2023-2024学年苏科版数学九年级上册2.3确定圆的条件 同步练习
一、选择题
1．（2022九上·广平期末）下列条件中，能确定一个圆的是（ ）
A．经过已知点M B．以点O为圆心，长为半径
C．以长为半径 D．以点O为圆心
2．（2023九上·余姚期末）已知圆的半径为5cm，同一平面内一点到圆心的距离是6cm，则这点在（ ）
A．圆外 B．圆上 C．圆内 D．不能确定
3．（2023九上·宁波期末）如图，在中，，，，点D在边上，，以点D为圆心作，其半径长为r，要使点A恰在外，点B在内，则r的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022九上·温州月考）已知⊙O的半径为8cm，点P在⊙O上，则OP的长为（ ）
A．2cm B．4cm C．8cm D．16cm
5．（2022九上·宁波月考）已知⊙O的直径为4cm．若点P到圆心O的距离为3cm，则点P（ ）
A．在⊙O上 B．在⊙O内 C．在⊙O外 D．无法确定
6．（2023九上·慈溪期末）已知的半径为3，点P到圆心O的距离为d，若点P在圆外，则d的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022九上·余杭月考）已知⊙O的半径为6，点P在⊙O内，则线段OP长（ ）
A．小于6 B．大于6 C．等于6 D．等于12
8．（2022九上·新昌月考）若⊙O 是以1为半径的圆，点M在圆内，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2022九上·余杭月考）已知⊙O的半径是3，点P在圆外，则线段OP的长可能是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（2021九上·滨湖期中）如图，AB＝AD＝6，∠A＝60°，点C在∠DAB内部且∠C＝120°，则CB＋CD的最大值（ ）
A．4 B．8 C．10 D．6
二、填空题
11．（2023九上·吴兴期末）已知的半径为，点到圆心的距离为，则点在 （填内、上、外）.
12．（2022九上·长兴月考）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以顶点D为圆心作半径为r的圆，使点A在⊙D内且点C在⊙D外，则r的取值范围是 ．
13．（2022九上·定海月考）已知A为⊙O外一点，若点A到⊙O上的点的最短距离为2，最长距离为4，则⊙O的半径为 ．
14．（2022九上·青州期中）如图，△ABC的三个顶点都在直角坐标系中的格点上，图中△ABC外接圆的圆心坐标是 ．
15．（2022九上·吴江月考）如图，点A，B的坐标分别为为坐标平面内一点，，M为线段的中点，连接，当取最大值时，点M的坐标为 ．
16．（2022九上·南宁月考）在矩形 中，，点E在边上，，点P为矩形内一点且，点M为边上一点，连接，则的最小值为 .
17．（2020九上·长沙月考）如图， 为等边△ABC的外接圆，半径为2，点D在劣弧 上运动（不与点A，B重合），连接DA，DB，DC．则四边形ADBC的面积的最大值为 ．
三、作图题
18．（2023九上·韩城期末）如图，已知，利用尺规作图法作的外接圆.（不写作法，保留作图痕迹）
19．（2022九上·温州期中）如图，在6×6的正方形网格中，圆上A，B，C三点都在格点上，请按要求作出图中圆的圆心：①仅用无刻度直尺，且不能用直尺中的直角；②保留作图痕迹．
四、解答题
20．（2022九上·广平期末）如图，某海域以点A为圆心、为半径的圆形区域为多暗礁的危险区，但渔业资源丰富，渔船要从点B处前往A处进行捕鱼，B、A两点之间的距离是，如果渔船始终保持的航速行驶，那么在什么时段内，渔船是安全的？渔船何时进入危险区域？
21．（2020九上·江苏月考）已知⊙O的半径为2，点P到圆心O的距离OP=m，且m使关于x的方程 有实数根，求点P与⊙O的位置关系.
