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2023-2024学年高中数学人教A版必修一 3.2 函数的基本性质 同步练习
一、选择题
1．（2023高一上·宝安期末）下列选项中，在定义域内既是奇函数又是增函数的为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023高一上·福田期末）函数是定义在R上的偶函数，且当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023高一上·永吉期末）已知奇函数，当时，，则使成立的的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023高一上·河北期末）已知是定义在上的偶函数，且在区间单调递减，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022高一上·葫芦岛月考）已知 ， 设函数 则的值可能为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
6．（2022高一上·河北期中）定义在上的偶函数满足：对任意的，有，则（ ）
A． B．
C． D．
7．（2022高一上·北海期中）已知函数，且，则（ ）
A． B．2 C．3 D．8
8．（2022高一上·北海期中）已知定义域为R的奇函数在上单调递减，且，则满足的x的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2023高一上·钦州期末）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，已知函数，则函数的值域为（ ）
A． B．
C． D．
10．（2023高一上·武汉期末）设函数的最大值为，最小值为，则（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题
11．（2021高一上·章丘期中）已知偶函数的定义域为，也是偶函数，当时，.若，则（ ）
A． B．
C． D．
12．（2022高一上·梧州月考）下列说法中，不正确的有（ ）
A．若对任意，，当时，，则在上是增函数
B．函数在上是增函数
C．函数在定义域上是增函数
D．函数的单调减区间是
13．（2022高一上·贵阳月考）下列函数中是奇函数的有（ ）
A． B． C． D．
14．（2022高一上·齐齐哈尔期中）下列函数在定义域上是奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
15．（2022高一上·清远月考）下列函数中是偶函数，且在为增函数的是（ ）
A． B．
C． D．
16．（2023高一上·吉林期末）下列函数中满足“对任意，，且，都有”的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
17．（2023高一上·汕尾期末）已知函数，则的单调递增区间为 .
18．（2022高一上·梧州月考）函数的单调减区间是 ．
19．（2022高一上·南充期末）定义在上的奇函数在上是减函数，若，则实数的取值范围为 .
20．（2022高一上·泸州期末）若函数是上的偶函数，则的值为 .
21．（2022高一上·东城期末）已知函数是定义在R上的增函数，且，那么实数a的取值范围为 ．
22．（2021高一上·江西期中）设函数是奇函数，且在内是增函数，又，则的解集是
四、解答题
23．（2022高一上·河南期中）已知是定义在上的奇函数，当时，，且．
（1）求的解析式；
（2）画出的图象，并根据图象写出的单调区间（直接写出，无需证明）．
24．（2022高一上·天津市期中）设函数是定义在上的奇函数，且．
（1）求a，b的值；
（2）试判断的单调性，并用定义法证明．
25．（2022高一上·石景山期末）已知函数．
（1）用定义证明函数在区间上单调递增；
（2）对任意都有成立，求实数的取值范围．
26．（2021高一上·江西期中）已知函数.
（1）用定义法证明：函数为减函数；
（2）解关于x的不等式.
27．（2021高一上·青岛期中）已知偶函数 的定义域为 ， ，当 时，函数 ．
（1）求实数m的值；
（2）当 时，求函数 的解析式；
（3）利用定义判断并证明函数 在区间 的单调性．
28．（2023高一上·单县期末）已知函数，是奇函数.
（1）求实数的值；
（2）讨论函数在上的单调性，并求函数在上的最大值和最小值.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断
【解析】【解答】对A：在上单调递减，A不符合题意；
对B：在上单调递增，但在定义域内不是增函数，B不符合题意；
对C：由可知：在定义域内是偶函数，C不符合题意；
对D：由可知：定义域内是奇函数，
∵，在在上单调递增，在上单调递增，且在上连续不断，
∴在上单调递增，D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据函数在上单调递减，可判定A不符合题意；根据函数单调性，可判定B不符合题意；根据函数是偶函数，可判定C不符合题意；根据，结合二次函数的性质和函数的奇偶性的定义，可判定D符合题意.
2．【答案】D
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】因为是定义在R上的偶函数，故当时，.
又当时，；
当时，，
故.
故即，
结合偶函数性质与的单调性可得，
即，，解得.
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合偶函数的定义和函数的单调性，进而得出不等式 的解集 。
3．【答案】D
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】解：当时，，令f(x)=0，得x=-1，
又是奇函数，
易知f(1)=0，
作出函数f(x)的图象，如图所示：
综上易知当x∈ 时，f(x)<0.
