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2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修一 3.3 抛物线 同步练习
一、选择题
1．（2023高二上·定州期末）抛物线的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023高二上·大兴期末）抛物线的焦点到准线的距离是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
3．（2023高二上·信阳期末）焦点坐标为的抛物线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022高二上·舟山期末）已知抛物线上一点到焦点的距离是2，则该点到轴的距离为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2023高二上·金华期末）已知抛物线的焦点为F，过C上一点P作抛物线准线的垂线，垂足为Q，若是边长为4的正三角形，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2023高二上·信阳期末）如图，过抛物线的焦点为F的直线交抛物线于A，B两点，交其准线l于点C，若，且，则（ ）
A． B． C．18 D．25
7．（2023高二上·武汉期末）已知抛物线C：的焦点，过F的直线与C交于M，N两点，准线与x轴的交点为A，当时，直线MN的方程为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题
8．（2022高二上·浙江期中）已知抛物线的焦点为，过原点的动直线交抛物线于另一点，交抛物线的准线于点，下列说法正确的是（ ）
A．若为线段中点，则 B．若，则
C．存在直线，使得 D．面积的最小值为2
9．（2022高二上·上饶月考）已知抛物线C：的焦点，过的直线交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，则以下说法正确的是（ ）
A．为定值 B．AB中点的轨迹方程为
C．最小值为16 D．O在以AB为直径的圆外
10．（2023高二上·电白期末）下列关于抛物线的说法正确的是（ ）
A．焦点在y轴上
B．焦点在x轴上
C．抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6
D．由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标可能为
11．（2023高二上·衢州期末）已知斜率为的直线经过抛物线：的焦点，且与抛物线交于，两点，则下列说法正确的是（ ）
A．对任意实数，均有
B．存在实数，使得
C．若，则
D．若，则中点到轴的距离是3
12．（2023高二上·北海期末）点P是抛物线上一动点，若点，记点P到直线的距离为d，则的值可以取（ ）
A．7 B． C．5 D．
13．（2022高二上·浙江月考）已知抛物线是该抛物线上两点，为坐标原点，为焦点，则下列结论正确的是（ ）
A．若直线过点，则
B．若，则线段的中点到准线的距离为1
C．若，则的最小值为
D．若，则
14．（2022高二上·舟山期末）已知抛物线，直线与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，则（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则OA⊥OB
D．若，则OAB面积最小值为
三、填空题
15．（2023高二上·榆林期末）已知点为抛物线C：上的点，且点P到抛物线C的准线的距离为3，则 .
16．（2023高二上·汉中期末）在平面直角坐标系xOy中，若抛物线上的点P到该抛物线的焦点的距离为6，则点P的横坐标x＝ ．
17．（2022高二上·深圳月考）抛物线（）的焦点坐标是 ．
18．（2023高二上·汕尾期末）已知倾斜角为的直线过抛物线的焦点，且与交于、两点（点在第一象限），若，则 .
19．（2023高二上·顺义期末）已知点M在抛物线上，F是抛物线的焦点，直线交x轴于点N，若M为线段的中点，则焦点F坐标是 ， ．
20．（2022高二上·湖北月考）过抛物线的焦点的直线交抛物线于，，若（为坐标原点），且点在抛物线上，则直线的斜率为 .
四、解答题
21．（2023高二上·大兴期末）已知抛物线的焦点为F．
（1）求F的坐标和抛物线C的准线方程；
（2）过点F的直线l与抛物线C交于两个不同点A，B，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求的长．
条件①：直线l的斜率为1；
条件②：线段的中点为．
注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分．
22．（2023高二上·北海期末）已知抛物线，其准线方程为．
（1）求抛物线的方程；
（2）不过原点的直线与抛物线交于不同的两点，且，求的值．
23．（2023高二上·房山期末）已知抛物线C的顶点在原点，对称轴是y轴，焦点F在y轴正半轴，直线l与抛物线C交于A，B两点，线段AB的中点M的纵坐标为2，且．
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）若直线l经过焦点F，求直线l的方程
24．（2023高二上·长春期末）已知抛物线：的焦点到顶点的距离为.
（1）求抛物线的方程；
（2）已知过点的直线交抛物线于不同的两点，，为坐标原点，设直线，的斜率分别为，，求的值.
