 ，
故当 时， 取得最小值 ，故线段CF长度的最小值为 ，B正确；
C选项，因为平面平面EBC ，且平面EBC平面ABC=BC，平面EBC平面PAC=CE ，
所以l1//BC ，l2//CE ，
所以l1，l2 所成角的正弦值即为BC与CE所成的角∠EBC的正弦值，
其中 ，
所以 ，故l1，l2所成角的正弦值为 ，C错误；
D选项，设平面EMN的法向量为 ，则 ，
其中平面ABC的法向量为 ，
设平面 与平面夹角为 ，
则 ，
故平面与平面夹角的余弦值为 ，D正确.
故选：ABD
【分析】A选项，求出外接球半径，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用点到平面距离公式得到球心O在平面EBC上，从而求出截面面积；B选项，设F(s，t，0)，由 ，可得 ，求出
，得到当时，线段CVF长度的最小值；C选项，由平面平行的性质得到l1//BC ，l2//CE ， 所成角的正弦值即为BC与CE所成角的正弦值，利用空间向量求出异面直线的夹角余弦值，从而得到l1，l2所成角的正弦值；D选项，求出两平面的法向量，得到两平面的夹角的余弦值.
17．【答案】
【知识点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】
如图，建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，设平面的一个法向量为，
，即，取，又，
所以点到面的距离，
故答案为：.
【分析】 以D1为坐标原点，D1A1 ， D1C1 ， D1D所在直线分别为x，y， z轴建立空间直角坐标系D1一xyz ，求得AC的坐标和平面AEC1的一个法向量，由向量的投影可得点到面的距离.
18．【答案】-1
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；直线与平面垂直的性质；平面的法向量
【解析】【解答】因为直线⊥平面，则与平行，
故，即，解得：，
故实数的值为-1.
故答案为：-1
【分析】利用直线⊥平面，则与平行，再利用向量共线的坐标表示得出实数m的值。
19．【答案】；
【知识点】球的体积和表面积；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】在中，，所以，，
所以该长方体的外接球的半径为，所以该长方体的外接球的表面积为由及可得，
所以与的方向相同或与的方向相同，
不妨取与的方向相同，
由平面向量基本定理可得必与共面，
在平面上取一点，故可设，
则，所以其最小值为点到平面的最小值，即最小值为.
故答案为：；
【分析】根据长方体外接球直径为长方体体对角线即可求出球半径，得出球的面积，由所给条件可取与的方向相同或与的方向相同，问题可转化为求平面上一点与的距离的最小值，即求点到平面的距离得解.
20．【答案】
【知识点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】因为，，，，
所以，
设平面的法向量为，则
，所以，
取，可得，
所以，是平面的一个法向量，
所以点到平面的距离.
故答案为：.
【分析】先求出平面的一个法向量，求出在法向量上的投影的绝对值，即可得点到平面的距离.
21．【答案】；
【知识点】数量积表示两个向量的夹角；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】由可得
则，
又，则
则到直线的距离为
设平面的一个法向量为
则，即，
令，则，又
则点到平面的距离为
故答案为：；
【分析】 利用空间向量的夹角求出A到直线BC的距离，利用向量法求出P到平面ABC的距离.
22．【答案】②④
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；点、线、面间的距离计算；用空间向量研究二面角
【解析】【解答】对于①：由空间向量的正交分解及其坐标表示可建立如图空间直角坐标系，
，，，，，
向量，设平面的法向量，
由，，
则即，取则，
则点与平面的距离为，故①错误；
对于②：设平面的法向量，
又，，
即，取，则，
易得平面的一个法向量，
设二面角的平面角为，
则，
是锐角，
二面角的平面角为，故②正确；
对于③：，，，，
，则，
设平面的法向量为，
由，，
则，取则，
则点到平面的距离为，
由得
易知，
则三棱锥，故③错误；
对于④：延长至点，使得，取中点，中点，连接，并延长，交棱，于点，，交，延长线于点，，连接，交棱，于点，，连接，，如图所示，
则平面与正方体的截面为六边形，，
在平面中，
，点为中点，
，，
在和中
，
，
，
，即点为中点，，
同理可得，，
六边形为正六边形，且边长为，
则其面积，
，，
，
整理得，
点在平面上，
当，点的轨迹构成的平面图形的面积为，故④正确．
故答案为：②④．
【分析】以A为坐标原点，AB，AD，AA1为坐标轴建立空间直角坐标系，求出所需点的坐标，结合正方体的结构特征，利用向量法，逐项进行判断，可得答案.