故选：D
【分析】由函数的奇偶性，结合已知条件，画出函数的图象，数形结合，即可得答案.
4．【答案】A
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】依题意是定义在上的偶函数，且在区间单调递减，
所以，
.
故答案为：A
【分析】根据函数的奇偶性和单调性化简，由此求得不等式的解集.
5．【答案】C
【知识点】函数奇偶性的性质
【解析】【解答】令 ， 所以为奇函数，
所以 ， 因为， 所以为不小于 2 的偶数，
故答案为：C
【分析】令 ，利用奇偶函数的定义可得为奇函数，可得，即可求出答案.
6．【答案】A
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】由题意可知，在上单调递减，而是偶函数，
故在上单调递增，，
故答案为：A
【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得出答案.
7．【答案】D
【知识点】函数奇偶性的性质
【解析】【解答】由，令，
则，，
故是奇函数，
所以，
所以．
故答案为：D．
【分析】令，可证明是奇函数，再利用奇函数的性质进行计算，可得答案.
8．【答案】A
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】因为是定义在上的奇函数，在单调递减，且，
所以，且在上单调递减，
所以时，；
时，.
由，得或，解得，或，
故答案为：A．
【分析】由题意可得，且在上单调递减，再讨论，求解不等式，可得 x的取值范围.
9．【答案】B
【知识点】函数的值域；函数单调性的性质
【解析】【解答】，
所以，
所以函数在单调递减，在单调递增，
所以==，
又，，
所以的值域为.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合高斯函数的定义，再结合函数的单调性，进而得出函数的最值，从而得出函数的值域。
10．【答案】D
【知识点】函数的最值及其几何意义；奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】，
可令，则，
为定义在上的奇函数，，
则，。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合奇函数的定义和函数最值求解方法，进而得出M+m的值。
11．【答案】B,C
【知识点】函数单调性的性质；函数奇偶性的性质
【解析】【解答】由是偶函数，有，.
由是偶函数，有，则，.
∴，解得.
∵在上单调递增，
∴，又，
∴.
故答案为：BC
【分析】根据题意由偶函数的性质整理化简已知条件，由此计算出a的取值，从而得出函数的解析式，再根据函数的单调性，即可比较出函数值的大小，从而得出答案。
12．【答案】B,C,D
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数单调性的判断与证明
【解析】【解答】对任意，，当时，，由知：
，所以，A正确，不符合题意；
函数在上先单调递减再单调递增，B错误，符合题意；
函数在定义域上函数图象不连续，在定义域上不是增函数，
C错误，符合题意；
函数的单调减区间是，单调区间不能用连结，D错误，符合题意．
故答案为：BCD.
【分析】利用已知条件结合单调函数的定义，从而判断出函数的单调性，进而得出函数的单调区间，从而选出不正确的选项。
13．【答案】A,C
【知识点】函数奇偶性的判断
【解析】【解答】对于A，定义域为，因为，所以函数为奇函数，所以A符合题意，
对于B，定义域为，因为，所以函数不是奇函数，所以B不符合题意，
对于C，定义域为，因为，所以函数为奇函数，所以C符合题意，
对于D，定义域为，因为，所以函数为偶函数，不是奇函数，所以D不符合题意。
故答案为：AC
【分析】利用已知条件结合奇函数的定义，进而找出奇函数。
14．【答案】A,B,C,D
【知识点】函数奇偶性的判断
【解析】【解答】对于A，定义域为 ，关于原点对称， ，是奇函数；
对于B，定义域为R，关于原点对称，，是奇函数；
对于C，定义域为R，关于原点对称， ，是奇函数；
对于D，定义域为R，关于原点对称， ，是奇函数；
故答案为：ABCD.
【分析】根据函数奇偶性的定义和判定方法，逐项判定，即可求解.
15．【答案】A,C,D
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于，，偶函数，且在为增函数，符合题意；
对于，，不是偶函数，不符合题意；
对于，，是偶函数，在上为增函数，故在为增函数，符合题意；
对于，，是偶函数，且在为增函数，符合题意；
故答案为：ACD．
【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．
16．【答案】B,C,D
【知识点】函数单调性的判断与证明
【解析】【解答】解：函数 满足 “对任意，，且，都有” ，则有函数f(x)在 上单调递增，
函数 在R上单调递减，A不是；
函数 在上单调递增，B是；
函数 在上单调递增，C是；
函数 在上单调递增，D是.
故选：BCD
【分析】根据给定条件，确定函数f(x)的单调性，再逐项判断作答.
