2023-2024学年苏科版数学九年级上册2.2圆的对称性 同步练习
一、选择题
1．（2023·陕西）陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一图是从正面看到的一个“老碗”图的形状示意图．是的一部分，是的中点，连接，与弦交于点，连接，已知，碗深，则的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】垂径定理的应用
【解析】【解答】解：设半径，
，
，
，
是的中点， ，
，，
，
，
，
.
故答案为：A.
【分析】先利用垂径定理得到直角三角形及AC的长，再利用勾股定理列方程，求得半径.
2．（2023·隆昌模拟）如图，BD是的直径，弦AC交BD于点G．连接OC，若，，则的度数为（ ）
A．98° B．103° C．108° D．113°
【答案】C
【知识点】角的运算；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】∵BD是的直径，
∴∠BAD=90°，
∵，
∴∠B=∠D=45°，
∵∠COD=126°，
∴∠DAC=∠COD=×126°=63°，
∴∠AGB=∠DAC+∠D=63°+45°=108°，
故答案为：C.
【分析】先求出∠B=∠D=45°，再利用角的运算求出∠AGB=∠DAC+∠D=63°+45°=108°即可。
3．（2023·增城模拟）如图，是的直径，弦于点，，，则（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：∵AB为直径，CD⊥AB于点E，CD=8，
∴CE=CD=4.
∵OC=5，
∴OE==3.
故答案为：C.
【分析】由垂径定理可得CE=CD=4，然后在Rt△COE中，利用勾股定理进行计算.
4．（2023·玉州模拟）如图，是的外接圆，交于点E，垂足为点D，，的延长线交于点F．若，，则的长是（ ）
A．8 B．12 C．16 D．20
【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵OE⊥AB，AB=16，
∴AD=BD=AB=8.
∵OD=6，AD=8，
∴AO==10，
∴OE=AO=10.
∵OE⊥AB，O为AC的中点，
∴E为AF的中点，
∴OE为△AFC的中位线，
∴FC=2EO=20.
故答案为：D.
【分析】由垂径定理可得AD=BD=AB=8，利用勾股定理求出AO，即为OE的值，由题意可得OE为△AFC的中位线，则FC=2EO，据此计算.
5．（2023九上·诸暨期末）如图为一座拱形桥示意图，桥身（弦）长度为8，半径垂直于点，，则桥拱高为（ ）
A．3 B．2.5 C．2 D．1.5
【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理的应用
【解析】【解答】解：连接OB，
∵OC⊥AB，
∴BD=AB=4，∠BDO=90°
，
∴DC=OC-OD=5-3=2.
故答案为：C
【分析】连接OB，利用垂径定理求出BD的长，再利用勾股定理求出OB的长；然后根据DC=OC-OD，代入计算求出DC的长.
6．（2023九下·姑苏开学考）下列命题正确的是（ ）
A．相等的圆心角所对的两条弦相等
B．圆既是中心对称图形又是轴对称图形
C．两个圆中，如果弦相等，则弦所对的圆心角也相等
D．等弧就是长度相等的弧
【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；轴对称图形；中心对称及中心对称图形；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A.同圆或等圆中，相等的圆心角所对的两条弦相等，故原命题错误，不符合题意；
B.圆既是中心对称图形又是轴对称图形，正确，符合题意；
C.同圆或等圆中，如果弦相等，则弦所对的圆心角也相等，故原命题错误，不符合题意；
D.等弧是能够完全重合的弧，长度相等不一定是等弧，故原命题错误，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据弧、弦、圆心角的关系可判断A、C；根据圆的对称性可判断B；等弧是能够完全重合的弧，据此判断D.
7．（2023九上·慈溪期末）“圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长六寸，问径几何？”用现代的数学语言表述是：“为的直径，弦，垂足为E，寸，寸，求直径的长？”依题意得的长为（ ）
A．4寸 B．5寸 C．8寸 D．10寸
【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如图：连接 ，
设 的半径为x，则 ，
为 的直径，弦 ， 寸， 寸，
， ，
，
解得 ，
故 ，
，
故 的长为10寸.
故答案为：D.
