登录二一教育在线组卷平台 助您教考全无忧
2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修一2.5 直线与圆、圆与圆的位置 同步练习
一、选择题
1．（2023高二上·房山期末）已知以点A(2，－3)为圆心，半径长等于5的圆O，则点M(5，－7)与圆O的位置关系是( )
A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．无法判断
【答案】B
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】因为 ，所以点M在圆上，选B.
【分析】利用已知条件结合圆心坐标和半径长得出圆的标准方程，再结合点与圆的位置关系判断方法，进而结合代入法判断出点M与圆O的位置关系。
2．（2023高二上·武汉期末）设圆，圆，则圆，的公切线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】B
【知识点】两圆的公切线条数及方程的确定
【解析】【解答】由题意，得圆，圆心，圆，圆心，∴，∴与相交，有2条公切线．
故答案为：B．
【分析】先判断两圆的位置关系，再确定公切线的条数即可.
3．（2023高二上·大兴期末）已知M是圆上的动点，则到直线距离的最大值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【知识点】点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】设圆的圆心为，点到直线的距离为，过点作直线的垂线，垂足为，
则点到直线的距离为，所以，
又因为直线恒过定点，则垂足的轨迹为以为直径的圆，
则，所以
故答案为：B
【分析】设圆的圆心为，直线恒过定点，则点到直线的距离时与直线垂直，所以，即可得解.
4．（2023高二上·永嘉期末）已知集合， ，则集合中的元素所构成的图形面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】二元一次方程表示直线，当时，，直线过定点，
由，直线斜率，当时等号成立，因此集合表示的是过定点，斜率的所有直线；
不等式可改写为，因此集合表示的是以为圆心为半径的圆和圆内；
当时，直线方程为，圆心到直线距离，直线与圆相切，
则集合表示的图形是圆在第一象限内的部分，如图所示，
圆与轴相交于，，，圆在第一象限内的面积为.
故答案为：A
【分析】集合表示的是过定点，斜率的所有直线，集合表示的是以为圆心为半径的圆和圆内，集合表示的图形是圆在第一象限内的部分，进而求出答案.
5．（2023高二上·钦州期末）已知圆O：上有且只有两个点到直线l：的距离为1，则圆O半径r的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】平面内到直线l距离为1的点的轨迹是与直线l平行且距离为1的两条直线，
设的方程为，则，解得或，
即直线，直线，
如图，圆O：上有且只有两个点到直线l的距离为1，则圆O与相交，与相离，
圆O的圆心到直线的距离，到直线的距离，
所以圆O半径r的取值范围为，即.
故答案为：A
【分析】求出到直线l的距离为1的点的轨迹，再根据给定条件，数形结合列出不等式求解作答.
6．（2023高二上·浦东期末）过坐标原点作直线的垂线，垂足为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】直线与圆相交的性质
【解析】【解答】直线，即 ，
令 ，解得 ，
即直线过定点 ，
由过坐标原点作直线的垂线，垂足为，
可知：落在以OA为直径的圆上，
而以OA为直径的圆为 ，如图示：
故可看作是圆上的点到原点距离的平方，
而圆过原点，圆上点到原点的最远距离为 ，
但将原点坐标代入直线中， 不成立，
即直线l不过原点，所以不可能和原点重合，
故，
故答案为：D
【分析】直线过定点 ，由题意可知落在以OA为直径的圆上，故可看作是圆上的点到原点距离的平方，可求出的取值范围.
7．（2023高二上·内江期末）已知P是直线l：x＋y－7＝0上任意一点，过点P作两条直线与圆C：相切，切点分别为A，B.则｜AB｜的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】圆是以为圆心，2为半径的圆，由题可知，当最小时，的值最小. ，当取得最小值时，最大，最小，点到直线的距离，故当时，最大，且最大值为，此时，则.
故答案为：A
【分析】根据直线与圆相切的几何性质可知，当最小时，的值最小，当时，取得最小值，进而可求此时.
8．（2023高二上·江岸期末）已知圆：和定点，若过点可以作两条直线与圆相切，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】圆：化为标准方程：，
过点可以作两条直线与圆相切，
点在圆外，将点代入圆方程得：，
（舍去）或，
的取值范围是.
故答案为：D.
【分析】把圆的方程化为标准方程，由过点P可以作两条直线与圆C相切，可知点P在圆外，列出不等式即可得到k的取值范围.
9．（2023高二上·西城期末）若直线与圆相离，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】因为直线与圆相离，
所以圆心到直线的距离，
解得或，
故答案为：B.
【分析】 根据题意可得圆心到直线的距离大于半径，由此建立关于m的不等式，求解可得实数的取值范围 .
10．（2023高二上·魏县期末）已知点在直线：上，过点的两条直线与圆：分别相切于两点，则圆心到直线的距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】D
【知识点】二次函数在闭区间上的最值；点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】由题意得：四点共圆，且圆的直径为，
设，则，
则的中点为圆心，圆心坐标为，半径为，
所以圆的方程为：，
整理得：，
将与相减得：，
故直线的方程为，
圆心到直线的距离，
因为，
所以，
当且仅当时，等号成立，
故.
故答案为：D
【分析】由题意得：四点共圆，且圆的直径为，设，则，则的中点为圆心，再结合中点坐标公式得出圆心坐标，再结合勾股定理和中点的性质得出半径长，从而得出圆的方程，整理得：，将与相减得：，从而得出直线的方程，再利用点到直线的距离公式得出圆心到直线的距离，再利用结合二次函数的图象求最值的方法得出
的最小值，进而得出圆心到直线的距离的最大值。
二、多项选择题
11．（2023高二上·三明期末）已知圆的方程为，以下各点在圆内的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,C
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】，A选项正确.
，B选项错误，
，C选项正确.
，D选项错误.
故答案为：AC
【分析】结合选项，分别代入圆的方程，即可求解.
12．（2023高二上·北海期末）已知圆，则下列说法正确的是（ ）
A．圆C的半径为16
B．圆C截x轴所得的弦长为4
C．圆C与圆E：相外切
D．若圆C上有且仅有两点到直线的距离为1，则实数m的取值范围是
【答案】B,C
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】A：将一般式配方可得：，A不符合题意；
B：圆心到x轴的距离为2，弦长为B对；
C：外切，C对；
D： 圆C上有且仅有两点到直线的距离为1，解之： ，D不符合题意；
故答案为：BC
【分析】先运用配方法将一般式方程化为标准方程，可确定其圆心个半径；根据点到弦的距离可求出弦长；圆心距和半径的关系可确定圆与圆的位置关系；圆心到直线的距离与半径之间的数量关系可确定圆C上有且仅有两点到直线的距离为1.