17．【答案】
【知识点】函数的单调性及单调区间
【解析】【解答】当时，单调递减；
当时，，在上单调递增，在单调递减；
故答案为：
【分析】分别运用一次函数的单调性和二次函数的单调性，可得 的单调递增区间.
18．【答案】
【知识点】函数的单调性及单调区间
【解析】【解答】函数是图象开口向下的二次函数，其对称轴为，所以其单调减区间是。
故答案为：。
【分析】利用已知条件结合二次函数的图象的开口方向和对称性，进而求出二次函数的单调递减区间。
19．【答案】（-1，3）
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】解：是定义在上的奇函数，且在上是减函数
在定义域上是减函数，且
，即
故可知，即可解得
实数的取值范围为（-1，3）.
故答案为：（-1，3）
【分析】 利用奇函数的性质，可得f (x)在R上是减函数，且f(0)= 0， 可等价转化为，求解可得实数的取值范围 .
20．【答案】
【知识点】函数奇偶性的性质
【解析】【解答】函数是定义在上的偶函数，
，即．
，，
，∴，
故答案为：.
【分析】由奇偶函数的性质即可得出a的取值，然后由偶函数的定义代入验证就得出答案。
21．【答案】
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】由已知条件得，解得，
则实数的取值范围为。
故答案为：。
【分析】利用已知条件结合函数的单调性，进而得出实数a的取值范围。
22．【答案】，，
【知识点】函数单调性的性质；函数奇偶性的性质；奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】是上的奇函数，且在内是增函数，
在内也是增函数，
又，（3），
当，，时，；当，，时，；
的解集是，，．
故答案为：，，．
【分析】根据题意由奇函数的定义以及函数单调性的性质，整理化简已知条件即可得出当x位于不同区间上的函数f(x)的单调性，由此即可得出不等式的解集。
23．【答案】（1）解：是定义在上的奇函数，所以，，
解得．
所以当时，，
当时，，．
所以
（2）解：的图象如下：
由图可知，的单调增区间为和，单调减区间为．
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数奇偶性的性质
【解析】【分析】（1）根据，得到， 当时，，，代入计算得到解析式；
（2）画出函数图象，根据图象得到函数单调区间.
24．【答案】（1）解：∵函数是定义在上的奇函数，
∴由，得．
又∵，
∴，解之得；
所以函数的解析式为：，a=2，b=0；
（2）解：）在上单调递增，理由如下：
设，
则
∵，
∴，即，
所以在上单调递增．
【知识点】函数单调性的判断与证明；奇函数
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合奇函数的性质和代入法，进而得出实数a，b的值。
（2）利用a，b的值求出函数的解析式，再利用增函数的定义，进而判断并证出函数的单调性。
25．【答案】（1）解：任取，且，
因为，所以，
所以，即.所以在上为单调递增
（2）解：任意都有成立，即.
由（1）知在上为增函数，所以时，.
所以实数的取值范围是.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质
【解析】【分析】(1)根据题意由函数单调性的定义，整理化简已知条件由此即可得出函数的单调性。
(2)由已知条件由分离参数法，即可得出m的不等式，再由函数f(x)的单调性即可得出函数f(x)的最值，从而得出m的取值范围。
26．【答案】（1）证明：设，
则
因为，
所以，，，，
因此，即，
所以函数在区间上是减函数.
（2）解：由可得，
因为，定义域为关于原点对称，
且，因此是奇函数，
所以不等式可化为.
又函数在区间上是减函数，
所以解得.
所以原不等式的解集为.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质
【解析】【分析】(1)根据题意由函数的单调性的定义整理化简，即可得出函数的单调性。
(2)由已知条件结合奇函数的定义整理化简即可得出，函数为奇函数，结合奇函数的性质即可得到不等式，然后由函数的单调性即可得出关于x的不等式组，求解出x的取值范围，从而即可得出不等式的解集。
27．【答案】（1）因为 是偶函数，所以 ，解得 ；
（2） 时， ， ．
（3）设 ， ，
，
所以 ，
所以 在 上是增函数．
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的性质
【解析】【分析】(1)根据题意由偶函数的定义代入数值计算出m的取值即可。
(2)由已知条件即可求出函数的解析式。
(3)根据题意由函数的单调性整理化简，即可得证出函数的单调性。
28．【答案】（1）解：∵是奇函数，所以，
检验知，时，，是奇函数，所以；
（2）解：，且，有
，
∵，∴，即，
又，所以，即，
所以函数在上单调递减，
所以当时，取得最大值；当时，取得最小值.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的性质
【解析】【分析】(1)由已知结合奇函数的性质f(0)=0可求出实数的值；
(2))先设 ，且，然后利用作差法比较f(x1)与f(x2)的大小即可判断函数单调性，然后结合单调性即可求解出函数在上的最大值和最小值.