25．（2023高二上·南山期末）已知点为抛物线的焦点，定点（其中常数满足），动点在上，且的最小值为．
（1）求的方程；
（2）过作两条斜率分别为、的直线、，记与的交点为、，与的交点为、，且线段、的中点分别为、．
（i）当，且时，求面积的最小值；
（ii）当时，证明：直线恒过定点．
26．（2023高二上·大连期末）已知点在抛物线上，直线与交于两点，为坐标原点，且．
（1）求抛物线的焦点到准线的距离；
（2）求面积的最小值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】由，得，
所以抛物线的焦点在轴的正半轴上，且，
所以，，
所以焦点坐标为，
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合抛物线的标准方程得出p的值，再结合抛物线的焦点坐标求解方法得出抛物线的焦点坐标。
2．【答案】C
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】抛物线x2=8y的焦点为(0，2)，准线方程为y=-2，焦点到准线的距离为4.
故答案为：C.
【分析】直接利用抛物线的性质写出结果即可.
3．【答案】B
【知识点】抛物线的标准方程
【解析】【解答】由焦点坐标可设抛物线的标准方程为，
由，所以，
所以，抛物线方程为.
故答案为：B.
【分析】设抛物线的标准方程为，根据题意求得，即可得到抛物线的方程.
4．【答案】A
【知识点】点到直线的距离公式；抛物线的定义
【解析】【解答】由抛物线方程得焦点，准线方程为，
点到焦点的距离是2，
由抛物线的定义的点到准线的距离为2，
所以到轴的距离为.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合抛物线的定义和点到直线的距离公式得出点到轴的距离。
5．【答案】B
【知识点】两点间的距离公式；抛物线的定义
【解析】【解答】由题知，因为是边长为4的正三角形，
所以，
根据抛物线定义可知，即，
所以，故，所以，
所以，解得： .
故答案为：B
【分析】由抛物线的标准方程得出焦点坐标，利用三角形是边长为4的正三角形，所以，根据抛物线定义可知点P的坐标，进而得出点Q的坐标，再结合两点距离公式得出和已知条件得出p的值。
6．【答案】B
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】设准线l与x轴交于点M，过A作，垂足为D，由抛物线定义知，
，由得，，
因为，所以，即，得，
所以抛物线方程为.
设，，则，所以.
设直线，联立，得到，
则，
∴，
∴.
故答案为：B.
【分析】过A作，垂足为D，根据题意求得，得到抛物线方程，根据，设直线，联立方程组得到，得到，结合抛物线的定义，即可求解.
7．【答案】D
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】由题意可知：，则抛物线方程为，所以.
设过F的直线的方程为：，，
联立方程组，整理可得：，
则，，
又因为所以，，
所以，也即，
因为，
所以
即，解得：，所以直线的方程为：，
故答案为：D.
【分析】根据题意先求得抛物线方程为，设过F的直线的方程为，联立方程组求得，，由，得出，结合向量的数量积的运算公式，化简得到，再由，代入列出方程，求得的值，即可求解.
8．【答案】A,D
【知识点】平面向量数量积的运算；抛物线的定义
【解析】【解答】解：抛物线的准线为，焦点，
若为中点，所以，所以，A符合题意；
若，则，所以，B不符合题意；
设，则，所以，，
所以，所以与不垂直，C不符合题意；
，
当且仅当，即时，取等号，
所以面积的最小值为2，D符合题意.
故答案为：AD.
【分析】 求出P点的横坐标，再根据抛物线的定义求出|PF|，即可判断A；根据抛物线的定义求出P点的横坐标，再求出|OP|，即可判断B；设，则，即可判断C；根据，结合基本不等式即可判断D.
9．【答案】A,B,D
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】由题意可知：，所以，则抛物线方程为C：，
设直线l的方程为：，
所以，则，所以，
对于A：，A符合题意；
对于B：设的中点为，
则有，
所以满足，B符合题意；
对于C：
（当且仅当取等号），C不符合题意；
对于D：，则O在以AB为直径的圆外，所以D符合题意．
故答案为：ABD.
【分析】先确定抛物线方程，再根据直线与抛物线联立，结合韦达定理可得，，逐项分析转化为坐标关系求解判断，可得答案.
10．【答案】B,D
【知识点】直线的点斜式方程；抛物线的定义；抛物线的简单性质
【解析】【解答】抛物线的焦点在x轴上，B符合题意，A不符合题意；
设是上的一点，则，所以C不符合题意；
由于抛物线的焦点为，过该焦点的直线方程为，若由原点向该直线作垂线，垂足为时，则，此时存在符合题意的垂线，所以D符合题意．
故答案为：BD
【分析】根据抛物线方程结合抛物线的性质，逐项进行判断，可得答案.