五、综合题
22．（2022九上·西山期中）如图，是等边的外接圆．
（1）如图1，连接AO，延长AO交弦BC于点M，交于点P．连接PB，PC．求证：；
（2）如图2，若P为上任意一点，连接PA，PB，PC，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由．
23．（2016九上·朝阳期末）我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆．例如线段 的最小覆盖圆就是以线段 为直径的圆．
（1）请分别作出图①中两个三角形的最小覆盖圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）三角形的最小覆盖圆有何规律？请直接写出你所得到的结论（不要求证明）；
（3）某城市有四个小区 （其位置如图②所示），现拟建一个手机信号基站，为了使这四个小区居民的手机都能有信号，且使基站所需发射功率最小（距离越小，所需功率越小），此基站应建在何处？请写出你的结论并说明研究思路．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】确定圆的条件
【解析】【解答】解：∵圆心确定，半径确定后才可以确定圆，
∴B选项符合题意，
故答案为：B．
【分析】利用确定圆的条件逐项判断即可。
2．【答案】A
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵5＜6，
∴这个点在圆外.
故答案为：A.
【分析】设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内，据此判断即可得出答案.
3．【答案】A
【知识点】勾股定理；点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：在中，，，，
则，，
点A恰在外，点B在内，
故答案为：A.
【分析】根据勾股定理算出AD的长，设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内，据此判断即可得出答案.
4．【答案】C
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】 解：∵点P在⊙O上，⊙O的半径为8cm
∴OP＝8cm.
故答案为：C．
【分析】根据点在圆上，点到圆心的距离等于圆的半径求解即可．
5．【答案】C
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵⊙O的直径为4cm，
∴⊙O的半径为2cm，
又∵点P到圆心O的距离为3cm，3cm＞2cm，
∴点P在⊙O外.
故答案为：C.
【分析】根据点圆的位置关系，点到圆心的距离大于半径长，点在圆外即可判断.
6．【答案】C
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵点P在圆外，且⊙O的半径为3，
∴ ，
故答案为：C.
【分析】若点A到圆心的距离为d，圆的半径为r，当d>r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d7．【答案】A
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵⊙O的半径为6，点P在⊙O内，
∴线段OP长小于6.
故答案为：A
【分析】利用当点P在圆内时，OP小于圆的半径，据此可得到OP的取值范围.
8．【答案】A
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：的半径为1，点A在的内部，
.
故答案为：A.
【分析】若点A到圆心的距离为d，圆的半径为r，当d>r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d9．【答案】D
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵⊙O的半径是3，点P在圆外，
∴OP的长＞3.
故答案为：D.
【分析】若点A到圆心的距离为d，圆的半径为r，当d>r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d10．【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形的外接圆与外心；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：如图，连接AC、BD，在AC上取一点，使得DM=DC
∵∠DAB＝60°，∠DCB=120°，
∴∠DAB+∠DCB＝180°
∴A、B、C、D四点共圆
∵AD=AB，∠DAB=60°
∴△ADB是等边三角形
∴∠ABD=∠ACD=60°
∵DM=DC
∴△DMC是等边三角形
∴∠ADB=∠MDC=60°，CM=DC
∴∠ADM=∠BDC
∵AD=BD
∴△ADM≌△BDC
∴AM=BC
∴AC=AM+MC=BC+CD
∵四边形ABCD的周长为AD+AB+CD+BC=AD+AB+AC
∵AD=AB=6
∴当AC最大时，四边形ABCD的周长最大，则CB＋CD最大
∴当AC是△ABC的外接圆的直径时，CB＋CD最大
此时C点在 中点处
∴∠CAB=30°
∴AC最大值=AB÷cos30°=4
∴CB＋CD最大为AC=4 .
故答案为：A.
【分析】连接AC、BD，在AC上取一点M，使得DM=DC，则A、B、C、D四点共圆，易得△ADB是等边三角形，得到∠ABD=∠ACD=60°，推出△DMC是等边三角形，则∠ADB=∠MDC=60°，CM=DC，证明△ADM≌△BDC，得到AM=BC，推出当AC是△ABC的外接圆的直径时，CB＋CD最大，此时C点在中点处，则∠CAB=30°，利用三角函数的概念求出AC的最大值，据此解答.
