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2023-2024学年高中数学人教A版必修一 3.1 函数概念及其表示 同步练习
一、选择题
1.(2023高一上·官渡期末)已知集合,集合,下列图象能建立从集合A到集合B的函数关系的是( )
A. B.
C. D.
2.(2023高一上·北海期末)函数的定义域是( )
A. B.
C. D.
3.(2022高一上·平阳期中)下列各组函数表示相同函数的是( )
A.和
B.和
C.和
D.和
4.(2022高一上·河北期中)函数的定义域为( )
A. B.
C. D.
5.(2023高一上·襄阳期末)下列函数中,值域为的是( )
A. B.
C. D.
6.(2023高一上·新化期末)若函数的定义域为,则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
7.(2023高一上·闵行期末)存在函数,满足对任意都有( )
A. B.
C. D.
8.(2023高一上·武汉期末)已知函数的定义域为,则函数的定义域为( )
A. B. C. D.
9.(2022高一上·柳州月考)已知,则函数的解析式是( )
A. B.
C. D.
10.(2022高一上·武冈期中)已知函数,(),则它的值域为( )
A. B.(-3,0) C.(-1,0) D.(-2,0)
11.(2022高一上·重庆月考)已知函数,则函数的值域为( )
A. B. C. D.
12.(2022高一上·泗洪期中)已知,则的值域是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
13.(2022高一上·鞍山期中)下列选项中正确的是( )
A.函数的定义域为
B.函数与函数是同一个函数
C.函数中的表示不超过最大整数,则当的值为时,
D.若函数,则
14.(2023高一上·绍兴期末)已知函数,则( )
A.
B.
C.定义域为时,值域为
D.值域为时,定义域为
15.(2022高一上·龙岗期中)下列函数中值域为的是( )
A. B. C. D.
16.(2022高一上·博罗期中)有以下判断,其中是正确判断的有( )
A.与表示同一函数
B.函数的图象与直线的交点最多有1个
C.已知,若则.
D.若,则
三、填空题
17.(2023高一上·闵行期末)观察函数的图像,写出它的值域为 .
18.(2022高一上·北海期中)已知函数的定义域是,则的定义域为 .
19.(2022高一上·农安期中)已知函数的定义域是,则的取值范围为 .
20.(2022高一上·金台期中)函数的定义域为 .
21.(2022高一上·重庆月考)函数的值域为 .
22.(2022高一上·河南期中)已知函数的值域为,则实数的取值范围为 .
23.(2022高一上·辽宁期中)已知函数的定义域为,设函数,则函数的定义域是 .
24.(2022高一上·扬州期中)已知函数,若,则的值域是 ;若的值域是,则参数的取值范围是 .
四、解答题
25.(2022高一上·清远期中)已知二次函数关于直线对称,,且二次函数的图像经过点(1,2).
(1)求的解析式;
(2)求在上的值域.
26.(2022高一上·龙岗期中)已知函数,且,.
(1)求的解析式;
(2)若在上的值域为求的值.
27.(2022高一上·鞍山期中)已知定义在上的函数的图像经过原点,在上为一次函数,在上为二次函数,且时,,,
(1)求的解析式;
(2)求关于的方程的解集.
28.(2022高一上·江苏月考)已知是二次函数,且满足.
(1)求的解析式.
(2)已知函数满足以下两个条件:①的图象恒在图象的下方;②对任意恒成立.求的最大值.
答案解析部分
1.【答案】D
【知识点】函数的概念及其构成要素;函数的图象
【解析】【解答】对A:存在点使一个与两个对应,不符合,排除;
对B:当时,没有与之对应的,不符合,排除;
对C:的范围超出了集合的范围,不符合,排除;
对D:满足函数关系的条件,正确.
故答案为:D
【分析】利用已知条件结合函数的定义,进而找出能建立从集合A到集合B的函数关系的函数的图象。
2.【答案】C
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】要使函数有意义,则有,
解得:且,
所以函数的定义域为,
故答案为:C.
