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2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修一3.2 双曲线 同步练习
一、选择题
1．（2023·义乌模拟）双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由双曲线 可得焦点在y轴上，
故渐近线斜率为，
即其渐近线方程为： .
故选： C.
【分析】根据双曲线方程得焦点在y轴上，求出渐近线斜率，进而得渐近线方程.
2．（2023高二下·达州期末）已知双曲线的离心率为2，则它的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】双曲线的标准方程
【解析】【解答】由双曲线可知，
离心率公式可知，
，
.
故选：A.
【分析】先利用双曲线中离心率公式求出a，c关系，再结合，求出值，最合根据渐近线公式代入化解.
3．（2023高二下·简阳月考）若双曲线 的右焦点为F，以F为圆心， 为半径的圆F与双曲线C的两条渐近线分别交于A，B两点，若四边形OAFB为菱形（O为坐标原点），则双曲线C的离心率 （ ）
A． B． C． D．2
【答案】D
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】 解：∵双曲线C的半焦距，
∴圆F过原点O，
依题意易知△OFB是正三角形，
∴∠BOF=60°，
∴，
∴ ，
故选：D.
【分析】根据四边形OAFB为菱形，且圆的半径为 ，得到△OFB是正三角形，∠BOF=60° ，则求解.
4．若双曲线的渐近线方程为，实轴长为 ，且焦点在x轴上，则该双曲线的标准方程为（ ）
A．或 B．
C． D．
【答案】C
【知识点】双曲线的定义；双曲线的标准方程
【解析】【解答】由题可得， 解得a=1，b=3. 因为焦点在x轴上，所以双曲线的标准方程为 ，
故选：C.
【分析】根据双曲线的性质求解.
5．（2023·黄埔）若双曲线的两条渐近线与椭圆：的四个交点及椭圆的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质
【解析】【解答】 由题意可得双曲线的一条渐近线是，由双曲线的两条渐近线与椭圆：的四个交点及椭圆的两个焦点恰为一个正六边形的顶点， 可得椭圆的焦点坐标F2(c， 0)，F1(-c， 0)，正六边形的一个顶点坐标为，， 由椭圆的定义|AF1|+|AF2|= 2a，得出，即
所以椭圆M的离心率为
故选：B
【分析】 利用已知条件求出椭圆的焦点坐标和正六边形的顶点坐标，再利用正六边形的性质和椭圆的定义及离心率公式即可求解出答案.
6．（2023·全国甲卷）已知双曲线的离心率为，其中一条渐近线与圆交于A，B两点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】直线和圆的方程的应用；双曲线的定义
【解析】【解答】双曲线定义知，，
渐近线方程为，渐近线与圆有交点，即与圆有交点
圆心到渐近线距离或（舍去），
弦长。
故选：D
【分析】根据题意结合双曲线定义求出渐近线方程，再利用点到直线距离公式求出弦长公式求。
7．（2023·全国乙卷）设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的应用
【解析】【解答】设，，则中点，则，
在双曲线上则，两式相减得，，
.
A：，，，直线：，
联立，
，直线与双曲线没有两个交点.故A错误；
B：，，，直线：，
联立，
，直线与双曲线没有两个交点.故B错误；
C：，，，直线：，
由双曲线方程可得渐近线为，直线为渐近线
直线与双曲线没有两个交点.故C错误；
D：，，，直线：，
联立，
，直线与双曲线有两个交点.故D正确；
故选：D
【分析】设两点分别为，，由中点公式联想利用点差法得出两根和与差的关系，得出，再利用点斜式计算直线方程联立双曲线判断是否有两个交点。
8．（2023高二下·成都期末）如图，已知椭圆和双曲线有公共的焦点，，的离心率分别为，且在第一象限相交于点，则下列说法中错误的是（ ）
① 若，则；② 若，则的值为1；③的面积；④ 若，则当时，取得最小值2．
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
【答案】D
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的应用；双曲线的标准方程；双曲线的应用
【解析】【解答】由于椭圆和双曲线有公共的焦点，
c相同，
，
①，
，
，
故①正确.
②，
点P既在椭圆上，又在双曲线上，
，
，
，
故②错误.
③ 由题意知，，
联立方程组，求，
，
，
，
，
，
故③正确.
④ ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
当时，即时，取“=”.
故④错误.
故选：D.
【分析】首先根据椭圆和双曲线有共同焦点，可知c相同，从而得到a，b，m，n的关系，得出①③正确；结合椭圆上点到两个焦点的距离之和公式与双曲线上点到两个焦点的距离之差，可知②错误；利用余弦定理，结合基本不等式，说明④正确.