23．【答案】（1）由已知可得：，，
如图以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，
设，则由，，
可得方程组，解得．
可得由于，可得．
所以，
因为，，
设平面的法向量为，
由，即
取，得平面的法向量是，
，
故EF平面．
（2）设点到平面的距离为，
由，．
点到平面的距离是．
（3）由于，，
设平面的法向量为，
由即
取，可得平面的法向量为，
设平面与平面的夹角为，
则，则
故平面与平面的夹角为．
【知识点】用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量求直线间的夹角、距离；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】 (1) 建系，求平面的法向量，利用空间向量证明线面平行；
(2) 结合(1) 中平面的法向量求点到面的距离；
(3) 求平面的法向量，利用空间向量求面面夹角.
24．【答案】（1）证明：当时，，
又，
在中，，
在中，，
所以，
所以，
因为二面角为直二面角，
所以面面，
又面面，
由上知，面，
所以面，
又因为面，
所以．
（2）解：在图二中过点作，垂足为，连接，
因为二面角为直二面角，
所以面面，
又面面，
由上知，
所以面，
又因为面，
所以，
设，则，
，
所以，
，
所以，
因为，
所以当时，长最短，
在矩形中，过点作，垂足为，再过点作，
因为二面角为直二面角，
所以面面，
又面面，
由上知，
所以面，
由三垂线定理可得，
所以二面角的平面角为，
，
，
，
所以，
由∽得，，即，
所以，
所以，
所以．
【知识点】直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）由面面垂直的性质定理得面，再由线面垂直判定定理证明即可；
（2）根据题意先证得二面角的平面角为，再利用相似三角形的性质求得，进而求得，代入同角三角函数的基本关系求得．
25．【答案】（1）解：设圆柱的底面半径为，则，解得．
则圆柱的表面积为．
（2）解：连接，因为，，所以，
设点到平面的距离为，
易知，，，平面，，
所以平面，因为平面，所以，
所以，
，，
因为，所以．
即，解得．
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；点、线、面间的距离计算
【解析】【分析】（1）由圆柱的体积公式计算底面半径，再根据表面积公式求解；
（2）证明平面，再根据等体积法由，得出点F到平面BDE的距离.
26．【答案】（1）证明：取中点，连接，，则．
，，为等边三角形，
，，，
，，
，，平面，
平面，
平面，平面平面．
（2）解：如图，以，，，
所在的直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系．
，，
平面的的法向量，
平面的的法向量，
，，故平面与平面的夹角的正弦值为．
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）取中点，连接，，则，再根据勾股定理证得，推出平面，即可证得平面平面；
（2） 以，，，所在的直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，求出平面的的法向量和平面的的法向量，利用向量法可求出平面与平面的夹角的正弦值．
27．【答案】（1）证明：取 中点 ，连接 ，
因为 是正三角形，
所以 ，
因为平面 平面 平面 ，平面 平面
所以 平面 ，又因为 平面 ，
所以 ，又因为 ，
所以四边形 是平行四边形，所以 ，
又因为 平面 平面 ，
所以 平面 .
（2）解：连接 交于 ，取 中点 ，连接 ，
所以 ，因为 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
又因为四边形 是菱形，所以 ，
所以 两两垂直，
建立如图所示的空间直角坐标系，
， ，
设平面 的法向量为 ，
，令
平面 的法向量为 ，
设二面角 的大小为 ，
.
所以二面角 的正弦值为 .
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）由面面垂直的性质定理与线面平行的判定定理证明即可；
（2）建立空间直角坐标系，用坐标法计算面面角正弦值即可.
28．【答案】（1）过作//交线段于，连接.
//，平面，平面，//平面，
又//平面，，平面，
平面//平面，
平面平面，
平面平面，根据面面平行的性质定理，//
又//，四边形是平行四边形，
，而，
故，得，得.