11．【答案】A,C,D
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：由题意可得，，准线方程为，
所以直线的方程为：，
由，可得，
所以，，
所以，A符合题意；
由抛物线的焦点弦公式可知：=，
令，解得，B不符合题意；
当时，即有，
所以有，
又因为，
所以，
解得或（舍），
当时，，所以，即，解得，C符合题意；
当时，即有，所以，所以，
所以中点的横坐标为3，
所以中点到轴的距离是3，故正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据已知条件，设出直线的方程，联立直线与抛物线方程，再结合韦达定理，以及抛物线的焦点弦公式，逐项进行判断，可得答案.
12．【答案】A,B,C
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】抛物线焦点坐标为，准线方程为，
如图，由抛物线定义可知：
故，
连接，此时与抛物线的交点即为的最小值，
故，
故答案为：ABC
【分析】求出焦点坐标为，利用抛物线定义得到，数形结合得到，得到答案.
13．【答案】B,C,D
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】设直线的方程为，
联立得，
A不符合题意.
，
则，
线段的中点到准线的距离为B符合题意.
过焦点，即，
由A选项可得，
当且仅当，且，即时等号成立，∴C符合题意.
，，
相乘得，联立上式解得，
设直线的方程为，联立
，得，
∴直线过定点，则，当且仅当时等号成立，D符合题意.
故答案为：BCD.
【分析】对A选项设，与抛物线联立利用韦达定理即可判断，对B选项利用抛物线定义和梯形中位线即可判断，对C选项，利用抛物线定义和基本不等式即可得到最值，对D选项，设直线的方程为，联立抛物线方程得到一元二次方程，根据韦达定理两根之积求出，即求出直线所过定点，再结合面积表达式和基本不等式即可求出最值.
14．【答案】A,C,D
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】对于A项，因为，直线方程为，，
联立直线与抛物线的方程，消去得：，
由韦达定理得：，当时，解得，A符合题意；
对于B项，因为，，所以，又因为，则，B不符合题意；
对于C项，因为且，所以，
又因为，所以，即得OA⊥OB，故正确；
对于D项，直线方程为，故设直线AB与轴的交点坐标为.
故，
根据，且得，
故，故，
所以，当且仅当时等号成立.
即的面积最小值是，D符合题意；
故答案为：ACD.
【分析】利用已知条件结合抛物线的标准方程等差焦点坐标，再设直线方程为，，再利用直线与抛物线相交，联立直线与抛物线的方程结合韦达定理得出，当时，解得；利用已知条件结合抛物线的标准方程和代入法得出，，所以，再利用，则；利用且结合数量积的坐标表示和韦达定理以及代入法得出，再利用，所以，再结合数量积为0两向量垂直的等价关系，所以OA⊥OB；利用直线方程为，故设直线AB与轴的交点坐标为，再利用三角形的面积的关系式和三角形的面积公式得出，根据，且得，故，再利用三角形的面积公式得出的面积最小值，从而找出正确的选项。
15．【答案】2
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质
【解析】【解答】抛物线的焦点为，准线为，
因为点为抛物线上的点，且点P到抛物线C的焦点F的距离为3，
所以点P到抛物线C的准线的距离为，解得，
故答案为：2
【分析】根据点P到抛物线C的焦点F的距离为3，结合抛物线的几何性质，得出方程，即可求解.
16．【答案】5
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】由题可知.
故答案为：5.
【分析】根据抛物线的定义和焦半径公式即可求解.
17．【答案】
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】由抛物线（），可得，则，所以其焦点坐标为．
【分析】把抛物线的方程化为标准方程，求出p值，确定开口方向，从而写出焦点坐标.
18．【答案】
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】易知点，设点、，
因为直线的倾斜角为，且点在第一象限，则，
联立可得，解得，，
由抛物线的定义可得，可得，
因此，.
故答案为：.
【分析】设点、，则，将直线的方程与抛物线的方程联立，求出，，利用抛物线的定义可求得，再利用抛物线的定义可求得.
19．【答案】；3
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】由，可得焦点在轴上，且焦点坐标为.
设，则.
因为点M在抛物线上，所以，解得.
所以.
故答案为：；3.
【分析】根据抛物线的几何性质，抛物线的焦半径公式，即可分别求出答案.
20．【答案】
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】由题知，当直线的斜率不存在时，不符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立，
化简得，，
设，，，
，，
∵，
∴，，
∵点在抛物线上，，∴，∴.
故答案为：.
【分析】 设直线的方程为，联立， 化简得，设，，，由韦达定理得，，由已知结合点在抛物线上，可得，求解即可.