【分析】连接OA，设半径为x，则OE=x-1，由垂径定理可得AE=AB=3，由勾股定理可得x的值，据此解答.
8．（2022九上·中山期末）点是内一点，过点的最长弦的长为10，最短弦的长为6，则的长为（ ）
A．8 B．2 C．5 D．4
【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：∵圆内最长的弦为直径，最短的弦是过点 且与这条直径垂直的弦，
∴ ， ，
∴ ，
由垂径定理得： ，
由勾股定理得： ，
故答案为：D．
【分析】根据垂径定理可得，再利用勾股定理求出OP的长即可。
9．（2021九上·河南期末）如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，连接CO，作AD OC，若CO＝ ，AC＝2，则AD＝（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的面积；矩形的判定与性质；垂径定理
【解析】【解答】解：作AE⊥OC于点E，作OF⊥CA于点F，作OG⊥AD于点G，
则EA∥OG，
∵AD∥OC，
∴四边形OEAG是矩形，
∴OG＝EA，
∵OF⊥AC，OA＝OC＝ ，AC＝2，
∴CF＝1，
∴OF＝ ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴OG＝ ，
∵OG⊥AD，
∴AG＝ ，
∴AD＝2AG＝ ，
故答案为：D.
【分析】作AE⊥OC于点E，作OF⊥CA于点F，作OG⊥AD于点G，则EA∥OG，易证四边形OEAG是矩形，利用矩形的性质可证得OG＝EA，利用垂径定理求出CF的长，利用勾股定理求出OF的长；再利用三角形的面积公式可求出AE的长，由此可求出OG的长；再利用勾股定理可求出AG的长，然后利用垂径定理可求出AD的长.
10．（2019九上·凤山期末）如图，点A、B、C是圆O上的三点，且四边形OABC是平行四边形，OD⊥AB交圆O于点D，则∠OAD等于（ ）
A．72.5° B．75° C．80° D．60°
【答案】B
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：∵四边形OABC是平行四边形，
∴AB=BC=OA=OC，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOB=∠OAB=60°，
又∵ OD⊥AB ，
∴∠DOB=30°，
∵∠DAB=∠DOB=15°，
∴ ∠OAD =∠OAB+∠DAB=60°+15°=75°.
故答案为：B.
【分析】根据平行四边形的性质和圆的性质得AB=BC=OA=OC，由等边三角形判定可得△OAB是等边三角形，根据等边三角形性质和垂径定理∠DAB=15°，由 ∠OAD =∠OAB+∠DAB即可求得答案.
二、填空题
11．（2022九上·凉州期末）⊙O的半径为13cm，弦ABCD，AB＝10cm， CD＝24cm，则AB与CD之间的距离是 .
【答案】17cm或7cm
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：有两种情况，如图，过O作AB、CD的垂线OE，OF，交AB于点E，交CD于点F.
∴EF就是AB、CD间的距离.
∵AB＝10cm，CD＝24cm，
根据垂径定理，得CF＝DF=12cm，AE=BE＝5cm，
∵AO=CO＝13cm，
∴在直角三角形OEA和直角三角形OCF中，
∴OE＝cm，OF＝cm，
∴①EF＝12-5＝7cm②EF＝12+5＝17cm.
故答案为：17cm或7cm.
【分析】分AB、CD在圆心的同侧与异侧两种情况，过O作AB、CD的垂线OE，OF，交AB于点E，交CD于点F，根据垂径定理，得CF＝DF=12cm，AE=BE＝5cm，在直角三角形OEA和直角三角形OCF中，分别根据勾股定理算出OE、OF的长，进而根据EF=OE+OF或EF=OE-OF即可算出答案.
12．（2022九上·义乌月考）如图，是的弦，C是弧AB的中点，交于点D.若cm， cm，则的半径为 cm.
【答案】5
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如下图所示，连接OA，
∵C是弧中点，
∴，且平分，
设的半径为，
∵cm，cm，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴cm.
故答案为：5.
【分析】连接OA，根据垂径定理可得CD⊥AB，且AD=4，在Rt△AOD中，根据勾股定理建立方程，求解即可.