【分析】根据函数的解析式有意义,列出相应的不等式组,求解可得函数的定义域.
3.【答案】C
【知识点】判断两个函数是否为同一函数
【解析】【解答】解:对于A中,函数的定义域为,函数的定义域为,两个函数的定义域不同,所以表示不同的函数;
对于B中,函数的定义域为,函数的定义域为,两个函数的定义域不同,所以表示不同的函数;
对于C中,函数与的定义域和对应法则都相同,所以表示相同的函数;
对于D中,函数的定义域为,函数的定义域为,两个函数的定义域不同,所以表示不同的函数.
故答案为:C
【分析】根据相等函数的概念,结合函数的定义域与对应法则,逐项判定,即可求解.
4.【答案】B
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】由,解得且,
故函数的定义域为.
故答案为:B.
【分析】 由根式内部的代数式大于等于0,指数为0的底数不为0,联立不等式组求解可得函数的定义域.
5.【答案】C
【知识点】函数的值域
【解析】【解答】由已知值域为,A不符合题意;
时,等号成立,所以的值域是,B不符合题意;
因为定义域为, ,函数值域为,C符合题意;
,,,所以,D不符合题意.
故答案为:C.
【分析】分别求出各个选项中函数的值域从而判断,可得答案.
6.【答案】D
【知识点】函数的定义域及其求法;函数恒成立问题
【解析】【解答】因为函数的定义域为,
所以不等式的解集为,
当时,恒成立,满足题意;
当时,则有,解得:,
综上所述:的取值范围是。
故答案为:.
【分析】利用函数的定义域为,所以不等式的解集为,再利用分类讨论的方法,当时,恒成立,满足题意;当时结合二次函数的图象的开口方向和判别式法,进而得出实数的取值范围。
7.【答案】C
【知识点】函数的概念及其构成要素
【解析】【解答】根据函数的定义,对任意的,按照某种对应法则,存在唯一的与之对应.
对于A:
若取,则有,取,则有,不满足函数定义,A不符合题意;
对于B:
若取,则有,取,则有,不满足函数定义,B不符合题意;
对于C:
令,,
所以,即,
令,则有, 即,
所以存在这样的函数, C选项正确;
对于D选项:
若取,则有,取,则有,不满足函数定义,D不符合题意;
故答案为:C.
【分析】 利用x取特殊值,通过函数的定义判断A,B;利用换元法求解函数解析式可判断C,D.
8.【答案】D
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】设,则,
因为函数的定义域为,所以当时,有意义,
所以,故当且仅当时,函数有意义,
所以函数的定义域为,
由函数有意义可得,所以,
所以函数的定义域为。
故答案为:D.
【分析】利用已知条件结合换元法和定义域求解方法得出函数f(x)的定义域,再结合构造法和定义域求解方法,进而得出函数的定义域。
9.【答案】B
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】令由于,则,
所以,,得;
所以,函数的解析式为;
故答案为:B.
【分析】利用换元法,令从而化简可得,进而求出函数的解析式.
10.【答案】D
【知识点】函数的值域
【解析】【解答】由题意,函数
设,则,可得
故的值域为.
故答案为:D.
【分析】化简函数,利用换元法可求出的取值范围,即可求解出的值域.
11.【答案】B
【知识点】函数的值域
【解析】【解答】,对称轴,
因为所以函数的值域为:。
故答案为:B
【分析】利用已知条件结合x的取值范围和二次函数的图象求值域的方法,进而得出函数的值域。
12.【答案】B
【知识点】函数的值域
【解析】【解答】令,则,,
则,,
又的对称轴为,
则,
所以函数的值域为.
故答案为:B
【分析】 先利用换元法求得函数解析式,再由二次函数的性质即可求得 的值域 .