11．【答案】内
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：的半径，点到圆心的距离为，
点在内，
故答案为：内.
【分析】若点A到圆心的距离为d，圆的半径为r，当d>r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d12．【答案】3＜r＜4
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵AB=4，AD=3，以顶点D为圆心作半径为r的圆，使点A在⊙D内且点C在⊙D外，
∴r的取值范围为3＜r＜4.
故答案为：3＜r＜4
【分析】设圆的半径为r，圆心到点的距离为d，当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内；当d＞r时，点在圆外，利用已知条件可得到r的取值范围.
13．【答案】1
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵点A在圆外，点A到⊙O上的点的最短距离为2，最长距离为4，
∴⊙O的半径为（4-2）÷2=1.
故答案为：1.
【分析】利用点与圆的位置关系，根据已知条件：点A在圆外，点A到⊙O上的点的最短距离为2，最长距离为4，用最长的距离减去最短的距离，可得到⊙O的直径，然后求出⊙O的半径.
14．【答案】（5，2）
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：设三角形的外心为，由题意可得：
，
则，
解方程可得：，
故答案为（5，2）．
【分析】设三角形的外心为，根据，可得，再求出，即可得到答案。
15．【答案】
【知识点】勾股定理；点与圆的位置关系；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，∵点C为坐标平面内一点，，
∴C在⊙B上，且半径为，
在x轴上取OD=OA=6，连接CD，
∵AM=CM，OD=OA，
∴OM是△ACD的中位线，
∴OM=CD，
∴即当OM最大时，CD最大，而D，B，C三点共线时，即当C在DB的延长线上时，OM最大，
∵OB=OD=6，∠BOD=90°，
∴BD=，
∴CD=，且C（2，8），
∴OM=CD，即OM的最大值为，
∵M是AC的中点，则M（4，4）.
故答案为：（4，4）.
【分析】由题意可得C在⊙B上，且半径为，在x轴上取OD=OA=6，连接CD，则OM是△ACD的中位线，OM=CD，故当C在DB的延长线上时，OM最大，利用勾股定理可得BD，由CD=BD+BC可得CD，据此求解.
16．【答案】
【知识点】矩形的性质；确定圆的条件；轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，
∵，
∴点P在以为直径的圆O上运动，
作点D关于的对称点G，连接交 于点P，交于M，的最小值是的长，
∵四边形是矩形，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴的最小值为：.
故答案为：.
【分析】由可知点P在以为直径的圆O上运动，作点D关于的对称点G，连接交 于点P，交于M，的最小值是的长，求出此时PG的长即可.
17．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形的外接圆与外心；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图1，将△ADC绕点C逆时针旋转60°，得到△BHC，
∴CD=CH，∠DAC=∠HBC，
∵圆的半径为2，则易求圆内接等边三角形的边长为： ；
∵四边形ACBD是圆内接四边形，
∴∠DAC+∠DBC=180°，
∴∠DBC+∠HBC=180°，
∴点D，点B，点H三点共线，
∵DC=CH，∠CDH=60°，
∴△DCH是等边三角形，
∵四边形ADBC的面积S=S△ADC+S△BDC=S△CDH= ，
∴S= （ ≤x≤4）；
当CD为直径时，即 时，四边形ADBC的面积最大，
∴ ；
故答案为：．
【分析】将△ADC绕点C逆时针旋转60°，得到△BHC，根据旋转的性质可得△DCH为等边三角形，根据圆内接四边的内对角互补，即可推出，进而说明点D，点B，点H三点共线，则四边形ADBC的面积S=S△ADC+S△BDC=S△CDH，要使等边△CDH的面积最大，则边长最大，即边CD最长，根据直径是最长的弦可解答.