二、多项选择题
9．（2023·湛江模拟）已知双曲线的上焦点为，过焦点作的一条渐近线的垂线，垂足为，并与另一条渐近线交于点，若，则的离心率可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,C
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】当时，直线与另一条渐近线平行，所以．
当时，如图1，过作另一条渐近线的垂线，垂足为，则，
由，得，则，所以，
则，，所以，
则，．
当时，如图2，过作另一条渐近线的垂线，垂足为，则，
由，得，则，则，
所以，则，，
所以，则，．
综上，的离心率为或．
故答案为：AC.
【分析】利用直线的垂直关系及，分情况讨论得到关于a，b的方程，化为关于a，c的方程，即可求得离心率.
10．（2023高二下·杭州）设双曲线，直线与双曲线的右支交于点，，则下列说法中正确的是 （ ）
A．双曲线离心率的最小值为
B．离心率最小时双曲线的渐近线方程为
C．若直线同时与两条渐近线交于点，，则
D．若，点处的切线与两条渐近线交于点，，则为定值
【答案】B,C,D
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由题意可得
由a>0，可得，即e≥2，当且仅当，即a=2时，等号成立，
此时双曲线方程是 ，渐近线方程是 ，故A、B正确；
设直线为x=my+n代入双曲线 可得
又双曲线的渐近线方程为
直线方程代入可得
直与双曲线右支交于两点A、B，与渐近线交于两点C、D、A在B、C两点之间，
即AB、CD的中点重合，则 |AC|=|BD|，故C正确；
当a=1，双曲线的方程为，双曲线的渐近线方程为
设A (m， n)，故双曲线在A (m， n)的切线方程为与y=2x联立可得E的横坐标为，
与y=-2x联立可得E的横坐标为，且
则 为定值，故D正确.
故选：ABCD.
【分析】 利用双曲线的几何性质，逐项计算判断，可得答案.
11．（2023·汕头模拟）已知曲线，，则下列结论正确的是（ ）
A．曲线C可能是圆，也可能是直线
B．曲线C可能是焦点在轴上的椭圆
C．当曲线C表示椭圆时，则越大，椭圆越圆
D．当曲线C表示双曲线时，它的离心率有最小值，且最小值为
【答案】A,B,D
【知识点】二元二次方程表示圆的条件；椭圆的定义；双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】设，故曲线C的方程可表示为，
对A，当时，曲线C的方程为，可得，此时曲线C为两条直线；
当时，曲线C的方程为，此时曲线C是一个圆；A符合题意；
对B，当时，，曲线C的方程为，此时曲线C为焦点在y轴上的椭圆，B符合题意；
对C，当曲线C表示椭圆时，离心率为，则越大，椭圆越扁，C不符合题意；
对D，当时，，曲线C的方程为，此时曲线C为焦点在x轴上的双曲线，
此时离心率为，由，可得，
即它的离心率有最小值，且最小值为，D符合题意.
故答案为：ABD.
【分析】利用已知条件结合圆的定义、椭圆的定义和焦点的位置、椭圆的离心率与椭圆的形状的关系、双曲线的定义和椭圆的离心率的关系以及最值的求解方法，逐项判断得出答案。
12．（2023·大庆模拟）在平面直角坐标系中，双曲线的左、右焦点分别是，，渐近线方程为，M为双曲线E上任意一点，平分，且，，则（ ）
A．双曲线的离心率为
B．双曲线的标准方程为
C．点M到两条渐近线的距离之积为
D．若直线与双曲线E的另一个交点为P，Q为的中点，则
【答案】A,C,D
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】不妨设为双曲线的右支上一点，延长，交于点，如图，
因为，所以，即，因为平分，所以为等腰三角形，
则为中点，又为中点，所以，
根据双曲线的定义得，，所以，，因为双曲线的渐近线方程为，所以，得，，，
所以双曲线的标准方程为，离心率为，所以A符合题意，B不正确；
设，代入，即，所以，点到两条渐近线的距离之积为，所以C符合题意；
设，，因为，在双曲线上，所以①，②，
①②并整理得，，因为，，
所以，，所以D符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】不妨设为双曲线的右支上一点，延长，交于点，根据双曲线的定义得，，根据双曲线的性质，逐项进行判断，可得答案.
三、填空题
13．（2023·北京卷）已知双曲线C的焦点为和，离心率为，则C的方程为 ．
【答案】
【知识点】双曲线的标准方程
【解析】【解答】由题意知，，
解得，
又，
解得，
双曲线方程为。
故答案为：
【分析】由题意知，，又，进而写出双曲线方程。
14．（2023·嘉定模拟）双曲线的离心率为 ．
【答案】
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】双曲线的离心率为.
故答案为：
【分析】 由双曲线方程求得a与b，再由隐含条件求解c，可求出离心率.