13.【答案】A,C,D
【知识点】函数的概念及其构成要素;判断两个函数是否为同一函数;函数的定义域及其求法;函数的值
【解析】【解答】对于A;令,故定义域为,A符合题意,
对于B; 的定义域为,的定义域为,定义域不同,故不是同一个函数,
对于C;,故正确,
对于D;由,取得 ,故正确。
故答案为:ACD
【分析】利用已知条件结合偶次根式函数求定义域的方法和分式函数的定义域求解方法,再结合交集的运算法则得出函数f(x)的定义域;再利用同一函数的判断方法,即定义域和对应关系都相同,则两函数相同;利用函数中的表示不超过最大整数结合x的值和代入法得出y的值;再利用已知条件结合赋值法得出函数的值,从而找出正确的选项。
14.【答案】A,B,C
【知识点】函数的定义域及其求法;函数的值域;函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】对于,因为函数,则,A符合题意;
对于,因为函数,则,B符合题意;
对于,因为函数,若函数的定义域为,函数在定义域内单调递减,由二次函数的图象和性质可得,函数的值域为,C符合题意;
对于,因为函数的值域为,所以函数对应的定义域为或或,D不符合题意,
故答案为:ABC.
【分析】根据函数的解析式分别从函数的对应法则,定义域和值域逐项进行检验即可判断.
15.【答案】A,B
【知识点】函数的值域
【解析】【解答】函数的值域为,A符合题意;
函数的值域为,B符合题意;
函数的值域为,C不符合题意;
函数的值域为R,D不符合题意.
故答案为:AB.
【分析】利用已知条件结合函数求值域的方法得出值域为的函数。
16.【答案】B,C
【知识点】判断两个函数是否为同一函数;函数的值;函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】对于A,函数的定义域为,函数定义域为,
两函数的定义域不同,所以不是同一函数,A不符合题意;
对于B,若函数在处有定义,则的图象与直线的交点有1个;
若函数在处没有定义,则的图象与直线没有交点,B符合题意;
对于C,,所以,
所以,所以,若则,C符合题意;
对于D,由,可得,所以,D不符合题意;
故答案为:BC.
【分析】利用已知条件结合同一函数的判断方法,即定义域和对应关系都相同,则两函数相同;利用函数f(x)的图象和直线的图象求出交点的个数;利用已知条件结合函数的解析式得出,再利用进而得出的值;再结合函数的解析式和代入法得出的值,从而找出判断正确的选项。
17.【答案】
【知识点】函数的值域
【解析】【解答】根据函数图象,
函数的的最大值和最小值分别为2和0,
而且函数值取值不间断,
所以它的值域为.
故答案为:.
【分析】根据函数图象和函数的值域的定义即可求出答案.
18.【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】.函数的定义域为是,
即,则;
对于,有,
则.
故答案为:
【分析】根据抽象函数的定义域解法,先求出的范围,即为f (x)的定义域,再将x+1代入即可求 的定义域 .
19.【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】因为函数的定义域为,所以对恒成立,
当时,,符合题意;
当时,由,解得;
当时,显然不恒大于或等于0.
综上所述,的取值范围是.
故答案为:.
【分析】根据函数的定义域为可得对恒成立,对参数的取值范围分类讨论,分别求出对应的范围,进而得出结果.
20.【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】依题意,,
解得或,且,
所以的定义域为。
故答案为:。
【分析】利用已知条件结合偶次根式函数的定义域和分式函数的定义域求解方法,再结合交集 的运算法则,进而得出函数f(x)的定义域。
21.【答案】
【知识点】函数的值域
【解析】【解答】令,则,
可得:,
∵函数的对称轴为,
∴当时,函数取到最大值,
即函数的最大值为,故函数的值域为。
故答案为:。
【分析】利用已知条件结合换元法和二次函数的图象求值域的方法,进而得出函数f(x)的值域。
22.【答案】
【知识点】函数的值域;分段函数的应用
【解析】【解答】因为当时,,要使的值域为,必须满足当时,单调递增,故.