（2）
，（为四边形的面积），得.
由，得，
由余弦定理，，则，
根据正弦定理，设该四边形的外接圆半径为，则，
作直径，由圆内接四边形对角互补，则，
故，，故重合，
此时为直径，直径为，以为原点，射线为轴，
过垂直于的方向为轴，如图建立空间直角坐标系.
则，
所以，
设平面的法向量为，则即
令，则，所以，
设直线与平面所成角为，则.
直线与平面所成角的正弦值为.
【知识点】平面与平面平行的性质；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）做辅助线构建平面和平面PBC平行，然后结合面面平行的性质定理来解决；
（2）通过棱锥的体积得到底面积，根据底面的数据可推出BC是直径，然后建立空间直角坐标系处理.
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2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修一 1.4 空间向量的应用
一、选择题
1．（2023高二下·响水）已知直线，的方向向量分别为，，则直线，夹角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】解：因为直线 ，的方向向量分别为，，
所以 ，
则直线 ， 夹角的余弦值为 .
故选：B.
【分析】利用空间向量的夹角公式计算可得答案.
2．（2023高二下·成都期中）已知，，，则平面ABC的一个法向量可以是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】平面的法向量
【解析】【解答】，，令法向量为，则，
，可取.
故答案为：A.
【分析】 根据已知条件，先求出，坐标，再结合法向量的定义，列出方程组，即可求解出答案.
3．（2023高二下·响水）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，在“鳖臑”中，平面，，且，为的中点，则异面直线与夹角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】空间向量的数乘运算；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】解：如图，“鳖臑”A-BCD 是由正方体的四个顶点构成的，
以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1，
则 ， ， ， ， ，
则 ， ，
，
则异面直线BM与CD夹角的余弦值为 ．
故选：B．
【分析】将“鳖臑”A-BCD放在正方体内部，建立空间直角坐标系即可利用向量求异面直线BM与CD夹角的余弦值．
4．（2023高二下·成都期中）若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角等于，则直线l与平面所成的角等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【解答】令直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的夹角为，
，，.
故答案为：C
【分析】根据线面角的正弦值等于线与面法向量夹角余弦值的绝对值，求解可得答案.
5．（2023·上虞模拟）如图，为直角梯形，.连，将沿翻折成三棱锥，当三棱锥外接球表面积的最小值时，二面角的余弦值为（　　）
A． B．0 C． D．
【答案】B
【知识点】用空间向量研究二面角
【解析】【解答】因为ABCD为直角梯形，AB//CD，AD⊥DC，AD=3，CD=，AB=，
所以AC= ，∠DAC=30°
∠BAC=60°，△ABC为等边三角形，△ACD为直角三角形，
设△ABC的中心为O1，AC的中点为E ，三棱锥 外接球的球心为O，
则OO1⊥平面ABC，OE⊥平面DAC，因为OA≥O1，所以三棱锥外接球表面积的最小，
即外接球的半径最小时， OA=O1A即O与O1重合，此时OE⊥平面DAC ，
即O1E⊥平面DAC，O1E 在平面ABC内，
故平面ABC⊥平面DAC，即二面角 为，余弦值为0.
故选：B.
【分析】 由题可得△ABC为等边三角形，设△ABC的中心为O1 ，AC的中点为E ，三棱锥 外接球的球心为O，根据球的性质可得O与O1重合时符合题意，即可求得二面角的余弦值.
6．（2023·遂宁模拟）如图，正方体的棱长为2，线段上有两个动点（在的左边），且．下列说法不正确的是（　　）
A．当运动时，二面角的最小值为
B．当运动时，三棱锥体积不变
C．当运动时，存在点使得
D．当运动时，二面角为定值
【答案】C
【知识点】棱柱的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积；用空间向量研究二面角
【解析】【解答】对A：建立如图所示的空间直角坐标系，
则．
因为在上，且，，
可设，则，
则，
设平面的法向量为，
又，所以，即，
取，则，
平面的法向量为，所以．
设二面角的平面角为，则为锐角，故，
因为，在上单调递减，
所以，故，
当且仅当时，取得最大值，即取最小值，A说法正确．
对B：因为，点A到平面的距离为，
所以体积为，即体积为定值，B说法正确．
对C：若，则四点共面，与和是异面直线矛盾，C说法错误．
对D：连接，平面即为平面，而平面即为平面，故当运动时，二面角的大小保持不变，D说法正确．
故答案为：C
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求解二面角夹角的余弦值，根据其范围，即可判断A；利用棱锥体积公式，即可求得三棱锥的体积，即可判断B；由反证法判断C；平面即为平面，而平面即为平面，从而得出二面角为定值，可判断D.