21．【答案】（1）解：抛物线开口向右，其中，
所以焦点，准线方程为.
（2）解：选择条件①：直线l的斜率为1
所以直线的方程为，
设，，
联立得，显然，
所以，
即.
选择条件②：线段的中点为
设，，则，
即.
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由抛物线的方程可得焦点，准线方程为；
（2） 选择条件①：直线l的斜率为1 ， 所以直线的方程为， 与抛物线的方程联立， 整理得 ，有韦达定理得，由抛物线的性质可得；
选择条件②：线段的中点为 ，则，所以.
22．【答案】（1）解：准线为，，抛物线的方程为；
（2）解：设，联立，得，
，得，则，
因为，则，
则，即，或，经检验，当时，直线过坐标原点，不合题意，又，符合题意；
综上，m的值为．
【知识点】抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由抛物线的准线方程求出，可得抛物线的方程为；
（2）设，联立 ， 得， 根据韦达定理，， ，代入韦达定理化简计算，可得的值．
23．【答案】（1）解：设抛物线方程，，，
由条件可知，，
，得，
所以抛物线C的标准方程是；
（2）解：由（1）可知，直线的斜率存在，且焦点，
设直线，联立，得
，得，
所以直线l的方程是.
【知识点】直线的斜截式方程；抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（1） 设抛物线方程，，，由条件可知，，再利用抛物线的定义结合已知条件得出p的值，从而得出抛物线C的标准方程。
（2） 由（1）可知，直线的斜率存在，且焦点，设直线，再利用直线与抛物线相交，联立二者方程结合韦达定理得出直线的斜率，进而结合斜截式得出直线l的方程。
24．【答案】（1）解：依题意， ，解得 ，
∴抛物线 的方程为
（2）解：当直线 的斜率不存在时，直线 与抛物线 仅有一个交点，不符合题意；
当直线 的斜率存在时，设 的方程为 ， ， ，
由 消去 可得 ，
∵直线 交抛物线 于不同的两点，
∴ ，由韦达定理得 ，
∴ .
【知识点】抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合抛物线的标准方程得出焦点坐标，再结合两点距离公式得出p的值，从而得出抛物线的标准方程。
（2） 当直线 的斜率不存在时，直线 与抛物线 仅有一个交点，不符合题意；当直线 的斜率存在时，设 的方程为 ， ， ，再利用直线与抛物线相交，联立二者方程结合直线 交抛物线 于不同的两点，再利用判别式法和韦达定理得出 和 ，再结合两点求斜率公式得出 的值。
25．【答案】（1）解：易知抛物线的准线的方程为，
过点作，垂足为点，由抛物线的定义可知，
所以，，当且仅当、、三点共线时，等号成立，
所以，，可得，抛物线的方程为.
（2）解：若与轴平行，则与抛物线只有一个公共点，不合乎题意，所以，，同理可知，
设直线的方程为，直线的方程为，
易知，，且.
（i）因为，且，所以，，且，
不妨设、，联立得，
恒成立，由韦达定理可得，且，
所以，点，同理可得点，
所以，
，
当且仅当时，等号成立，
所以，面积的最小值为.
（ii）联立可得，
所以，，且，
所以，点，同理可得点，
所以，，所以，直线的方程为，
整理可得，
，①
因为，可得，
当时，①等价于，即，
所以，直线恒过定点.
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）过点作，垂足为点，根据抛物线的定义得到，进而得到，结合、、三点共线时，等号成立，求得的值，即可求解；
（2） 设直线的方程为，直线的方程为，
（i）不妨设、，联立方程组求得和，得出点的坐标，进而得到，结合基本不等式，即可求解；
（ii）联立方程组求得和，得到的坐标，求得直线的方程，整理可得，结合，求得，结合时，求得直线恒过定点.
26．【答案】（1）解：将点代入方程，解得：.
所以抛物线的焦点到准线的距离为；
（2）解：设，，直线的方程为，联立，消去y，整理得，所以.
因为，所以，即，即
代入可得：，即或（不符合题意，舍去）.