15．（2023·浦东模拟）双曲线的右焦点F到其一条渐近线的距离为 ．
【答案】2
【知识点】平面内点到直线的距离公式；双曲线的简单性质
【解析】【解答】的右焦点为，渐近线方程为，
不妨取，则右焦点F到其一条渐近线的距离为.
故答案为：2
【分析】利用已知条件结合双曲线的标准方程得出a，b的值，再结合双曲线中a，b，c三者的关系式得出c的值，从而得出右焦点F的坐标，再结合双曲线的渐近线方程求解方法得出双曲线的渐近线方程，再利用点到直线的距离公式得出右焦点F到其一条渐近线的距离。
16．（2023·普陀模拟）设为双曲线：左、右焦点，且的离心率为，若点M在的右支上，直线与的左支相交于点N，且，则 ．
【答案】3
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】由的离心率为，
得，解得，
由点M在的右支上，得，
又因，
所以，即.
故答案为：3.
【分析】利用已知条件结合双曲线的离心率公式和双曲线中a，b，c三者的关系式，从而得出a的值，再利用点M在的右支上结合双曲线的定义和，进而得出的值。
17．（2023·虹口模拟）过原点的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，为的右焦点，若，且，则双曲线的方程为 .
【答案】
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】如图所示：设双曲线的左焦点为，连接，，
，则，四边形为矩形，.
故，，则，
，故，.
双曲线的方程为.
故答案为：
【分析】 由题意画出图形，设双曲线的左焦点为，连接，，由对称性可得，四边形为矩形，，结合已知求得，由双曲线的定义可得a，再由隐含条件求解b即可得双曲线方程.
18．（2023·广安模拟）已知为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线从左往右顺次交于两点.若，则双曲线的离心率为 .
【答案】
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】双曲线的渐近线方程为，
由题意可得，则，
联立，解得，
联立，解得，
因为两条渐近线从左往右顺次交于两点，且
所以，，，所以，
因为，
所以，
整理得，
则，解得或（舍去），
所以离心率.
故答案为：.
【分析】分别联立直线与双曲线渐近线的方程，求出，，再根据A在B的右侧，可得，再根据，得，进而可得答案.
19．（2023高二下·揭阳期末）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点在的左支上，，，则的离心率为 ．
【答案】
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质；余弦定理的应用
【解析】【解答】由双曲线的定义可得：，可得，
因为，可得，
又因为，由余弦定理可得，
即，整理得，
则，即，所以的离心率为.
故答案为：.
【分析】根据双曲线的定义可得，由向量运算可得，解析余弦定理可得，即可得结果.
20．（2023·新高考Ⅰ卷） 已知双曲线 的左、右焦点分别为 . 点 在 上. 点 在 轴上， ， 则 的离心率为 .
【答案】
【知识点】双曲线的简单性质；双曲线的应用
【解析】【解答】如图
因为，所以，
因为，所以，
因为，所以，设A在x轴上方则可求得，
其中，，即.....①
则B(0，3m)
又，所以，
因为，所以，
即，方程两边同除，则，化简得，即，所以，所以.
故答案为：
【分析】根据题意由坐标表达向量关系，结合双曲线参数关系消b，找出的等量关系。
四、解答题
21．（2023高二上·魏县期末）已知双曲线：的左、右焦点分别为、，直线过右焦点且与双曲线交于、两点.
（1）若双曲线的离心率为，虚轴长为，求双曲线的焦点坐标；
（2）设，，若的斜率存在，且，求的斜率；
（3）设的斜率为，且，求双曲线的离心率.
【答案】（1）解：由题意得，
解得，
故双曲线的焦点坐标为．
（2）解：双曲线，可得，
设，直线的斜率为：，
设直线的方程为，
联立直线与双曲线的方程，
消去得，
由直线与双曲线有两个交点，则且，即，
可得，则，
又，
，可得，
即，
将代入上式，可得，
得，可得，
解得，即的斜率为．
（3）解：右焦点为，设直线的方程为，，
联立直线与双曲线的方程，
消去得：，
，
，
则，
由，得，
整理得，则，
即，
则，
整理得，
因为的斜率，所以，整理得，
则，，，
所以离心率.
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用双曲线的虚轴长的定义、双曲线的离心率公式、双曲线中a，b，c三者的关系式，从而解方程组得出a，b，c的值，再结合双曲线的焦点坐标求解方法得出双曲线的焦点坐标。
（2） 利用双曲线可得焦点坐标，即，设，再利用两点求斜率公式得出直线的斜率，设直线的方程为，再利用直线与双曲线相交 ，联立二者方程结合判别式法得出k的取值范围，再结合韦达定理得出，再利用代入法得出，再结合数量积为0两向量垂直的等价关系和数量积的坐标表示以及两点求斜率公式、韦达定理得出直线 的斜率。
（3） 利用右焦点为，设直线的方程为，，再利用直线与双曲线相交，联立二者方程结合判别式法和韦达定理得出和，再利用代入法得出，由结合数量积求向量的模的方法和数量积的坐标表示以及韦达定理和代入法得出再利用直线的斜率，所以，再结合双曲线中a，b，c三者的关系式得出a，c的关系式，再利用双曲线的离心率公式变形得出双曲线的离心率。
22．（2023高二上·西城期末）在平面直角坐标系中，，曲线是由满足直线与的斜率之积等于定值的点组成的集合.