13．（2023·九台模拟）已知如图，是等边三角形，分别以点A、B、C为圆心，长为半径作圆，得到弧、弧、弧，，D为弧上任一点，连接，则= ．
【答案】
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵是等边三角形，，
∴，CB=CA=BA，
设BC=a，
∴CB=CA=BA=a，，
由勾股定理得，
∵以点A、B、C为圆心，长为半径作圆，得到弧、弧、弧，
∴BA=CB=DB=a，
∴，
故答案为：
【分析】先根据等边三角形的性质得到，CB=CA=BA，设BC=a，进而得到CB=CA=BA=a，，再根据勾股定理即可得到AE，再根据题意得到BA=CB=DB=a，进而即可求解。
14．（2023·枣阳模拟）的半径是13cm，AB，CD是的两条弦，且，，，则AB与CD之间的距离是 ．
【答案】7cm或17cm
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：分两种情况：①如图1，当AB、CD在圆心O的同侧时，过点O作OF⊥CD于点F，交AB于点E，连接OA、OC，
∵AB∥CD，∴OE⊥AB，
∴CF=CD=5cm，AE=AB=12cm，
在Rt△COF中，OC=13，∴OF==12cm，
在Rt△AOE中，OA=13，∴OE==5cm，
∴EF=OF-OE=7cm；
②如图2，当AB、CD在圆心O的两侧时，EF=OF+OE=17cm；
故答案为：7cm或17cm.
【分析】分两种情况：①如图1，当AB、CD在圆心O的同侧时，②如图2，当AB、CD在圆心O的两侧时，利用垂径定理、勾股定理分别解答即可.
15．（2022·西青模拟）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长都为1，是的外接圆，点，均为格点，点是小正方形一边的中点．
（1）线段的长度等于 ；
（2）请借助无刻度的直尺，在给定的网格中先确定圆心，再作的平分线交于点．在下面的横线上简要说明点和点的位置是如何找到的． ．
【答案】（1）
（2）根据以点A和点B为顶点的90°的圆周角所对的弦是直径，可确定圆的两条直径，它们的交点即是圆心O；过圆心O作BC的垂线，交于点P，连接AP，则AP即为∠BAC 的平分线.
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：（1），
∴线段 AB 的长度等于；
（2）如图，分别以点A和点B为顶点构造和，
∵，
∴CD和EF都是的直径，
∴CD和EF的交点O是圆心 O ，即为所要求作的点，
如图，过圆心O作BC的垂线，交 ⊙O 于点P，连接AP，
∵，
∴，
∴，
∴AP平分∠BAC ，
∴点P就是所要求作的点.
【分析】 (1) 在网格中利用勾股定理可求AB；
(2) 根据直径所对的圆周角是直角，构造两个直角三角形，再利用两条直径的交点为圆心确定圆心的位置；过圆心O作BC的垂线，交 ⊙O 于点P，连接AP，利用等弧所对的圆周角相等，可得，即可确定P的位置。
16．（2021九上·温州月考）如图1，一艺术拱门由两部分组成，下部为矩形ABCD，AB，AD的长分别是2 m和4m，上部是圆心为O的劣弧CD，圆心角∠COD＝120°.现欲以B点为支点将拱门放倒，放倒过程中矩形ABCD所在的平面始终与地面垂直，如图2、图3、图4所示记拱门上的点到地面的最大距离hm，则h的最大值为 m.
【答案】（2+2 ）
【知识点】勾股定理；矩形的性质；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：如图所示，过点O作垂直于地面的直线与拱门外框上沿交于点P，交地面于点Q，
如图1，AB，AD的长分别是2 m和4m，圆心角∠COD＝120°，
∴∠DOP＝60°， DC＝ AB＝ ，
∴OD＝2，PQ＝5，
当点P在线段AD上时，拱门上的点到地面的最大距离h等于点D到地面的距离，即点P与点D重合时，此时
h＝ ，
如图2所示，当点P在劣弧CD上时，拱门上的点到地面的最大距离h等于⊙O的半径长与圆心O到地面的距离之和，
易知，OQ≤OB，
而h＝OP+OQ＝2+OQ，
∴当点Q与点B重合时，h取得最大值，
由图1可知，OQ＝3，BQ＝ ，则OB＝ ，
h的最大值为OP+OB，即2+ .
