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2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修一2.4 圆的方程 同步练习
一、选择题
1．（2023高二上·大兴期末）圆的半径是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2023高二上·顺义期末）已知圆C：，则圆C的圆心和半径为（ ）
A．圆心，半径 B．圆心，半径
C．圆心，半径 D．圆心，半径
3．（2023高二上·佛山期末）已知圆的一条直径的端点分别为，，则此圆的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023高二上·东城期末）圆心为，半径的圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023高二上·广州期末）已知圆的方程为，则圆心的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023高二上·河北期末）圆的圆心和半径分别为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
7．（2022高二上·东光期中）若圆的面积是，则该圆的圆心坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022高二上·商丘期中）已知圆的直径为4，则（ ）
A． B．
C．圆心为 D．圆心为
二、多项选择题
9．（2022高二上·柳州期中）已知方程，下列叙述正确的是（ ）
A．方程表示的是圆. B．当时，方程表示过原点的圆.
C．方程表示的圆的圆心在轴上. D．方程表示的圆的圆心在轴上.
10．（2022高二上·浙江月考）在平面直角坐标系中，已知圆的方程为，则下列说法正确的是（ ）
A．该圆的圆心为 B．该圆的半径为
C．该圆过定点 D．该圆被轴截得的弦长为
11．（2022高二上·罗湖期末）设有一组圆，下列命题正确的是（ ）．
A．不论如何变化，圆心始终在一条直线上
B．所有圆均不经过点
C．经过点的圆有且只有一个
D．所有圆的面积均为
12．（2022高二上·沈阳期中）若表示圆的一般方程，则实数的值可以是（ ）
A．2 B． C．1 D．
三、填空题
13．（2022高二上·张家口期中）已知圆C的圆心在直线上，且过点，，则圆C的一般方程为 ．
14．（2023高二上·石景山期末）在中，和．则的外接圆方程为 ．
15．（2023高二上·河北期末）已知两点，，则以线段为直径的圆的标准方程为 .
16．（2022高二上·泰安期中）写出过，两点，且半径为4的圆的一个标准方程： ．
17．（2022高二上·河北期中）已知点和圆，则圆的圆心坐标为 ；设点为圆上的点，则的取值范围为 ．
18．（2022高二上·浙江期中）平面直角坐标系中，已知点，，，，当四边形的周长最小时，的外接圆的方程为 ．
四、解答题
19．（2023高二上·延庆期末）根据下列条件，求圆的标准方程：
（1）圆心在点，且过点；
（2）过点和点，半径为2；
（3），为直径的两个端点；
（4）圆心在直线上，且过点和点．
20．（2023高二上·广州期末）已知圆的圆心为，且经过点.
（1）求圆的标准方程；
（2）已知直线与圆相交于两点，求.
21．（2023高二上·房山期末）已知圆，点．P是圆C上的任意一点．
（1）求圆C的圆心坐标与半径大小；
（2）求的最大值与最小值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】由，可得，
所以圆的半径是，
故答案为：B.
【分析】由题意，把圆的一般方程化为标准方程，从而得到半径.
2．【答案】A
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】由化为标准方程可得，
故圆心，半径.
故答案为：A.
【分析】根据题意将圆的方程化为标准方程，可得圆心和半径.
3．【答案】D
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】由题意可知，圆心为线段的中点，则圆心为，
圆的半径为，
故所求圆的方程为.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合中点坐标公式得出圆心坐标，再结合两点距离公式得出圆的半径长，从而得出圆的标准方程。
4．【答案】B
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】根据题意，圆心为，半径，
圆的标准方程为。
故答案为：B．
【分析】利用圆心坐标和半径长得出圆的标准方程。
5．【答案】C
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】圆的方程为，则圆的标准方程为，
所以圆心的坐标为.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合圆的标准方程得出圆心坐标。
6．【答案】C
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】，
所以该圆的圆心为，，
故答案为：C
【分析】利用配方法进行求解即可.
7．【答案】B
【知识点】圆的一般方程
【解析】【解答】圆的半径，即，，则，
圆心坐标为，即.
故答案为：B.
【分析】由题意，得到圆的半径，求得，进而求得圆的圆心坐标.
8．【答案】D
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】根据题意，圆，即，
其圆心为，其半径为，
若其直径为4，则，解可得，
故答案为：D．
【分析】根据题意，将圆的方程变形为标准方程，求出m的值，可得答案.