7．（2023·静安模拟）若直线的方向向量为，平面的法向量为，则能使∥的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】直线与平面平行的判定；直线的方向向量；平面的法向量
【解析】【解答】由∥，则直线的方向向量为与平面的法向量为互相垂直，
A：，
A不正确；
B：，
B不正确；
C：，
C符合题意；
D：，
D不正确；
故答案为：C.
【分析】由∥，则直线的方向向量为与平面的法向量为互相垂直，再结合数量积为0两向量垂直的等价关系，再利用数量积的坐标表示得出正确的选项。
8．（2023·商洛模拟）在四棱锥中，底面，底面是边长为的正方形，，则直线与平面所成角的正弦值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【解答】如图所示，
以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
设直线与平面所成的角为，所以，
故答案为：B.
【分析】以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，利用向量法可求出直线与平面所成角的正弦值.
9．（2023·河南模拟）如图，直线平面，垂足为，正四面体（所有棱长都相等的三棱锥）的棱长为2，在平面内，是直线上的动点，当到的距离最大时，该正四面体在平面上的射影面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】因为直线平面，垂足为，所以点是以为直径的球面上的点，
所以到的距离为四面体上以为直径的球面上的点到的距离，
最大距离为到球心的距离半径，即与的公垂线半径，如图所示：
取的中点，的中点，连接，，，因为，
所以， ，，
所以到的最大距离为，此时，，
当取得最大距离时，垂直平面，且平行平面，
所以投影是以为底，到 的距离投影，即为高的等腰三角形，其面积．
故答案为：D．
【分析】由题意知点是以为直径球面上的点，得到到的距离为四面体上以为直径的球面上的点到的距离，最大距离为与与的公垂线半径，再由垂直平面，且平行平面求解.
10．（2023高二上·石景山期末）已知是直线l的方向向量，是平面的法向量．若，则下列选项正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】直线的方向向量；平面的法向量
【解析】【解答】若，则，
即，解得，且，即.
故答案为：C.
【分析】根据题意，由线面垂直的判断方法可得，则有，求解出，可得答案.
11．（2023·河南模拟）已知正方体的棱长为1，点在线段上，有下列四个结论：
①；
②点到平面的距离为；
③二面角的余弦值为；
④若四面体的所有顶点均在球的球面上，则球的体积为.
其中所有正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】球的体积和表面积；空间中直线与直线之间的位置关系；点、线、面间的距离计算；二面角的平面角及求法
【解析】【解答】如图，连接.因为四边形为正方形，所以.
又，所以，故①正确；
因为，平面，平面，
所以平面，
所以点到平面的距离即为点到平面的距离.
因为，
所以，解得，故②正确；
由题意知为全等的等边三角形，
当点为的中点时，连接，则，
所以为二面角的平面角.
由题意知，
在中，由余弦定理，得，
即，所以，故③错误；
因为四面体的外接球即为正方体的外接球，
所以球的半径为，其体积为，故④错误.
综上所述，正确结论的个数是2.
故答案为：B.
【分析】连接，利用四边形为正方形，所以，再利用，所以；利用结合线线平行证出线面平行，所以平面，进而得出点到平面的距离为点到平面的距离，再利用结合三棱锥的体积公式得出d的值；由题意知为全等的等边三角形，当点为的中点时，连接，再利用等边三角形三线合一，则，所以为二面角的平面角，由题意知，在中，由余弦定理得出的值；利用四面体的外接球为正方体的外接球，进而得出球的半径，再结合球的体积公式得出其体积，进而得出正确结论的个数。
12．（2023高一下·温州期末）如图，在长方体中，，，为棱上一点，且，平面上一动点满足，设是该长方体外接球上一点，则，两点间距离的最大值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】解：以C为原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系.
