2023-2024学年苏科版数学九年级上册2.5直线与圆位置的关系 同步练习
一、选择题
1．（2023·道外模拟）如图，、是的切线，切点分别是A、B，点E在上，，那么等于（ ）
A．150° B．120° C．90° D．60°
2．（2023·威海）在中，，下列说法错误的是（ ）
A． B．
C．内切圆的半径 D．当时，是直角三角形
3．（2023·聊城）如图，点O是外接圆的圆心，点I是的内心，连接，．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·船营模拟）如图，是的直径，为上一点，过点的切线与的延长线交于点，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·宜城模拟）如图，在△ABC中，∠B＝30°，以点A为圆心的圆与边BC相切于点D，与AC，AB分别交于点E和点G，点F是优弧GE上一点，∠GFE＝50°，则∠CDE的度数是（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
6．（2022九上·临清期中）等边三角形的内切圆半径、外接圆半径的比是（ ）
A．1： B．2：1 C．1： D．1∶2
7．（2022九上·阳信期中）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，以A为圆心作一个半径为2的圆，下列结论中正确的是（ ）
A．点B在⊙A内 B．点C在⊙A上
C．直线BC与⊙A相切 D．直线BC与⊙A相离
8．（2022九上·济宁期中）已知⊙O的半径等于5，圆心O到直线l的距离为6，那么直线l与⊙O的公共点的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．无法确定
9．（2021·武汉模拟）如图，在 中， 其周长为20，⊙I是 的内切圆，其半径为 ，则 的外接圆半径为（ ）
A．7 B． C． D．
10．（2020·东港模拟）在平面直角坐标系中，点A（﹣4，0），点B（2，0），若点C在一次函数y=﹣ 的图象上，且△ABC为直角三角形，则满足条件的点C有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题
11．（2023·黑龙江）如图，是的直径，切于点A，交于点，连接，若，则 ．
12．（2023·徐州）如图，在中，直径与弦交于点．连接，过点的切线与的延长线交于点．若，则 °．
13．（2023·衡阳）如图，在中，．以点C为圆心，r为半径作圆，当所作的圆与斜边所在的直线相切时，r的值为 ．
14．（2023·延边模拟）如图，是的直径，是的切线，点B为切点，线段与交于点D．点E是上的动点（不与点B、D重合）．若，则的度数可能是 ．
15．（2023·南开模拟）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点．圆上的点A，B，C均为格点．
（1）圆的直径长为 ；
（2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，确定格点E，使为圆的一条切线，并画出过点E的另一条切线，切点为F，请简要说明切线的位置是如何找到的（不要求证明）． ．
16．（2022·滨州模拟）如图，点P在函数的图象上运动，O为坐标原点，点A为的中点，以点P为圆心，为半径作，则当与坐标轴相切时，点P的坐标为 ．
三、解答题
17．（2022·怀宁模拟）如图，在平面直角坐标系中，以点M(3，5)为圆心，AB为直径的圆与x轴相切，与y轴交于A，C两点，求点B的坐标．
18．（2021九上·廉江期末）ΔABC为等腰三角形，O为底边BC的中点，腰AB与O相切于点D．
求证：AC是O的切线．
四、综合题
19．（2023·青岛模拟）如图，是的外接圆，，过点A作交于点D，连接，延长到点E，连接，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求半径的长．
20．（2023·南开模拟）内接于，直线与相切于点D，与相交于点E，．
（1）如图1，若，求的大小；
（2）如图2，若是的直径，，，连接，求的长．
21．（2023·安宁模拟）矩形中，，点O是边BC上的一个动点（不与点B重合），连接，将沿折叠，得到，再以O为圆心，长为半径作半圆，交射线于G，连接并处长交射线于F，连接，设．
（1）求证：是半圆O的切线；
（2）当点E落在上时，求x的值；
（3）当半圆O与的边有两个交点时，求x的取值范围．
22．（2023九下·萧山期中）如图，以四边形的对角线为直径作圆，圆心为，过点作的延长线于点，已知平分．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径和的长．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：如图所示：连接OA，OB，
∵、是的切线，切点分别是A、B，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∵∠AEB=60°，
∴∠AOB=2∠AEB=120°，
∴∠P=360°-120°-90°-90°=60°，
故答案为：D.
