2023-2024学年苏科版数学九年级上册2.1圆 同步练习
一、选择题
1．（2023·苍溪模拟）如图，为的直径，是的弦，、的延长线交于点E，已知，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；圆的认识
【解析】【解答】解：如图，连接OD，
∵AB=2DE=2OD，
∴OD=DE，
∴∠E=∠DOE=20°，
∴∠CDO=∠E+∠DOE=40°，
∵OC=OD，
∴∠C=∠CDO=40°，
∴∠AOC=∠E+∠C=60°.
故答案为：C.
【分析】易得OD=DE，由等边对等角得∠E=∠DOE=20°，由三角形外角性质得∠CDO=40°，再由等边对等角得∠C=∠CDO=40°，最后由三角形外角性质得∠AOC=∠E+∠C=60°.
2．（2022九上·寒亭期中）下列圆中既有圆心角又有圆周角的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】圆的认识
【解析】【解答】解：A．图中只有圆周角，没有圆心角，选项不符合题意；
B．图中只有圆心角，没有圆周角，选项不符合题意；
C．图中既有圆心角，也有圆周角，选项符合题意；
D．图中只有圆心角，没有圆周角，选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】 根据圆心角及圆周角的定义逐一判断即可.
3．（2022九上·瑞安期中）已知⊙O的直径长为4，点A，B在⊙O上，则AB的长不可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．8
【答案】D
【知识点】圆的认识
【解析】【解答】解：因为圆中最长的弦为直径，所以0＜AB≤4．
观察选项，只有选项D符合题意．
故答案为：D.
【分析】连接圆上任意两点间的线段就是圆的弦，过圆心的弦就是该圆的直径，而圆中最长的弦是直径，据此即可判断得出答案.
4．（2023八下·洛阳期中）如图是两个大小不同的量角器.小量角器由于长时间使用，某些刻度已经模糊不清.现将两个量角器的零刻度线放在同一直线上，使与C重合（如下图）.如果两个半圆的公共点P在大量角器上对应的度数为，那么在小量角器上对应的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的外角性质；圆的认识
【解析】【解答】解：由题意知
∴
∵量角器为半圆
∴
∴
∴
故答案为：D.
【分析】根据半圆的性质可得O1P=O1O2，由等边对等角可得∠O1PO2=∠O1O2P，根据三角形的外角的性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”可求解.
5．（2021九上·泸州期中）如图，MN为⊙O的弦，∠MON＝76°，则∠OMN的度数为（ ）
A．38° B．52° C．76° D．104°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆的认识
【解析】【解答】解：∵MN为⊙O的弦，
∴ ，
∴ ，
∵∠MON＝76°，
∴ ．
故答案为：B.
【分析】由题意可得OM=ON，根据等腰三角形的性质可得∠OMN=∠ONM，然后结合内角和定理计算即可.
6．（2021九上·温州期中）如图，以O为圆心的两个圆中，大圆的半径 分别交小圆于点C，D，连结 ，下列选项中不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的判定；圆的认识；三角形全等的判定（SAS）；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：A、∵以O为圆心的两个圆中，大圆的半径OA，OB分别交小圆于点C，D，
∴OA=OB，OC=OD，
∴AC=BD，故A不符合题意；
B、∵OA=OB，OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC，∠OAB=∠OBA，
∵∠O=∠O，
∴∠OCD=∠OAB，
∴AB∥CD，故B不符合题意；
C、∵点C和点D不是OA，OB的中点，
∴CD不是△OAB的中位线，
∴AB≠2CD，故C符合题意；
D、∵∠OCD=∠ODC，
∴∠ACD=∠CDB，
在△ACD和△BDC中
∴△ACD≌△BDC（SAS）
∴AD=BC，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用同一个圆的半径相等可证得AC=BD，可对A作出判断；利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可证得∠OCD=∠OAB，利用平行线的判定定理可对B作出判断；点C和点D不是OA，OB的中点，利用三角形的中位线定理不能证明AB=2CD，可对C作出判断；然后利用SAS证明△ACD≌△BDC，利用全等三角形的性质可对D作出判断.