13．（2023高二上·宁波期末）若动点满足（且）其中点是不重合的两个定点），则点的轨迹是一个圆，该轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿波罗尼斯圆.已知点，，动点满足，点的轨迹为圆，则（ ）
A．圆的方程为
B．若圆与线段交于点，则
C．圆上有且仅有两个点到直线的距离为
D．设动点，则的最大值为
【答案】A,B,D
【知识点】轨迹方程；直线与圆相交的性质；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】设，由得，
整理得，即，A符合题意；
在上，所以，B符合题意
过圆心且与直线平行的直线方程为，
圆心到直线的距离为，所以直线与圆相交，
因为，所以在直线与直线之间的圆弧上有两个点到直线直线的距离为，在直线的另一侧的圆上还有两个点到直线的距离为，共有4个点，C不符合题意；
设动点，所以，
则，即求圆上的点到点的距离的平方减去25的最大值，转化为圆心到点的距离加上圆的半径后，再平方再减去25即可，所以，D符合题意.
故答案为：ABD.
【分析】 设P的坐标，由可得P的轨迹方程，可判断A；进而可得圆C与线段AB的交点M的坐标，可得|MA|，|MB|的值，进而可判断B；求出圆心C到直线的距离，再求与直线平行且与圆相切的直线到已知直线的距离，判断有4个点到直线的距离为 ，判断C；由P点在圆上，可得m，n的关系，设参数方程，可得所求的代数式的最大值，判断D.
14．（2023高二上·衡南期末）已知圆C：及点，则下列说法正确的是（ ）
A．直线与圆C始终有两个交点
B．圆C与轴不相切
C．若点在圆C上，则直线PQ的斜率为
D．若M是圆C上任一点，则|MQ|的取值范围为
【答案】B,D
【知识点】点与圆的位置关系；直线与圆相交的性质
【解析】【解答】依题意，圆C：，圆心，半径，
对于A，直线恒过定点，而点在圆C外，则过点的直线与圆C可能相离，A不正确；
对于B，点到x轴距离为7，大于圆C的半径，则圆C与轴相离，即圆C与x轴不相切，B符合题意；
对于C，点在圆C上，则，解得，而点，
则直线PQ的斜率为，C不正确；
对于D，，点Q在圆C外，由得：，D符合题意.
故答案为：BD
【分析】求出圆C的圆心坐标和半径，求出直线过的定点判断A；求出点C到x轴距离判断B；求出m值，再计算斜率判断C；求出CQ长并求出|MQ|范围判断D.
15．（2023高二上·恩施期末）已知曲线的方程为，圆M：，则（ ）
A．曲线表示一条直线
B．点与曲线上的点的最短距离为1
C．当时，曲线与圆有3个公共点
D．不论取何值，总存在圆，使得圆与圆相切，且圆与曲线有4个公共点
【答案】B,C,D
【知识点】直线与圆的位置关系；圆与圆的位置关系及其判定；曲线与方程
【解析】【解答】解：对于A，由于曲线的方程为，平方得，即，则曲线表示两条直线，其方程分别为与，所以A不符合题意；
对于B，点与直线上的点最短距离为到直线上的距离为1，点在直线外，所以点与直线上的点最短距离为点到直线的距离，B符合题意；
对于C，当时，圆为，圆心，半径，则到直线的距离为，此时直线与圆有两个交点，到直线的距离为，则此时直线与圆相切只有一个公共点，则曲线与圆M有3个公共点，C符合题意；
对于D，①当时，原点在圆内，则存在，半径为的圆与圆内切，使得圆与曲线有4个公共点，如下图，
②当时，原点在圆外，则存在，半径为的圆与圆外切，使得圆与曲线有4个公共点，如下图
③当时，则存在，以为半径的圆与圆内切，此时到直线的距离，所以圆与曲线有4个公共点，如下图
④当时，则存在，以为半径的圆与圆外切，此时到直线的距离，所以圆与曲线有4个公共点，如下图
综上，D符合题意.
故答案为：BCD.
【分析】根据曲线C化成两条直线，即可判断A；利用点(1， 2)到直线的距离判断B；求解圆心到直线的距离与半径比较大小，即可判断C；根据圆与圆、直线与圆的位置关系，判断D.
16．（2023高二上·永嘉期末）已知直线，圆（ ）
A．若直线过圆圆心，则
B．直线过定点
C．存在实数，使得直线与圆相切
D．若直线与圆相交于，两点，则
【答案】B,D
【知识点】直线与圆相交的性质
【解析】【解答】解：由题知，圆圆心为，半径为，
对于A选项，若直线过圆圆心，则，解得，故错误；
对于B选项，无论取何值，始终满足方程，故直线过定点，正确；
对于C选项，因为，即在圆内，故直线与圆相交，故不存在实数，使得直线与圆相切，错误；
对于D选项，当直线与过点和的直线垂直时，取得最小值，此时，故，正确；
故答案为：BD
【分析】由题意知圆圆心为，半径为，再结合直线与圆的位置关系，逐项进行判断，可得答案.
三、填空题
17．（2023高二上·南山期末）已知圆，点在直线上运动，过作的两条切线，切点分别为、，当四边形的面积最小时， ．
【答案】
【知识点】圆的切线方程；直线与圆相交的性质
【解析】【解答】如图所示：
由圆的几何性质可得，，
由切线长定理可得，又因为，，
所以，，
圆的标准方程为，圆心为，半径为，
所以，，
当与直线垂直时，取最小值，且，
所以，，
所以，，此时，
因此，.
故答案为：.
【分析】由圆的几何性质和切线长定理，证得，再求得，得到，所以，结合，即可求解.
18．（2023高二上·钦州期末）当直线l：截圆C：所得的弦长最短时，实数m的值为 .
【答案】-1
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】由已知可将直线的方程化为，
解可得，所以直线过定点.
又由圆的方程可得圆心，半径，
则，所以点在圆内.
当时，圆心到直线的最大距离，直线被圆截得的弦长最短.