（1）若曲线是一个圆（或圆的一部分），求的值；
（2）若曲线是一个双曲线（或双曲线的一部分），且该双曲线的离心率，求的取值范围.
【答案】（1）解：设且，，由题意知，的斜率存在，
则即，
可化为，
因为曲线是一个圆（或圆的一部分），所以，
可化为，
所以解得.
（2）解：设且，，由题意知，的斜率存在，
则即，
可化为，
因为曲线是一个双曲线（或双曲线的一部分），所以，
可化为，
所以，
因为，
所以解得，
所以的取值范围为.
【知识点】轨迹方程；双曲线的简单性质
【解析】【分析】(1)根据斜率公式即可求出点的轨迹方程，根据轨迹方程，即可求出 ；
(2)由轨迹方程可得焦点在x轴上，此时 ， 根据离心率公式即可求出 的取值范围.
23．（2023高二上·金华期末）已知双曲线，斜率为1的直线过双曲线C上一点交该曲线于另一点B，且线段中点的横坐标为．
（1）求双曲线C的方程；
（2）已知点为双曲线C上一点且位于第一象限，过M作两条直线，且直线均与圆相切．设与双曲线C的另一个交点为P，与双曲线C的另一个交点为Q，则当时，求点M的坐标．
【答案】（1）解：因为，且AB中点的横坐标为，所以，
又因为直线AB的斜率为1，即，所以点，
点坐标代入双曲线方程，得，解得，
所以双曲线方程为．
另解：设，由已知条件可得直线，
即，代入得，
需满足，所以，
由于线段中点的横坐标为，令，得，①
又双曲线C过，得，②
由①②得，满足，所以双曲线方程为．
（2）解：由题意可知的斜率存在，且互为相反数，
点为双曲线C上一点且位于第一象限，故，
设直线的斜率为k，则的斜率为，则．
与圆相切，于是圆心到的距离为，
得．
联立，得，
当时，直线将与双曲线渐近线平行，此时与双曲线不会有两个交点，不合题意，
故，即，则此时与双曲线有两个交点；
设，
于是，得，
，
所以，
同理，
所以，
又．
，
令，解得或．
所以点M的坐标为或．
【知识点】双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1） 利用，且AB中点的横坐标为结合中点坐标公式得出，利用直线AB的斜率为1结合两点求斜率公式得出点B的坐标，再结合点坐标代入双曲线方程得出a，b的值，从而得出双曲线的标准方程。
另解：设，由已知条件可得直线，再代入结合判别式法和韦达定理得出和，由于线段中点的横坐标为，令，得，①，再利用双曲线C过结合代入法得，②，由①②和得出a，b的值，从而得出双曲线的标准方程。
（2） 由题意可知的斜率存在，且互为相反数，利用点为双曲线C上一点且位于第一象限，故，设直线的斜率为k，则的斜率为，则，再利用直线与圆相切结合点到直线的距离公式得出圆心到的距离，从而得出，再利用直线与双曲线相交，联立二者方程结合分类讨论的方法和两直线平行的判断方法以及直线与双曲线的位置关系，故，即，则此时与双曲线有两个交点，设，所以得出点P的坐标，同理得出点Q的坐标，，再利用代入法得出，再结合两点求斜率公式和双曲线的标准方程代入法得出，再利用弦长公式得出，令，从而得出m的值，进而得出点M的坐标。
24．（2023高二上·武汉期末）已知双曲线C：的左右焦点分别为，，右顶点为，点，，．
（1）求双曲线的方程；
（2）直线经过点，且与双曲线相交于，两点，若的面积为，求直线的方程．
【答案】（1）解：由题意可得：，，，
解得，，，
所以双曲线的方程为.
（2）解：由题意可知，直线的斜率不为0，
设：，设，，
联立，消，得，
由，解得，则.
所以，
所以的面积，
由，整理得，
解得，，
所以直线的方程为或.
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1） 根据题意得到，，结合，求得的值，即可求得双曲线的方程；
（2） 设：，联立方程组求得，化简得到，结合，由此得到方程，求得的值，即可求解.