当时,,故当时,
当时,,不等式恒成立;
当时,,解得,即.
综上所述:实数的取值范围为.
故答案为:
【分析】根据题意确定,考虑,两种情况,根据函数的单调性得到取值范围,计算得到答案.
23.【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】因为函数的定义域为,所以,,
即,解得,
故函数,则函数的定义域是。
故答案为:。
分析】利用已知条件结合函数的定义域为合构造法和换元法得出函数f(1-2x)的定义域,再结合分式函数求定义域的方法和偶次根式函数求定义域的方法,再利用交集的运算法则得出函数F(X)的定义域。
24.【答案】;.
【知识点】函数的值域;函数的图象
【解析】【解答】当时,,
当时,,
当时,,
故的值域是;
若的值域是,
因为时,,
因为时,,故需满足 ,
又因为需满足 ,则,故参数的取值范围是,即,
故答案为:;.
【分析】若c=0,分别求出f (x)在[-2, 0]及(0, 3]上的最值,取并集可得 的值域;若的值域是求出时,,运用单调性即可求出参数的取值范围 .
25.【答案】(1)解:设
由题意可得
解得
故.
(2)解:由题可知函数的对称轴为
所以函数在区间上单调递减,在区间上单调递增
因为,,
所以函数在上的值域为.
【知识点】函数的值域;函数解析式的求解及常用方法
【解析】【分析】(1)待定系数法设二次函数的解析式,根据题意联立方程组解出即可;
(2)利用二次函数的性质求二次函数在闭区间上的值域.
26.【答案】(1)解:,
函数的图象的对称轴为,
即,
解得;
又,
;
(2)解:由(1)知在上的值域为,
,
即,
故在上单调递增,
故,
即,是方程的两个不同的解,
即,是方程的两个不同的解,
故,,
故.
【知识点】函数的值域;函数解析式的求解及常用方法;一元二次方程的解集及其根与系数的关系
【解析】【分析】(1)利用已知条件结合函数的解析式和代入法,进而得出a,b的值,从而得出函数的解析式。
(2) 由(1)结合二次函数的图象求值域的方法得出函数在上的值域,进而得出n的取值范围,再利用增函数的定义判断出函数在上单调递增,再利用已知条件和二次函数的单调性求出二次函数的值域,进而得出,是方程的两个不同的解,即,是方程的两个不同的解,再利用韦达定理得出的值。
27.【答案】(1)解:当时,∵,
∴设.
又,∴,解得.
∴,.
∴.
故和时,的图象均过点.
∵当时,为一次函数,
∴设.
∵的图像过原点,∴,
∴,即.
将点代入,得,即
所以,.
综上所述,的解析式为.
(2)解:当时,,解得;
当时,,即,解得,
又因为,,
所以,
综上所述,的取值为或.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法;一元二次方程的解集及其根与系数的关系
【解析】【分析】(1)利用已知条件结合一次函数的解析式和代入法,再利用二次函数的解析式和代入法以及二次函数的图象求最值的方法,进而得出分段函数f(x)的解析式。
(2)利用已知条件结合分类讨论的方法,再结合一元一次方程求解方法和一元二次方程求解方法,进而得出关于的方程的解集。
28.【答案】(1)解:设,由,得.
由,
得,
整理得,
所以,解得
所以.
(2)解:由题可得,
令,则,故.
对任意,即恒成立,则且
所以,又,得.
则,
当且仅当时,等号成立,
此时成立,即的图象恒在图象的下方,符合题意.
