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2023-2024学年高中数学人教A版必修一 3.3 幂函数 同步练习
一、选择题
1．（2023高一上·惠来期末）已知幂函数的图象过点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域；幂函数的图象
【解析】【解答】设，则，
得，
所以．
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合幂函数的图象过点（2，16）和代入法得出的值，从而得出函数的解析式。
2．（2022高一上·诸暨期末）已知幂函数的图像过点，若，则实数的值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】D
【知识点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域；幂函数的图象
【解析】【解答】由题意幂函数的图像过点，
则，则
由得，
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合幂函数的图象过点和代入法得出幂函数的解析式，再利用代入法和幂函数 的解析式，进而解方程得出m的值。
3．（2022高一上·清远月考）已知幂函数的图象过点，则（ ）
A．8 B． C．4 D．
【答案】C
【知识点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域
【解析】【解答】设幂函数，将点代入，即，
解得，所以，
所以.
故答案为：C.
【分析】将点坐标代入幂函数解析式，解出幂函数解析式，进而计算.
4．（2023高一上·榆林期末）已知幂函数的图象经过原点，则（ ）
A．－1 B．1 C．3 D．2
【答案】C
【知识点】幂函数的性质
【解析】【解答】解：令，解得或.
当时，的图象不经过原点.
当时，的图象经过原点.
故答案为：C
【分析】由题意得，解得或，验证图象经过原点，即可得解.
5．（2023高一上·安徽期末）已知函数是幂函数，且为偶函数，则实数（ ）
A．或 B． C． D．
【答案】D
【知识点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域；幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】由幂函数的定义知，解得或．
又因为为偶函数，所以指数为偶数，故只有满足．
故答案为：D．
【分析】利用已知条件结合幂函数的定义和偶函数的定义，进而得出实数m的值。
6．（2023高一上·温州期末）已知幂函数，则“”是“此幂函数图象过点”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；幂函数的性质
【解析】【解答】由题知，幂函数，
根据幂函数图象性质特点知，幂函数图象恒过点，
所以
当时，幂函数图象过点，说明有充分性；
幂函数图象过点时，，也可以，说明无必要性；
故答案为：A
【分析】由已知结合幂函数的图象和性质进行判断，可得答案.
7．（2023高一上·十堰期末）已知幂函数的图象经过点，则该幂函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】幂函数的图象
【解析】【解答】设幂函数的解析式为，因为该幂函数的图象经过点，
所以，即，解得，
即该幂函数的解析式为，其定义域为，
为偶函数，且在上为减函数.
故答案为：C．
【分析】设幂函数为，根据函数过点代入求出a，即可得到函数解析式，再根据幂函数的性质判断即可得答案.
二、多项选择题
8．（2022高一上·安徽月考）下列关于幂函数说法正确的是（ ）
A．图像必过点 B．可能是非奇非偶函数
C．都是单调函数 D．图像不会位于第四象限
【答案】A,B,D
【知识点】幂函数的图象；幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】幂函数的解析式为，
当时，无论取何值，都有，
图像必过点，A选项正确；
当时，，定义域为，此函数为偶函数，
当时，，定义域为，此函数为非奇非偶函数，
所以可能是非奇非偶函数，B选项正确；
当时，，此函数先单调递减再单调递增，
则都是单调函数不成立，C选项错误；
当时，无论取何值，都有，
所以图像不会位于第四象限，D选项正确；
故答案为：ABD.
【分析】利用已知条件结合幂函数的图象特征、奇函数和偶函数的定义、单调函数的定义，进而找出幂函数说法正确的选项。
9．（2022高一上·湖州期中）下列关于幂函数描述正确的有（ ）
A．幂函数的图象必定过定点和
B．幂函数的图象不可能过第四象限
C．当幂指数时，幂函数是奇函数
D．当幂指数时，幂函数是增函数
【答案】B,D
【知识点】幂函数的图象；幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】选项A：幂函数的图象必定过定点，不一定过，例，故A错误；
选项B：幂函数的图象不可能过第四象限，正确；
选项C：当幂指数时，幂函数不是奇函数，故C错误；
选项D：当幂指数时，幂函数是增函数，正确；
故答案为：BD
【分析】利用已知条件结合幂函数的图象过定点的性质和幂函数的图象所在的象限，再结合奇函数的定义和增函数的定义，进而找出关于幂函数描述正确的选项。
10．（2023高一上·电白期末）如果幂函数的图象不过原点，则实数的取值为（ ）
A． B． C． D．无解
【答案】B,C
【知识点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域；幂函数的性质
【解析】【解答】由已知可得，解得或2.