因为，所以直线的斜率为，即，所以.
故答案为：-1.
【分析】由已知可得直线过定点，当时，弦长最短.根据斜率关系即可求出实数m值.
19．（2023高二上·内江期末）直线与圆相交于两点，且．若，则直线的斜率为 ．
【答案】
【知识点】点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】根据题意，直线l与圆 相交于两点，且，
当直线斜率不存在时，直线 即y轴，显然与圆相切，不符合题意；
故直线斜率存在，设直线l的方程为 ，即 ，
因为圆的圆心为 ，半径为 ，
又弦长，所以圆心到直线的距离为，
所以，解得，
故答案为：.
【分析】设直线方程，结合弦长求得圆心到直线距离，利用点到直线的距离公式列出等式，即可求得答案.
20．（2023高二上·张家口期末）过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为 ．
【答案】
【知识点】两圆的公切线条数及方程的确定
【解析】【解答】圆，所以圆心为，半径，
，
所以切线长，
以为圆心，为半径的圆的方程为：，
直线为圆与圆的公共弦，
所以由得.
故答案为： .
【分析】先求以为圆心，为半径的圆的方程为：，再利用两圆的公共弦所在直线方程求解.
21．（2023高二上·定州期末）已知函数的图象上有且仅有两个不同的点关于直线的对称点在的图象上，则实数k的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】直线与圆的位置关系；图形的对称性
【解析】【解答】，变形得到，
故表示的图象为以为圆心，1为半径的上半圆，
则关于直线的对称图象也是一个半圆，圆心为，半径为1，且该圆与轴交于两点，
如图所示：直线恒过点，
设直线与半圆相切时，切点为，
故当直线斜率位于直线与直线之间（含，不含）时，满足函数的图象上有且仅有两个不同的点关于直线的对称点在的图象上，
其中，设直线，则，
解得：或m=0（舍去），
故，解得：，
实数k的取值范围是.
故答案为：
【分析】利用，变形得到，再利用圆的定义判断出表示的图象为以为圆心，1为半径的上半圆，则关于直线的对称图象也是一个半圆，进而得出圆心坐标和半径长，且该圆与轴交于两点，再利用直线恒过点，设直线与半圆相切时，切点为，故当直线斜率位于直线与直线之间（含，不含）时，满足函数的图象上有且仅有两个不同的点关于直线的对称点在的图象上，再利用两点求斜率公式得出直线AB 的斜率，设直线，再利用点到直线的距离得出m的值，进而得出实数k的取值范围。
22．（2023高二上·长春期末）已知圆与直线相切，直线经过点与圆相交于、两个不同点，且满足关系（为坐标原点）的点也在圆上，则直线的方程是 ．
【答案】
【知识点】直线的一般式方程；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】因为圆与直线相切，所以，即圆.设，①若直线的斜率存在，设直线的方程为，联立，整理得，由韦达定理得，，因为点在圆上，则，由得，因为在圆上，所以，整理得，即，所以，从而得，，解得，由此直线的方程为，即；
②若直线的斜率不存在时，则，，由可知，点不在圆上，与点在圆上矛盾.
综上，直线的方程为.
故答案为：.
【分析】利用圆与直线相切，再结合直线与圆相切位置关系判断方法和点到直线的距离公式，进而得出圆的半径的长，从而得出圆的标准方程，设，①若直线的斜率存在，设直线的方程为，再联立直线与圆的方程结合韦达定理和代入法得出，，再利用点在圆上结合代入法得出，由结合向量的坐标表示得出点M的坐标，再结合点在圆上和代入法得出，从而得出k的值，进而得出直线的方程；
②若直线的斜率不存在时，则，再利用中点坐标公式得出点M的坐标，再利用圆的标准方程和代入法得出点不在圆上，与点在圆上矛盾，综上所述，进而得出直线的方程。
四、解答题
23．（2023高二上·余姚期末）已知圆，直线．
（1）判断并证明直线l与圆C的位置关系；
（2）设直线l与圆C交于A，B两点，若点A，B分圆周得两段弧长之比为，求直线l的方程．
【答案】（1）解：因为直线的方程为，
所以，
由得，，
所以直线恒过定点，
因为，
所以点在圆内，故直线与圆相交；
（2）解：因为圆的方程为，
所以点的坐标为，半径为2，
因为点A、B分圆周得两段弧长之比为1：2，故，
所以，故圆心到直线的距离，
直线斜率不存在时，直线的方程为，
因为点到直线的距离为1，
所以直线满足条件，即直线的方程可能为，
当直线斜率存在时，设直线方程为，
则圆心到直线的距离，解得，
所以直线的方程为，
故直线的方程为或.
【知识点】直线的一般式方程；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1） 将直线的方程转化为，
由得出直线恒过定点，再利用点与圆位置关系判断方法判断出点在圆内，从而判断出直线与圆相交。
（2）利用圆的方程圆心坐标和半径长，再利用点A、B分圆周得两段弧长之比为1：2，故，所以，再结合中点的性质得出圆心到直线的距，当直线斜率不存在时，直线的方程为，再利用点到直线的距离为1，所以直线满足条件，即直线的方程可能为，当直线斜率存在时，设直线方程为，再利用点到直线的距离公式和已知条件得出k的值，从而得出直线的方程。
24．（2023高二上·金华期末）圆经过点与直线相切，圆心的横、纵坐标满足．
（1）求圆的标准方程；
（2）直线交圆于A，B两点，当时，求直线l的方程．
【答案】（1）解：设圆心坐标为，有．
得或（舍），
所以．
（2）解：直线截圆所得弦长，而圆半径，
因此圆心到直线距离为
所以，得．
从而直线l的方程．
【知识点】直线的一般式方程；圆的标准方程；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合直线与圆相切的位置关系判断方法和点到直线的距离公式得出b的值，从而得出a的值，进而得出圆的标准方程。
（2） 利用直线截圆所得弦长得出圆的半径，再利用圆心到直线距离为和点到直线的距离公式得出m的值，从而得出直线l的方程。
25．（2023高二上·定州期末）已知圆与圆
（1）求证：圆与圆相交；
（2）求两圆公共弦所在直线的方程；
（3）求经过两圆交点，且圆心在直线上的圆的方程．
【答案】（1）证明：圆，圆心坐标为，半径，
圆化成标准方程为，圆心坐标为，半径，
圆心距，，所以圆与圆相交.