【分析】根据切线的性质求出∠OAP=∠OBP=90°，再根据∠AEB=60°，计算求解即可。
2．【答案】C
【知识点】三角形的面积；三角形三边关系；勾股定理的逆定理；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：
A、由题意得，A不符合题意；
B、当CA⊥CB时，，
当CB为底时，高h小于AC=4，故，B不符合题意；
C、设△ABC的内切圆的半径为r，由题意得，
∴，
∵，
∴，C符合题意；
D、当时，，
∴是直角三角形，D不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据三角形的三边关系即可判断A；根据三角形的面积分类讨论即可判断B；设△ABC的内切圆的半径为r，根据三角形内切圆的性质结合题意即可得到，进而即可判断C；根据勾股定理的逆定理结合题意即可判断D。
3．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：连接OC，如图所示：
∵点I是的内心，，
∴∠CAB=70°，
∴∠BOC=140°，
∵OB=OC，
∴，
故答案为：C
【分析】连接OC，根据三角形内心的性质结合圆周角定理即可得到∠BOC=140°，再根据等腰三角形的性质结合题意即可求解。
4．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；切线的性质
【解析】【解答】解：如图所示：连接OC，
∵PC是 的切线，
∴∠PCO =90°，
∵OC=OA，
∴∠A=∠OCA，
∵AC=PC，
∴∠P=∠A，
设∠A = ∠OCA= ∠P=x，
∵∠A+∠P+∠PCA=180°，
∴x +x +90°+x = 180°，
∴x = 30°，
∴∠P=30°，
故答案为：C.
【分析】根据切线的性质求出∠PCO =90°，再利用三角形的内角和计算求解即可。
5．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：连接AD
∵以点A为圆心的圆与边BC相切于点D，
∴AD⊥BC.
∵∠B=30°，
∴∠BAD=90°-∠B=60°.
∵∠GFE=50°，
∴∠GAC=2∠GFE=100°，
∴∠DAC=∠GAC-∠BAD=40°.
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED=×(180°-∠DAC)=70°，
∴∠CDE=∠ADC-∠ADE=90°-70°=20°.
故答案为：B.
【分析】连接AD，由切线的性质可得AD⊥BC，则∠BAD=90°-∠B=60°，根据圆周角定理可得∠GAC=2∠GFE=100°，由角的和差关系可得∠DAC=∠GAC-∠BAD=40°，根据等腰三角形的性质以及内角和定理可求出∠ADE的度数，然后根据∠CDE=∠ADC-∠ADE进行计算.
6．【答案】D
【知识点】三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：如图，连接OD、OE，
∵AB、AC切圆O于E、D，
∴，， 且OA平分∠BAC，
又∵为等边三角形，
，
，
：：2．
故答案为：D．
【分析】连接OD、OE，根据等边三角形的性质可得，求出，再利用含30°角的直角三角形的性质可得：：2。
7．【答案】D
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：过A点作AH⊥BC于H，如图，
∵AB=AC，
∴BH=CH=BC=4，
在Rt△ABH中，AH==3，
∵AB=5＞3，
∴B点在⊙A外，所以A选项不符合题意；
∵AC=5＞3，
∴C点在⊙A外，所以B选项不符合题意；
∴AH⊥BC，AH=3＞半径，
∴直线BC与⊙A相离，所以C选项不符合题意，D选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用直线与圆的位置关系求解即可。
8．【答案】A
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵⊙O的半径等于r为8，圆心O到直线l的距离为d为6，
∴，
∴直线l与相离，
∴直线l与⊙O的公共点的个数为0，
故答案为：A．
【分析】根据直线与圆的位置关系求解即可。
9．【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：过C作CD⊥AB于D， 的外接圆圆心为O，F是 优弧BC上任意一点，过O作OE⊥BC于E，设 ，
∵ ，
∴ ，
∵在 周长为20，内切圆半径为 ，
∴ ，
∴
∴
中，
∴
∵在 周长为20，
∴
∴
解得
∵ 是 的内心
∴BI、CI分别平分∠ABC、∠ACB
∴
∵
∴
∴
∵ °
∴
∴
∵OE⊥BC
∴ ，
∴
故答案为：D.
【分析】过C作CD⊥AB于D， 的外接圆圆心为O，F是 优弧BC上任意一点，过O作OE⊥BC于E，设 ，根据三角形内心定义可得 可得bc=40，根据勾股定理可得 ，根据 是 的内心可得BI、CI分别平分∠ABC、∠ACB，根据圆内接四边形性质和圆周角定理可得，再根据垂径定理和勾股定理可得OB的长度.