9．【答案】B,C
【知识点】圆的标准方程；圆的一般方程
【解析】【解答】由得：；
对于A，若，即，则方程不表示圆，A不符合题意；
对于B，当时，方程为，则方程表示以为圆心，半径为的圆，此圆经过原点，B符合题意；
对于CD，若方程表示圆，则该圆圆心为，半径为，则圆心在轴上，不在轴上，C符合题意，D不符合题意.
故答案为：BC.
【分析】化简方程为，根据圆的标准方程及其性质，即可求解.
10．【答案】A,C,D
【知识点】圆的标准方程；点与圆的位置关系；直线与圆相交的性质
【解析】【解答】由圆的标准方程可知，该圆的圆心坐标为，半径为，所以A符合题意，B不正确；又因为，所以该圆过原点，所以C符合题意；
在圆的方程中，令，则，即，得或，所以两交点为和，因此该圆被轴截得的弦长为，D符合题意.
故答案为：ACD
【分析】根据圆的标准方程可直接判断圆的圆心和半径，从而可直接判断A，B选项，再结合点与圆的位置关系即可判断C选项，最后求出圆与轴的交点，从而可求得弦长，即可判断D选项.
11．【答案】A,B,D
【知识点】圆的标准方程；点与圆的位置关系
【解析】【解答】圆心坐标为，在直线上，A符合题意；
令，化简得，
∵，∴，无实数根，∴B符合题意；
由，化简得，
∵，有两不等实根，∴经过点的圆有两个，C不符合题意；
由圆的半径为2，得圆的面积为，D符合题意．
故答案为：ABD．
【分析】根据题意，得到圆心坐标为，可判定A符合题意；令，得到方程，由无实数根，可判定B符合题意；由题意得到方程，根据有两不等实根，可判定C不符合题意；结合圆的面积公式，可判定D符合题意．
12．【答案】B,D
【知识点】圆的一般方程
【解析】【解答】解：将配方得.
要想表示圆，则，解得.
故答案为：BD.
【分析】将已知方程配方成圆的标准方程的形式，，从而可得实数的可能值.
13．【答案】
【知识点】圆的标准方程；圆的一般方程
【解析】【解答】设所求圆的标准方程为，
由题意得：，解得：，
故所求圆的方程为，即．
故答案为：．
【分析】设所求圆的标准方程为，利用待定系数法求出a，b，r，可得圆的标准方程，进而求出圆C的一般方程.
14．【答案】
【知识点】圆的一般方程
【解析】【解答】设的外接圆方程为，
则，解得，
故的外接圆方程为
故答案为：
【分析】由题意设出圆的一般方程，代入点的坐标求解，可得答案.
15．【答案】
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】依题意可得圆心坐标为，半径为，
所以以线段为直径的圆的标准方程为：.
故答案为：.
【分析】根据中点坐标公式求出圆心坐标，根据两点间距离公式求出半径，再代入圆的标准方程可得结果.
16．【答案】（或）
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】解：设所求圆的标准方程为：，
则有，
解得或，
所以所求圆的标准方程为：或.
故答案为：或.
【分析】设所求圆的标准方程为：，代入 ， 求解即可.
17．【答案】；
【知识点】平面内两点间的距离公式；圆的标准方程
【解析】【解答】由圆 ，得 ，
所以圆 的圆心为 ， ，
又因为点 ，故 ，
所以 ， ，
故 的取值范围为 .
故答案为： ； .
【分析】先由配方法将圆的一般方程转化为标准方程，由此得到圆心的坐标与圆的半径，再利用点到圆上任一点的距离的最大值与最小值的求法，求得|PQ|的取值范围.
18．【答案】
【知识点】圆的一般方程
【解析】【解答】四边形的周长为 ，
只需求出的最小值时的值.