故答案为：（2+ ）.
【分析】过点O作垂直于地面的直线与拱门外框上沿交于点P，交地面于点Q，易得OD＝2，PQ＝5，
当点P在线段AD上时，利用勾股定理可求出h，当点P在劣弧CD上时，易知OQ≤OB，而h＝OP+OQ＝2+OQ，推出当点Q与点B重合时，h取得最大值，由图1可知：OQ＝3，BQ＝，据此求解.
三、作图题
17．（2023·长安模拟）如图，已知扇形，请用尺规作图，在上求作一点P，使（保留作图痕迹，不写作法）.
【答案】解：作的角平分线：以点A，点B分别为圆心，适当长为半径画弧，交于一点，连接该点与点O，交与点P，连接，，如图，
则，
∴.
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；作图-角的平分线
【解析】【分析】利用尺规作图法作出∠AOB的角平分线OP，交弧AB于点P，点P就是所求的点，根据相等的圆心角所对的弧相等得弧AP=弧BP，由等弧所对的弦相等即可得出PA=PB.
四、综合题
18．（2023·云梦模拟）如图，在锐角中，是最短边；以中点O为圆心，长为半径作，交于E，过O作交于D，连接、、.
（1）求证：D是的中点；
（2）求证：.
【答案】（1）证明：∵由已知可得，，，
∴，，
∴，
∴，
即D是的中点；
（2）证明：延长与交于点G，如图所示，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴.
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】（1）由平行线的性质和等边对等角可得∠OCD=∠DCE，根据圆心角、弦、弧之间的关系定理可得弧AD=弧DE，根据垂径定理可得D是弧AE的中点；
（2）延长AD交BC于点G，由平行线的性质和等边对等角可得∠AGE=∠DAO，根据三角形的外角的性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和”可得∠AGE=∠B+∠BAD，然后结论可求证.
19．（2023·惠水模拟）如图，、是圆上的两点，，是的中点.
（1）求证：平分；
（2）延长至，使得，连接，若圆的半径，求的长.
【答案】（1）证明：连接、，
∵，是弧的中点，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，同理，
∴，
∴四边形是菱形，
∴平分；
（2）解：∵是等边三角形，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴是直角三角形，
∵，，
∴
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】（1） 连接、， 根据四边形相等可证四边形是菱形， 利用菱形的性质即得结论；
（2）由等边三角形的性质及OA=AP，可得，，从而求出∠OCP=90°，根据勾股定理求出PC即可.
20．（2021七上·金牛期末）如图，四边形ABCD是的内接四边形，AC平分，点B是弧AC的中点.
（1）求证：.
（2）如下图，连接BO并延长分别交AC，AD于点E和F，交于点G，连接FC.
①试判断四边形ABCF的形状，并说明理由.
②，，求的半径.
【答案】（1）证明：如下图中，
∵AC平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴.
（2）解：①结论：ABCF是菱形.
理由：∵，
∴，，AB=BC，
∴，
∵，，，
∴≌（），
∴，
∴，
∴四边形ABCF是菱形.
②作于H.
∵，设，，则
，∴.
∵，，
∴，
∴，，
在中
∵，
∴，
∴或（舍弃）.
在中，，
∴，
连接OC，设，
在中，，
∴.
【知识点】勾股定理；菱形的判定；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）由角平分线的概念可得∠DAC=∠CAB，推出，由点B是弧AC的中点可得，则，据此证明；
（2）①由垂径定理可得AE=EC，OB⊥AC，则FA=FC，证明△AEF≌△AEB，得到AF=AB，根据等弧所对的弦相等得AB=BC，据此判断；
②作CH⊥AD于H，设CD=3k，AD=5k，则AF=3k，DF=2k，HF=HD=k，AK=4k，CH=k，在Rt△ACH中，由勾股定理求出k，在Rt△BEC中，由勾股定理可得BE，进而求出AB，连接OC，设OC=r，然后在Rt△OEC中，由勾股定理求解即可.