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2023-2024学年高中数学人教A版必修一 3.2 函数的基本性质 同步练习
一、选择题
1．（2023高一上·宝安期末）下列选项中，在定义域内既是奇函数又是增函数的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断
【解析】【解答】对A：在上单调递减，A不符合题意；
对B：在上单调递增，但在定义域内不是增函数，B不符合题意；
对C：由可知：在定义域内是偶函数，C不符合题意；
对D：由可知：定义域内是奇函数，
∵，在在上单调递增，在上单调递增，且在上连续不断，
∴在上单调递增，D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据函数在上单调递减，可判定A不符合题意；根据函数单调性，可判定B不符合题意；根据函数是偶函数，可判定C不符合题意；根据，结合二次函数的性质和函数的奇偶性的定义，可判定D符合题意.
2．（2023高一上·福田期末）函数是定义在R上的偶函数，且当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】因为是定义在R上的偶函数，故当时，.
又当时，；
当时，，
故.
故即，
结合偶函数性质与的单调性可得，
即，，解得.
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合偶函数的定义和函数的单调性，进而得出不等式 的解集 。
3．（2023高一上·永吉期末）已知奇函数，当时，，则使成立的的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】解：当时，，令f(x)=0，得x=-1，
又是奇函数，
易知f(1)=0，
作出函数f(x)的图象，如图所示：
综上易知当x∈ 时，f(x)<0.
故选：D
【分析】由函数的奇偶性，结合已知条件，画出函数的图象，数形结合，即可得答案.
4．（2023高一上·河北期末）已知是定义在上的偶函数，且在区间单调递减，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】依题意是定义在上的偶函数，且在区间单调递减，
所以，
.
故答案为：A
【分析】根据函数的奇偶性和单调性化简，由此求得不等式的解集.
5．（2022高一上·葫芦岛月考）已知 ， 设函数 则的值可能为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】函数奇偶性的性质
【解析】【解答】令 ， 所以为奇函数，
所以 ， 因为， 所以为不小于 2 的偶数，
故答案为：C
【分析】令 ，利用奇偶函数的定义可得为奇函数，可得，即可求出答案.
6．（2022高一上·河北期中）定义在上的偶函数满足：对任意的，有，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】由题意可知，在上单调递减，而是偶函数，
故在上单调递增，，
故答案为：A
【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得出答案.
7．（2022高一上·北海期中）已知函数，且，则（ ）
A． B．2 C．3 D．8
【答案】D
【知识点】函数奇偶性的性质
【解析】【解答】由，令，
则，，
故是奇函数，
所以，
所以．
故答案为：D．
【分析】令，可证明是奇函数，再利用奇函数的性质进行计算，可得答案.
8．（2022高一上·北海期中）已知定义域为R的奇函数在上单调递减，且，则满足的x的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】因为是定义在上的奇函数，在单调递减，且，
所以，且在上单调递减，
所以时，；
时，.
由，得或，解得，或，
故答案为：A．
【分析】由题意可得，且在上单调递减，再讨论，求解不等式，可得 x的取值范围.
9．（2023高一上·钦州期末）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，已知函数，则函数的值域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】函数的值域；函数单调性的性质
【解析】【解答】，
所以，
所以函数在单调递减，在单调递增，
所以==，
又，，
所以的值域为.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合高斯函数的定义，再结合函数的单调性，进而得出函数的最值，从而得出函数的值域。
10．（2023高一上·武汉期末）设函数的最大值为，最小值为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数的最值及其几何意义；奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】，
可令，则，
为定义在上的奇函数，，
则，。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合奇函数的定义和函数最值求解方法，进而得出M+m的值。
二、多项选择题
11．（2021高一上·章丘期中）已知偶函数的定义域为，也是偶函数，当时，.若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B,C
【知识点】函数单调性的性质；函数奇偶性的性质
【解析】【解答】由是偶函数，有，.
由是偶函数，有，则，.
∴，解得.
∵在上单调递增，
∴，又，
∴.