设Q(x，y，z) ，长方体外接球球心记为O .
则 ，
因为 ，所以①.
又动点Q在面A1BE上，所以可设 ，
则②.
将②代入①中整理得③.
在三棱锥A-A1BE中， AE=AB=AA1=6 且AE，AB，AA1两两互相垂直，
所以三棱锥A-A1BE为正三棱锥且底边 .
当AQ⊥面A-A1BE时， |AQ|最小，在正三棱锥A-A1BE中由等体积法有
解得 |AQ| .
在Rt△AQE中，AE=6 ，此时|EQ|有最大值 .
又|EQ| .
先代入②再代入③有|EQ| .
则 ，此时有最大值，解得 .
当点Q与点E重合时，满足 ， |AQ|最大，此时 .
则 .
点Q到外接球球心距离为|OQ|④.
将②代入④中整理得|OQ| .
又 ，所以|OQ| .
因为 ，所以当时，|OQ|max.
因为长方体外接球半径为 .
所以P，Q两点间距离的最大值为 .
故选：B
【分析】建立空间直角坐标系，设出点Q坐标，结合平面向量基本定理可得求出点Q到外接球球心距离的最大值，然后加上外接球半径即为要求的最大值.
二、多项选择题
13．（2023高二上·南山期末）如图，已知正方体的棱长为，、分别为棱、的中点，则下列结论正确的为（　　）
A． B．
C． D．为平面的一个法向量
【答案】B,C
【知识点】空间向量的数量积运算；空间向量的线性运算的坐标表示；向量的数量积判断向量的共线与垂直；平面的法向量
【解析】【解答】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、、、
、、、.
对于A选项，，，则，A不符合题意；
对于B选项，，，则，B对；
对于C选项，，故，C对；
对于D选项，，故不是平面的一个法向量，D不符合题意.
故答案为：BC.
【分析】以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，由，可判定A不符合题意；由，则，可判定B正确；由，结合向量的模的公式，求得，可判定C正确；由，可判定D不符合题意.
14．（2023·邵阳模拟）在正方体中，，，则（　　）
A．为钝角
B．
C．平面
D．直线与平面所成角的正弦值为
【答案】B,C,D
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【解答】令，以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图．
，
，则为锐角，A不符合题意；
，，，B符合题意；
，
设平面的法向量为，
不妨设，则，
，
，又平面，则平面，C符合题意；
平面，则是平面的一个法向量，又，
则直线与平面所成角的正弦值为，D符合题意.
故答案为：BCD．
【分析】建立空间直角坐标系，通过计算判断A；通过计算，判断B；求出平面的法向量，通过验证判断C；是平面的一个法向量，借助向量夹角公式可判断D．
15．（2023高三上·泉州期末）已知正方体的棱长为，为棱的中点，点满足，其中，，则（　　）
A．当时，平面
B．当时，
C．当时，三棱锥的体积是定值
D．当点落在以为球心，为半径的球面上时，的取值范围是
【答案】A,B,D
【知识点】空间向量的线性运算的坐标表示；空间向量平行的坐标表示；空间向量垂直的坐标表示；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、、、、
、.
对于A选项，当时，，
所以，，平面，平面，平面，A对；
对于B选项，当时，，
，即点，
则，，
所以，，故，B对；
对于C选项，设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
，
所以，点到平面的距离为不是定值，
而的面积为定值，故四面体的体积不是定值，C不符合题意；
对于D选项，因为，其中，，则点在侧面内，
平面，平面，，
所以，，
所以，点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，
因为，，所以，，
所以，，
因为，，设，，其中，则，
所以，，D对.
故答案为：ABD.
【分析】以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，当时，根据向量的运算，求得得到，进而证得平面，可判定A正确；当时，得到和，进而得到，，结合数量积的运算公式，求得，可判定B正确；求得平面的法向量，结合距离公式，得到不是定值，可判定C不符合题意；由，根据平面，得到，得到点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，进而可判定D正确.