7．（2021九上·余姚月考）如图，△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝4，以点A为圆心，AB为半径作圆，交BC的延长线于点D，则CD长为（ ）
A．10 B．9 C．4 D．8
【答案】B
【知识点】勾股定理；圆的认识
【解析】【解答】解：过A作AE⊥BC于E，如图：
Rt△ABE中，AE2+BE2＝AB2，
而AB＝10，BC＝4，
∴AE2＝102﹣（4+CE）2＝84﹣CE2﹣8CE，
Rt△ACE中，AE2＝AC2﹣CE2，
而AC＝8，
∴AE2＝64﹣CE2，
∴84﹣CE2﹣8CE＝64﹣CE2，
解得CE＝2.5，
∴BE＝6.5，
∴CD＝9.
故答案为：B.
【分析】过A作AE⊥BC于E，在Rt△ABE、Rt△ACE中，应用勾股定理表示出AE2，联立可得CE，进而求出BE、BD，然后根据CD=DE+CE进行计算.
8．（2020八上·温州月考）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则CD的长为（ ）
A． B．0.8 C．3﹣ D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；圆的认识
【解析】【解答】解：如图，取E点，连接AD，
∵AD=AB=3，
∴ED=，
∴CD=CE-ED=3-.
故答案为：C.
【分析】连接AD，由同圆的半径相等，得出AD的长，于是由勾股定理可求ED的长，则CD的长可知.
9．（2020八上·莘县期中）对于以下图形有下列结论，其中正确的是（ ）
A．如图①， 是弦
B．如图①，直径 与 组成半圆
C．如图②，线段 是 边 上的高
D．如图②，线段 是 边 上的高
【答案】C
【知识点】圆的认识；三角形相关概念
【解析】【解答】解：A、AC不是弦，故不符合题意；
B、半圆是弧，不包括弧所对的弦，故不符合题意；
C、线段CD是△ABC边AB上的高，符合题意；
D、线段AE不是△ABC边AC上的高，故不符合题意，
故答案为：C．
【分析】利用圆的有关概念及三角形中高线的定义分别判断后即可确定正确的选项．
10．（2018·霍邱模拟）如图，半径为3的⊙O内有一点A，OA= ，点P在⊙O上，当∠OPA最大时，PA的长等于（ ）
A． B． C．3 D．2
【答案】B
【知识点】垂线段最短；圆的认识
【解析】【解答】如图所示：
∵OA、OP是定值，
∴在△OPA中，当∠OPA取最大值时，PA取最小值，
∴PA⊥OA时，PA取最小值；
在直角三角形OPA中，OA=3√，OP=3，
∴PA=
故答案为：B.
【分析】要想让∠OPA最大，在PO和OA的长一定的情况下，只有当PA最短时，∠OPA才会最大，所以利用垂线段最短的原理，当PA⊥OA时，∠OPA最大，用勾股定理即可求出PA的值.