由于，表示轴上的点与和距离之和，只需该距离和最小即可.可得该距离最小为和间距离，令，故，所以直线方程为，令，得 ，所以，
由以上讨论，得四边形的周长最小时，，，
设过三点的圆方程为，
解得，
故的外接圆的方程为。
故答案为：。
【分析】利用四边形周长公式结合勾股定理得出四边形的周长为 ，只需求出的最小值时的值，由于，表示轴上的点与和距离之和，只需该距离和最小即可.可得该距离最小为和间距离，令，，再利用两点求斜率公式得出直线EF的斜率，再结合点斜式求出直线方程，再令得出y的值，进而得出a的值，由以上讨论，得四边形的周长最小时，，，设过三点的圆方程为，再利用代入法得出三角形的外接圆的方程。
19．【答案】（1）解：由题意可得，
所以圆的标准方程为；
（2）解：设圆的标准方程为，
因为圆过点和点，
所以，解得或，
所以圆的标准方程为或；
（3）解：因为的中点坐标为，即圆心为，
半径，
所以圆的标准方程为；
（4）解：设圆的标准方程为，
由题意可得，解得，
所以圆的标准方程为
【知识点】圆的标准方程
【解析】【分析】(1)利用已知条件结合两点距离公式得出圆的半径长，再结合中点坐标公式得出圆心坐标，从而得出圆的标准方程。
（2）利用已知条件结合代入法得出圆的标准方程。
（3）利用已知条件结合两点距离公式得出圆的半径长，再结合中点坐标公式得出圆心坐标，从而得出圆的标准方程。
（4）利用已知条件结合代入法得出圆心坐标，再结合代入法得出圆的标准方程。
20．【答案】（1）解：因为圆的圆心为，且经过点，
所以圆的半径，
所以圆的标准方程为.
（2）解：由（1）知，圆的圆心为，半径，
所以圆心到直线的距离，
所以由垂径定理，得.
【知识点】平面内点到直线的距离公式；圆的标准方程；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合两点距离公式和半径的定义，进而得出圆的半径长，从而得出圆M的标准方程。
（2） 由（1）知圆的圆心坐标和半径的长，再利用点到直线的距离公式得出圆心到直线的距离，再由垂径定理，从而得出A，B的两点的距离。
21．【答案】（1）解：由题设，故圆心为，半径；
（2）解：令，则，
而为圆上点到原点O距离的平方，
所以，只需确定的范围，即可确定的最值，
因为，
故，
所以的最大值、最小值分别为100、20.
【知识点】平面内两点间距离公式的应用；圆的标准方程
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合圆的方程得出圆心坐标和半径长。
（2） 令，再利用两点距离公式得出，而为圆上点到原点O距离的平方，所以，只需确定的范围，即可确定的最值，再利用，进而得出的取值范围，从而得出的最大值和最小值。
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2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修一2.4 圆的方程 同步练习
一、选择题
1．（2023高二上·大兴期末）圆的半径是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】由，可得，
所以圆的半径是，
故答案为：B.
【分析】由题意，把圆的一般方程化为标准方程，从而得到半径.
2．（2023高二上·顺义期末）已知圆C：，则圆C的圆心和半径为（ ）
A．圆心，半径 B．圆心，半径
C．圆心，半径 D．圆心，半径
【答案】A
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】由化为标准方程可得，
故圆心，半径.
故答案为：A.
【分析】根据题意将圆的方程化为标准方程，可得圆心和半径.
3．（2023高二上·佛山期末）已知圆的一条直径的端点分别为，，则此圆的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】由题意可知，圆心为线段的中点，则圆心为，
圆的半径为，
故所求圆的方程为.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合中点坐标公式得出圆心坐标，再结合两点距离公式得出圆的半径长，从而得出圆的标准方程。
4．（2023高二上·东城期末）圆心为，半径的圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】根据题意，圆心为，半径，
圆的标准方程为。
故答案为：B．
【分析】利用圆心坐标和半径长得出圆的标准方程。
5．（2023高二上·广州期末）已知圆的方程为，则圆心的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】圆的方程为，则圆的标准方程为，
所以圆心的坐标为.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合圆的标准方程得出圆心坐标。
6．（2023高二上·河北期末）圆的圆心和半径分别为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】，
所以该圆的圆心为，，
故答案为：C
【分析】利用配方法进行求解即可.
7．（2022高二上·东光期中）若圆的面积是，则该圆的圆心坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆的一般方程
【解析】【解答】圆的半径，即，，则，
圆心坐标为，即.
故答案为：B.
【分析】由题意，得到圆的半径，求得，进而求得圆的圆心坐标.
8．（2022高二上·商丘期中）已知圆的直径为4，则（ ）
A． B．
C．圆心为 D．圆心为
【答案】D
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】根据题意，圆，即，
其圆心为，其半径为，
若其直径为4，则，解可得，
故答案为：D．
【分析】根据题意，将圆的方程变形为标准方程，求出m的值，可得答案.