所以的最大值为.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法;函数恒成立问题;二次函数在闭区间上的最值
【解析】【分析】(1)利用已知条件结合二次函数的解析式和代入法,进而得出二次函数的系数,从而得出二次函数的解析式。
(2) 由题可得,令,则,进而得出的值,对任意,即恒成立,再利用判别式法,则且,所以,再利用,得出,则,再利用二次函数的图象求最值的方法得出bc+3a的最大值,进而结合二次函数的图象求最值的方法得出此时成立,进而得出函数的图象恒在图象的下方,符合题意,从而得出的最大值。
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2023-2024学年高中数学人教A版必修一 3.1 函数概念及其表示 同步练习
一、选择题
1.(2023高一上·官渡期末)已知集合,集合,下列图象能建立从集合A到集合B的函数关系的是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【知识点】函数的概念及其构成要素;函数的图象
【解析】【解答】对A:存在点使一个与两个对应,不符合,排除;
对B:当时,没有与之对应的,不符合,排除;
对C:的范围超出了集合的范围,不符合,排除;
对D:满足函数关系的条件,正确.
故答案为:D
【分析】利用已知条件结合函数的定义,进而找出能建立从集合A到集合B的函数关系的函数的图象。
2.(2023高一上·北海期末)函数的定义域是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】要使函数有意义,则有,
解得:且,
所以函数的定义域为,
故答案为:C.
【分析】根据函数的解析式有意义,列出相应的不等式组,求解可得函数的定义域.
3.(2022高一上·平阳期中)下列各组函数表示相同函数的是( )
A.和
B.和
C.和
D.和
【答案】C
【知识点】判断两个函数是否为同一函数
【解析】【解答】解:对于A中,函数的定义域为,函数的定义域为,两个函数的定义域不同,所以表示不同的函数;
对于B中,函数的定义域为,函数的定义域为,两个函数的定义域不同,所以表示不同的函数;
对于C中,函数与的定义域和对应法则都相同,所以表示相同的函数;
对于D中,函数的定义域为,函数的定义域为,两个函数的定义域不同,所以表示不同的函数.
故答案为:C
【分析】根据相等函数的概念,结合函数的定义域与对应法则,逐项判定,即可求解.
4.(2022高一上·河北期中)函数的定义域为( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】由,解得且,
故函数的定义域为.
故答案为:B.
【分析】 由根式内部的代数式大于等于0,指数为0的底数不为0,联立不等式组求解可得函数的定义域.
5.(2023高一上·襄阳期末)下列函数中,值域为的是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【知识点】函数的值域
【解析】【解答】由已知值域为,A不符合题意;
时,等号成立,所以的值域是,B不符合题意;
因为定义域为, ,函数值域为,C符合题意;
,,,所以,D不符合题意.
故答案为:C.
【分析】分别求出各个选项中函数的值域从而判断,可得答案.
6.(2023高一上·新化期末)若函数的定义域为,则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【知识点】函数的定义域及其求法;函数恒成立问题
【解析】【解答】因为函数的定义域为,
所以不等式的解集为,
当时,恒成立,满足题意;
当时,则有,解得:,
综上所述:的取值范围是。
故答案为:.
【分析】利用函数的定义域为,所以不等式的解集为,再利用分类讨论的方法,当时,恒成立,满足题意;当时结合二次函数的图象的开口方向和判别式法,进而得出实数的取值范围。
7.(2023高一上·闵行期末)存在函数,满足对任意都有( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【知识点】函数的概念及其构成要素
【解析】【解答】根据函数的定义,对任意的,按照某种对应法则,存在唯一的与之对应.
对于A:
若取,则有,取,则有,不满足函数定义,A不符合题意;
对于B:
若取,则有,取,则有,不满足函数定义,B不符合题意;
对于C:
令,,
所以,即,
令,则有, 即,
所以存在这样的函数, C选项正确;
对于D选项:
若取,则有,取,则有,不满足函数定义,D不符合题意;
故答案为:C.
【分析】 利用x取特殊值,通过函数的定义判断A,B;利用换元法求解函数解析式可判断C,D.