11．（2018九上·下城期末）已知△ABC内接于⊙O，连接OA，OB，OC，设∠OAC＝α，∠OBA＝β，∠OCB＝γ．则下列叙述中正确的有（ ）
①若α＜β，α＜γ，且OC∥AB，则γ＝90°﹣α；②若α：β：γ＝1：4：3，则∠ACB＝30°；③若β＜α，β＜γ，则α+γ﹣β＝90°；④若β＜α，β＜γ，则∠BAC+∠ABC＝α+γ﹣2β．
A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆的认识
【解析】【解答】解：①如图1，∵OC∥AB，
∴∠BOC＝∠OBA＝β，∠AOC＝180°﹣β，
∵OB＝OC
∴∠OBC＝∠OCB＝γ
∵∠BOC+∠OBC+∠OCB＝180°，即：β+γ+γ＝180°
∴γ＝90°﹣ β，
∵∠AOC+∠OAC+∠OCA＝180°，
∴180°﹣β+α+α＝180°
∴β＝2α
∴γ＝90°﹣α
故①正确；
②如图2，∠OAC＝∠OCA＝α，∠OBA＝∠OAB＝β，∠OCB＝∠OBC＝γ
∵α：β：γ＝1：4：3，
∴∠BAD＝β﹣α＝3α，∠ABD＝β＝4α，∠ADB＝∠OBC+∠ACB＝γ+γ﹣α＝5α
∵∠BAD+∠ABD+∠ADB＝180°
∴3α+4α+5α＝180°
∴α＝15°
∴∠ACB＝2α＝30°，
故②正确．
③如图3，∵OA＝OC＝OB
∴∠OCA＝∠OAC＝α，∠OAB＝∠OBA＝β，∠OBC＝∠OCB＝γ
∴2（α+β+γ）＝180°
∴α+β+γ＝90°
故③不正确
④如图3，∠BAC+∠ABC＝2α+β+γ≠α+γ﹣2β
故④不正确
故选：A．
【分析】根据圆的性质、等腰三角形的性质和三角形内角和公式，依次分析题干所列四种情况下，结论的正误.
二、填空题
12．（2021九上·江阴月考）如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm2，则该半圆的半径为 cm.
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；圆的认识
【解析】【解答】解：设半径为R，大正方形边长是a，则有
故答案为：.
【分析】设半径为R，大正方形边长为a，则有R2=(a)2+a2=42+(4+a)2，求解即可得到R的值.
13．（2021九上·丹徒月考）如图，AB是⊙O的直径，点D，C在⊙O上，AD∥OC，∠DAB＝60°，连接AC，则∠DAC的度数为 ．
【答案】30°
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；圆的认识
【解析】【解答】解：∵OA=OC，
∴∠CAO=∠ACO，
∵AD∥OC，
∴∠DAC=∠ACO，
∴∠DAC=∠CAB，
∵∠DAB=60°，
∴∠DAC=∠DAB=30°．
故答案为：30°.
【分析】根据等腰三角形的性质可得∠CAO=∠ACO，根据平行线的性质可得∠DAC=∠ACO，则∠DAC=∠CAB，据此计算.
14．（2021九上·广州期中）如图，是的直径，，交于点，且，则的度数= ．
【答案】24°
【知识点】三角形的外角性质；圆的认识
【解析】【解答】解：设∠A=x°，
∵AB=OC，OC=OB，
∴AB=OB，
∴∠AOB=∠A=x°，
∴∠OBE=∠A+∠AOB=2x°，
∵OB=OE，
∴∠E=∠OBE=2x°，
∴∠EOD=∠A+∠E=3x°=72°，
∴∠A=24°，
故答案为：24°．
【分析】设∠A=x°，则∠E=∠OBE=2x°，再利用三角形的外角的性质可得∠EOD=∠A+∠E=3x°=72°，最后求出∠A=24°即可。
15．（2020八上·松江期末）经过定点P，且半径等于2cm的圆的圆心的轨迹 ．
【答案】以P点为圆心，2cm为半径的圆
【知识点】圆的认识
【解析】【解答】解：所求圆心的轨迹，就是到P点的距离等于2厘米的点的集合，
因此应该是一个以点P为圆心，2cm为半径的圆；
故答案为：以点P为圆心，2cm为半径的圆．
【分析】根据圆的定义求解即可。
16．（2023·温州模拟）如图1是一款轴对称“磁悬浮地漏”无水时的示意图，它由一个圆弧形密封盖与两个磁体组成（下侧磁体固定不动），连接杆与地面垂直，排水口，密封盖最高点E到地面的距离为，整个地漏的高度（G为磁体底部中点），密封盖被磁体顶起将排水口密封，所在圆的半径为 ；当有水时如图2所示，密封盖下移排水，当密封盖下沉至最低处时，点恰好落在中点，若点到的距离为，则密封盖下沉的最大距离为 .
【答案】39；16.5
【知识点】勾股定理的应用；圆的认识；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：①设作圆心O，连接交于点H，
设，
∵最高点E到地面的距离为，
∴，
∵，
∴，
∴在中，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：.