16．（2023·广州模拟）已知正四面体的棱长为分别为正四面体棱的中点，为面内任意一点，则下列结论正确的是（　　）
A．平面截正四面体的外接球所得截面的面积为
B．若存在，使得，则线段长度的最小值为
C．过点作平面平面，若平面平面，平面平面，则所成角的正弦值为
D．平面与平面夹角的余弦值为
【答案】A,B,D
【知识点】球内接多面体；用空间向量求直线间的夹角、距离；用空间向量研究二面角
【解析】【解答】解：A选项，连接NB ，过点P作PT⊥平面ABC ，则点T在线段BN上，且BT=BN，
球心O在PT上，连接OB，设正四面体的外接球半径为R，则OB=OP=R ，
因为正四面体的棱长为1，所以 ，
由勾股定理，得OT2+BT2=OB2，即 ，解得 ，
过点T作TK⊥BN交BC于点K，则以点T为坐标原点， TK，TN，TP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则
设平面EBC的法向量为 ，
则 ，
令y=1 ，则 ，则 ，
则点到平面EBC的距离为 ，
即球心O在平面EBC上，
则平面EBC截正四面体P-ABC的外接球所得截面的面积为 ，A正确；
B选项，设F(s，t，0) ，则 ，
由 ，可得 ，
故 ，
故当 时， 取得最小值 ，故线段CF长度的最小值为 ，B正确；
C选项，因为平面平面EBC ，且平面EBC平面ABC=BC，平面EBC平面PAC=CE ，
所以l1//BC ，l2//CE ，
所以l1，l2 所成角的正弦值即为BC与CE所成的角∠EBC的正弦值，
其中 ，
所以 ，故l1，l2所成角的正弦值为 ，C错误；
D选项，设平面EMN的法向量为 ，则 ，
其中平面ABC的法向量为 ，
设平面 与平面夹角为 ，
则 ，
故平面与平面夹角的余弦值为 ，D正确.
故选：ABD
【分析】A选项，求出外接球半径，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用点到平面距离公式得到球心O在平面EBC上，从而求出截面面积；B选项，设F(s，t，0)，由 ，可得 ，求出
，得到当时，线段CVF长度的最小值；C选项，由平面平行的性质得到l1//BC ，l2//CE ， 所成角的正弦值即为BC与CE所成角的正弦值，利用空间向量求出异面直线的夹角余弦值，从而得到l1，l2所成角的正弦值；D选项，求出两平面的法向量，得到两平面的夹角的余弦值.
三、填空题
17．（2023高二下·成都期中）如图，在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，则点C到平面的距离等于　 　.
【答案】
【知识点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】
如图，建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，设平面的一个法向量为，
，即，取，又，
所以点到面的距离，
故答案为：.
【分析】 以D1为坐标原点，D1A1 ， D1C1 ， D1D所在直线分别为x，y， z轴建立空间直角坐标系D1一xyz ，求得AC的坐标和平面AEC1的一个法向量，由向量的投影可得点到面的距离.
18．（2023高二下·富民期中）已知向量是直线的一个方向向量，向量是平面的一个法向量，若直线⊥平面，则实数的值为　 　.
【答案】-1
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；直线与平面垂直的性质；平面的法向量
【解析】【解答】因为直线⊥平面，则与平行，
故，即，解得：，
故实数的值为-1.
故答案为：-1
【分析】利用直线⊥平面，则与平行，再利用向量共线的坐标表示得出实数m的值。
19．（2023·漳州模拟）已知长方体的底面是边长为的正方形，若，则该长方体的外接球的表面积为　 　；记分别是方向上的单位向量，且，，则（m，n为常数）的最小值为　 　．
【答案】；
【知识点】球的体积和表面积；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】在中，，所以，，
所以该长方体的外接球的半径为，所以该长方体的外接球的表面积为由及可得，
所以与的方向相同或与的方向相同，
不妨取与的方向相同，
由平面向量基本定理可得必与共面，
在平面上取一点，故可设，
则，所以其最小值为点到平面的最小值，即最小值为.
故答案为：；
【分析】根据长方体外接球直径为长方体体对角线即可求出球半径，得出球的面积，由所给条件可取与的方向相同或与的方向相同，问题可转化为求平面上一点与的距离的最小值，即求点到平面的距离得解.