1 / 12023-2024学年苏科版数学九年级上册2.2圆的对称性 同步练习
一、选择题
1．（2023·陕西）陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一图是从正面看到的一个“老碗”图的形状示意图．是的一部分，是的中点，连接，与弦交于点，连接，已知，碗深，则的半径为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·隆昌模拟）如图，BD是的直径，弦AC交BD于点G．连接OC，若，，则的度数为（ ）
A．98° B．103° C．108° D．113°
3．（2023·增城模拟）如图，是的直径，弦于点，，，则（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
4．（2023·玉州模拟）如图，是的外接圆，交于点E，垂足为点D，，的延长线交于点F．若，，则的长是（ ）
A．8 B．12 C．16 D．20
5．（2023九上·诸暨期末）如图为一座拱形桥示意图，桥身（弦）长度为8，半径垂直于点，，则桥拱高为（ ）
A．3 B．2.5 C．2 D．1.5
6．（2023九下·姑苏开学考）下列命题正确的是（ ）
A．相等的圆心角所对的两条弦相等
B．圆既是中心对称图形又是轴对称图形
C．两个圆中，如果弦相等，则弦所对的圆心角也相等
D．等弧就是长度相等的弧
7．（2023九上·慈溪期末）“圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长六寸，问径几何？”用现代的数学语言表述是：“为的直径，弦，垂足为E，寸，寸，求直径的长？”依题意得的长为（ ）
A．4寸 B．5寸 C．8寸 D．10寸
8．（2022九上·中山期末）点是内一点，过点的最长弦的长为10，最短弦的长为6，则的长为（ ）
A．8 B．2 C．5 D．4
9．（2021九上·河南期末）如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，连接CO，作AD OC，若CO＝ ，AC＝2，则AD＝（ ）
A．3 B． C． D．
10．（2019九上·凤山期末）如图，点A、B、C是圆O上的三点，且四边形OABC是平行四边形，OD⊥AB交圆O于点D，则∠OAD等于（ ）
A．72.5° B．75° C．80° D．60°
二、填空题
11．（2022九上·凉州期末）⊙O的半径为13cm，弦ABCD，AB＝10cm， CD＝24cm，则AB与CD之间的距离是 .
12．（2022九上·义乌月考）如图，是的弦，C是弧AB的中点，交于点D.若cm， cm，则的半径为 cm.
13．（2023·九台模拟）已知如图，是等边三角形，分别以点A、B、C为圆心，长为半径作圆，得到弧、弧、弧，，D为弧上任一点，连接，则= ．
14．（2023·枣阳模拟）的半径是13cm，AB，CD是的两条弦，且，，，则AB与CD之间的距离是 ．
15．（2022·西青模拟）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长都为1，是的外接圆，点，均为格点，点是小正方形一边的中点．
（1）线段的长度等于 ；
（2）请借助无刻度的直尺，在给定的网格中先确定圆心，再作的平分线交于点．在下面的横线上简要说明点和点的位置是如何找到的． ．
16．（2021九上·温州月考）如图1，一艺术拱门由两部分组成，下部为矩形ABCD，AB，AD的长分别是2 m和4m，上部是圆心为O的劣弧CD，圆心角∠COD＝120°.现欲以B点为支点将拱门放倒，放倒过程中矩形ABCD所在的平面始终与地面垂直，如图2、图3、图4所示记拱门上的点到地面的最大距离hm，则h的最大值为 m.
三、作图题
17．（2023·长安模拟）如图，已知扇形，请用尺规作图，在上求作一点P，使（保留作图痕迹，不写作法）.
四、综合题
18．（2023·云梦模拟）如图，在锐角中，是最短边；以中点O为圆心，长为半径作，交于E，过O作交于D，连接、、.
（1）求证：D是的中点；
（2）求证：.
19．（2023·惠水模拟）如图，、是圆上的两点，，是的中点.
（1）求证：平分；
（2）延长至，使得，连接，若圆的半径，求的长.
20．（2021七上·金牛期末）如图，四边形ABCD是的内接四边形，AC平分，点B是弧AC的中点.
（1）求证：.
（2）如下图，连接BO并延长分别交AC，AD于点E和F，交于点G，连接FC.
①试判断四边形ABCF的形状，并说明理由.