（2）解：两圆方程相减，得，所以两圆公共弦所在直线的方程为.
（3）解：设所求圆的方程为，即，圆心坐标为，代入直线可得，解得，所求圆的方程为
【知识点】直线的一般式方程；圆的一般方程；直线与圆相交的性质；圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【分析】（1） 利用圆得出圆心坐标和半径长，再利用圆化成标准方程为，从而得出圆心坐标和半径长，再结合两点距离公式得出圆心距，再利用圆心距和两圆半径和以及半径差的大小关系，进而判断出圆与圆相交。
（2）联立两圆方程，再由两圆方程相减，从而得出两圆公共弦所在直线的方程。
（3） 设所求圆的方程为，即，进而得出圆心坐标，再结合已知条件，将圆心坐标代入直线可得的值，从而得出所求圆的一般方程。
26．（2023高二上·平江月考）圆，直线.
（1）求证：直线过定点；
（2）求被圆截得的弦长最短时的值以及最短弦的长度.
【答案】（1）证明：将直线的方程变形为，
解方程组，解得，
因此，直线过定点；
（2）解：如下图所示，设直线交圆于、两点，
设圆心到直线的距离为.
①当时，；
②当不与垂直时，.
综上所述，，
所以，，
此时，，由已知可得，解得.
【知识点】恒过定点的直线；直线与圆相交的性质
【解析】【分析】(1)通过直线转化为直线系，求出直线过定点；
(2)说明直线|被圆C截得的弦长最小时，圆心与定点连线与直线垂直，求出斜率即可求出m的值，再由勾股定理即可得到最短弦长.
27．（2022高二上·合肥期中）已知圆的圆心为原点，且与直线相切，直线过点.
（1）若直线与圆相切，求直线的方程；
（2）若直线被圆所截得的弦长为，求直线的方程.
【答案】（1）解：圆心到直线的距离，
圆的半径为2，所以圆的方程为；
当直线斜率不存在时，圆心到直线的距离为，不相切.
直线斜率存在，设直线，
由，得或
所以切线方程为，或.
（2）解：设圆心到直线的距离为，则，由，解得.
当直线斜率不存在时，直线方程为，
圆心到直线的距离，即直线被圆所截得的弦长为，符合题意；
当直线斜率存在时，设直线，
则，解得：，
故的方程是，即，
综上所述，直线的方程为或.
【知识点】直线的一般式方程；圆的切线方程；直线与圆相交的性质
【解析】【分析】（1） 利用已知条件结合点到直线的距离公式得出圆心到直线的距离，进而得出圆的半径，从而得出圆的方程，再利用分类讨论的方法，当直线斜率不存在时，圆心到直线的距离为，不相切，当直线斜率存在，设直线，再利用点到直线的距离公式结合已知条件得出直线的斜率，进而结合点斜式求出切线方程，再转化为直线的一般式方程。
（2） 设圆心到直线的距离为，再结合弦长公式结合，进而得出d的值，再利用分类讨论的方法，当直线斜率不存在时，直线方程为，再利用圆心到直线的距离，从而得出直线被圆所截得的弦长；当直线斜率存在时，设直线，再利用点到直线的距离公式和已知条件得出直线的斜率，进而结合点斜式求出直线的方程，再转化为直线的一般式方程，从而得出直线的方程。
28．（2022高二上·伽师期中）如图，在平面直角坐标系中，圆：与轴的正半轴交于点，以点为圆心的圆：与圆交于，两点.
（1）当时，求的长；
（2）当变化时，求的最小值；
（3）过点的直线与圆切于点，与圆分别交于点，，若点是的中点，试求直线的方程.
【答案】（1）解：当 时，
联立方程 得，
所以
（2）解：由对称性，设，则
所以
因为，所以当时，的最小值为
（3）解：取的中点，连结，
所以，由垂径定理和切线的性质得
所以，
所以，，从而 ，
因为点是的中点，
所以，不妨记，
在中，有，即①
在中，有，即②
由①②解得
由题直线的斜率不为0，可设直线的方程为： ，
由点A到直线的距离等于，则，所以，
所以，直线的方程为
【知识点】平面向量数量积的运算；点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1） 联立方程 得， ，根据两点之间的距离公式即可求解；
（2）根据对称性，可得，即可求出最小值；
（3）根据比例的性质和勾股定理，可求出半径， 设直线的方程为： ，根据点到直线的距离公式即可求解.
29．（2023高二上·杭州月考）已知圆C的方程为．
（1）直线l过点，且与圆C交于A、B两点，若，求直线l的方程；
（2）点为圆上任意一点，求的最大值和最小值．
【答案】（1）解：圆C的圆心为坐标原点O，半径为.
设圆心O到直线l的距离为d，则．
①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，满足题意；
②当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为，即，
由题意可得，解得，此时直线l的方程为．
综上所述，直线l的方程为或．
（2）解：方法一：
设.
联立可得，.
因为直线与圆有交点，所以.
又，
所以，解得.
所以的最大值是，最小值是；
方法二：
因为，当且仅当等号成立，
所以．
所以的最大值是，最小值是．
方法三，换元：令，，.
则，
因为，所以，所以.