20．（2023高二上·永嘉期末）在空间直角坐标系中，已知点，，，则点到平面的距离为　 　.
【答案】
【知识点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】因为，，，，
所以，
设平面的法向量为，则
，所以，
取，可得，
所以，是平面的一个法向量，
所以点到平面的距离.
故答案为：.
【分析】先求出平面的一个法向量，求出在法向量上的投影的绝对值，即可得点到平面的距离.
21．（2022高二上·山西期中）若空间中有三点，则到直线的距离为　 　；点到平面的距离为　 　.
【答案】；
【知识点】数量积表示两个向量的夹角；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】由可得
则，
又，则
则到直线的距离为
设平面的一个法向量为
则，即，
令，则，又
则点到平面的距离为
故答案为：；
【分析】 利用空间向量的夹角求出A到直线BC的距离，利用向量法求出P到平面ABC的距离.
22．（2023高二下·成都期中）如图，正方体的棱长为，若空间中的动点满足，，则下列命题正确的是　 　．（请用正确命题的序号作答）
①若，则点到平面的距离为；
②若，则二面角的平面角为；
③若，则三棱锥的体积为；
④若，则点的轨迹构成的平面图形的面积为．
【答案】②④
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；点、线、面间的距离计算；用空间向量研究二面角
【解析】【解答】对于①：由空间向量的正交分解及其坐标表示可建立如图空间直角坐标系，
，，，，，
向量，设平面的法向量，
由，，
则即，取则，
则点与平面的距离为，故①错误；
对于②：设平面的法向量，
又，，
即，取，则，
易得平面的一个法向量，
设二面角的平面角为，
则，
是锐角，
二面角的平面角为，故②正确；
对于③：，，，，
，则，
设平面的法向量为，
由，，
则，取则，
则点到平面的距离为，
由得
易知，
则三棱锥，故③错误；
对于④：延长至点，使得，取中点，中点，连接，并延长，交棱，于点，，交，延长线于点，，连接，交棱，于点，，连接，，如图所示，
则平面与正方体的截面为六边形，，
在平面中，
，点为中点，
，，
在和中
，
，
，
，即点为中点，，
同理可得，，
六边形为正六边形，且边长为，
则其面积，
，，
，
整理得，
点在平面上，
当，点的轨迹构成的平面图形的面积为，故④正确．
故答案为：②④．
【分析】以A为坐标原点，AB，AD，AA1为坐标轴建立空间直角坐标系，求出所需点的坐标，结合正方体的结构特征，利用向量法，逐项进行判断，可得答案.
四、解答题
23．（2023高二下·定远期末）如图，在四棱锥中，平面平面，，，．
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离；
（3）求平面与平面的夹角．
【答案】（1）由已知可得：，，
如图以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，
设，则由，，
可得方程组，解得．
可得由于，可得．
所以，
因为，，
设平面的法向量为，
由，即
取，得平面的法向量是，
，
故EF平面．
（2）设点到平面的距离为，
由，．
点到平面的距离是．
（3）由于，，
设平面的法向量为，
由即
取，可得平面的法向量为，
设平面与平面的夹角为，
则，则
故平面与平面的夹角为．
【知识点】用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量求直线间的夹角、距离；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】 (1) 建系，求平面的法向量，利用空间向量证明线面平行；
(2) 结合(1) 中平面的法向量求点到面的距离；
(3) 求平面的法向量，利用空间向量求面面夹角.