18．【答案】解：如图，
圆O就是所求作的图形
【知识点】三角形的外接圆与外心；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】 利用作线段垂直平分线的方法，利用尺规作图分别作出AC，BC的垂直平分线，两垂直平分线相交于点O，然后以O为圆心，OA为半径，画出圆O即可.
19．【答案】解：如图所示，
【知识点】线段垂直平分线的性质；正方形的性质；确定圆的条件
【解析】【分析】观察图1可知AB⊥BC，作出AB，BC的垂直平分线，两垂直平分线的交点就是圆心，然后画出图形即可；观察图2，可知AC是2×2的正方形网格，可作出AC的垂直平分线，以BC为边作正方形BCEF，作出正方形BCEF的对角线，取BC的中点G，过N，G作直线，与AC的垂直平分线交于点O，即可求解.
20．【答案】解：如图，
∵，
∴，
由，
知到之间，渔船是安全的；渔船进入危险区域
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【分析】先求出线段的和差求出BC的长，再利用时间、路程和速度的关系求出答案即可。
21．【答案】解：∵关于x的方程2x2 x+m 1=0有实数根，
∴△=( )2 4×2×(m 1) 0，解得m 2，
即OP 2，
∵⊙O的半径为2，
∴点P在⊙O上或⊙O内.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；点与圆的位置关系
【解析】【分析】先根据判别式的意义得到△=（2 ）2-4×2×（m-1）≥0，解得m≤2，则OP≤2，所以OP≤r，然后根据点与圆的位置关系进行判断.
22．【答案】（1）证明：连接OB、OC
∵△ABC是等边三角形，
∴∠APB=∠ACB=∠ABC=∠APC=60°，
又∵OB=OP=OC，
∴△OBP与△OCP均为等边三角形，
∴ ， ，
则 ，
即证：.
（2）解：仍然成立，理由如下，
如图，延长PB至点D，使得BD=CP，连接AD，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠APC=∠ABC=60°，
又∵∠ABP+∠ACP=180°，
∠ABP+∠ABD=180°，
∴∠ABD=∠ACP，
∴△ABD≌△ACP(SAS)，
∴AD=AP，∠D=∠APC=60°，
∴△ADP是等边三角形，
∴PA=PD=PB+BD=PB+BC，
即.
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】（1）根据题意利用等边三角形与圆的基本性质，易证△OBP与△OCP均为等边三角形，从而利用特殊性易证得；
（2）利用线段和差关系选择截长或补短(此处只演示补短)构造全等或利用旋转将CP与BP加和，进而只需证DP=AP，故而先证△ABD≌△ACP，进而利用全等性质即得△ADP是等边三角形，从而得证。
23．【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：锐角三角形的最小覆盖圆是其外接圆，钝角三角形的最小覆盖圆是以其最长边为直径的圆，直角三角形的最小覆盖圆二者均可
（3）解：结论： 的外接圆的圆心为手机信号基站所在位置．
研究思路：
a．手机信号基站应建在四边形 的最小覆盖圆的圆心处；所以先考虑四边形 的外接圆，因为对角不互补，所以该四边形没有外接圆；
b．作四边形对角线，将四边形分割成两个三角形，考虑其中一个三角形的最小覆盖圆能否覆盖另一个三角形，从而将四边形最小覆盖圆问题转化为三角形最小覆盖圆问题来研究；
c．若沿 分割，因为 ，所以这两个三角形的最小覆盖圆均不能完全覆盖另一个三角形；
d．若沿 分割，因为 ，所以存在一个三角形的最小覆盖圆能完全覆盖另一个三角形的情况，又因为 ，所以 的最小覆盖圆，即其外接圆能完全覆盖 ，因此 的外接圆的圆心为手机信号基站所在位置．
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【分析】（1）按新定义规则作图；（2）新定义图形要结合学习过的知识，钝角三角形的最小覆盖圆就比其外接圆小;（3）要借鉴（2）的规律，先判断这个四边形不是圆内接四边形，Δ H E F 的最小覆盖圆，即其外接圆能完全覆盖 Δ H G F，Δ H E F 的外接圆的圆心为手机信号基站所在位置.