10．【答案】C
【知识点】一次函数的图象；圆周角定理；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】由题意知，直线 与x轴的交点为（4，0），与y轴的交点为（0，2），如图：
过点A作垂线与直线的交点 （-4，4），
过点B作垂线与直线的交点 （2，1），
过AB中点E（-1，0），作垂线与直线 的交点为F（-1，2.5），
则EF=2.5＜3，
所以以3为半径，以点E为圆心的圆与直线必有两个交点 、 ，
∴共有四个点能与点A，点B组成直角三角形．
故答案为：C．
【分析】利用直线 求出直线与坐标轴的交点，然后分别过AB两点作x轴的垂线，可得出符合题意的C点，由于过AB中点E（-1，0），作垂线与直线 的交点为F（-1，2.5），再利用圆周角定理可得以3为半径，以点E为圆心的圆与直线必有两个交点，据此即得结论.
11．【答案】34
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：∵弧AC=弧AC，
∴∠AOC=2∠B=56°，
∵PA是圆O的切线，
∴∠PAO=90°，
∴∠P=90°-∠AOP=34°.
故答案为：34.
【分析】由同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得∠AOC=2∠B=56°，由切线的性质得∠PAO=90°，进而根据直角三角形的两锐角互余可算出∠P的度数.
12．【答案】66
【知识点】三角形的外角性质；圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：连接OC、OD，
∵BF是切线，AB是直径，
∴∠ABF=90°.
∴∠AFB=68°，
∴∠BAF=90°-∠AFB=22°，
∴∠BOD=2∠BAF=44°.
∵，
∴∠COA=2∠BOD=88°，
∴∠CDA=∠COA=44°，
∴∠DEB=∠BAF+∠CDA=66°.
故答案为：66.
【分析】连接OC、OD，由切线的性质可得∠ABF=90°，则∠BAF=90°-∠AFB=22°，由圆周角定理可得∠BOD=2∠BAF=44°，结合可得∠COA=2∠BOD=88°，由圆周角定理可得∠CDA=∠COA=44°，根据外角的性质可得∠DEB=∠BAF+∠CDA，据此计算.
13．【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；切线的性质
【解析】【解答】解：如图所示：设OC与AB所在的直线相切，切点为点D，连接CD，
∵CD是圆C的半径，AB与圆C相切于点D，
∴AB⊥CD，
∵∠ACB = 90°，AC=8，BC =6，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
故答案为：.
【分析】根据题意先求出AB⊥CD，再利用勾股定理求出AB=10，最后利用三角形的面积公式计算求解即可。
14．【答案】 （答案不唯一）
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解：∵是的切线，点B为切点，
∴∠ABC=90°，
又∵∠C=50°，
∴∠BAC=90°-∠C=40°，
∴当点E和点D重合时，∠BOD=2∠BAC=80°，
∵点E是上的动点（不与点B、D重合） ，
∴∠BOE的度数可能是60°，
故答案为：60.
【分析】根据切线的性质求出∠ABC=90°，再求出∠BAC=90°-∠C=40°，最后求解即可。
15．【答案】（1）5
（2）取格点E，连接，取格点G，H，M，N，连接交于点P，连接交圆于点F，作射线
【知识点】圆周角定理；切线的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）如图，连接，
根据题意得：，
∴为直径，
∵，
∴圆的直径长为5；
故答案为：5．
（2）如图，取格点E，连接，取格点G，H，M，N，连接交于点P，连接交圆于点F，作射线，则射线即为所求．
理由：取格点J，连接，，交于点K，
∵，
∴，
∴，即，
∴为圆的一条切线，
根据题意得：四边形是矩形，
∴点P为矩形的中心，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴为圆的切线．
故答案为：取格点E，连接，取格点G，H，M，N，连接交于点P，连接交圆于点F，作射线
【分析】（1）连接，根据圆周角定理可得AC是直径，利用勾股定理即可求解；
（2）如图，取格点E，连接，取格点G，H，M，N，连接交于点P，连接交圆于点F，作射线，则射线即为所求．
16．【答案】或
【知识点】切线的性质；反比例函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：分类讨论：①当与x轴相切时，如图，