8.(2023高一上·武汉期末)已知函数的定义域为,则函数的定义域为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】设,则,
因为函数的定义域为,所以当时,有意义,
所以,故当且仅当时,函数有意义,
所以函数的定义域为,
由函数有意义可得,所以,
所以函数的定义域为。
故答案为:D.
【分析】利用已知条件结合换元法和定义域求解方法得出函数f(x)的定义域,再结合构造法和定义域求解方法,进而得出函数的定义域。
9.(2022高一上·柳州月考)已知,则函数的解析式是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】令由于,则,
所以,,得;
所以,函数的解析式为;
故答案为:B.
【分析】利用换元法,令从而化简可得,进而求出函数的解析式.
10.(2022高一上·武冈期中)已知函数,(),则它的值域为( )
A. B.(-3,0) C.(-1,0) D.(-2,0)
【答案】D
【知识点】函数的值域
【解析】【解答】由题意,函数
设,则,可得
故的值域为.
故答案为:D.
【分析】化简函数,利用换元法可求出的取值范围,即可求解出的值域.
11.(2022高一上·重庆月考)已知函数,则函数的值域为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【知识点】函数的值域
【解析】【解答】,对称轴,
因为所以函数的值域为:。
故答案为:B
【分析】利用已知条件结合x的取值范围和二次函数的图象求值域的方法,进而得出函数的值域。
12.(2022高一上·泗洪期中)已知,则的值域是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【知识点】函数的值域
【解析】【解答】令,则,,
则,,
又的对称轴为,
则,
所以函数的值域为.
故答案为:B
【分析】 先利用换元法求得函数解析式,再由二次函数的性质即可求得 的值域 .
二、多项选择题
13.(2022高一上·鞍山期中)下列选项中正确的是( )
A.函数的定义域为
B.函数与函数是同一个函数
C.函数中的表示不超过最大整数,则当的值为时,
D.若函数,则
【答案】A,C,D
【知识点】函数的概念及其构成要素;判断两个函数是否为同一函数;函数的定义域及其求法;函数的值
【解析】【解答】对于A;令,故定义域为,A符合题意,
对于B; 的定义域为,的定义域为,定义域不同,故不是同一个函数,
对于C;,故正确,
对于D;由,取得 ,故正确。
故答案为:ACD
【分析】利用已知条件结合偶次根式函数求定义域的方法和分式函数的定义域求解方法,再结合交集的运算法则得出函数f(x)的定义域;再利用同一函数的判断方法,即定义域和对应关系都相同,则两函数相同;利用函数中的表示不超过最大整数结合x的值和代入法得出y的值;再利用已知条件结合赋值法得出函数的值,从而找出正确的选项。
14.(2023高一上·绍兴期末)已知函数,则( )
A.
B.
C.定义域为时,值域为
D.值域为时,定义域为
【答案】A,B,C
【知识点】函数的定义域及其求法;函数的值域;函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】对于,因为函数,则,A符合题意;
对于,因为函数,则,B符合题意;
对于,因为函数,若函数的定义域为,函数在定义域内单调递减,由二次函数的图象和性质可得,函数的值域为,C符合题意;
对于,因为函数的值域为,所以函数对应的定义域为或或,D不符合题意,
故答案为:ABC.
【分析】根据函数的解析式分别从函数的对应法则,定义域和值域逐项进行检验即可判断.
15.(2022高一上·龙岗期中)下列函数中值域为的是( )
A. B. C. D.
【答案】A,B
【知识点】函数的值域
【解析】【解答】函数的值域为,A符合题意;
函数的值域为,B符合题意;
函数的值域为,C不符合题意;
函数的值域为R,D不符合题意.
故答案为:AB.
【分析】利用已知条件结合函数求值域的方法得出值域为的函数。
16.(2022高一上·博罗期中)有以下判断,其中是正确判断的有( )
A.与表示同一函数
B.函数的图象与直线的交点最多有1个
C.已知,若则.