1 / 12023-2024学年苏科版数学九年级上册2.3确定圆的条件 同步练习
一、选择题
1．（2022九上·广平期末）下列条件中，能确定一个圆的是（ ）
A．经过已知点M B．以点O为圆心，长为半径
C．以长为半径 D．以点O为圆心
【答案】B
【知识点】确定圆的条件
【解析】【解答】解：∵圆心确定，半径确定后才可以确定圆，
∴B选项符合题意，
故答案为：B．
【分析】利用确定圆的条件逐项判断即可。
2．（2023九上·余姚期末）已知圆的半径为5cm，同一平面内一点到圆心的距离是6cm，则这点在（ ）
A．圆外 B．圆上 C．圆内 D．不能确定
【答案】A
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵5＜6，
∴这个点在圆外.
故答案为：A.
【分析】设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内，据此判断即可得出答案.
3．（2023九上·宁波期末）如图，在中，，，，点D在边上，，以点D为圆心作，其半径长为r，要使点A恰在外，点B在内，则r的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：在中，，，，
则，，
点A恰在外，点B在内，
故答案为：A.
【分析】根据勾股定理算出AD的长，设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内，据此判断即可得出答案.
4．（2022九上·温州月考）已知⊙O的半径为8cm，点P在⊙O上，则OP的长为（ ）
A．2cm B．4cm C．8cm D．16cm
【答案】C
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】 解：∵点P在⊙O上，⊙O的半径为8cm
∴OP＝8cm.
故答案为：C．
【分析】根据点在圆上，点到圆心的距离等于圆的半径求解即可．
5．（2022九上·宁波月考）已知⊙O的直径为4cm．若点P到圆心O的距离为3cm，则点P（ ）
A．在⊙O上 B．在⊙O内 C．在⊙O外 D．无法确定
【答案】C
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵⊙O的直径为4cm，
∴⊙O的半径为2cm，
又∵点P到圆心O的距离为3cm，3cm＞2cm，
∴点P在⊙O外.
故答案为：C.
【分析】根据点圆的位置关系，点到圆心的距离大于半径长，点在圆外即可判断.
6．（2023九上·慈溪期末）已知的半径为3，点P到圆心O的距离为d，若点P在圆外，则d的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵点P在圆外，且⊙O的半径为3，
∴ ，
故答案为：C.
【分析】若点A到圆心的距离为d，圆的半径为r，当d>r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d7．（2022九上·余杭月考）已知⊙O的半径为6，点P在⊙O内，则线段OP长（ ）
A．小于6 B．大于6 C．等于6 D．等于12
【答案】A
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵⊙O的半径为6，点P在⊙O内，
∴线段OP长小于6.
故答案为：A
【分析】利用当点P在圆内时，OP小于圆的半径，据此可得到OP的取值范围.
8．（2022九上·新昌月考）若⊙O 是以1为半径的圆，点M在圆内，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：的半径为1，点A在的内部，
.
故答案为：A.
【分析】若点A到圆心的距离为d，圆的半径为r，当d>r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d9．（2022九上·余杭月考）已知⊙O的半径是3，点P在圆外，则线段OP的长可能是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵⊙O的半径是3，点P在圆外，
∴OP的长＞3.
故答案为：D.