②，，求的半径.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】垂径定理的应用
【解析】【解答】解：设半径，
，
，
，
是的中点， ，
，，
，
，
，
.
故答案为：A.
【分析】先利用垂径定理得到直角三角形及AC的长，再利用勾股定理列方程，求得半径.
2．【答案】C
【知识点】角的运算；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】∵BD是的直径，
∴∠BAD=90°，
∵，
∴∠B=∠D=45°，
∵∠COD=126°，
∴∠DAC=∠COD=×126°=63°，
∴∠AGB=∠DAC+∠D=63°+45°=108°，
故答案为：C.
【分析】先求出∠B=∠D=45°，再利用角的运算求出∠AGB=∠DAC+∠D=63°+45°=108°即可。
3．【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：∵AB为直径，CD⊥AB于点E，CD=8，
∴CE=CD=4.
∵OC=5，
∴OE==3.
故答案为：C.
【分析】由垂径定理可得CE=CD=4，然后在Rt△COE中，利用勾股定理进行计算.
4．【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵OE⊥AB，AB=16，
∴AD=BD=AB=8.
∵OD=6，AD=8，
∴AO==10，
∴OE=AO=10.
∵OE⊥AB，O为AC的中点，
∴E为AF的中点，
∴OE为△AFC的中位线，
∴FC=2EO=20.
故答案为：D.
【分析】由垂径定理可得AD=BD=AB=8，利用勾股定理求出AO，即为OE的值，由题意可得OE为△AFC的中位线，则FC=2EO，据此计算.
5．【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理的应用
【解析】【解答】解：连接OB，
∵OC⊥AB，
∴BD=AB=4，∠BDO=90°
，
∴DC=OC-OD=5-3=2.
故答案为：C
【分析】连接OB，利用垂径定理求出BD的长，再利用勾股定理求出OB的长；然后根据DC=OC-OD，代入计算求出DC的长.
6．【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；轴对称图形；中心对称及中心对称图形；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A.同圆或等圆中，相等的圆心角所对的两条弦相等，故原命题错误，不符合题意；
B.圆既是中心对称图形又是轴对称图形，正确，符合题意；
C.同圆或等圆中，如果弦相等，则弦所对的圆心角也相等，故原命题错误，不符合题意；
D.等弧是能够完全重合的弧，长度相等不一定是等弧，故原命题错误，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据弧、弦、圆心角的关系可判断A、C；根据圆的对称性可判断B；等弧是能够完全重合的弧，据此判断D.
7．【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如图：连接 ，
设 的半径为x，则 ，
为 的直径，弦 ， 寸， 寸，
， ，
，
解得 ，
故 ，
，
故 的长为10寸.
故答案为：D.
【分析】连接OA，设半径为x，则OE=x-1，由垂径定理可得AE=AB=3，由勾股定理可得x的值，据此解答.
8．【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：∵圆内最长的弦为直径，最短的弦是过点 且与这条直径垂直的弦，
∴ ， ，
∴ ，
由垂径定理得： ，
由勾股定理得： ，
故答案为：D．
【分析】根据垂径定理可得，再利用勾股定理求出OP的长即可。
9．【答案】D
【知识点】三角形的面积；矩形的判定与性质；垂径定理
【解析】【解答】解：作AE⊥OC于点E，作OF⊥CA于点F，作OG⊥AD于点G，
则EA∥OG，
∵AD∥OC，
∴四边形OEAG是矩形，
∴OG＝EA，
∵OF⊥AC，OA＝OC＝ ，AC＝2，
∴CF＝1，
∴OF＝ ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴OG＝ ，
∵OG⊥AD，
∴AG＝ ，
∴AD＝2AG＝ ，
故答案为：D.
【分析】作AE⊥OC于点E，作OF⊥CA于点F，作OG⊥AD于点G，则EA∥OG，易证四边形OEAG是矩形，利用矩形的性质可证得OG＝EA，利用垂径定理求出CF的长，利用勾股定理求出OF的长；再利用三角形的面积公式可求出AE的长，由此可求出OG的长；再利用勾股定理可求出AG的长，然后利用垂径定理可求出AD的长.