②作，延长，交于点，作交于点Z，
∵，
∴，
∴点是的中点，
∵为的中点，
∴为的中位线，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵点到的距离为，
∴，
∵，
回到图，作，
由勾股定理得：，
∴移动前M到地面的距离为：，
∵M移动的距离为密盖下沉的距离，
∴，
∴密封盖下沉的最大距离为.
故答案为：16.5.
【分析】设作圆心O，连接CD交CE于点H，设OH=xmm，由题意可得OE=(6+x)mm，根据CD的值可得DH，由勾股定理表示出OD，然后根据OE=OD可得x的值，进而可得OE；作M′P′⊥E′G，延长GE′，交AB于点Q′，作M′Z⊥AB交AB于点Z，易得M′Z为△GQ′B的中位线，则M′Z=GQ′，根据线段的和差关系可得GQ′，然后求出M′Z，由题意可得OM=OE=39mm，作MJ⊥EG，由勾股定理可得OJ，据此求解.
三、解答题
17．（2023·惠来模拟）已知：如图，、、是的三条半径，，、分别为、的中点．求证：．
【答案】证明：∵、为的半径，
∴，
∵M是中点，N是中点，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【知识点】圆的认识；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】先求出 ， 再利用全等三角形的判定与性质证明求解即可。
18．（2021九上·丹徒月考）已知：如图，在⊙O中，AB为弦，C、D两点在AB上，且AC＝BD．求证：．
【答案】证明：∵OA＝OB，
∴∠A＝∠B，
∵在△OAC和△OBD中：
，
∴△OAC≌△OBD（SAS）．
【知识点】等腰三角形的性质；圆的认识；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】根据等腰三角形的性质可得∠A＝∠B，由已知条件可知OA=OB，AC=BD，然后根据全等三角形的判定定理进行证明.
1 / 12023-2024学年苏科版数学九年级上册2.1圆 同步练习
一、选择题
1．（2023·苍溪模拟）如图，为的直径，是的弦，、的延长线交于点E，已知，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022九上·寒亭期中）下列圆中既有圆心角又有圆周角的是（ ）．
A． B．
C． D．
3．（2022九上·瑞安期中）已知⊙O的直径长为4，点A，B在⊙O上，则AB的长不可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．8
4．（2023八下·洛阳期中）如图是两个大小不同的量角器.小量角器由于长时间使用，某些刻度已经模糊不清.现将两个量角器的零刻度线放在同一直线上，使与C重合（如下图）.如果两个半圆的公共点P在大量角器上对应的度数为，那么在小量角器上对应的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（2021九上·泸州期中）如图，MN为⊙O的弦，∠MON＝76°，则∠OMN的度数为（ ）
A．38° B．52° C．76° D．104°
6．（2021九上·温州期中）如图，以O为圆心的两个圆中，大圆的半径 分别交小圆于点C，D，连结 ，下列选项中不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2021九上·余姚月考）如图，△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝4，以点A为圆心，AB为半径作圆，交BC的延长线于点D，则CD长为（ ）
A．10 B．9 C．4 D．8
8．（2020八上·温州月考）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则CD的长为（ ）
A． B．0.8 C．3﹣ D．
9．（2020八上·莘县期中）对于以下图形有下列结论，其中正确的是（ ）
A．如图①， 是弦
B．如图①，直径 与 组成半圆
C．如图②，线段 是 边 上的高
D．如图②，线段 是 边 上的高
10．（2018·霍邱模拟）如图，半径为3的⊙O内有一点A，OA= ，点P在⊙O上，当∠OPA最大时，PA的长等于（ ）
A． B． C．3 D．2
11．（2018九上·下城期末）已知△ABC内接于⊙O，连接OA，OB，OC，设∠OAC＝α，∠OBA＝β，∠OCB＝γ．则下列叙述中正确的有（ ）
①若α＜β，α＜γ，且OC∥AB，则γ＝90°﹣α；②若α：β：γ＝1：4：3，则∠ACB＝30°；③若β＜α，β＜γ，则α+γ﹣β＝90°；④若β＜α，β＜γ，则∠BAC+∠ABC＝α+γ﹣2β．
A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④
二、填空题
12．（2021九上·江阴月考）如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm2，则该半圆的半径为 cm.