所以
所以当时，面积有最小值．
【知识点】抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合代入法和抛物线的标准方程得出p的值，再结合抛物线的定义和点到直线的距离公式，进而得出抛物线的焦点到准线的距离。
（2） 设，，直线的方程为，再利用直线与抛物线相交，联立二者方程结合判别式法和韦达定理得出，再利用结合数量积为0两向量垂直的等价关系，所以，再结合数量积的坐标表示得出，再结合代入法得出，再利用韦达定理得出b的值，再结合三角形的面积公式和二次函数的图象求最值的方法得出当时三角形面积的最小值。
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2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修一 3.3 抛物线 同步练习
一、选择题
1．（2023高二上·定州期末）抛物线的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】由，得，
所以抛物线的焦点在轴的正半轴上，且，
所以，，
所以焦点坐标为，
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合抛物线的标准方程得出p的值，再结合抛物线的焦点坐标求解方法得出抛物线的焦点坐标。
2．（2023高二上·大兴期末）抛物线的焦点到准线的距离是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】C
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】抛物线x2=8y的焦点为(0，2)，准线方程为y=-2，焦点到准线的距离为4.
故答案为：C.
【分析】直接利用抛物线的性质写出结果即可.
3．（2023高二上·信阳期末）焦点坐标为的抛物线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】抛物线的标准方程
【解析】【解答】由焦点坐标可设抛物线的标准方程为，
由，所以，
所以，抛物线方程为.
故答案为：B.
【分析】设抛物线的标准方程为，根据题意求得，即可得到抛物线的方程.
4．（2022高二上·舟山期末）已知抛物线上一点到焦点的距离是2，则该点到轴的距离为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【知识点】点到直线的距离公式；抛物线的定义
【解析】【解答】由抛物线方程得焦点，准线方程为，
点到焦点的距离是2，
由抛物线的定义的点到准线的距离为2，
所以到轴的距离为.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合抛物线的定义和点到直线的距离公式得出点到轴的距离。
5．（2023高二上·金华期末）已知抛物线的焦点为F，过C上一点P作抛物线准线的垂线，垂足为Q，若是边长为4的正三角形，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】两点间的距离公式；抛物线的定义
【解析】【解答】由题知，因为是边长为4的正三角形，
所以，
根据抛物线定义可知，即，
所以，故，所以，
所以，解得： .
故答案为：B
【分析】由抛物线的标准方程得出焦点坐标，利用三角形是边长为4的正三角形，所以，根据抛物线定义可知点P的坐标，进而得出点Q的坐标，再结合两点距离公式得出和已知条件得出p的值。
6．（2023高二上·信阳期末）如图，过抛物线的焦点为F的直线交抛物线于A，B两点，交其准线l于点C，若，且，则（ ）
A． B． C．18 D．25
【答案】B
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】设准线l与x轴交于点M，过A作，垂足为D，由抛物线定义知，
，由得，，
因为，所以，即，得，
所以抛物线方程为.
设，，则，所以.
设直线，联立，得到，
则，
∴，
∴.
故答案为：B.
【分析】过A作，垂足为D，根据题意求得，得到抛物线方程，根据，设直线，联立方程组得到，得到，结合抛物线的定义，即可求解.
7．（2023高二上·武汉期末）已知抛物线C：的焦点，过F的直线与C交于M，N两点，准线与x轴的交点为A，当时，直线MN的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】由题意可知：，则抛物线方程为，所以.
设过F的直线的方程为：，，
联立方程组，整理可得：，
则，，
又因为所以，，
所以，也即，
因为，
所以
即，解得：，所以直线的方程为：，
故答案为：D.
【分析】根据题意先求得抛物线方程为，设过F的直线的方程为，联立方程组求得，，由，得出，结合向量的数量积的运算公式，化简得到，再由，代入列出方程，求得的值，即可求解.
二、多项选择题
8．（2022高二上·浙江期中）已知抛物线的焦点为，过原点的动直线交抛物线于另一点，交抛物线的准线于点，下列说法正确的是（ ）
A．若为线段中点，则 B．若，则
C．存在直线，使得 D．面积的最小值为2
【答案】A,D
【知识点】平面向量数量积的运算；抛物线的定义
【解析】【解答】解：抛物线的准线为，焦点，
若为中点，所以，所以，A符合题意；
若，则，所以，B不符合题意；
设，则，所以，，
所以，所以与不垂直，C不符合题意；
，
当且仅当，即时，取等号，
所以面积的最小值为2，D符合题意.
故答案为：AD.
【分析】 求出P点的横坐标，再根据抛物线的定义求出|PF|，即可判断A；根据抛物线的定义求出P点的横坐标，再求出|OP|，即可判断B；设，则，即可判断C；根据，结合基本不等式即可判断D.