10．【答案】B
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：∵四边形OABC是平行四边形，
∴AB=BC=OA=OC，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOB=∠OAB=60°，
又∵ OD⊥AB ，
∴∠DOB=30°，
∵∠DAB=∠DOB=15°，
∴ ∠OAD =∠OAB+∠DAB=60°+15°=75°.
故答案为：B.
【分析】根据平行四边形的性质和圆的性质得AB=BC=OA=OC，由等边三角形判定可得△OAB是等边三角形，根据等边三角形性质和垂径定理∠DAB=15°，由 ∠OAD =∠OAB+∠DAB即可求得答案.
11．【答案】17cm或7cm
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：有两种情况，如图，过O作AB、CD的垂线OE，OF，交AB于点E，交CD于点F.
∴EF就是AB、CD间的距离.
∵AB＝10cm，CD＝24cm，
根据垂径定理，得CF＝DF=12cm，AE=BE＝5cm，
∵AO=CO＝13cm，
∴在直角三角形OEA和直角三角形OCF中，
∴OE＝cm，OF＝cm，
∴①EF＝12-5＝7cm②EF＝12+5＝17cm.
故答案为：17cm或7cm.
【分析】分AB、CD在圆心的同侧与异侧两种情况，过O作AB、CD的垂线OE，OF，交AB于点E，交CD于点F，根据垂径定理，得CF＝DF=12cm，AE=BE＝5cm，在直角三角形OEA和直角三角形OCF中，分别根据勾股定理算出OE、OF的长，进而根据EF=OE+OF或EF=OE-OF即可算出答案.
12．【答案】5
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如下图所示，连接OA，
∵C是弧中点，
∴，且平分，
设的半径为，
∵cm，cm，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴cm.
故答案为：5.
【分析】连接OA，根据垂径定理可得CD⊥AB，且AD=4，在Rt△AOD中，根据勾股定理建立方程，求解即可.
13．【答案】
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵是等边三角形，，
∴，CB=CA=BA，
设BC=a，
∴CB=CA=BA=a，，
由勾股定理得，
∵以点A、B、C为圆心，长为半径作圆，得到弧、弧、弧，
∴BA=CB=DB=a，
∴，
故答案为：
【分析】先根据等边三角形的性质得到，CB=CA=BA，设BC=a，进而得到CB=CA=BA=a，，再根据勾股定理即可得到AE，再根据题意得到BA=CB=DB=a，进而即可求解。
14．【答案】7cm或17cm
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：分两种情况：①如图1，当AB、CD在圆心O的同侧时，过点O作OF⊥CD于点F，交AB于点E，连接OA、OC，
∵AB∥CD，∴OE⊥AB，
∴CF=CD=5cm，AE=AB=12cm，
在Rt△COF中，OC=13，∴OF==12cm，
在Rt△AOE中，OA=13，∴OE==5cm，
∴EF=OF-OE=7cm；
②如图2，当AB、CD在圆心O的两侧时，EF=OF+OE=17cm；
故答案为：7cm或17cm.
【分析】分两种情况：①如图1，当AB、CD在圆心O的同侧时，②如图2，当AB、CD在圆心O的两侧时，利用垂径定理、勾股定理分别解答即可.
15．【答案】（1）
（2）根据以点A和点B为顶点的90°的圆周角所对的弦是直径，可确定圆的两条直径，它们的交点即是圆心O；过圆心O作BC的垂线，交于点P，连接AP，则AP即为∠BAC 的平分线.
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：（1），
∴线段 AB 的长度等于；
（2）如图，分别以点A和点B为顶点构造和，
∵，
∴CD和EF都是的直径，
∴CD和EF的交点O是圆心 O ，即为所要求作的点，
如图，过圆心O作BC的垂线，交 ⊙O 于点P，连接AP，
∵，
∴，
∴，
∴AP平分∠BAC ，
∴点P就是所要求作的点.