故答案为：BC.
【分析】由题意，利用幂函数的定义和性质，求得m的值.
11．（2022高一上·菏泽期中）已知，函数，则以下说法正确的是（ ）
A．若有最小值，则
B．存在正实数，使得是上的减函数
C．存在实数，使得的值域为
D．若，则存在，使得
【答案】A,C
【知识点】函数的值域；幂函数的性质
【解析】【解答】对于A，当时，在上单调递增，
若有最小值，则，解得：，A符合题意；
对于B，当时，，
由幂函数性质知：当时，单调递增，B不符合题意；
对于C，在上单调递增，当时，；
若的值域为，则，解得：，C符合题意；
对于D，当时，，
由得：；
当，时，，
，，
恒成立，
在上无解，
即不存在，使得，D不符合题意.
故答案为：AC.
【分析】由有最小值可得关于a的不等式组，求解出a的范围可判断A；由幂函数的性质可判断B；由的值域为可得关于a的不等式组，求解出a的范围可判断C；利用反证法可判断D.
三、填空题
12．（2023高一上·临渭期末）已知幂函数的图象关于原点对称，则 ．
【答案】2
【知识点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域；幂函数的性质
【解析】【解答】因为函数为幂函数，则，
解得或，
当时，则，函数关于轴对称，故（舍去），
当时，则，函数关于原点对称，满足题意，
所以.
故答案为：2
【分析】先利用幂函数的定义求出m的值，再检验图像是否关于原点对称，即可得答案.
13．（2023高一上·福田期末）已知函数的图像经过点，若，则的取值范围为 .
【答案】
【知识点】幂函数的图象；幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】因为幂函数的图像过点，所以，，易知函数在上是奇函数，且单调递增，所以可化为，即，解得，故取值范围为.
故答案为：
【分析】利用已知条件结合幂函数的解析式代入法和奇函数的定义和函数的单调性，进而得出x的取值范围。
14．（2022高一上·福州期中）已知幂函数是奇函数，则实数m的值为 .
【答案】2
【知识点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域；幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】由是幂函数可得，
解得或 ，
当时，满足，为奇函数，符合题意；
当时，，此时，不满足，不合题意，
故，
故答案为：2
【分析】根据函数为幂函数可得，求得m，结合函数为奇函数确定m的取值，可得答案.
四、解答题
15．（2022高一上·贵港期中）已知幂函数在上单调递减.
（1）求的值；
（2）求的解集.
【答案】（1）解：由题意得，即.
当，时，在上单调递增，不符合题意；
当，时，在上单调递减，符合题意.
所以，.
（2）解：由题意得，得，得或，
即的解集为.
【知识点】函数的值；幂函数的单调性、奇偶性及其应用；一元二次不等式的解法
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合幂函数的定义和幂函数的单调性，进而得出m的值，从而求出函数的解析式，再利用代入法求出函数的值。
（2）利用已知条件结合幂函数的单调性，进而结合一元二次不等式求解方法，进而得出不等式 的解集。
16．（2021高一上·洛阳期中）已知函数（是常数）为幂函数，且在上单调递增.
（1）求的表达式；
（2）判断函数在上的单调性，并用定义证明.
【答案】（1）由题意可得.，.
（2），在上单调递增.
证明如下：任取，则
.
，，，，
，，即，
在上单调递增.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质；幂函数的概念、解析式、定义域、值域
【解析】【分析】(1)根据题意由幂函数的概念以及幂函数的单调性，即可求解出a的取值，由此即可得出函数的解析式。
(2)根据题意由函数单调性的定义，即可得证出结论。
17．（2023高一上·郴州期末）已知是幂函数，且在上单调递增．
（1）求的值；
（2）求函数在区间上的最小值．
【答案】（1）解：是幂函数，
∴，解得或；
又在上单调递增，
∴，
∴的值为4；
（2）解：函数，
当时，在区间上单调递增，最小值为；
当时，在区间上先减后增，最小值为，
当时，在区间上单调递减，最小值为．
【知识点】函数的最值及其几何意义；幂函数的概念、解析式、定义域、值域；幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合幂函数的定义，进而得出m的值，再结合幂函数的图象判断出幂函数的单调性，进而得出满足要求的实数m的值。
（2）利用已知条件结合分类讨论的方法和函数的单调性，进而求出函数在区间上的最小值。
18．（2022高一上·鞍山月考）已知幂函数（）是偶函数，且在上单调递增．
（1）求函数的解析式；
（2）若，求的取值范围；
（3）若实数，（，）满足，求的最小值．
【答案】（1）解：，
，
（）
即或
在上单调递增，为偶函数
即
（2）解：
，，，
∴
（3）解：由题可知，
，
当且仅当，即，时等号成立．
所以的最小值是2．
【知识点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域；幂函数的单调性、奇偶性及其应用；基本不等式
【解析】【分析】(1)由题意利用幂函数的定义和性质，求得m、k的值，可得函数的解析式；
(2)由题意可得 ， 两边平方，解一元二次不等式，求得 的取值范围；
(3)由题意可得 ，利用基本不等式求得 的最小值．
19．（2022高一上·河南期中）已知幂函数在上单调递增．
（1）求实数m的值；
（2）若对，，使得都成立，求实数t的取值范围.