【分析】若点A到圆心的距离为d，圆的半径为r，当d>r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d10．（2021九上·滨湖期中）如图，AB＝AD＝6，∠A＝60°，点C在∠DAB内部且∠C＝120°，则CB＋CD的最大值（ ）
A．4 B．8 C．10 D．6
【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形的外接圆与外心；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：如图，连接AC、BD，在AC上取一点，使得DM=DC
∵∠DAB＝60°，∠DCB=120°，
∴∠DAB+∠DCB＝180°
∴A、B、C、D四点共圆
∵AD=AB，∠DAB=60°
∴△ADB是等边三角形
∴∠ABD=∠ACD=60°
∵DM=DC
∴△DMC是等边三角形
∴∠ADB=∠MDC=60°，CM=DC
∴∠ADM=∠BDC
∵AD=BD
∴△ADM≌△BDC
∴AM=BC
∴AC=AM+MC=BC+CD
∵四边形ABCD的周长为AD+AB+CD+BC=AD+AB+AC
∵AD=AB=6
∴当AC最大时，四边形ABCD的周长最大，则CB＋CD最大
∴当AC是△ABC的外接圆的直径时，CB＋CD最大
此时C点在 中点处
∴∠CAB=30°
∴AC最大值=AB÷cos30°=4
∴CB＋CD最大为AC=4 .
故答案为：A.
【分析】连接AC、BD，在AC上取一点M，使得DM=DC，则A、B、C、D四点共圆，易得△ADB是等边三角形，得到∠ABD=∠ACD=60°，推出△DMC是等边三角形，则∠ADB=∠MDC=60°，CM=DC，证明△ADM≌△BDC，得到AM=BC，推出当AC是△ABC的外接圆的直径时，CB＋CD最大，此时C点在中点处，则∠CAB=30°，利用三角函数的概念求出AC的最大值，据此解答.
二、填空题
11．（2023九上·吴兴期末）已知的半径为，点到圆心的距离为，则点在 （填内、上、外）.
【答案】内
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：的半径，点到圆心的距离为，
点在内，
故答案为：内.
【分析】若点A到圆心的距离为d，圆的半径为r，当d>r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d12．（2022九上·长兴月考）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以顶点D为圆心作半径为r的圆，使点A在⊙D内且点C在⊙D外，则r的取值范围是 ．
【答案】3＜r＜4
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵AB=4，AD=3，以顶点D为圆心作半径为r的圆，使点A在⊙D内且点C在⊙D外，
∴r的取值范围为3＜r＜4.
故答案为：3＜r＜4
【分析】设圆的半径为r，圆心到点的距离为d，当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内；当d＞r时，点在圆外，利用已知条件可得到r的取值范围.
13．（2022九上·定海月考）已知A为⊙O外一点，若点A到⊙O上的点的最短距离为2，最长距离为4，则⊙O的半径为 ．
【答案】1
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵点A在圆外，点A到⊙O上的点的最短距离为2，最长距离为4，
∴⊙O的半径为（4-2）÷2=1.
故答案为：1.
【分析】利用点与圆的位置关系，根据已知条件：点A在圆外，点A到⊙O上的点的最短距离为2，最长距离为4，用最长的距离减去最短的距离，可得到⊙O的直径，然后求出⊙O的半径.
14．（2022九上·青州期中）如图，△ABC的三个顶点都在直角坐标系中的格点上，图中△ABC外接圆的圆心坐标是 ．
【答案】（5，2）
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：设三角形的外心为，由题意可得：
，
则，
解方程可得：，
故答案为（5，2）．
【分析】设三角形的外心为，根据，可得，再求出，即可得到答案。
15．（2022九上·吴江月考）如图，点A，B的坐标分别为为坐标平面内一点，，M为线段的中点，连接，当取最大值时，点M的坐标为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；点与圆的位置关系；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，∵点C为坐标平面内一点，，
∴C在⊙B上，且半径为，
在x轴上取OD=OA=6，连接CD，
∵AM=CM，OD=OA，
∴OM是△ACD的中位线，
∴OM=CD，
∴即当OM最大时，CD最大，而D，B，C三点共线时，即当C在DB的延长线上时，OM最大，
∵OB=OD=6，∠BOD=90°，
∴BD=，
∴CD=，且C（2，8），
∴OM=CD，即OM的最大值为，
∵M是AC的中点，则M（4，4）.
故答案为：（4，4）.