所以的最大值是，最小值是．
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；复合三角函数的最值；直线的一般式方程；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1） 利用圆的标准方程得出圆C的圆心坐标和半径长，设圆心O到直线l的距离为d，再结合勾股定理得出d的值，再利用分类讨论的方法，①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，满足题意；②当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为，再转化为直线的一般式方程为，再利用点到直线的距离公式和已知条件得出k的值，从而得出此时直线l的方程，进而得出直线l的方程。
（2） 方法一：设，再利用直线与圆相交，联立二者方程结合判别式法得出t的取值范围，进而得出的最值；
方法二：利用已知条件结合均值不等式求最值的方法得出的最值；
方法三，利用已知条件结合换元法，令，，，再结合辅助角公式化简函数为正弦型函数，则，再利用结合不等式的基本性质和正弦型函数的图象求值域的方法，从而得出的最值。
二一教育在线组卷平台（zujuan.21cnjy.com）自动生成 1 / 1登录二一教育在线组卷平台 助您教考全无忧
2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修一2.5 直线与圆、圆与圆的位置 同步练习
一、选择题
1．（2023高二上·房山期末）已知以点A(2，－3)为圆心，半径长等于5的圆O，则点M(5，－7)与圆O的位置关系是( )
A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．无法判断
2．（2023高二上·武汉期末）设圆，圆，则圆，的公切线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
3．（2023高二上·大兴期末）已知M是圆上的动点，则到直线距离的最大值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
4．（2023高二上·永嘉期末）已知集合， ，则集合中的元素所构成的图形面积为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023高二上·钦州期末）已知圆O：上有且只有两个点到直线l：的距离为1，则圆O半径r的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023高二上·浦东期末）过坐标原点作直线的垂线，垂足为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023高二上·内江期末）已知P是直线l：x＋y－7＝0上任意一点，过点P作两条直线与圆C：相切，切点分别为A，B.则｜AB｜的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023高二上·江岸期末）已知圆：和定点，若过点可以作两条直线与圆相切，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2023高二上·西城期末）若直线与圆相离，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2023高二上·魏县期末）已知点在直线：上，过点的两条直线与圆：分别相切于两点，则圆心到直线的距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．1
二、多项选择题
11．（2023高二上·三明期末）已知圆的方程为，以下各点在圆内的是（ ）
A． B． C． D．
12．（2023高二上·北海期末）已知圆，则下列说法正确的是（ ）
A．圆C的半径为16
B．圆C截x轴所得的弦长为4
C．圆C与圆E：相外切
D．若圆C上有且仅有两点到直线的距离为1，则实数m的取值范围是
13．（2023高二上·宁波期末）若动点满足（且）其中点是不重合的两个定点），则点的轨迹是一个圆，该轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿波罗尼斯圆.已知点，，动点满足，点的轨迹为圆，则（ ）
A．圆的方程为
B．若圆与线段交于点，则
C．圆上有且仅有两个点到直线的距离为
D．设动点，则的最大值为
14．（2023高二上·衡南期末）已知圆C：及点，则下列说法正确的是（ ）
A．直线与圆C始终有两个交点
B．圆C与轴不相切
C．若点在圆C上，则直线PQ的斜率为
D．若M是圆C上任一点，则|MQ|的取值范围为
15．（2023高二上·恩施期末）已知曲线的方程为，圆M：，则（ ）
A．曲线表示一条直线
B．点与曲线上的点的最短距离为1
C．当时，曲线与圆有3个公共点
D．不论取何值，总存在圆，使得圆与圆相切，且圆与曲线有4个公共点
16．（2023高二上·永嘉期末）已知直线，圆（ ）
A．若直线过圆圆心，则
B．直线过定点
C．存在实数，使得直线与圆相切
D．若直线与圆相交于，两点，则
三、填空题
17．（2023高二上·南山期末）已知圆，点在直线上运动，过作的两条切线，切点分别为、，当四边形的面积最小时， ．
18．（2023高二上·钦州期末）当直线l：截圆C：所得的弦长最短时，实数m的值为 .
19．（2023高二上·内江期末）直线与圆相交于两点，且．若，则直线的斜率为 ．
20．（2023高二上·张家口期末）过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为 ．
21．（2023高二上·定州期末）已知函数的图象上有且仅有两个不同的点关于直线的对称点在的图象上，则实数k的取值范围是 ．
22．（2023高二上·长春期末）已知圆与直线相切，直线经过点与圆相交于、两个不同点，且满足关系（为坐标原点）的点也在圆上，则直线的方程是 ．
四、解答题
23．（2023高二上·余姚期末）已知圆，直线．
（1）判断并证明直线l与圆C的位置关系；
（2）设直线l与圆C交于A，B两点，若点A，B分圆周得两段弧长之比为，求直线l的方程．
24．（2023高二上·金华期末）圆经过点与直线相切，圆心的横、纵坐标满足．
（1）求圆的标准方程；
（2）直线交圆于A，B两点，当时，求直线l的方程．
25．（2023高二上·定州期末）已知圆与圆
（1）求证：圆与圆相交；
（2）求两圆公共弦所在直线的方程；
（3）求经过两圆交点，且圆心在直线上的圆的方程．
26．（2023高二上·平江月考）圆，直线.
（1）求证：直线过定点；
（2）求被圆截得的弦长最短时的值以及最短弦的长度.
27．（2022高二上·合肥期中）已知圆的圆心为原点，且与直线相切，直线过点.
（1）若直线与圆相切，求直线的方程；
（2）若直线被圆所截得的弦长为，求直线的方程.
28．（2022高二上·伽师期中）如图，在平面直角坐标系中，圆：与轴的正半轴交于点，以点为圆心的圆：与圆交于，两点.
（1）当时，求的长；
（2）当变化时，求的最小值；
（3）过点的直线与圆切于点，与圆分别交于点，，若点是的中点，试求直线的方程.
29．（2023高二上·杭州月考）已知圆C的方程为．
（1）直线l过点，且与圆C交于A、B两点，若，求直线l的方程；
（2）点为圆上任意一点，求的最大值和最小值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】因为 ，所以点M在圆上，选B.
【分析】利用已知条件结合圆心坐标和半径长得出圆的标准方程，再结合点与圆的位置关系判断方法，进而结合代入法判断出点M与圆O的位置关系。
2．【答案】B
【知识点】两圆的公切线条数及方程的确定
【解析】【解答】由题意，得圆，圆心，圆，圆心，∴，∴与相交，有2条公切线．
故答案为：B．
【分析】先判断两圆的位置关系，再确定公切线的条数即可.
3．【答案】B
【知识点】点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】设圆的圆心为，点到直线的距离为，过点作直线的垂线，垂足为，
则点到直线的距离为，所以，
又因为直线恒过定点，则垂足的轨迹为以为直径的圆，
则，所以
故答案为：B
【分析】设圆的圆心为，直线恒过定点，则点到直线的距离时与直线垂直，所以，即可得解.
4．【答案】A
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】二元一次方程表示直线，当时，，直线过定点，
由，直线斜率，当时等号成立，因此集合表示的是过定点，斜率的所有直线；
不等式可改写为，因此集合表示的是以为圆心为半径的圆和圆内；
当时，直线方程为，圆心到直线距离，直线与圆相切，
则集合表示的图形是圆在第一象限内的部分，如图所示，
圆与轴相交于，，，圆在第一象限内的面积为.