13．（2021九上·丹徒月考）如图，AB是⊙O的直径，点D，C在⊙O上，AD∥OC，∠DAB＝60°，连接AC，则∠DAC的度数为 ．
14．（2021九上·广州期中）如图，是的直径，，交于点，且，则的度数= ．
15．（2020八上·松江期末）经过定点P，且半径等于2cm的圆的圆心的轨迹 ．
16．（2023·温州模拟）如图1是一款轴对称“磁悬浮地漏”无水时的示意图，它由一个圆弧形密封盖与两个磁体组成（下侧磁体固定不动），连接杆与地面垂直，排水口，密封盖最高点E到地面的距离为，整个地漏的高度（G为磁体底部中点），密封盖被磁体顶起将排水口密封，所在圆的半径为 ；当有水时如图2所示，密封盖下移排水，当密封盖下沉至最低处时，点恰好落在中点，若点到的距离为，则密封盖下沉的最大距离为 .
三、解答题
17．（2023·惠来模拟）已知：如图，、、是的三条半径，，、分别为、的中点．求证：．
18．（2021九上·丹徒月考）已知：如图，在⊙O中，AB为弦，C、D两点在AB上，且AC＝BD．求证：．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；圆的认识
【解析】【解答】解：如图，连接OD，
∵AB=2DE=2OD，
∴OD=DE，
∴∠E=∠DOE=20°，
∴∠CDO=∠E+∠DOE=40°，
∵OC=OD，
∴∠C=∠CDO=40°，
∴∠AOC=∠E+∠C=60°.
故答案为：C.
【分析】易得OD=DE，由等边对等角得∠E=∠DOE=20°，由三角形外角性质得∠CDO=40°，再由等边对等角得∠C=∠CDO=40°，最后由三角形外角性质得∠AOC=∠E+∠C=60°.
2．【答案】C
【知识点】圆的认识
【解析】【解答】解：A．图中只有圆周角，没有圆心角，选项不符合题意；
B．图中只有圆心角，没有圆周角，选项不符合题意；
C．图中既有圆心角，也有圆周角，选项符合题意；
D．图中只有圆心角，没有圆周角，选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】 根据圆心角及圆周角的定义逐一判断即可.
3．【答案】D
【知识点】圆的认识
【解析】【解答】解：因为圆中最长的弦为直径，所以0＜AB≤4．
观察选项，只有选项D符合题意．
故答案为：D.
【分析】连接圆上任意两点间的线段就是圆的弦，过圆心的弦就是该圆的直径，而圆中最长的弦是直径，据此即可判断得出答案.
4．【答案】D
【知识点】三角形的外角性质；圆的认识
【解析】【解答】解：由题意知
∴
∵量角器为半圆
∴
∴
∴
故答案为：D.
【分析】根据半圆的性质可得O1P=O1O2，由等边对等角可得∠O1PO2=∠O1O2P，根据三角形的外角的性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”可求解.
5．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆的认识
【解析】【解答】解：∵MN为⊙O的弦，
∴ ，
∴ ，
∵∠MON＝76°，
∴ ．
故答案为：B.
【分析】由题意可得OM=ON，根据等腰三角形的性质可得∠OMN=∠ONM，然后结合内角和定理计算即可.