【分析】由题意可得C在⊙B上，且半径为，在x轴上取OD=OA=6，连接CD，则OM是△ACD的中位线，OM=CD，故当C在DB的延长线上时，OM最大，利用勾股定理可得BD，由CD=BD+BC可得CD，据此求解.
16．（2022九上·南宁月考）在矩形 中，，点E在边上，，点P为矩形内一点且，点M为边上一点，连接，则的最小值为 .
【答案】
【知识点】矩形的性质；确定圆的条件；轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，
∵，
∴点P在以为直径的圆O上运动，
作点D关于的对称点G，连接交 于点P，交于M，的最小值是的长，
∵四边形是矩形，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴的最小值为：.
故答案为：.
【分析】由可知点P在以为直径的圆O上运动，作点D关于的对称点G，连接交 于点P，交于M，的最小值是的长，求出此时PG的长即可.
17．（2020九上·长沙月考）如图， 为等边△ABC的外接圆，半径为2，点D在劣弧 上运动（不与点A，B重合），连接DA，DB，DC．则四边形ADBC的面积的最大值为 ．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形的外接圆与外心；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图1，将△ADC绕点C逆时针旋转60°，得到△BHC，
∴CD=CH，∠DAC=∠HBC，
∵圆的半径为2，则易求圆内接等边三角形的边长为： ；
∵四边形ACBD是圆内接四边形，
∴∠DAC+∠DBC=180°，
∴∠DBC+∠HBC=180°，
∴点D，点B，点H三点共线，
∵DC=CH，∠CDH=60°，
∴△DCH是等边三角形，
∵四边形ADBC的面积S=S△ADC+S△BDC=S△CDH= ，
∴S= （ ≤x≤4）；
当CD为直径时，即 时，四边形ADBC的面积最大，
∴ ；
故答案为：．
【分析】将△ADC绕点C逆时针旋转60°，得到△BHC，根据旋转的性质可得△DCH为等边三角形，根据圆内接四边的内对角互补，即可推出，进而说明点D，点B，点H三点共线，则四边形ADBC的面积S=S△ADC+S△BDC=S△CDH，要使等边△CDH的面积最大，则边长最大，即边CD最长，根据直径是最长的弦可解答.
三、作图题
18．（2023九上·韩城期末）如图，已知，利用尺规作图法作的外接圆.（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】解：如图，
圆O就是所求作的图形
【知识点】三角形的外接圆与外心；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】 利用作线段垂直平分线的方法，利用尺规作图分别作出AC，BC的垂直平分线，两垂直平分线相交于点O，然后以O为圆心，OA为半径，画出圆O即可.
19．（2022九上·温州期中）如图，在6×6的正方形网格中，圆上A，B，C三点都在格点上，请按要求作出图中圆的圆心：①仅用无刻度直尺，且不能用直尺中的直角；②保留作图痕迹．
【答案】解：如图所示，
【知识点】线段垂直平分线的性质；正方形的性质；确定圆的条件
【解析】【分析】观察图1可知AB⊥BC，作出AB，BC的垂直平分线，两垂直平分线的交点就是圆心，然后画出图形即可；观察图2，可知AC是2×2的正方形网格，可作出AC的垂直平分线，以BC为边作正方形BCEF，作出正方形BCEF的对角线，取BC的中点G，过N，G作直线，与AC的垂直平分线交于点O，即可求解.
四、解答题
20．（2022九上·广平期末）如图，某海域以点A为圆心、为半径的圆形区域为多暗礁的危险区，但渔业资源丰富，渔船要从点B处前往A处进行捕鱼，B、A两点之间的距离是，如果渔船始终保持的航速行驶，那么在什么时段内，渔船是安全的？渔船何时进入危险区域？
【答案】解：如图，
∵，
∴，
由，
知到之间，渔船是安全的；渔船进入危险区域
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【分析】先求出线段的和差求出BC的长，再利用时间、路程和速度的关系求出答案即可。
21．（2020九上·江苏月考）已知⊙O的半径为2，点P到圆心O的距离OP=m，且m使关于x的方程 有实数根，求点P与⊙O的位置关系.