故答案为：BC
【分析】根据题意由偶函数的性质整理化简已知条件，由此计算出a的取值，从而得出函数的解析式，再根据函数的单调性，即可比较出函数值的大小，从而得出答案。
12．（2022高一上·梧州月考）下列说法中，不正确的有（ ）
A．若对任意，，当时，，则在上是增函数
B．函数在上是增函数
C．函数在定义域上是增函数
D．函数的单调减区间是
【答案】B,C,D
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数单调性的判断与证明
【解析】【解答】对任意，，当时，，由知：
，所以，A正确，不符合题意；
函数在上先单调递减再单调递增，B错误，符合题意；
函数在定义域上函数图象不连续，在定义域上不是增函数，
C错误，符合题意；
函数的单调减区间是，单调区间不能用连结，D错误，符合题意．
故答案为：BCD.
【分析】利用已知条件结合单调函数的定义，从而判断出函数的单调性，进而得出函数的单调区间，从而选出不正确的选项。
13．（2022高一上·贵阳月考）下列函数中是奇函数的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,C
【知识点】函数奇偶性的判断
【解析】【解答】对于A，定义域为，因为，所以函数为奇函数，所以A符合题意，
对于B，定义域为，因为，所以函数不是奇函数，所以B不符合题意，
对于C，定义域为，因为，所以函数为奇函数，所以C符合题意，
对于D，定义域为，因为，所以函数为偶函数，不是奇函数，所以D不符合题意。
故答案为：AC
【分析】利用已知条件结合奇函数的定义，进而找出奇函数。
14．（2022高一上·齐齐哈尔期中）下列函数在定义域上是奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,B,C,D
【知识点】函数奇偶性的判断
【解析】【解答】对于A，定义域为 ，关于原点对称， ，是奇函数；
对于B，定义域为R，关于原点对称，，是奇函数；
对于C，定义域为R，关于原点对称， ，是奇函数；
对于D，定义域为R，关于原点对称， ，是奇函数；
故答案为：ABCD.
【分析】根据函数奇偶性的定义和判定方法，逐项判定，即可求解.
15．（2022高一上·清远月考）下列函数中是偶函数，且在为增函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于，，偶函数，且在为增函数，符合题意；
对于，，不是偶函数，不符合题意；
对于，，是偶函数，在上为增函数，故在为增函数，符合题意；
对于，，是偶函数，且在为增函数，符合题意；
故答案为：ACD．
【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．
16．（2023高一上·吉林期末）下列函数中满足“对任意，，且，都有”的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B,C,D
【知识点】函数单调性的判断与证明
【解析】【解答】解：函数 满足 “对任意，，且，都有” ，则有函数f(x)在 上单调递增，
函数 在R上单调递减，A不是；
函数 在上单调递增，B是；
函数 在上单调递增，C是；
函数 在上单调递增，D是.
故选：BCD
【分析】根据给定条件，确定函数f(x)的单调性，再逐项判断作答.
三、填空题
17．（2023高一上·汕尾期末）已知函数，则的单调递增区间为 .
【答案】
【知识点】函数的单调性及单调区间
【解析】【解答】当时，单调递减；
当时，，在上单调递增，在单调递减；
故答案为：
【分析】分别运用一次函数的单调性和二次函数的单调性，可得 的单调递增区间.
18．（2022高一上·梧州月考）函数的单调减区间是 ．
【答案】
【知识点】函数的单调性及单调区间
【解析】【解答】函数是图象开口向下的二次函数，其对称轴为，所以其单调减区间是。
故答案为：。
【分析】利用已知条件结合二次函数的图象的开口方向和对称性，进而求出二次函数的单调递减区间。
19．（2022高一上·南充期末）定义在上的奇函数在上是减函数，若，则实数的取值范围为 .
【答案】（-1，3）
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】解：是定义在上的奇函数，且在上是减函数
在定义域上是减函数，且
，即
故可知，即可解得
实数的取值范围为（-1，3）.
故答案为：（-1，3）
【分析】 利用奇函数的性质，可得f (x)在R上是减函数，且f(0)= 0， 可等价转化为，求解可得实数的取值范围 .
20．（2022高一上·泸州期末）若函数是上的偶函数，则的值为 .
【答案】
【知识点】函数奇偶性的性质
【解析】【解答】函数是定义在上的偶函数，
，即．
，，
，∴，
故答案为：.