24．（2023高一下·温州期末）如图，在矩形中，，，点是边上的动点，沿将翻折至，使二面角为直二面角．
（1）当时，求证：；
（2）当线段的长度最小时，求二面角的正弦值．
【答案】（1）证明：当时，，
又，
在中，，
在中，，
所以，
所以，
因为二面角为直二面角，
所以面面，
又面面，
由上知，面，
所以面，
又因为面，
所以．
（2）解：在图二中过点作，垂足为，连接，
因为二面角为直二面角，
所以面面，
又面面，
由上知，
所以面，
又因为面，
所以，
设，则，
，
所以，
，
所以，
因为，
所以当时，长最短，
在矩形中，过点作，垂足为，再过点作，
因为二面角为直二面角，
所以面面，
又面面，
由上知，
所以面，
由三垂线定理可得，
所以二面角的平面角为，
，
，
，
所以，
由∽得，，即，
所以，
所以，
所以．
【知识点】直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）由面面垂直的性质定理得面，再由线面垂直判定定理证明即可；
（2）根据题意先证得二面角的平面角为，再利用相似三角形的性质求得，进而求得，代入同角三角函数的基本关系求得．
25．（2023高一下·温州期末） 如图，正方形是圆柱的轴截面，是圆柱的母线，圆柱的体积为．
（1）求圆柱的表面积；
（2）若，求点到平面的距离．
【答案】（1）解：设圆柱的底面半径为，则，解得．
则圆柱的表面积为．
（2）解：连接，因为，，所以，
设点到平面的距离为，
易知，，，平面，，
所以平面，因为平面，所以，
所以，
，，
因为，所以．
即，解得．
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；点、线、面间的距离计算
【解析】【分析】（1）由圆柱的体积公式计算底面半径，再根据表面积公式求解；
（2）证明平面，再根据等体积法由，得出点F到平面BDE的距离.
26．（2023高二下·杭州）如图，在三棱柱中，所有棱长均为，，．
（1）证明：平面平面．
（2）求平面与平面的夹角的正弦值．
【答案】（1）证明：取中点，连接，，则．
，，为等边三角形，
，，，
，，
，，平面，
平面，
平面，平面平面．
（2）解：如图，以，，，
所在的直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系．
，，
平面的的法向量，
平面的的法向量，
，，故平面与平面的夹角的正弦值为．
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）取中点，连接，，则，再根据勾股定理证得，推出平面，即可证得平面平面；
（2） 以，，，所在的直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，求出平面的的法向量和平面的的法向量，利用向量法可求出平面与平面的夹角的正弦值．
27．（2023高二下·简阳月考）如图所示多面体ABCDEF中，平面 平面ABCD， 平面ABCD， 是正三角形，四边形ABCD是菱形， ， ，
（1）求证： 平面ABCD；
（2）求二面角 的正弦值.
【答案】（1）证明：取 中点 ，连接 ，
因为 是正三角形，
所以 ，
因为平面 平面 平面 ，平面 平面
所以 平面 ，又因为 平面 ，
所以 ，又因为 ，
所以四边形 是平行四边形，所以 ，
又因为 平面 平面 ，
所以 平面 .
（2）解：连接 交于 ，取 中点 ，连接 ，
所以 ，因为 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
又因为四边形 是菱形，所以 ，
所以 两两垂直，
建立如图所示的空间直角坐标系，
， ，
设平面 的法向量为 ，
，令
平面 的法向量为 ，
设二面角 的大小为 ，
.
所以二面角 的正弦值为 .
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）由面面垂直的性质定理与线面平行的判定定理证明即可；
（2）建立空间直角坐标系，用坐标法计算面面角正弦值即可.
28．（2023高二下·金华期末）如图四棱锥，点在圆上，，顶点在底面的射影为圆心，点在线段上.
（1）若，当//平面时，求的值；
（2）若与不平行，四棱锥的体积为，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）过作//交线段于，连接.
//，平面，平面，//平面，
又//平面，，平面，
平面//平面，
平面平面，
平面平面，根据面面平行的性质定理，//
又//，四边形是平行四边形，
，而，
故，得，得.
（2）
，（为四边形的面积），得.
由，得，
由余弦定理，，则，
根据正弦定理，设该四边形的外接圆半径为，则，
作直径，由圆内接四边形对角互补，则，
故，，故重合，
此时为直径，直径为，以为原点，射线为轴，
过垂直于的方向为轴，如图建立空间直角坐标系.
则，
所以，
设平面的法向量为，则即
令，则，所以，
设直线与平面所成角为，则.
直线与平面所成角的正弦值为.
【知识点】平面与平面平行的性质；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）做辅助线构建平面和平面PBC平行，然后结合面面平行的性质定理来解决；
（2）通过棱锥的体积得到底面积，根据底面的数据可推出BC是直径，然后建立空间直角坐标系处理.
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