故答案为：A
【分析】集合表示的是过定点，斜率的所有直线，集合表示的是以为圆心为半径的圆和圆内，集合表示的图形是圆在第一象限内的部分，进而求出答案.
5．【答案】A
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】平面内到直线l距离为1的点的轨迹是与直线l平行且距离为1的两条直线，
设的方程为，则，解得或，
即直线，直线，
如图，圆O：上有且只有两个点到直线l的距离为1，则圆O与相交，与相离，
圆O的圆心到直线的距离，到直线的距离，
所以圆O半径r的取值范围为，即.
故答案为：A
【分析】求出到直线l的距离为1的点的轨迹，再根据给定条件，数形结合列出不等式求解作答.
6．【答案】D
【知识点】直线与圆相交的性质
【解析】【解答】直线，即 ，
令 ，解得 ，
即直线过定点 ，
由过坐标原点作直线的垂线，垂足为，
可知：落在以OA为直径的圆上，
而以OA为直径的圆为 ，如图示：
故可看作是圆上的点到原点距离的平方，
而圆过原点，圆上点到原点的最远距离为 ，
但将原点坐标代入直线中， 不成立，
即直线l不过原点，所以不可能和原点重合，
故，
故答案为：D
【分析】直线过定点 ，由题意可知落在以OA为直径的圆上，故可看作是圆上的点到原点距离的平方，可求出的取值范围.
7．【答案】A
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】圆是以为圆心，2为半径的圆，由题可知，当最小时，的值最小. ，当取得最小值时，最大，最小，点到直线的距离，故当时，最大，且最大值为，此时，则.
故答案为：A
【分析】根据直线与圆相切的几何性质可知，当最小时，的值最小，当时，取得最小值，进而可求此时.
8．【答案】D
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】圆：化为标准方程：，
过点可以作两条直线与圆相切，
点在圆外，将点代入圆方程得：，
（舍去）或，
的取值范围是.
故答案为：D.
【分析】把圆的方程化为标准方程，由过点P可以作两条直线与圆C相切，可知点P在圆外，列出不等式即可得到k的取值范围.
9．【答案】B
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】因为直线与圆相离，
所以圆心到直线的距离，
解得或，
故答案为：B.
【分析】 根据题意可得圆心到直线的距离大于半径，由此建立关于m的不等式，求解可得实数的取值范围 .
10．【答案】D
【知识点】二次函数在闭区间上的最值；点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】由题意得：四点共圆，且圆的直径为，
设，则，
则的中点为圆心，圆心坐标为，半径为，
所以圆的方程为：，
整理得：，
将与相减得：，
故直线的方程为，
圆心到直线的距离，
因为，
所以，
当且仅当时，等号成立，
故.
故答案为：D
【分析】由题意得：四点共圆，且圆的直径为，设，则，则的中点为圆心，再结合中点坐标公式得出圆心坐标，再结合勾股定理和中点的性质得出半径长，从而得出圆的方程，整理得：，将与相减得：，从而得出直线的方程，再利用点到直线的距离公式得出圆心到直线的距离，再利用结合二次函数的图象求最值的方法得出
的最小值，进而得出圆心到直线的距离的最大值。
11．【答案】A,C
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】，A选项正确.
，B选项错误，
，C选项正确.
，D选项错误.
故答案为：AC
【分析】结合选项，分别代入圆的方程，即可求解.
12．【答案】B,C
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】A：将一般式配方可得：，A不符合题意；
B：圆心到x轴的距离为2，弦长为B对；
C：外切，C对；
D： 圆C上有且仅有两点到直线的距离为1，解之： ，D不符合题意；
故答案为：BC
【分析】先运用配方法将一般式方程化为标准方程，可确定其圆心个半径；根据点到弦的距离可求出弦长；圆心距和半径的关系可确定圆与圆的位置关系；圆心到直线的距离与半径之间的数量关系可确定圆C上有且仅有两点到直线的距离为1.
13．【答案】A,B,D
【知识点】轨迹方程；直线与圆相交的性质；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】设，由得，
整理得，即，A符合题意；
在上，所以，B符合题意
过圆心且与直线平行的直线方程为，
圆心到直线的距离为，所以直线与圆相交，
因为，所以在直线与直线之间的圆弧上有两个点到直线直线的距离为，在直线的另一侧的圆上还有两个点到直线的距离为，共有4个点，C不符合题意；
设动点，所以，
则，即求圆上的点到点的距离的平方减去25的最大值，转化为圆心到点的距离加上圆的半径后，再平方再减去25即可，所以，D符合题意.
故答案为：ABD.
【分析】 设P的坐标，由可得P的轨迹方程，可判断A；进而可得圆C与线段AB的交点M的坐标，可得|MA|，|MB|的值，进而可判断B；求出圆心C到直线的距离，再求与直线平行且与圆相切的直线到已知直线的距离，判断有4个点到直线的距离为 ，判断C；由P点在圆上，可得m，n的关系，设参数方程，可得所求的代数式的最大值，判断D.
14．【答案】B,D
【知识点】点与圆的位置关系；直线与圆相交的性质
【解析】【解答】依题意，圆C：，圆心，半径，
对于A，直线恒过定点，而点在圆C外，则过点的直线与圆C可能相离，A不正确；
对于B，点到x轴距离为7，大于圆C的半径，则圆C与轴相离，即圆C与x轴不相切，B符合题意；
对于C，点在圆C上，则，解得，而点，
则直线PQ的斜率为，C不正确；
对于D，，点Q在圆C外，由得：，D符合题意.
故答案为：BD
【分析】求出圆C的圆心坐标和半径，求出直线过的定点判断A；求出点C到x轴距离判断B；求出m值，再计算斜率判断C；求出CQ长并求出|MQ|范围判断D.
15．【答案】B,C,D
【知识点】直线与圆的位置关系；圆与圆的位置关系及其判定；曲线与方程
【解析】【解答】解：对于A，由于曲线的方程为，平方得，即，则曲线表示两条直线，其方程分别为与，所以A不符合题意；
对于B，点与直线上的点最短距离为到直线上的距离为1，点在直线外，所以点与直线上的点最短距离为点到直线的距离，B符合题意；
对于C，当时，圆为，圆心，半径，则到直线的距离为，此时直线与圆有两个交点，到直线的距离为，则此时直线与圆相切只有一个公共点，则曲线与圆M有3个公共点，C符合题意；
对于D，①当时，原点在圆内，则存在，半径为的圆与圆内切，使得圆与曲线有4个公共点，如下图，
②当时，原点在圆外，则存在，半径为的圆与圆外切，使得圆与曲线有4个公共点，如下图
③当时，则存在，以为半径的圆与圆内切，此时到直线的距离，所以圆与曲线有4个公共点，如下图
④当时，则存在，以为半径的圆与圆外切，此时到直线的距离，所以圆与曲线有4个公共点，如下图
综上，D符合题意.