【答案】（1）解：因为幂函数在上单调递增，
所以；
（2）解：由（1）可得
因为对，使得都成立
所以，其中，由（1）可得函数在上的最大值为8，所以，又，使得都成立
所以，
因为，所以是关于a的单调递增函数，
∴，即，∴或，
所以实数t的取值范围为.
【知识点】函数恒成立问题；幂函数的性质
【解析】【分析】（1）根据条件结合幂函数的定义及性质列关系式求出实数m的值；
（2）由（1）可得 ，由条件可得，结合（1）可得，再由该不等式在时成立，列不等式求解即可.
20．（2022高一上·湖北期中）已知点在幂函数的图像上.
（1）求的解析式；
（2）若函数，是否存在实数a，使得最小值为5？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由
【答案】（1）解：设幂函数，
由点在幂函数的图象上，
所以，
解得，
所以.
（2）解：函数，，且二次函数的图象是抛物线，对称轴是.
①当，即时，在上是单调增函数，最小值为，解得，满足题意；
②当，即时，在上先减后增，最小值为，方程无解；
综上知，存在实数，使得有最小值为.
【知识点】函数单调性的性质；二次函数在闭区间上的最值；幂函数的概念、解析式、定义域、值域
【解析】【分析】（1） 设幂函数，将点在的图象上，求得的值，即可求解；
（2） 根据题意，得到，求得对称轴是，分和，两种情况讨论，结合二次函数的图象与性质，即可求解.
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2023-2024学年高中数学人教A版必修一 3.3 幂函数 同步练习
一、选择题
1．（2023高一上·惠来期末）已知幂函数的图象过点，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022高一上·诸暨期末）已知幂函数的图像过点，若，则实数的值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
3．（2022高一上·清远月考）已知幂函数的图象过点，则（ ）
A．8 B． C．4 D．
4．（2023高一上·榆林期末）已知幂函数的图象经过原点，则（ ）
A．－1 B．1 C．3 D．2
5．（2023高一上·安徽期末）已知函数是幂函数，且为偶函数，则实数（ ）
A．或 B． C． D．
6．（2023高一上·温州期末）已知幂函数，则“”是“此幂函数图象过点”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（2023高一上·十堰期末）已知幂函数的图象经过点，则该幂函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
二、多项选择题
8．（2022高一上·安徽月考）下列关于幂函数说法正确的是（ ）
A．图像必过点 B．可能是非奇非偶函数
C．都是单调函数 D．图像不会位于第四象限
9．（2022高一上·湖州期中）下列关于幂函数描述正确的有（ ）
A．幂函数的图象必定过定点和
B．幂函数的图象不可能过第四象限
C．当幂指数时，幂函数是奇函数
D．当幂指数时，幂函数是增函数
10．（2023高一上·电白期末）如果幂函数的图象不过原点，则实数的取值为（ ）
A． B． C． D．无解
11．（2022高一上·菏泽期中）已知，函数，则以下说法正确的是（ ）
A．若有最小值，则
B．存在正实数，使得是上的减函数
C．存在实数，使得的值域为
D．若，则存在，使得
三、填空题
12．（2023高一上·临渭期末）已知幂函数的图象关于原点对称，则 ．
13．（2023高一上·福田期末）已知函数的图像经过点，若，则的取值范围为 .
14．（2022高一上·福州期中）已知幂函数是奇函数，则实数m的值为 .
四、解答题
15．（2022高一上·贵港期中）已知幂函数在上单调递减.
（1）求的值；
（2）求的解集.
16．（2021高一上·洛阳期中）已知函数（是常数）为幂函数，且在上单调递增.
（1）求的表达式；
（2）判断函数在上的单调性，并用定义证明.