D.若,则
【答案】B,C
【知识点】判断两个函数是否为同一函数;函数的值;函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】对于A,函数的定义域为,函数定义域为,
两函数的定义域不同,所以不是同一函数,A不符合题意;
对于B,若函数在处有定义,则的图象与直线的交点有1个;
若函数在处没有定义,则的图象与直线没有交点,B符合题意;
对于C,,所以,
所以,所以,若则,C符合题意;
对于D,由,可得,所以,D不符合题意;
故答案为:BC.
【分析】利用已知条件结合同一函数的判断方法,即定义域和对应关系都相同,则两函数相同;利用函数f(x)的图象和直线的图象求出交点的个数;利用已知条件结合函数的解析式得出,再利用进而得出的值;再结合函数的解析式和代入法得出的值,从而找出判断正确的选项。
三、填空题
17.(2023高一上·闵行期末)观察函数的图像,写出它的值域为 .
【答案】
【知识点】函数的值域
【解析】【解答】根据函数图象,
函数的的最大值和最小值分别为2和0,
而且函数值取值不间断,
所以它的值域为.
故答案为:.
【分析】根据函数图象和函数的值域的定义即可求出答案.
18.(2022高一上·北海期中)已知函数的定义域是,则的定义域为 .
【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】.函数的定义域为是,
即,则;
对于,有,
则.
故答案为:
【分析】根据抽象函数的定义域解法,先求出的范围,即为f (x)的定义域,再将x+1代入即可求 的定义域 .
19.(2022高一上·农安期中)已知函数的定义域是,则的取值范围为 .
【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】因为函数的定义域为,所以对恒成立,
当时,,符合题意;
当时,由,解得;
当时,显然不恒大于或等于0.
综上所述,的取值范围是.
故答案为:.
【分析】根据函数的定义域为可得对恒成立,对参数的取值范围分类讨论,分别求出对应的范围,进而得出结果.
20.(2022高一上·金台期中)函数的定义域为 .
【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】依题意,,
解得或,且,
所以的定义域为。
故答案为:。
【分析】利用已知条件结合偶次根式函数的定义域和分式函数的定义域求解方法,再结合交集 的运算法则,进而得出函数f(x)的定义域。
21.(2022高一上·重庆月考)函数的值域为 .
【答案】
【知识点】函数的值域
【解析】【解答】令,则,
可得:,
∵函数的对称轴为,
∴当时,函数取到最大值,
即函数的最大值为,故函数的值域为。
故答案为:。
【分析】利用已知条件结合换元法和二次函数的图象求值域的方法,进而得出函数f(x)的值域。
22.(2022高一上·河南期中)已知函数的值域为,则实数的取值范围为 .
【答案】
【知识点】函数的值域;分段函数的应用
【解析】【解答】因为当时,,要使的值域为,必须满足当时,单调递增,故.
当时,,故当时,
当时,,不等式恒成立;
当时,,解得,即.
综上所述:实数的取值范围为.
故答案为:
【分析】根据题意确定,考虑,两种情况,根据函数的单调性得到取值范围,计算得到答案.
23.(2022高一上·辽宁期中)已知函数的定义域为,设函数,则函数的定义域是 .
【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】因为函数的定义域为,所以,,
即,解得,
故函数,则函数的定义域是。
故答案为:。
分析】利用已知条件结合函数的定义域为合构造法和换元法得出函数f(1-2x)的定义域,再结合分式函数求定义域的方法和偶次根式函数求定义域的方法,再利用交集的运算法则得出函数F(X)的定义域。
24.(2022高一上·扬州期中)已知函数,若,则的值域是 ;若的值域是,则参数的取值范围是 .
【答案】;.
【知识点】函数的值域;函数的图象
【解析】【解答】当时,,
当时,,
当时,,
故的值域是;
若的值域是,
因为时,,
因为时,,故需满足 ,
又因为需满足 ,则,故参数的取值范围是,即,
故答案为:;.