二、多项选择题
9．（2022高二上·柳州期中）已知方程，下列叙述正确的是（ ）
A．方程表示的是圆. B．当时，方程表示过原点的圆.
C．方程表示的圆的圆心在轴上. D．方程表示的圆的圆心在轴上.
【答案】B,C
【知识点】圆的标准方程；圆的一般方程
【解析】【解答】由得：；
对于A，若，即，则方程不表示圆，A不符合题意；
对于B，当时，方程为，则方程表示以为圆心，半径为的圆，此圆经过原点，B符合题意；
对于CD，若方程表示圆，则该圆圆心为，半径为，则圆心在轴上，不在轴上，C符合题意，D不符合题意.
故答案为：BC.
【分析】化简方程为，根据圆的标准方程及其性质，即可求解.
10．（2022高二上·浙江月考）在平面直角坐标系中，已知圆的方程为，则下列说法正确的是（ ）
A．该圆的圆心为 B．该圆的半径为
C．该圆过定点 D．该圆被轴截得的弦长为
【答案】A,C,D
【知识点】圆的标准方程；点与圆的位置关系；直线与圆相交的性质
【解析】【解答】由圆的标准方程可知，该圆的圆心坐标为，半径为，所以A符合题意，B不正确；又因为，所以该圆过原点，所以C符合题意；
在圆的方程中，令，则，即，得或，所以两交点为和，因此该圆被轴截得的弦长为，D符合题意.
故答案为：ACD
【分析】根据圆的标准方程可直接判断圆的圆心和半径，从而可直接判断A，B选项，再结合点与圆的位置关系即可判断C选项，最后求出圆与轴的交点，从而可求得弦长，即可判断D选项.
11．（2022高二上·罗湖期末）设有一组圆，下列命题正确的是（ ）．
A．不论如何变化，圆心始终在一条直线上
B．所有圆均不经过点
C．经过点的圆有且只有一个
D．所有圆的面积均为
【答案】A,B,D
【知识点】圆的标准方程；点与圆的位置关系
【解析】【解答】圆心坐标为，在直线上，A符合题意；
令，化简得，
∵，∴，无实数根，∴B符合题意；
由，化简得，
∵，有两不等实根，∴经过点的圆有两个，C不符合题意；
由圆的半径为2，得圆的面积为，D符合题意．
故答案为：ABD．
【分析】根据题意，得到圆心坐标为，可判定A符合题意；令，得到方程，由无实数根，可判定B符合题意；由题意得到方程，根据有两不等实根，可判定C不符合题意；结合圆的面积公式，可判定D符合题意．
12．（2022高二上·沈阳期中）若表示圆的一般方程，则实数的值可以是（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】B,D
【知识点】圆的一般方程
【解析】【解答】解：将配方得.
要想表示圆，则，解得.
故答案为：BD.
【分析】将已知方程配方成圆的标准方程的形式，，从而可得实数的可能值.
三、填空题
13．（2022高二上·张家口期中）已知圆C的圆心在直线上，且过点，，则圆C的一般方程为 ．
【答案】
【知识点】圆的标准方程；圆的一般方程
【解析】【解答】设所求圆的标准方程为，
由题意得：，解得：，
故所求圆的方程为，即．
故答案为：．
【分析】设所求圆的标准方程为，利用待定系数法求出a，b，r，可得圆的标准方程，进而求出圆C的一般方程.
14．（2023高二上·石景山期末）在中，和．则的外接圆方程为 ．
【答案】
【知识点】圆的一般方程
【解析】【解答】设的外接圆方程为，
则，解得，
故的外接圆方程为
故答案为：
【分析】由题意设出圆的一般方程，代入点的坐标求解，可得答案.
15．（2023高二上·河北期末）已知两点，，则以线段为直径的圆的标准方程为 .
【答案】
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】依题意可得圆心坐标为，半径为，
所以以线段为直径的圆的标准方程为：.
故答案为：.
【分析】根据中点坐标公式求出圆心坐标，根据两点间距离公式求出半径，再代入圆的标准方程可得结果.
16．（2022高二上·泰安期中）写出过，两点，且半径为4的圆的一个标准方程： ．
【答案】（或）
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】解：设所求圆的标准方程为：，
则有，
解得或，
所以所求圆的标准方程为：或.