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2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修一3.2 双曲线 同步练习
一、选择题
1．（2023·义乌模拟）双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023高二下·达州期末）已知双曲线的离心率为2，则它的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023高二下·简阳月考）若双曲线 的右焦点为F，以F为圆心， 为半径的圆F与双曲线C的两条渐近线分别交于A，B两点，若四边形OAFB为菱形（O为坐标原点），则双曲线C的离心率 （ ）
A． B． C． D．2
4．若双曲线的渐近线方程为，实轴长为 ，且焦点在x轴上，则该双曲线的标准方程为（ ）
A．或 B．
C． D．
5．（2023·黄埔）若双曲线的两条渐近线与椭圆：的四个交点及椭圆的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·全国甲卷）已知双曲线的离心率为，其中一条渐近线与圆交于A，B两点，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·全国乙卷）设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023高二下·成都期末）如图，已知椭圆和双曲线有公共的焦点，，的离心率分别为，且在第一象限相交于点，则下列说法中错误的是（ ）
① 若，则；② 若，则的值为1；③的面积；④ 若，则当时，取得最小值2．
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
二、多项选择题
9．（2023·湛江模拟）已知双曲线的上焦点为，过焦点作的一条渐近线的垂线，垂足为，并与另一条渐近线交于点，若，则的离心率可能为（ ）
A． B． C． D．
10．（2023高二下·杭州）设双曲线，直线与双曲线的右支交于点，，则下列说法中正确的是 （ ）
A．双曲线离心率的最小值为
B．离心率最小时双曲线的渐近线方程为
C．若直线同时与两条渐近线交于点，，则
D．若，点处的切线与两条渐近线交于点，，则为定值
11．（2023·汕头模拟）已知曲线，，则下列结论正确的是（ ）
A．曲线C可能是圆，也可能是直线
B．曲线C可能是焦点在轴上的椭圆
C．当曲线C表示椭圆时，则越大，椭圆越圆
D．当曲线C表示双曲线时，它的离心率有最小值，且最小值为
12．（2023·大庆模拟）在平面直角坐标系中，双曲线的左、右焦点分别是，，渐近线方程为，M为双曲线E上任意一点，平分，且，，则（ ）
A．双曲线的离心率为
B．双曲线的标准方程为
C．点M到两条渐近线的距离之积为
D．若直线与双曲线E的另一个交点为P，Q为的中点，则
三、填空题
13．（2023·北京卷）已知双曲线C的焦点为和，离心率为，则C的方程为 ．
14．（2023·嘉定模拟）双曲线的离心率为 ．
15．（2023·浦东模拟）双曲线的右焦点F到其一条渐近线的距离为 ．
16．（2023·普陀模拟）设为双曲线：左、右焦点，且的离心率为，若点M在的右支上，直线与的左支相交于点N，且，则 ．
17．（2023·虹口模拟）过原点的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，为的右焦点，若，且，则双曲线的方程为 .
18．（2023·广安模拟）已知为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线从左往右顺次交于两点.若，则双曲线的离心率为 .
19．（2023高二下·揭阳期末）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点在的左支上，，，则的离心率为 ．
20．（2023·新高考Ⅰ卷） 已知双曲线 的左、右焦点分别为 . 点 在 上. 点 在 轴上， ， 则 的离心率为 .
四、解答题
21．（2023高二上·魏县期末）已知双曲线：的左、右焦点分别为、，直线过右焦点且与双曲线交于、两点.
（1）若双曲线的离心率为，虚轴长为，求双曲线的焦点坐标；
（2）设，，若的斜率存在，且，求的斜率；
（3）设的斜率为，且，求双曲线的离心率.
22．（2023高二上·西城期末）在平面直角坐标系中，，曲线是由满足直线与的斜率之积等于定值的点组成的集合.
（1）若曲线是一个圆（或圆的一部分），求的值；
（2）若曲线是一个双曲线（或双曲线的一部分），且该双曲线的离心率，求的取值范围.
23．（2023高二上·金华期末）已知双曲线，斜率为1的直线过双曲线C上一点交该曲线于另一点B，且线段中点的横坐标为．
（1）求双曲线C的方程；
（2）已知点为双曲线C上一点且位于第一象限，过M作两条直线，且直线均与圆相切．设与双曲线C的另一个交点为P，与双曲线C的另一个交点为Q，则当时，求点M的坐标．
24．（2023高二上·武汉期末）已知双曲线C：的左右焦点分别为，，右顶点为，点，，．
（1）求双曲线的方程；
（2）直线经过点，且与双曲线相交于，两点，若的面积为，求直线的方程．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由双曲线 可得焦点在y轴上，
故渐近线斜率为，
即其渐近线方程为： .
故选： C.
【分析】根据双曲线方程得焦点在y轴上，求出渐近线斜率，进而得渐近线方程.