故答案为：BCD.
【分析】根据曲线C化成两条直线，即可判断A；利用点(1， 2)到直线的距离判断B；求解圆心到直线的距离与半径比较大小，即可判断C；根据圆与圆、直线与圆的位置关系，判断D.
16．【答案】B,D
【知识点】直线与圆相交的性质
【解析】【解答】解：由题知，圆圆心为，半径为，
对于A选项，若直线过圆圆心，则，解得，故错误；
对于B选项，无论取何值，始终满足方程，故直线过定点，正确；
对于C选项，因为，即在圆内，故直线与圆相交，故不存在实数，使得直线与圆相切，错误；
对于D选项，当直线与过点和的直线垂直时，取得最小值，此时，故，正确；
故答案为：BD
【分析】由题意知圆圆心为，半径为，再结合直线与圆的位置关系，逐项进行判断，可得答案.
17．【答案】
【知识点】圆的切线方程；直线与圆相交的性质
【解析】【解答】如图所示：
由圆的几何性质可得，，
由切线长定理可得，又因为，，
所以，，
圆的标准方程为，圆心为，半径为，
所以，，
当与直线垂直时，取最小值，且，
所以，，
所以，，此时，
因此，.
故答案为：.
【分析】由圆的几何性质和切线长定理，证得，再求得，得到，所以，结合，即可求解.
18．【答案】-1
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】由已知可将直线的方程化为，
解可得，所以直线过定点.
又由圆的方程可得圆心，半径，
则，所以点在圆内.
当时，圆心到直线的最大距离，直线被圆截得的弦长最短.
因为，所以直线的斜率为，即，所以.
故答案为：-1.
【分析】由已知可得直线过定点，当时，弦长最短.根据斜率关系即可求出实数m值.
19．【答案】
【知识点】点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】根据题意，直线l与圆 相交于两点，且，
当直线斜率不存在时，直线 即y轴，显然与圆相切，不符合题意；
故直线斜率存在，设直线l的方程为 ，即 ，
因为圆的圆心为 ，半径为 ，
又弦长，所以圆心到直线的距离为，
所以，解得，
故答案为：.
【分析】设直线方程，结合弦长求得圆心到直线距离，利用点到直线的距离公式列出等式，即可求得答案.
20．【答案】
【知识点】两圆的公切线条数及方程的确定
【解析】【解答】圆，所以圆心为，半径，
，
所以切线长，
以为圆心，为半径的圆的方程为：，
直线为圆与圆的公共弦，
所以由得.
故答案为： .
【分析】先求以为圆心，为半径的圆的方程为：，再利用两圆的公共弦所在直线方程求解.
21．【答案】
【知识点】直线与圆的位置关系；图形的对称性
【解析】【解答】，变形得到，
故表示的图象为以为圆心，1为半径的上半圆，
则关于直线的对称图象也是一个半圆，圆心为，半径为1，且该圆与轴交于两点，
如图所示：直线恒过点，
设直线与半圆相切时，切点为，
故当直线斜率位于直线与直线之间（含，不含）时，满足函数的图象上有且仅有两个不同的点关于直线的对称点在的图象上，
其中，设直线，则，
解得：或m=0（舍去），
故，解得：，
实数k的取值范围是.
故答案为：
【分析】利用，变形得到，再利用圆的定义判断出表示的图象为以为圆心，1为半径的上半圆，则关于直线的对称图象也是一个半圆，进而得出圆心坐标和半径长，且该圆与轴交于两点，再利用直线恒过点，设直线与半圆相切时，切点为，故当直线斜率位于直线与直线之间（含，不含）时，满足函数的图象上有且仅有两个不同的点关于直线的对称点在的图象上，再利用两点求斜率公式得出直线AB 的斜率，设直线，再利用点到直线的距离得出m的值，进而得出实数k的取值范围。
22．【答案】
【知识点】直线的一般式方程；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】因为圆与直线相切，所以，即圆.设，①若直线的斜率存在，设直线的方程为，联立，整理得，由韦达定理得，，因为点在圆上，则，由得，因为在圆上，所以，整理得，即，所以，从而得，，解得，由此直线的方程为，即；
②若直线的斜率不存在时，则，，由可知，点不在圆上，与点在圆上矛盾.
综上，直线的方程为.
故答案为：.
【分析】利用圆与直线相切，再结合直线与圆相切位置关系判断方法和点到直线的距离公式，进而得出圆的半径的长，从而得出圆的标准方程，设，①若直线的斜率存在，设直线的方程为，再联立直线与圆的方程结合韦达定理和代入法得出，，再利用点在圆上结合代入法得出，由结合向量的坐标表示得出点M的坐标，再结合点在圆上和代入法得出，从而得出k的值，进而得出直线的方程；
②若直线的斜率不存在时，则，再利用中点坐标公式得出点M的坐标，再利用圆的标准方程和代入法得出点不在圆上，与点在圆上矛盾，综上所述，进而得出直线的方程。
23．【答案】（1）解：因为直线的方程为，
所以，
由得，，
所以直线恒过定点，
因为，
所以点在圆内，故直线与圆相交；
（2）解：因为圆的方程为，
所以点的坐标为，半径为2，
因为点A、B分圆周得两段弧长之比为1：2，故，
所以，故圆心到直线的距离，
直线斜率不存在时，直线的方程为，
因为点到直线的距离为1，
所以直线满足条件，即直线的方程可能为，
当直线斜率存在时，设直线方程为，
则圆心到直线的距离，解得，
所以直线的方程为，
故直线的方程为或.