【答案】解：∵关于x的方程2x2 x+m 1=0有实数根，
∴△=( )2 4×2×(m 1) 0，解得m 2，
即OP 2，
∵⊙O的半径为2，
∴点P在⊙O上或⊙O内.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；点与圆的位置关系
【解析】【分析】先根据判别式的意义得到△=（2 ）2-4×2×（m-1）≥0，解得m≤2，则OP≤2，所以OP≤r，然后根据点与圆的位置关系进行判断.
五、综合题
22．（2022九上·西山期中）如图，是等边的外接圆．
（1）如图1，连接AO，延长AO交弦BC于点M，交于点P．连接PB，PC．求证：；
（2）如图2，若P为上任意一点，连接PA，PB，PC，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由．
【答案】（1）证明：连接OB、OC
∵△ABC是等边三角形，
∴∠APB=∠ACB=∠ABC=∠APC=60°，
又∵OB=OP=OC，
∴△OBP与△OCP均为等边三角形，
∴ ， ，
则 ，
即证：.
（2）解：仍然成立，理由如下，
如图，延长PB至点D，使得BD=CP，连接AD，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠APC=∠ABC=60°，
又∵∠ABP+∠ACP=180°，
∠ABP+∠ABD=180°，
∴∠ABD=∠ACP，
∴△ABD≌△ACP(SAS)，
∴AD=AP，∠D=∠APC=60°，
∴△ADP是等边三角形，
∴PA=PD=PB+BD=PB+BC，
即.
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】（1）根据题意利用等边三角形与圆的基本性质，易证△OBP与△OCP均为等边三角形，从而利用特殊性易证得；
（2）利用线段和差关系选择截长或补短(此处只演示补短)构造全等或利用旋转将CP与BP加和，进而只需证DP=AP，故而先证△ABD≌△ACP，进而利用全等性质即得△ADP是等边三角形，从而得证。
23．（2016九上·朝阳期末）我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆．例如线段 的最小覆盖圆就是以线段 为直径的圆．
（1）请分别作出图①中两个三角形的最小覆盖圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）三角形的最小覆盖圆有何规律？请直接写出你所得到的结论（不要求证明）；
（3）某城市有四个小区 （其位置如图②所示），现拟建一个手机信号基站，为了使这四个小区居民的手机都能有信号，且使基站所需发射功率最小（距离越小，所需功率越小），此基站应建在何处？请写出你的结论并说明研究思路．
【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：锐角三角形的最小覆盖圆是其外接圆，钝角三角形的最小覆盖圆是以其最长边为直径的圆，直角三角形的最小覆盖圆二者均可
（3）解：结论： 的外接圆的圆心为手机信号基站所在位置．
研究思路：
a．手机信号基站应建在四边形 的最小覆盖圆的圆心处；所以先考虑四边形 的外接圆，因为对角不互补，所以该四边形没有外接圆；
b．作四边形对角线，将四边形分割成两个三角形，考虑其中一个三角形的最小覆盖圆能否覆盖另一个三角形，从而将四边形最小覆盖圆问题转化为三角形最小覆盖圆问题来研究；
c．若沿 分割，因为 ，所以这两个三角形的最小覆盖圆均不能完全覆盖另一个三角形；
d．若沿 分割，因为 ，所以存在一个三角形的最小覆盖圆能完全覆盖另一个三角形的情况，又因为 ，所以 的最小覆盖圆，即其外接圆能完全覆盖 ，因此 的外接圆的圆心为手机信号基站所在位置．
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【分析】（1）按新定义规则作图；（2）新定义图形要结合学习过的知识，钝角三角形的最小覆盖圆就比其外接圆小;（3）要借鉴（2）的规律，先判断这个四边形不是圆内接四边形，Δ H E F 的最小覆盖圆，即其外接圆能完全覆盖 Δ H G F，Δ H E F 的外接圆的圆心为手机信号基站所在位置.
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