6．【答案】C
【知识点】平行线的判定；圆的认识；三角形全等的判定（SAS）；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：A、∵以O为圆心的两个圆中，大圆的半径OA，OB分别交小圆于点C，D，
∴OA=OB，OC=OD，
∴AC=BD，故A不符合题意；
B、∵OA=OB，OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC，∠OAB=∠OBA，
∵∠O=∠O，
∴∠OCD=∠OAB，
∴AB∥CD，故B不符合题意；
C、∵点C和点D不是OA，OB的中点，
∴CD不是△OAB的中位线，
∴AB≠2CD，故C符合题意；
D、∵∠OCD=∠ODC，
∴∠ACD=∠CDB，
在△ACD和△BDC中
∴△ACD≌△BDC（SAS）
∴AD=BC，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用同一个圆的半径相等可证得AC=BD，可对A作出判断；利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可证得∠OCD=∠OAB，利用平行线的判定定理可对B作出判断；点C和点D不是OA，OB的中点，利用三角形的中位线定理不能证明AB=2CD，可对C作出判断；然后利用SAS证明△ACD≌△BDC，利用全等三角形的性质可对D作出判断.
7．【答案】B
【知识点】勾股定理；圆的认识
【解析】【解答】解：过A作AE⊥BC于E，如图：
Rt△ABE中，AE2+BE2＝AB2，
而AB＝10，BC＝4，
∴AE2＝102﹣（4+CE）2＝84﹣CE2﹣8CE，
Rt△ACE中，AE2＝AC2﹣CE2，
而AC＝8，
∴AE2＝64﹣CE2，
∴84﹣CE2﹣8CE＝64﹣CE2，
解得CE＝2.5，
∴BE＝6.5，
∴CD＝9.
故答案为：B.
【分析】过A作AE⊥BC于E，在Rt△ABE、Rt△ACE中，应用勾股定理表示出AE2，联立可得CE，进而求出BE、BD，然后根据CD=DE+CE进行计算.
8．【答案】C
【知识点】勾股定理；圆的认识
【解析】【解答】解：如图，取E点，连接AD，
∵AD=AB=3，
∴ED=，
∴CD=CE-ED=3-.
故答案为：C.
【分析】连接AD，由同圆的半径相等，得出AD的长，于是由勾股定理可求ED的长，则CD的长可知.
9．【答案】C
【知识点】圆的认识；三角形相关概念
【解析】【解答】解：A、AC不是弦，故不符合题意；
B、半圆是弧，不包括弧所对的弦，故不符合题意；
C、线段CD是△ABC边AB上的高，符合题意；
D、线段AE不是△ABC边AC上的高，故不符合题意，
故答案为：C．
【分析】利用圆的有关概念及三角形中高线的定义分别判断后即可确定正确的选项．
10．【答案】B
【知识点】垂线段最短；圆的认识
【解析】【解答】如图所示：
∵OA、OP是定值，
∴在△OPA中，当∠OPA取最大值时，PA取最小值，
∴PA⊥OA时，PA取最小值；
在直角三角形OPA中，OA=3√，OP=3，
∴PA=
故答案为：B.
【分析】要想让∠OPA最大，在PO和OA的长一定的情况下，只有当PA最短时，∠OPA才会最大，所以利用垂线段最短的原理，当PA⊥OA时，∠OPA最大，用勾股定理即可求出PA的值.
11．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆的认识
【解析】【解答】解：①如图1，∵OC∥AB，
∴∠BOC＝∠OBA＝β，∠AOC＝180°﹣β，
∵OB＝OC
∴∠OBC＝∠OCB＝γ
∵∠BOC+∠OBC+∠OCB＝180°，即：β+γ+γ＝180°
∴γ＝90°﹣ β，
∵∠AOC+∠OAC+∠OCA＝180°，
∴180°﹣β+α+α＝180°
∴β＝2α
∴γ＝90°﹣α
故①正确；
②如图2，∠OAC＝∠OCA＝α，∠OBA＝∠OAB＝β，∠OCB＝∠OBC＝γ
∵α：β：γ＝1：4：3，
∴∠BAD＝β﹣α＝3α，∠ABD＝β＝4α，∠ADB＝∠OBC+∠ACB＝γ+γ﹣α＝5α
∵∠BAD+∠ABD+∠ADB＝180°
∴3α+4α+5α＝180°
∴α＝15°
∴∠ACB＝2α＝30°，
故②正确．
③如图3，∵OA＝OC＝OB
∴∠OCA＝∠OAC＝α，∠OAB＝∠OBA＝β，∠OBC＝∠OCB＝γ
∴2（α+β+γ）＝180°
∴α+β+γ＝90°
故③不正确
④如图3，∠BAC+∠ABC＝2α+β+γ≠α+γ﹣2β
故④不正确
故选：A．
【分析】根据圆的性质、等腰三角形的性质和三角形内角和公式，依次分析题干所列四种情况下，结论的正误.