2．【答案】A
【知识点】双曲线的标准方程
【解析】【解答】由双曲线可知，
离心率公式可知，
，
.
故选：A.
【分析】先利用双曲线中离心率公式求出a，c关系，再结合，求出值，最合根据渐近线公式代入化解.
3．【答案】D
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】 解：∵双曲线C的半焦距，
∴圆F过原点O，
依题意易知△OFB是正三角形，
∴∠BOF=60°，
∴，
∴ ，
故选：D.
【分析】根据四边形OAFB为菱形，且圆的半径为 ，得到△OFB是正三角形，∠BOF=60° ，则求解.
4．【答案】C
【知识点】双曲线的定义；双曲线的标准方程
【解析】【解答】由题可得， 解得a=1，b=3. 因为焦点在x轴上，所以双曲线的标准方程为 ，
故选：C.
【分析】根据双曲线的性质求解.
5．【答案】B
【知识点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质
【解析】【解答】 由题意可得双曲线的一条渐近线是，由双曲线的两条渐近线与椭圆：的四个交点及椭圆的两个焦点恰为一个正六边形的顶点， 可得椭圆的焦点坐标F2(c， 0)，F1(-c， 0)，正六边形的一个顶点坐标为，， 由椭圆的定义|AF1|+|AF2|= 2a，得出，即
所以椭圆M的离心率为
故选：B
【分析】 利用已知条件求出椭圆的焦点坐标和正六边形的顶点坐标，再利用正六边形的性质和椭圆的定义及离心率公式即可求解出答案.
6．【答案】D
【知识点】直线和圆的方程的应用；双曲线的定义
【解析】【解答】双曲线定义知，，
渐近线方程为，渐近线与圆有交点，即与圆有交点
圆心到渐近线距离或（舍去），
弦长。
故选：D
【分析】根据题意结合双曲线定义求出渐近线方程，再利用点到直线距离公式求出弦长公式求。
7．【答案】D
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的应用
【解析】【解答】设，，则中点，则，
在双曲线上则，两式相减得，，
.
A：，，，直线：，
联立，
，直线与双曲线没有两个交点.故A错误；
B：，，，直线：，
联立，
，直线与双曲线没有两个交点.故B错误；
C：，，，直线：，
由双曲线方程可得渐近线为，直线为渐近线
直线与双曲线没有两个交点.故C错误；
D：，，，直线：，
联立，
，直线与双曲线有两个交点.故D正确；
故选：D
【分析】设两点分别为，，由中点公式联想利用点差法得出两根和与差的关系，得出，再利用点斜式计算直线方程联立双曲线判断是否有两个交点。
8．【答案】D
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的应用；双曲线的标准方程；双曲线的应用
【解析】【解答】由于椭圆和双曲线有公共的焦点，
c相同，
，
①，
，
，
故①正确.
②，
点P既在椭圆上，又在双曲线上，
，
，
，
故②错误.
③ 由题意知，，
联立方程组，求，
，
，
，
，
，
故③正确.
④ ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
当时，即时，取“=”.
故④错误.
故选：D.
【分析】首先根据椭圆和双曲线有共同焦点，可知c相同，从而得到a，b，m，n的关系，得出①③正确；结合椭圆上点到两个焦点的距离之和公式与双曲线上点到两个焦点的距离之差，可知②错误；利用余弦定理，结合基本不等式，说明④正确.
9．【答案】A,C
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】当时，直线与另一条渐近线平行，所以．
当时，如图1，过作另一条渐近线的垂线，垂足为，则，
由，得，则，所以，
则，，所以，
则，．
当时，如图2，过作另一条渐近线的垂线，垂足为，则，
由，得，则，则，
所以，则，，
所以，则，．
综上，的离心率为或．
故答案为：AC.
【分析】利用直线的垂直关系及，分情况讨论得到关于a，b的方程，化为关于a，c的方程，即可求得离心率.
10．【答案】B,C,D
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由题意可得
由a>0，可得，即e≥2，当且仅当，即a=2时，等号成立，
此时双曲线方程是 ，渐近线方程是 ，故A、B正确；
设直线为x=my+n代入双曲线 可得
又双曲线的渐近线方程为
直线方程代入可得
直与双曲线右支交于两点A、B，与渐近线交于两点C、D、A在B、C两点之间，
即AB、CD的中点重合，则 |AC|=|BD|，故C正确；
当a=1，双曲线的方程为，双曲线的渐近线方程为
设A (m， n)，故双曲线在A (m， n)的切线方程为与y=2x联立可得E的横坐标为，
与y=-2x联立可得E的横坐标为，且
则 为定值，故D正确.
故选：ABCD.
【分析】 利用双曲线的几何性质，逐项计算判断，可得答案.