【知识点】直线的一般式方程；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1） 将直线的方程转化为，
由得出直线恒过定点，再利用点与圆位置关系判断方法判断出点在圆内，从而判断出直线与圆相交。
（2）利用圆的方程圆心坐标和半径长，再利用点A、B分圆周得两段弧长之比为1：2，故，所以，再结合中点的性质得出圆心到直线的距，当直线斜率不存在时，直线的方程为，再利用点到直线的距离为1，所以直线满足条件，即直线的方程可能为，当直线斜率存在时，设直线方程为，再利用点到直线的距离公式和已知条件得出k的值，从而得出直线的方程。
24．【答案】（1）解：设圆心坐标为，有．
得或（舍），
所以．
（2）解：直线截圆所得弦长，而圆半径，
因此圆心到直线距离为
所以，得．
从而直线l的方程．
【知识点】直线的一般式方程；圆的标准方程；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合直线与圆相切的位置关系判断方法和点到直线的距离公式得出b的值，从而得出a的值，进而得出圆的标准方程。
（2） 利用直线截圆所得弦长得出圆的半径，再利用圆心到直线距离为和点到直线的距离公式得出m的值，从而得出直线l的方程。
25．【答案】（1）证明：圆，圆心坐标为，半径，
圆化成标准方程为，圆心坐标为，半径，
圆心距，，所以圆与圆相交.
（2）解：两圆方程相减，得，所以两圆公共弦所在直线的方程为.
（3）解：设所求圆的方程为，即，圆心坐标为，代入直线可得，解得，所求圆的方程为
【知识点】直线的一般式方程；圆的一般方程；直线与圆相交的性质；圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【分析】（1） 利用圆得出圆心坐标和半径长，再利用圆化成标准方程为，从而得出圆心坐标和半径长，再结合两点距离公式得出圆心距，再利用圆心距和两圆半径和以及半径差的大小关系，进而判断出圆与圆相交。
（2）联立两圆方程，再由两圆方程相减，从而得出两圆公共弦所在直线的方程。
（3） 设所求圆的方程为，即，进而得出圆心坐标，再结合已知条件，将圆心坐标代入直线可得的值，从而得出所求圆的一般方程。
26．【答案】（1）证明：将直线的方程变形为，
解方程组，解得，
因此，直线过定点；
（2）解：如下图所示，设直线交圆于、两点，
设圆心到直线的距离为.
①当时，；
②当不与垂直时，.
综上所述，，
所以，，
此时，，由已知可得，解得.
【知识点】恒过定点的直线；直线与圆相交的性质
【解析】【分析】(1)通过直线转化为直线系，求出直线过定点；
(2)说明直线|被圆C截得的弦长最小时，圆心与定点连线与直线垂直，求出斜率即可求出m的值，再由勾股定理即可得到最短弦长.
27．【答案】（1）解：圆心到直线的距离，
圆的半径为2，所以圆的方程为；
当直线斜率不存在时，圆心到直线的距离为，不相切.
直线斜率存在，设直线，
由，得或
所以切线方程为，或.
（2）解：设圆心到直线的距离为，则，由，解得.
当直线斜率不存在时，直线方程为，
圆心到直线的距离，即直线被圆所截得的弦长为，符合题意；
当直线斜率存在时，设直线，
则，解得：，
故的方程是，即，
综上所述，直线的方程为或.
【知识点】直线的一般式方程；圆的切线方程；直线与圆相交的性质
【解析】【分析】（1） 利用已知条件结合点到直线的距离公式得出圆心到直线的距离，进而得出圆的半径，从而得出圆的方程，再利用分类讨论的方法，当直线斜率不存在时，圆心到直线的距离为，不相切，当直线斜率存在，设直线，再利用点到直线的距离公式结合已知条件得出直线的斜率，进而结合点斜式求出切线方程，再转化为直线的一般式方程。
（2） 设圆心到直线的距离为，再结合弦长公式结合，进而得出d的值，再利用分类讨论的方法，当直线斜率不存在时，直线方程为，再利用圆心到直线的距离，从而得出直线被圆所截得的弦长；当直线斜率存在时，设直线，再利用点到直线的距离公式和已知条件得出直线的斜率，进而结合点斜式求出直线的方程，再转化为直线的一般式方程，从而得出直线的方程。
28．【答案】（1）解：当 时，
联立方程 得，
所以
（2）解：由对称性，设，则
所以
因为，所以当时，的最小值为
（3）解：取的中点，连结，
所以，由垂径定理和切线的性质得
所以，
所以，，从而 ，
因为点是的中点，
所以，不妨记，
在中，有，即①
在中，有，即②
由①②解得
由题直线的斜率不为0，可设直线的方程为： ，
由点A到直线的距离等于，则，所以，
所以，直线的方程为
【知识点】平面向量数量积的运算；点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1） 联立方程 得， ，根据两点之间的距离公式即可求解；
（2）根据对称性，可得，即可求出最小值；
（3）根据比例的性质和勾股定理，可求出半径， 设直线的方程为： ，根据点到直线的距离公式即可求解.
29．【答案】（1）解：圆C的圆心为坐标原点O，半径为.
设圆心O到直线l的距离为d，则．
①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，满足题意；
②当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为，即，
由题意可得，解得，此时直线l的方程为．
综上所述，直线l的方程为或．
（2）解：方法一：
设.
联立可得，.
因为直线与圆有交点，所以.
又，
所以，解得.
所以的最大值是，最小值是；
方法二：
因为，当且仅当等号成立，
所以．
所以的最大值是，最小值是．
方法三，换元：令，，.
则，
因为，所以，所以.
所以的最大值是，最小值是．
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；复合三角函数的最值；直线的一般式方程；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1） 利用圆的标准方程得出圆C的圆心坐标和半径长，设圆心O到直线l的距离为d，再结合勾股定理得出d的值，再利用分类讨论的方法，①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，满足题意；②当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为，再转化为直线的一般式方程为，再利用点到直线的距离公式和已知条件得出k的值，从而得出此时直线l的方程，进而得出直线l的方程。
（2） 方法一：设，再利用直线与圆相交，联立二者方程结合判别式法得出t的取值范围，进而得出的最值；
方法二：利用已知条件结合均值不等式求最值的方法得出的最值；
方法三，利用已知条件结合换元法，令，，，再结合辅助角公式化简函数为正弦型函数，则，再利用结合不等式的基本性质和正弦型函数的图象求值域的方法，从而得出的最值。
二一教育在线组卷平台（zujuan.21cnjy.com）自动生成 1 / 1