【分析】由奇偶函数的性质即可得出a的取值，然后由偶函数的定义代入验证就得出答案。
21．（2022高一上·东城期末）已知函数是定义在R上的增函数，且，那么实数a的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】由已知条件得，解得，
则实数的取值范围为。
故答案为：。
【分析】利用已知条件结合函数的单调性，进而得出实数a的取值范围。
22．（2021高一上·江西期中）设函数是奇函数，且在内是增函数，又，则的解集是
【答案】，，
【知识点】函数单调性的性质；函数奇偶性的性质；奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】是上的奇函数，且在内是增函数，
在内也是增函数，
又，（3），
当，，时，；当，，时，；
的解集是，，．
故答案为：，，．
【分析】根据题意由奇函数的定义以及函数单调性的性质，整理化简已知条件即可得出当x位于不同区间上的函数f(x)的单调性，由此即可得出不等式的解集。
四、解答题
23．（2022高一上·河南期中）已知是定义在上的奇函数，当时，，且．
（1）求的解析式；
（2）画出的图象，并根据图象写出的单调区间（直接写出，无需证明）．
【答案】（1）解：是定义在上的奇函数，所以，，
解得．
所以当时，，
当时，，．
所以
（2）解：的图象如下：
由图可知，的单调增区间为和，单调减区间为．
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数奇偶性的性质
【解析】【分析】（1）根据，得到， 当时，，，代入计算得到解析式；
（2）画出函数图象，根据图象得到函数单调区间.
24．（2022高一上·天津市期中）设函数是定义在上的奇函数，且．
（1）求a，b的值；
（2）试判断的单调性，并用定义法证明．
【答案】（1）解：∵函数是定义在上的奇函数，
∴由，得．
又∵，
∴，解之得；
所以函数的解析式为：，a=2，b=0；
（2）解：）在上单调递增，理由如下：
设，
则
∵，
∴，即，
所以在上单调递增．
【知识点】函数单调性的判断与证明；奇函数
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合奇函数的性质和代入法，进而得出实数a，b的值。
（2）利用a，b的值求出函数的解析式，再利用增函数的定义，进而判断并证出函数的单调性。
25．（2022高一上·石景山期末）已知函数．
（1）用定义证明函数在区间上单调递增；
（2）对任意都有成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：任取，且，
因为，所以，
所以，即.所以在上为单调递增
（2）解：任意都有成立，即.
由（1）知在上为增函数，所以时，.
所以实数的取值范围是.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质
【解析】【分析】(1)根据题意由函数单调性的定义，整理化简已知条件由此即可得出函数的单调性。
(2)由已知条件由分离参数法，即可得出m的不等式，再由函数f(x)的单调性即可得出函数f(x)的最值，从而得出m的取值范围。
26．（2021高一上·江西期中）已知函数.
（1）用定义法证明：函数为减函数；
（2）解关于x的不等式.
【答案】（1）证明：设，
则
因为，
所以，，，，
因此，即，
所以函数在区间上是减函数.
（2）解：由可得，
因为，定义域为关于原点对称，
且，因此是奇函数，
所以不等式可化为.
又函数在区间上是减函数，
所以解得.
所以原不等式的解集为.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质
【解析】【分析】(1)根据题意由函数的单调性的定义整理化简，即可得出函数的单调性。
(2)由已知条件结合奇函数的定义整理化简即可得出，函数为奇函数，结合奇函数的性质即可得到不等式，然后由函数的单调性即可得出关于x的不等式组，求解出x的取值范围，从而即可得出不等式的解集。
27．（2021高一上·青岛期中）已知偶函数 的定义域为 ， ，当 时，函数 ．
（1）求实数m的值；
（2）当 时，求函数 的解析式；
（3）利用定义判断并证明函数 在区间 的单调性．
【答案】（1）因为 是偶函数，所以 ，解得 ；
（2） 时， ， ．
（3）设 ， ，
，
所以 ，
所以 在 上是增函数．
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的性质
【解析】【分析】(1)根据题意由偶函数的定义代入数值计算出m的取值即可。
(2)由已知条件即可求出函数的解析式。
(3)根据题意由函数的单调性整理化简，即可得证出函数的单调性。
28．（2023高一上·单县期末）已知函数，是奇函数.
（1）求实数的值；
（2）讨论函数在上的单调性，并求函数在上的最大值和最小值.
【答案】（1）解：∵是奇函数，所以，
检验知，时，，是奇函数，所以；
（2）解：，且，有
，
∵，∴，即，
又，所以，即，
所以函数在上单调递减，
所以当时，取得最大值；当时，取得最小值.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的性质
【解析】【分析】(1)由已知结合奇函数的性质f(0)=0可求出实数的值；
(2))先设 ，且，然后利用作差法比较f(x1)与f(x2)的大小即可判断函数单调性，然后结合单调性即可求解出函数在上的最大值和最小值.
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