11．【答案】A,B,D
【知识点】二元二次方程表示圆的条件；椭圆的定义；双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】设，故曲线C的方程可表示为，
对A，当时，曲线C的方程为，可得，此时曲线C为两条直线；
当时，曲线C的方程为，此时曲线C是一个圆；A符合题意；
对B，当时，，曲线C的方程为，此时曲线C为焦点在y轴上的椭圆，B符合题意；
对C，当曲线C表示椭圆时，离心率为，则越大，椭圆越扁，C不符合题意；
对D，当时，，曲线C的方程为，此时曲线C为焦点在x轴上的双曲线，
此时离心率为，由，可得，
即它的离心率有最小值，且最小值为，D符合题意.
故答案为：ABD.
【分析】利用已知条件结合圆的定义、椭圆的定义和焦点的位置、椭圆的离心率与椭圆的形状的关系、双曲线的定义和椭圆的离心率的关系以及最值的求解方法，逐项判断得出答案。
12．【答案】A,C,D
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】不妨设为双曲线的右支上一点，延长，交于点，如图，
因为，所以，即，因为平分，所以为等腰三角形，
则为中点，又为中点，所以，
根据双曲线的定义得，，所以，，因为双曲线的渐近线方程为，所以，得，，，
所以双曲线的标准方程为，离心率为，所以A符合题意，B不正确；
设，代入，即，所以，点到两条渐近线的距离之积为，所以C符合题意；
设，，因为，在双曲线上，所以①，②，
①②并整理得，，因为，，
所以，，所以D符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】不妨设为双曲线的右支上一点，延长，交于点，根据双曲线的定义得，，根据双曲线的性质，逐项进行判断，可得答案.
13．【答案】
【知识点】双曲线的标准方程
【解析】【解答】由题意知，，
解得，
又，
解得，
双曲线方程为。
故答案为：
【分析】由题意知，，又，进而写出双曲线方程。
14．【答案】
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】双曲线的离心率为.
故答案为：
【分析】 由双曲线方程求得a与b，再由隐含条件求解c，可求出离心率.
15．【答案】2
【知识点】平面内点到直线的距离公式；双曲线的简单性质
【解析】【解答】的右焦点为，渐近线方程为，
不妨取，则右焦点F到其一条渐近线的距离为.
故答案为：2
【分析】利用已知条件结合双曲线的标准方程得出a，b的值，再结合双曲线中a，b，c三者的关系式得出c的值，从而得出右焦点F的坐标，再结合双曲线的渐近线方程求解方法得出双曲线的渐近线方程，再利用点到直线的距离公式得出右焦点F到其一条渐近线的距离。
16．【答案】3
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】由的离心率为，
得，解得，
由点M在的右支上，得，
又因，
所以，即.
故答案为：3.
【分析】利用已知条件结合双曲线的离心率公式和双曲线中a，b，c三者的关系式，从而得出a的值，再利用点M在的右支上结合双曲线的定义和，进而得出的值。
17．【答案】
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】如图所示：设双曲线的左焦点为，连接，，
，则，四边形为矩形，.
故，，则，
，故，.
双曲线的方程为.
故答案为：
【分析】 由题意画出图形，设双曲线的左焦点为，连接，，由对称性可得，四边形为矩形，，结合已知求得，由双曲线的定义可得a，再由隐含条件求解b即可得双曲线方程.
18．【答案】
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】双曲线的渐近线方程为，
由题意可得，则，
联立，解得，
联立，解得，
因为两条渐近线从左往右顺次交于两点，且
所以，，，所以，
因为，
所以，
整理得，
则，解得或（舍去），
所以离心率.
故答案为：.
【分析】分别联立直线与双曲线渐近线的方程，求出，，再根据A在B的右侧，可得，再根据，得，进而可得答案.
19．【答案】
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质；余弦定理的应用
【解析】【解答】由双曲线的定义可得：，可得，
因为，可得，
又因为，由余弦定理可得，
即，整理得，
则，即，所以的离心率为.
故答案为：.
【分析】根据双曲线的定义可得，由向量运算可得，解析余弦定理可得，即可得结果.
20．【答案】
【知识点】双曲线的简单性质；双曲线的应用
【解析】【解答】如图
因为，所以，
因为，所以，
因为，所以，设A在x轴上方则可求得，
其中，，即.....①
则B(0，3m)
又，所以，
因为，所以，
即，方程两边同除，则，化简得，即，所以，所以.