12．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；圆的认识
【解析】【解答】解：设半径为R，大正方形边长是a，则有
故答案为：.
【分析】设半径为R，大正方形边长为a，则有R2=(a)2+a2=42+(4+a)2，求解即可得到R的值.
13．【答案】30°
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；圆的认识
【解析】【解答】解：∵OA=OC，
∴∠CAO=∠ACO，
∵AD∥OC，
∴∠DAC=∠ACO，
∴∠DAC=∠CAB，
∵∠DAB=60°，
∴∠DAC=∠DAB=30°．
故答案为：30°.
【分析】根据等腰三角形的性质可得∠CAO=∠ACO，根据平行线的性质可得∠DAC=∠ACO，则∠DAC=∠CAB，据此计算.
14．【答案】24°
【知识点】三角形的外角性质；圆的认识
【解析】【解答】解：设∠A=x°，
∵AB=OC，OC=OB，
∴AB=OB，
∴∠AOB=∠A=x°，
∴∠OBE=∠A+∠AOB=2x°，
∵OB=OE，
∴∠E=∠OBE=2x°，
∴∠EOD=∠A+∠E=3x°=72°，
∴∠A=24°，
故答案为：24°．
【分析】设∠A=x°，则∠E=∠OBE=2x°，再利用三角形的外角的性质可得∠EOD=∠A+∠E=3x°=72°，最后求出∠A=24°即可。
15．【答案】以P点为圆心，2cm为半径的圆
【知识点】圆的认识
【解析】【解答】解：所求圆心的轨迹，就是到P点的距离等于2厘米的点的集合，
因此应该是一个以点P为圆心，2cm为半径的圆；
故答案为：以点P为圆心，2cm为半径的圆．
【分析】根据圆的定义求解即可。
16．【答案】39；16.5
【知识点】勾股定理的应用；圆的认识；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：①设作圆心O，连接交于点H，
设，
∵最高点E到地面的距离为，
∴，
∵，
∴，
∴在中，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：.
②作，延长，交于点，作交于点Z，
∵，
∴，
∴点是的中点，
∵为的中点，
∴为的中位线，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵点到的距离为，
∴，
∵，
回到图，作，
由勾股定理得：，
∴移动前M到地面的距离为：，
∵M移动的距离为密盖下沉的距离，
∴，
∴密封盖下沉的最大距离为.
故答案为：16.5.
【分析】设作圆心O，连接CD交CE于点H，设OH=xmm，由题意可得OE=(6+x)mm，根据CD的值可得DH，由勾股定理表示出OD，然后根据OE=OD可得x的值，进而可得OE；作M′P′⊥E′G，延长GE′，交AB于点Q′，作M′Z⊥AB交AB于点Z，易得M′Z为△GQ′B的中位线，则M′Z=GQ′，根据线段的和差关系可得GQ′，然后求出M′Z，由题意可得OM=OE=39mm，作MJ⊥EG，由勾股定理可得OJ，据此求解.
17．【答案】证明：∵、为的半径，
∴，
∵M是中点，N是中点，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【知识点】圆的认识；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】先求出 ， 再利用全等三角形的判定与性质证明求解即可。
18．【答案】证明：∵OA＝OB，
∴∠A＝∠B，
∵在△OAC和△OBD中：
，
∴△OAC≌△OBD（SAS）．
【知识点】等腰三角形的性质；圆的认识；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】根据等腰三角形的性质可得∠A＝∠B，由已知条件可知OA=OB，AC=BD，然后根据全等三角形的判定定理进行证明.
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