17．（2023高一上·郴州期末）已知是幂函数，且在上单调递增．
（1）求的值；
（2）求函数在区间上的最小值．
18．（2022高一上·鞍山月考）已知幂函数（）是偶函数，且在上单调递增．
（1）求函数的解析式；
（2）若，求的取值范围；
（3）若实数，（，）满足，求的最小值．
19．（2022高一上·河南期中）已知幂函数在上单调递增．
（1）求实数m的值；
（2）若对，，使得都成立，求实数t的取值范围.
20．（2022高一上·湖北期中）已知点在幂函数的图像上.
（1）求的解析式；
（2）若函数，是否存在实数a，使得最小值为5？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域；幂函数的图象
【解析】【解答】设，则，
得，
所以．
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合幂函数的图象过点（2，16）和代入法得出的值，从而得出函数的解析式。
2．【答案】D
【知识点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域；幂函数的图象
【解析】【解答】由题意幂函数的图像过点，
则，则
由得，
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合幂函数的图象过点和代入法得出幂函数的解析式，再利用代入法和幂函数 的解析式，进而解方程得出m的值。
3．【答案】C
【知识点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域
【解析】【解答】设幂函数，将点代入，即，
解得，所以，
所以.
故答案为：C.
【分析】将点坐标代入幂函数解析式，解出幂函数解析式，进而计算.
4．【答案】C
【知识点】幂函数的性质
【解析】【解答】解：令，解得或.
当时，的图象不经过原点.
当时，的图象经过原点.
故答案为：C
【分析】由题意得，解得或，验证图象经过原点，即可得解.
5．【答案】D
【知识点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域；幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】由幂函数的定义知，解得或．
又因为为偶函数，所以指数为偶数，故只有满足．
故答案为：D．
【分析】利用已知条件结合幂函数的定义和偶函数的定义，进而得出实数m的值。
6．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；幂函数的性质
【解析】【解答】由题知，幂函数，
根据幂函数图象性质特点知，幂函数图象恒过点，
所以
当时，幂函数图象过点，说明有充分性；
幂函数图象过点时，，也可以，说明无必要性；
故答案为：A
【分析】由已知结合幂函数的图象和性质进行判断，可得答案.
7．【答案】C
【知识点】幂函数的图象
【解析】【解答】设幂函数的解析式为，因为该幂函数的图象经过点，
所以，即，解得，
即该幂函数的解析式为，其定义域为，
为偶函数，且在上为减函数.
故答案为：C．
【分析】设幂函数为，根据函数过点代入求出a，即可得到函数解析式，再根据幂函数的性质判断即可得答案.
8．【答案】A,B,D
【知识点】幂函数的图象；幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】幂函数的解析式为，
当时，无论取何值，都有，
图像必过点，A选项正确；
当时，，定义域为，此函数为偶函数，
当时，，定义域为，此函数为非奇非偶函数，
所以可能是非奇非偶函数，B选项正确；
当时，，此函数先单调递减再单调递增，
则都是单调函数不成立，C选项错误；
当时，无论取何值，都有，
所以图像不会位于第四象限，D选项正确；
故答案为：ABD.
【分析】利用已知条件结合幂函数的图象特征、奇函数和偶函数的定义、单调函数的定义，进而找出幂函数说法正确的选项。
9．【答案】B,D
【知识点】幂函数的图象；幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】选项A：幂函数的图象必定过定点，不一定过，例，故A错误；
选项B：幂函数的图象不可能过第四象限，正确；
选项C：当幂指数时，幂函数不是奇函数，故C错误；
选项D：当幂指数时，幂函数是增函数，正确；
故答案为：BD
【分析】利用已知条件结合幂函数的图象过定点的性质和幂函数的图象所在的象限，再结合奇函数的定义和增函数的定义，进而找出关于幂函数描述正确的选项。
10．【答案】B,C
【知识点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域；幂函数的性质
【解析】【解答】由已知可得，解得或2.
故答案为：BC.
【分析】由题意，利用幂函数的定义和性质，求得m的值.
11．【答案】A,C
【知识点】函数的值域；幂函数的性质
【解析】【解答】对于A，当时，在上单调递增，
若有最小值，则，解得：，A符合题意；
对于B，当时，，
由幂函数性质知：当时，单调递增，B不符合题意；
对于C，在上单调递增，当时，；
若的值域为，则，解得：，C符合题意；
对于D，当时，，
由得：；
当，时，，
，，
恒成立，
在上无解，
即不存在，使得，D不符合题意.
故答案为：AC.
【分析】由有最小值可得关于a的不等式组，求解出a的范围可判断A；由幂函数的性质可判断B；由的值域为可得关于a的不等式组，求解出a的范围可判断C；利用反证法可判断D.