故答案为：
【分析】根据题意由坐标表达向量关系，结合双曲线参数关系消b，找出的等量关系。
21．【答案】（1）解：由题意得，
解得，
故双曲线的焦点坐标为．
（2）解：双曲线，可得，
设，直线的斜率为：，
设直线的方程为，
联立直线与双曲线的方程，
消去得，
由直线与双曲线有两个交点，则且，即，
可得，则，
又，
，可得，
即，
将代入上式，可得，
得，可得，
解得，即的斜率为．
（3）解：右焦点为，设直线的方程为，，
联立直线与双曲线的方程，
消去得：，
，
，
则，
由，得，
整理得，则，
即，
则，
整理得，
因为的斜率，所以，整理得，
则，，，
所以离心率.
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用双曲线的虚轴长的定义、双曲线的离心率公式、双曲线中a，b，c三者的关系式，从而解方程组得出a，b，c的值，再结合双曲线的焦点坐标求解方法得出双曲线的焦点坐标。
（2） 利用双曲线可得焦点坐标，即，设，再利用两点求斜率公式得出直线的斜率，设直线的方程为，再利用直线与双曲线相交 ，联立二者方程结合判别式法得出k的取值范围，再结合韦达定理得出，再利用代入法得出，再结合数量积为0两向量垂直的等价关系和数量积的坐标表示以及两点求斜率公式、韦达定理得出直线 的斜率。
（3） 利用右焦点为，设直线的方程为，，再利用直线与双曲线相交，联立二者方程结合判别式法和韦达定理得出和，再利用代入法得出，由结合数量积求向量的模的方法和数量积的坐标表示以及韦达定理和代入法得出再利用直线的斜率，所以，再结合双曲线中a，b，c三者的关系式得出a，c的关系式，再利用双曲线的离心率公式变形得出双曲线的离心率。
22．【答案】（1）解：设且，，由题意知，的斜率存在，
则即，
可化为，
因为曲线是一个圆（或圆的一部分），所以，
可化为，
所以解得.
（2）解：设且，，由题意知，的斜率存在，
则即，
可化为，
因为曲线是一个双曲线（或双曲线的一部分），所以，
可化为，
所以，
因为，
所以解得，
所以的取值范围为.
【知识点】轨迹方程；双曲线的简单性质
【解析】【分析】(1)根据斜率公式即可求出点的轨迹方程，根据轨迹方程，即可求出 ；
(2)由轨迹方程可得焦点在x轴上，此时 ， 根据离心率公式即可求出 的取值范围.
23．【答案】（1）解：因为，且AB中点的横坐标为，所以，
又因为直线AB的斜率为1，即，所以点，
点坐标代入双曲线方程，得，解得，
所以双曲线方程为．
另解：设，由已知条件可得直线，
即，代入得，
需满足，所以，
由于线段中点的横坐标为，令，得，①
又双曲线C过，得，②
由①②得，满足，所以双曲线方程为．
（2）解：由题意可知的斜率存在，且互为相反数，
点为双曲线C上一点且位于第一象限，故，
设直线的斜率为k，则的斜率为，则．
与圆相切，于是圆心到的距离为，
得．
联立，得，
当时，直线将与双曲线渐近线平行，此时与双曲线不会有两个交点，不合题意，
故，即，则此时与双曲线有两个交点；
设，
于是，得，
，
所以，
同理，
所以，
又．
，
令，解得或．
所以点M的坐标为或．
【知识点】双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1） 利用，且AB中点的横坐标为结合中点坐标公式得出，利用直线AB的斜率为1结合两点求斜率公式得出点B的坐标，再结合点坐标代入双曲线方程得出a，b的值，从而得出双曲线的标准方程。
另解：设，由已知条件可得直线，再代入结合判别式法和韦达定理得出和，由于线段中点的横坐标为，令，得，①，再利用双曲线C过结合代入法得，②，由①②和得出a，b的值，从而得出双曲线的标准方程。
（2） 由题意可知的斜率存在，且互为相反数，利用点为双曲线C上一点且位于第一象限，故，设直线的斜率为k，则的斜率为，则，再利用直线与圆相切结合点到直线的距离公式得出圆心到的距离，从而得出，再利用直线与双曲线相交，联立二者方程结合分类讨论的方法和两直线平行的判断方法以及直线与双曲线的位置关系，故，即，则此时与双曲线有两个交点，设，所以得出点P的坐标，同理得出点Q的坐标，，再利用代入法得出，再结合两点求斜率公式和双曲线的标准方程代入法得出，再利用弦长公式得出，令，从而得出m的值，进而得出点M的坐标。
24．【答案】（1）解：由题意可得：，，，
解得，，，
所以双曲线的方程为.
（2）解：由题意可知，直线的斜率不为0，
设：，设，，
联立，消，得，
由，解得，则.
所以，
所以的面积，
由，整理得，
解得，，
所以直线的方程为或.
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1） 根据题意得到，，结合，求得的值，即可求得双曲线的方程；
（2） 设：，联立方程组求得，化简得到，结合，由此得到方程，求得的值，即可求解.
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