设切点为M，
∴轴．
∵点A为的中点，
∴．
∵，
∴．
设，则，，
∴，
解得：（舍去负值），
经检验是原方程的解，
∴；
②当与y轴相切时，如图，
设切点为N，
∴轴．
∵点A为的中点，
∴．
∵，
∴．
设，则，，
∴，
解得：（舍去负值），
经检验是原方程的解，
∴．
综上可知，点P的坐标为或．
【分析】分类讨论：①当与x轴相切时，②当与y轴相切时，再分别画出图象并求解即可。
17．【答案】解：如图，连接，
设圆与x轴相切于点D，连接交与点E，则轴，
为直径，则，
，
//轴，
∵M(3，5)，
∴MB=MD=5，CE=EB=3，
∴由勾股定理得：ME=4，
∴CB=2CE=6，
∴DE=MD-ME=1
//轴，
∴B（6，1）
【知识点】垂径定理；切线的性质
【解析】【分析】连接BC，设圆与x轴相切于点D，连接交与点E，则轴，根据点M的坐标可得MB=MD=5，CE=EB=3，求出DE的长，再根据BC//x轴，可得点B的坐标。
18．【答案】证明：过点O作OE⊥AC于点E，连结OD，OA，
∵AB与O相切于点D，
∴AB⊥OD，
∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，
∴AO是∠BAC的平分线，
∴OE=OD，即OE是O的半径，
∵AC经过O的半径OE的外端点且垂直于OE，
∴AC是O的切线。
【知识点】切线的判定
【解析】【分析】过点O作OE⊥AC于点E，连结OD，OA，再证明OE=OD，可得OE是O的半径，再结合AC⊥OE，即可得到AC是O的切线。
19．【答案】（1）证明：连接，如图所示：
∵，过圆心，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵为半径，
∴是的切线；
（2）解：连接，设与相交于点F，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
又，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
设的半径为r，则，，
∵，
∴，
∴，
即的半径为．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；切线的判定
【解析】【分析】（1）根据题意先求出 ， 再求出 ， 最后证明即可；
（2）根据题意先求出四边形是平行四边形， 再求出BF=4，最后利用勾股定理计算求解即可。
20．【答案】（1）解：连接，，
∵直线与相切于点D，且为半径，
∴，
∵，
∴．
又∵为半径，
∴，
∴，，
∴，
∵
∴
则在中，有
∴
∴；
（2）解：设，由，得，则．
在中，，
在中，，
∴，
解得（负值舍去）．
∴，．
∵，
∴．
∵O为中点，E为中点，
∴．
∵是的直径，
∴，
在中，．
【知识点】勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；切线的性质
【解析】【分析】（1）根据题目所给条件求出 ， ，从而得出 ， ，又 ， 最后根据余弦定理得出 ，从而得出答案。
（2） 设 根据勾股定理可得 ， ，，从而得出， 解得x=， ，． 因为 ，所以．． 根据圆周角定理得出△ABE是直角三角形，最后根据勾股定理得出AE的长。
21．【答案】（1）证明：是矩形，
，
∵沿折叠，得到，
，
，
是半圆O的半径，
是半圆O的切线．
（2）解：当点E落在上时，如图2所示：
∵沿折叠，得到，
，，
∴，
∵在中，，
∴
∴
∵由（1）知是半圆O的切线，
，
∴在中，
∴，解得：，
答：x的值为3．
（3）解：分情况进行讨论：
①如图2，当半圆O与相切时，根据（2）中解答，可得；
如图3，当半圆O与相切时，．
∴当时，半圆O与的边和各有一个交点；
②如图4，当半圆O经过点D时，连接，设圆的半径为a，
在中，可得，即
解得：
如图5，当半圆O的圆心与点C重合时，此时，，
∴当时，半圆O与的边和各有一个交点，
∴综上所述，当或时，半圆O与的边有两个交点．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；切线的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）由矩形的性质及折叠可得， 根据切线的判定定理即证结论；
（2） 由折叠可得，，，由勾股定理可得AC=10，EC=4，由切线的性质可得∠OEC=90°，利用勾股定理建立关于x方程并解之即可；
（3）分两种情况：①当半圆O与相切时和当半圆O与相切时 ，求出OB的两个临界值即可； ②当半圆O经过点D时和当半圆O的圆心与点C重合时， 求出OB的两个临界值即可.