9．（2022高二上·上饶月考）已知抛物线C：的焦点，过的直线交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，则以下说法正确的是（ ）
A．为定值 B．AB中点的轨迹方程为
C．最小值为16 D．O在以AB为直径的圆外
【答案】A,B,D
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】由题意可知：，所以，则抛物线方程为C：，
设直线l的方程为：，
所以，则，所以，
对于A：，A符合题意；
对于B：设的中点为，
则有，
所以满足，B符合题意；
对于C：
（当且仅当取等号），C不符合题意；
对于D：，则O在以AB为直径的圆外，所以D符合题意．
故答案为：ABD.
【分析】先确定抛物线方程，再根据直线与抛物线联立，结合韦达定理可得，，逐项分析转化为坐标关系求解判断，可得答案.
10．（2023高二上·电白期末）下列关于抛物线的说法正确的是（ ）
A．焦点在y轴上
B．焦点在x轴上
C．抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6
D．由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标可能为
【答案】B,D
【知识点】直线的点斜式方程；抛物线的定义；抛物线的简单性质
【解析】【解答】抛物线的焦点在x轴上，B符合题意，A不符合题意；
设是上的一点，则，所以C不符合题意；
由于抛物线的焦点为，过该焦点的直线方程为，若由原点向该直线作垂线，垂足为时，则，此时存在符合题意的垂线，所以D符合题意．
故答案为：BD
【分析】根据抛物线方程结合抛物线的性质，逐项进行判断，可得答案.
11．（2023高二上·衢州期末）已知斜率为的直线经过抛物线：的焦点，且与抛物线交于，两点，则下列说法正确的是（ ）
A．对任意实数，均有
B．存在实数，使得
C．若，则
D．若，则中点到轴的距离是3
【答案】A,C,D
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：由题意可得，，准线方程为，
所以直线的方程为：，
由，可得，
所以，，
所以，A符合题意；
由抛物线的焦点弦公式可知：=，
令，解得，B不符合题意；
当时，即有，
所以有，
又因为，
所以，
解得或（舍），
当时，，所以，即，解得，C符合题意；
当时，即有，所以，所以，
所以中点的横坐标为3，
所以中点到轴的距离是3，故正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据已知条件，设出直线的方程，联立直线与抛物线方程，再结合韦达定理，以及抛物线的焦点弦公式，逐项进行判断，可得答案.
12．（2023高二上·北海期末）点P是抛物线上一动点，若点，记点P到直线的距离为d，则的值可以取（ ）
A．7 B． C．5 D．
【答案】A,B,C
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】抛物线焦点坐标为，准线方程为，
如图，由抛物线定义可知：
故，
连接，此时与抛物线的交点即为的最小值，
故，
故答案为：ABC
【分析】求出焦点坐标为，利用抛物线定义得到，数形结合得到，得到答案.
13．（2022高二上·浙江月考）已知抛物线是该抛物线上两点，为坐标原点，为焦点，则下列结论正确的是（ ）
A．若直线过点，则
B．若，则线段的中点到准线的距离为1
C．若，则的最小值为
D．若，则
【答案】B,C,D
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】设直线的方程为，
联立得，
A不符合题意.
，
则，
线段的中点到准线的距离为B符合题意.
过焦点，即，
由A选项可得，
当且仅当，且，即时等号成立，∴C符合题意.
，，
相乘得，联立上式解得，
设直线的方程为，联立
，得，
∴直线过定点，则，当且仅当时等号成立，D符合题意.
故答案为：BCD.
【分析】对A选项设，与抛物线联立利用韦达定理即可判断，对B选项利用抛物线定义和梯形中位线即可判断，对C选项，利用抛物线定义和基本不等式即可得到最值，对D选项，设直线的方程为，联立抛物线方程得到一元二次方程，根据韦达定理两根之积求出，即求出直线所过定点，再结合面积表达式和基本不等式即可求出最值.
14．（2022高二上·舟山期末）已知抛物线，直线与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，则（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则OA⊥OB
D．若，则OAB面积最小值为
【答案】A,C,D
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】对于A项，因为，直线方程为，，
联立直线与抛物线的方程，消去得：，
由韦达定理得：，当时，解得，A符合题意；
对于B项，因为，，所以，又因为，则，B不符合题意；
对于C项，因为且，所以，
又因为，所以，即得OA⊥OB，故正确；
对于D项，直线方程为，故设直线AB与轴的交点坐标为.
故，
根据，且得，
故，故，
所以，当且仅当时等号成立.
即的面积最小值是，D符合题意；
故答案为：ACD.