【分析】若c=0,分别求出f (x)在[-2, 0]及(0, 3]上的最值,取并集可得 的值域;若的值域是求出时,,运用单调性即可求出参数的取值范围 .
四、解答题
25.(2022高一上·清远期中)已知二次函数关于直线对称,,且二次函数的图像经过点(1,2).
(1)求的解析式;
(2)求在上的值域.
【答案】(1)解:设
由题意可得
解得
故.
(2)解:由题可知函数的对称轴为
所以函数在区间上单调递减,在区间上单调递增
因为,,
所以函数在上的值域为.
【知识点】函数的值域;函数解析式的求解及常用方法
【解析】【分析】(1)待定系数法设二次函数的解析式,根据题意联立方程组解出即可;
(2)利用二次函数的性质求二次函数在闭区间上的值域.
26.(2022高一上·龙岗期中)已知函数,且,.
(1)求的解析式;
(2)若在上的值域为求的值.
【答案】(1)解:,
函数的图象的对称轴为,
即,
解得;
又,
;
(2)解:由(1)知在上的值域为,
,
即,
故在上单调递增,
故,
即,是方程的两个不同的解,
即,是方程的两个不同的解,
故,,
故.
【知识点】函数的值域;函数解析式的求解及常用方法;一元二次方程的解集及其根与系数的关系
【解析】【分析】(1)利用已知条件结合函数的解析式和代入法,进而得出a,b的值,从而得出函数的解析式。
(2) 由(1)结合二次函数的图象求值域的方法得出函数在上的值域,进而得出n的取值范围,再利用增函数的定义判断出函数在上单调递增,再利用已知条件和二次函数的单调性求出二次函数的值域,进而得出,是方程的两个不同的解,即,是方程的两个不同的解,再利用韦达定理得出的值。
27.(2022高一上·鞍山期中)已知定义在上的函数的图像经过原点,在上为一次函数,在上为二次函数,且时,,,
(1)求的解析式;
(2)求关于的方程的解集.
【答案】(1)解:当时,∵,
∴设.
又,∴,解得.
∴,.
∴.
故和时,的图象均过点.
∵当时,为一次函数,
∴设.
∵的图像过原点,∴,
∴,即.
将点代入,得,即
所以,.
综上所述,的解析式为.
(2)解:当时,,解得;
当时,,即,解得,
又因为,,
所以,
综上所述,的取值为或.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法;一元二次方程的解集及其根与系数的关系
【解析】【分析】(1)利用已知条件结合一次函数的解析式和代入法,再利用二次函数的解析式和代入法以及二次函数的图象求最值的方法,进而得出分段函数f(x)的解析式。
(2)利用已知条件结合分类讨论的方法,再结合一元一次方程求解方法和一元二次方程求解方法,进而得出关于的方程的解集。
28.(2022高一上·江苏月考)已知是二次函数,且满足.
(1)求的解析式.
(2)已知函数满足以下两个条件:①的图象恒在图象的下方;②对任意恒成立.求的最大值.
【答案】(1)解:设,由,得.
由,
得,
整理得,
所以,解得
所以.
(2)解:由题可得,
令,则,故.
对任意,即恒成立,则且
所以,又,得.
则,
当且仅当时,等号成立,
此时成立,即的图象恒在图象的下方,符合题意.
所以的最大值为.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法;函数恒成立问题;二次函数在闭区间上的最值
【解析】【分析】(1)利用已知条件结合二次函数的解析式和代入法,进而得出二次函数的系数,从而得出二次函数的解析式。
(2) 由题可得,令,则,进而得出的值,对任意,即恒成立,再利用判别式法,则且,所以,再利用,得出,则,再利用二次函数的图象求最值的方法得出bc+3a的最大值,进而结合二次函数的图象求最值的方法得出此时成立,进而得出函数的图象恒在图象的下方,符合题意,从而得出的最大值。
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