【分析】 (1) 在网格中利用勾股定理可求AB；
(2) 根据直径所对的圆周角是直角，构造两个直角三角形，再利用两条直径的交点为圆心确定圆心的位置；过圆心O作BC的垂线，交 ⊙O 于点P，连接AP，利用等弧所对的圆周角相等，可得，即可确定P的位置。
16．【答案】（2+2 ）
【知识点】勾股定理；矩形的性质；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：如图所示，过点O作垂直于地面的直线与拱门外框上沿交于点P，交地面于点Q，
如图1，AB，AD的长分别是2 m和4m，圆心角∠COD＝120°，
∴∠DOP＝60°， DC＝ AB＝ ，
∴OD＝2，PQ＝5，
当点P在线段AD上时，拱门上的点到地面的最大距离h等于点D到地面的距离，即点P与点D重合时，此时
h＝ ，
如图2所示，当点P在劣弧CD上时，拱门上的点到地面的最大距离h等于⊙O的半径长与圆心O到地面的距离之和，
易知，OQ≤OB，
而h＝OP+OQ＝2+OQ，
∴当点Q与点B重合时，h取得最大值，
由图1可知，OQ＝3，BQ＝ ，则OB＝ ，
h的最大值为OP+OB，即2+ .
故答案为：（2+ ）.
【分析】过点O作垂直于地面的直线与拱门外框上沿交于点P，交地面于点Q，易得OD＝2，PQ＝5，
当点P在线段AD上时，利用勾股定理可求出h，当点P在劣弧CD上时，易知OQ≤OB，而h＝OP+OQ＝2+OQ，推出当点Q与点B重合时，h取得最大值，由图1可知：OQ＝3，BQ＝，据此求解.
17．【答案】解：作的角平分线：以点A，点B分别为圆心，适当长为半径画弧，交于一点，连接该点与点O，交与点P，连接，，如图，
则，
∴.
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；作图-角的平分线
【解析】【分析】利用尺规作图法作出∠AOB的角平分线OP，交弧AB于点P，点P就是所求的点，根据相等的圆心角所对的弧相等得弧AP=弧BP，由等弧所对的弦相等即可得出PA=PB.
18．【答案】（1）证明：∵由已知可得，，，
∴，，
∴，
∴，
即D是的中点；
（2）证明：延长与交于点G，如图所示，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴.
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】（1）由平行线的性质和等边对等角可得∠OCD=∠DCE，根据圆心角、弦、弧之间的关系定理可得弧AD=弧DE，根据垂径定理可得D是弧AE的中点；
（2）延长AD交BC于点G，由平行线的性质和等边对等角可得∠AGE=∠DAO，根据三角形的外角的性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和”可得∠AGE=∠B+∠BAD，然后结论可求证.
19．【答案】（1）证明：连接、，
∵，是弧的中点，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，同理，
∴，
∴四边形是菱形，
∴平分；
（2）解：∵是等边三角形，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴是直角三角形，
∵，，
∴
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】（1） 连接、， 根据四边形相等可证四边形是菱形， 利用菱形的性质即得结论；
（2）由等边三角形的性质及OA=AP，可得，，从而求出∠OCP=90°，根据勾股定理求出PC即可.
20．【答案】（1）证明：如下图中，
∵AC平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴.
（2）解：①结论：ABCF是菱形.
理由：∵，
∴，，AB=BC，
∴，
∵，，，
∴≌（），
∴，
∴，
∴四边形ABCF是菱形.
②作于H.
∵，设，，则
，∴.
∵，，
∴，
∴，，
在中
∵，
∴，
∴或（舍弃）.
在中，，
∴，
连接OC，设，
在中，，
∴.
【知识点】勾股定理；菱形的判定；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）由角平分线的概念可得∠DAC=∠CAB，推出，由点B是弧AC的中点可得，则，据此证明；
（2）①由垂径定理可得AE=EC，OB⊥AC，则FA=FC，证明△AEF≌△AEB，得到AF=AB，根据等弧所对的弦相等得AB=BC，据此判断；
②作CH⊥AD于H，设CD=3k，AD=5k，则AF=3k，DF=2k，HF=HD=k，AK=4k，CH=k，在Rt△ACH中，由勾股定理求出k，在Rt△BEC中，由勾股定理可得BE，进而求出AB，连接OC，设OC=r，然后在Rt△OEC中，由勾股定理求解即可.
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