【分析】利用已知条件结合抛物线的标准方程等差焦点坐标，再设直线方程为，，再利用直线与抛物线相交，联立直线与抛物线的方程结合韦达定理得出，当时，解得；利用已知条件结合抛物线的标准方程和代入法得出，，所以，再利用，则；利用且结合数量积的坐标表示和韦达定理以及代入法得出，再利用，所以，再结合数量积为0两向量垂直的等价关系，所以OA⊥OB；利用直线方程为，故设直线AB与轴的交点坐标为，再利用三角形的面积的关系式和三角形的面积公式得出，根据，且得，故，再利用三角形的面积公式得出的面积最小值，从而找出正确的选项。
三、填空题
15．（2023高二上·榆林期末）已知点为抛物线C：上的点，且点P到抛物线C的准线的距离为3，则 .
【答案】2
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质
【解析】【解答】抛物线的焦点为，准线为，
因为点为抛物线上的点，且点P到抛物线C的焦点F的距离为3，
所以点P到抛物线C的准线的距离为，解得，
故答案为：2
【分析】根据点P到抛物线C的焦点F的距离为3，结合抛物线的几何性质，得出方程，即可求解.
16．（2023高二上·汉中期末）在平面直角坐标系xOy中，若抛物线上的点P到该抛物线的焦点的距离为6，则点P的横坐标x＝ ．
【答案】5
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】由题可知.
故答案为：5.
【分析】根据抛物线的定义和焦半径公式即可求解.
17．（2022高二上·深圳月考）抛物线（）的焦点坐标是 ．
【答案】
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】由抛物线（），可得，则，所以其焦点坐标为．
【分析】把抛物线的方程化为标准方程，求出p值，确定开口方向，从而写出焦点坐标.
18．（2023高二上·汕尾期末）已知倾斜角为的直线过抛物线的焦点，且与交于、两点（点在第一象限），若，则 .
【答案】
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】易知点，设点、，
因为直线的倾斜角为，且点在第一象限，则，
联立可得，解得，，
由抛物线的定义可得，可得，
因此，.
故答案为：.
【分析】设点、，则，将直线的方程与抛物线的方程联立，求出，，利用抛物线的定义可求得，再利用抛物线的定义可求得.
19．（2023高二上·顺义期末）已知点M在抛物线上，F是抛物线的焦点，直线交x轴于点N，若M为线段的中点，则焦点F坐标是 ， ．
【答案】；3
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】由，可得焦点在轴上，且焦点坐标为.
设，则.
因为点M在抛物线上，所以，解得.
所以.
故答案为：；3.
【分析】根据抛物线的几何性质，抛物线的焦半径公式，即可分别求出答案.
20．（2022高二上·湖北月考）过抛物线的焦点的直线交抛物线于，，若（为坐标原点），且点在抛物线上，则直线的斜率为 .
【答案】
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】由题知，当直线的斜率不存在时，不符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立，
化简得，，
设，，，
，，
∵，
∴，，
∵点在抛物线上，，∴，∴.
故答案为：.
【分析】 设直线的方程为，联立， 化简得，设，，，由韦达定理得，，由已知结合点在抛物线上，可得，求解即可.
四、解答题
21．（2023高二上·大兴期末）已知抛物线的焦点为F．
（1）求F的坐标和抛物线C的准线方程；
（2）过点F的直线l与抛物线C交于两个不同点A，B，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求的长．
条件①：直线l的斜率为1；
条件②：线段的中点为．
注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分．
【答案】（1）解：抛物线开口向右，其中，
所以焦点，准线方程为.
（2）解：选择条件①：直线l的斜率为1
所以直线的方程为，
设，，
联立得，显然，
所以，
即.
选择条件②：线段的中点为
设，，则，
即.
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由抛物线的方程可得焦点，准线方程为；
（2） 选择条件①：直线l的斜率为1 ， 所以直线的方程为， 与抛物线的方程联立， 整理得 ，有韦达定理得，由抛物线的性质可得；
选择条件②：线段的中点为 ，则，所以.
22．（2023高二上·北海期末）已知抛物线，其准线方程为．
（1）求抛物线的方程；
（2）不过原点的直线与抛物线交于不同的两点，且，求的值．
【答案】（1）解：准线为，，抛物线的方程为；
（2）解：设，联立，得，
，得，则，
因为，则，
则，即，或，经检验，当时，直线过坐标原点，不合题意，又，符合题意；
综上，m的值为．
【知识点】抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由抛物线的准线方程求出，可得抛物线的方程为；
（2）设，联立 ， 得， 根据韦达定理，， ，代入韦达定理化简计算，可得的值．
23．（2023高二上·房山期末）已知抛物线C的顶点在原点，对称轴是y轴，焦点F在y轴正半轴，直线l与抛物线C交于A，B两点，线段AB的中点M的纵坐标为2，且．
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）若直线l经过焦点F，求直线l的方程
【答案】（1）解：设抛物线方程，，，
由条件可知，，
，得，
所以抛物线C的标准方程是；
（2）解：由（1）可知，直线的斜率存在，且焦点，
设直线，联立，得
，得，
所以直线l的方程是.