12．【答案】2
【知识点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域；幂函数的性质
【解析】【解答】因为函数为幂函数，则，
解得或，
当时，则，函数关于轴对称，故（舍去），
当时，则，函数关于原点对称，满足题意，
所以.
故答案为：2
【分析】先利用幂函数的定义求出m的值，再检验图像是否关于原点对称，即可得答案.
13．【答案】
【知识点】幂函数的图象；幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】因为幂函数的图像过点，所以，，易知函数在上是奇函数，且单调递增，所以可化为，即，解得，故取值范围为.
故答案为：
【分析】利用已知条件结合幂函数的解析式代入法和奇函数的定义和函数的单调性，进而得出x的取值范围。
14．【答案】2
【知识点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域；幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】由是幂函数可得，
解得或 ，
当时，满足，为奇函数，符合题意；
当时，，此时，不满足，不合题意，
故，
故答案为：2
【分析】根据函数为幂函数可得，求得m，结合函数为奇函数确定m的取值，可得答案.
15．【答案】（1）解：由题意得，即.
当，时，在上单调递增，不符合题意；
当，时，在上单调递减，符合题意.
所以，.
（2）解：由题意得，得，得或，
即的解集为.
【知识点】函数的值；幂函数的单调性、奇偶性及其应用；一元二次不等式的解法
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合幂函数的定义和幂函数的单调性，进而得出m的值，从而求出函数的解析式，再利用代入法求出函数的值。
（2）利用已知条件结合幂函数的单调性，进而结合一元二次不等式求解方法，进而得出不等式 的解集。
16．【答案】（1）由题意可得.，.
（2），在上单调递增.
证明如下：任取，则
.
，，，，
，，即，
在上单调递增.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质；幂函数的概念、解析式、定义域、值域
【解析】【分析】(1)根据题意由幂函数的概念以及幂函数的单调性，即可求解出a的取值，由此即可得出函数的解析式。
(2)根据题意由函数单调性的定义，即可得证出结论。
17．【答案】（1）解：是幂函数，
∴，解得或；
又在上单调递增，
∴，
∴的值为4；
（2）解：函数，
当时，在区间上单调递增，最小值为；
当时，在区间上先减后增，最小值为，
当时，在区间上单调递减，最小值为．
【知识点】函数的最值及其几何意义；幂函数的概念、解析式、定义域、值域；幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合幂函数的定义，进而得出m的值，再结合幂函数的图象判断出幂函数的单调性，进而得出满足要求的实数m的值。
（2）利用已知条件结合分类讨论的方法和函数的单调性，进而求出函数在区间上的最小值。
18．【答案】（1）解：，
，
（）
即或
在上单调递增，为偶函数
即
（2）解：
，，，
∴
（3）解：由题可知，
，
当且仅当，即，时等号成立．
所以的最小值是2．
【知识点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域；幂函数的单调性、奇偶性及其应用；基本不等式
【解析】【分析】(1)由题意利用幂函数的定义和性质，求得m、k的值，可得函数的解析式；
(2)由题意可得 ， 两边平方，解一元二次不等式，求得 的取值范围；
(3)由题意可得 ，利用基本不等式求得 的最小值．
19．【答案】（1）解：因为幂函数在上单调递增，
所以；
（2）解：由（1）可得
因为对，使得都成立
所以，其中，由（1）可得函数在上的最大值为8，所以，又，使得都成立
所以，
因为，所以是关于a的单调递增函数，
∴，即，∴或，
所以实数t的取值范围为.
【知识点】函数恒成立问题；幂函数的性质
【解析】【分析】（1）根据条件结合幂函数的定义及性质列关系式求出实数m的值；
（2）由（1）可得 ，由条件可得，结合（1）可得，再由该不等式在时成立，列不等式求解即可.
20．【答案】（1）解：设幂函数，
由点在幂函数的图象上，
所以，
解得，
所以.
（2）解：函数，，且二次函数的图象是抛物线，对称轴是.
①当，即时，在上是单调增函数，最小值为，解得，满足题意；
②当，即时，在上先减后增，最小值为，方程无解；
综上知，存在实数，使得有最小值为.
【知识点】函数单调性的性质；二次函数在闭区间上的最值；幂函数的概念、解析式、定义域、值域
【解析】【分析】（1） 设幂函数，将点在的图象上，求得的值，即可求解；
（2） 根据题意，得到，求得对称轴是，分和，两种情况讨论，结合二次函数的图象与性质，即可求解.
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