故答案为：或.
【分析】设所求圆的标准方程为：，代入 ， 求解即可.
17．（2022高二上·河北期中）已知点和圆，则圆的圆心坐标为 ；设点为圆上的点，则的取值范围为 ．
【答案】；
【知识点】平面内两点间的距离公式；圆的标准方程
【解析】【解答】由圆 ，得 ，
所以圆 的圆心为 ， ，
又因为点 ，故 ，
所以 ， ，
故 的取值范围为 .
故答案为： ； .
【分析】先由配方法将圆的一般方程转化为标准方程，由此得到圆心的坐标与圆的半径，再利用点到圆上任一点的距离的最大值与最小值的求法，求得|PQ|的取值范围.
18．（2022高二上·浙江期中）平面直角坐标系中，已知点，，，，当四边形的周长最小时，的外接圆的方程为 ．
【答案】
【知识点】圆的一般方程
【解析】【解答】四边形的周长为 ，
只需求出的最小值时的值.
由于，表示轴上的点与和距离之和，只需该距离和最小即可.可得该距离最小为和间距离，令，故，所以直线方程为，令，得 ，所以，
由以上讨论，得四边形的周长最小时，，，
设过三点的圆方程为，
解得，
故的外接圆的方程为。
故答案为：。
【分析】利用四边形周长公式结合勾股定理得出四边形的周长为 ，只需求出的最小值时的值，由于，表示轴上的点与和距离之和，只需该距离和最小即可.可得该距离最小为和间距离，令，，再利用两点求斜率公式得出直线EF的斜率，再结合点斜式求出直线方程，再令得出y的值，进而得出a的值，由以上讨论，得四边形的周长最小时，，，设过三点的圆方程为，再利用代入法得出三角形的外接圆的方程。
四、解答题
19．（2023高二上·延庆期末）根据下列条件，求圆的标准方程：
（1）圆心在点，且过点；
（2）过点和点，半径为2；
（3），为直径的两个端点；
（4）圆心在直线上，且过点和点．
【答案】（1）解：由题意可得，
所以圆的标准方程为；
（2）解：设圆的标准方程为，
因为圆过点和点，
所以，解得或，
所以圆的标准方程为或；
（3）解：因为的中点坐标为，即圆心为，
半径，
所以圆的标准方程为；
（4）解：设圆的标准方程为，
由题意可得，解得，
所以圆的标准方程为
【知识点】圆的标准方程
【解析】【分析】(1)利用已知条件结合两点距离公式得出圆的半径长，再结合中点坐标公式得出圆心坐标，从而得出圆的标准方程。
（2）利用已知条件结合代入法得出圆的标准方程。
（3）利用已知条件结合两点距离公式得出圆的半径长，再结合中点坐标公式得出圆心坐标，从而得出圆的标准方程。
（4）利用已知条件结合代入法得出圆心坐标，再结合代入法得出圆的标准方程。
20．（2023高二上·广州期末）已知圆的圆心为，且经过点.
（1）求圆的标准方程；
（2）已知直线与圆相交于两点，求.
【答案】（1）解：因为圆的圆心为，且经过点，
所以圆的半径，
所以圆的标准方程为.
（2）解：由（1）知，圆的圆心为，半径，
所以圆心到直线的距离，
所以由垂径定理，得.
【知识点】平面内点到直线的距离公式；圆的标准方程；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合两点距离公式和半径的定义，进而得出圆的半径长，从而得出圆M的标准方程。
（2） 由（1）知圆的圆心坐标和半径的长，再利用点到直线的距离公式得出圆心到直线的距离，再由垂径定理，从而得出A，B的两点的距离。
21．（2023高二上·房山期末）已知圆，点．P是圆C上的任意一点．
（1）求圆C的圆心坐标与半径大小；
（2）求的最大值与最小值．
【答案】（1）解：由题设，故圆心为，半径；
（2）解：令，则，
而为圆上点到原点O距离的平方，
所以，只需确定的范围，即可确定的最值，
因为，
故，
所以的最大值、最小值分别为100、20.
【知识点】平面内两点间距离公式的应用；圆的标准方程
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合圆的方程得出圆心坐标和半径长。
（2） 令，再利用两点距离公式得出，而为圆上点到原点O距离的平方，所以，只需确定的范围，即可确定的最值，再利用，进而得出的取值范围，从而得出的最大值和最小值。
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