【知识点】直线的斜截式方程；抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（1） 设抛物线方程，，，由条件可知，，再利用抛物线的定义结合已知条件得出p的值，从而得出抛物线C的标准方程。
（2） 由（1）可知，直线的斜率存在，且焦点，设直线，再利用直线与抛物线相交，联立二者方程结合韦达定理得出直线的斜率，进而结合斜截式得出直线l的方程。
24．（2023高二上·长春期末）已知抛物线：的焦点到顶点的距离为.
（1）求抛物线的方程；
（2）已知过点的直线交抛物线于不同的两点，，为坐标原点，设直线，的斜率分别为，，求的值.
【答案】（1）解：依题意， ，解得 ，
∴抛物线 的方程为
（2）解：当直线 的斜率不存在时，直线 与抛物线 仅有一个交点，不符合题意；
当直线 的斜率存在时，设 的方程为 ， ， ，
由 消去 可得 ，
∵直线 交抛物线 于不同的两点，
∴ ，由韦达定理得 ，
∴ .
【知识点】抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合抛物线的标准方程得出焦点坐标，再结合两点距离公式得出p的值，从而得出抛物线的标准方程。
（2） 当直线 的斜率不存在时，直线 与抛物线 仅有一个交点，不符合题意；当直线 的斜率存在时，设 的方程为 ， ， ，再利用直线与抛物线相交，联立二者方程结合直线 交抛物线 于不同的两点，再利用判别式法和韦达定理得出 和 ，再结合两点求斜率公式得出 的值。
25．（2023高二上·南山期末）已知点为抛物线的焦点，定点（其中常数满足），动点在上，且的最小值为．
（1）求的方程；
（2）过作两条斜率分别为、的直线、，记与的交点为、，与的交点为、，且线段、的中点分别为、．
（i）当，且时，求面积的最小值；
（ii）当时，证明：直线恒过定点．
【答案】（1）解：易知抛物线的准线的方程为，
过点作，垂足为点，由抛物线的定义可知，
所以，，当且仅当、、三点共线时，等号成立，
所以，，可得，抛物线的方程为.
（2）解：若与轴平行，则与抛物线只有一个公共点，不合乎题意，所以，，同理可知，
设直线的方程为，直线的方程为，
易知，，且.
（i）因为，且，所以，，且，
不妨设、，联立得，
恒成立，由韦达定理可得，且，
所以，点，同理可得点，
所以，
，
当且仅当时，等号成立，
所以，面积的最小值为.
（ii）联立可得，
所以，，且，
所以，点，同理可得点，
所以，，所以，直线的方程为，
整理可得，
，①
因为，可得，
当时，①等价于，即，
所以，直线恒过定点.
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）过点作，垂足为点，根据抛物线的定义得到，进而得到，结合、、三点共线时，等号成立，求得的值，即可求解；
（2） 设直线的方程为，直线的方程为，
（i）不妨设、，联立方程组求得和，得出点的坐标，进而得到，结合基本不等式，即可求解；
（ii）联立方程组求得和，得到的坐标，求得直线的方程，整理可得，结合，求得，结合时，求得直线恒过定点.
26．（2023高二上·大连期末）已知点在抛物线上，直线与交于两点，为坐标原点，且．
（1）求抛物线的焦点到准线的距离；
（2）求面积的最小值．
【答案】（1）解：将点代入方程，解得：.
所以抛物线的焦点到准线的距离为；
（2）解：设，，直线的方程为，联立，消去y，整理得，所以.
因为，所以，即，即
代入可得：，即或（不符合题意，舍去）.
所以
所以当时，面积有最小值．
【知识点】抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合代入法和抛物线的标准方程得出p的值，再结合抛物线的定义和点到直线的距离公式，进而得出抛物线的焦点到准线的距离。
（2） 设，，直线的方程为，再利用直线与抛物线相交，联立二者方程结合判别式法和韦达定理得出，再利用结合数量积为0两向量垂直的等价关系，所以，再结合数量积的坐标表示得出，再结合代入法得出，再利用韦达定理得出b的值，再结合三角形的面积公式和二次函数的图象求最值的方法得出当时三角形面积的最小值。
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