22．【答案】（1）证明：如图，连接，
，
．
平分，
，
又，
，
，
，
是切线；
（2）解：如图，取中点，连接，
于点．
四边形是矩形，
，
．
在中，，
，
在中，，，
，
的长是．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；垂径定理；切线的判定；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）连接OA，由余角的性质可得∠DAE+∠ADE=90°，根据角平分线的概念可得∠ADE=∠ADO，由等腰三角形的性质可得∠OAD=∠ADO，则∠DAE+∠OAD=90°，进而推出OA⊥AE，据此证明；
（2）取CD的中点F，连接OF，则四边形AEFO是矩形，由垂径定理可得DF=FC=4，利用勾股定理可得OD的值，根据线段的和差关系可得ED=EF-DF=OA-DF=OD-DF=2，再利用勾股定理就可求出AD的长.
1 / 12023-2024学年苏科版数学九年级上册2.5直线与圆位置的关系 同步练习
一、选择题
1．（2023·道外模拟）如图，、是的切线，切点分别是A、B，点E在上，，那么等于（ ）
A．150° B．120° C．90° D．60°
【答案】D
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：如图所示：连接OA，OB，
∵、是的切线，切点分别是A、B，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∵∠AEB=60°，
∴∠AOB=2∠AEB=120°，
∴∠P=360°-120°-90°-90°=60°，
故答案为：D.
【分析】根据切线的性质求出∠OAP=∠OBP=90°，再根据∠AEB=60°，计算求解即可。
2．（2023·威海）在中，，下列说法错误的是（ ）
A． B．
C．内切圆的半径 D．当时，是直角三角形
【答案】C
【知识点】三角形的面积；三角形三边关系；勾股定理的逆定理；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：
A、由题意得，A不符合题意；
B、当CA⊥CB时，，
当CB为底时，高h小于AC=4，故，B不符合题意；
C、设△ABC的内切圆的半径为r，由题意得，
∴，
∵，
∴，C符合题意；
D、当时，，
∴是直角三角形，D不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据三角形的三边关系即可判断A；根据三角形的面积分类讨论即可判断B；设△ABC的内切圆的半径为r，根据三角形内切圆的性质结合题意即可得到，进而即可判断C；根据勾股定理的逆定理结合题意即可判断D。
3．（2023·聊城）如图，点O是外接圆的圆心，点I是的内心，连接，．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：连接OC，如图所示：
∵点I是的内心，，
∴∠CAB=70°，
∴∠BOC=140°，
∵OB=OC，
∴，
故答案为：C
【分析】连接OC，根据三角形内心的性质结合圆周角定理即可得到∠BOC=140°，再根据等腰三角形的性质结合题意即可求解。
4．（2023·船营模拟）如图，是的直径，为上一点，过点的切线与的延长线交于点，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；切线的性质
【解析】【解答】解：如图所示：连接OC，
∵PC是 的切线，
∴∠PCO =90°，
∵OC=OA，
∴∠A=∠OCA，
∵AC=PC，
∴∠P=∠A，
设∠A = ∠OCA= ∠P=x，
∵∠A+∠P+∠PCA=180°，
∴x +x +90°+x = 180°，
∴x = 30°，
∴∠P=30°，
故答案为：C.
【分析】根据切线的性质求出∠PCO =90°，再利用三角形的内角和计算求解即可。
5．（2023·宜城模拟）如图，在△ABC中，∠B＝30°，以点A为圆心的圆与边BC相切于点D，与AC，AB分别交于点E和点G，点F是优弧GE上一点，∠GFE＝50°，则∠CDE的度数是（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：连接AD
∵以点A为圆心的圆与边BC相切于点D，
∴AD⊥BC.
∵∠B=30°，
∴∠BAD=90°-∠B=60°.
∵∠GFE=50°，
∴∠GAC=2∠GFE=100°，
∴∠DAC=∠GAC-∠BAD=40°.
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED=×(180°-∠DAC)=70°，
∴∠CDE=∠ADC-∠ADE=90°-70°=20°.
故答案为：B.
【分析】连接AD，由切线的性质可得AD⊥BC，则∠BAD=90°-∠B=60°，根据圆周角定理可得∠GAC=2∠GFE=100°，由角的和差关系可得∠DAC=∠GAC-∠BAD=40°，根据等腰三角形的性质以及内角和定理可求出∠ADE的度数，然后根据∠CDE=∠ADC-∠ADE进行计算.
6．（2022九上·临清期中）等边三角形的内切圆半径、外接圆半径的比是（ ）
A．1： B．2：1 C．1： D．1∶2
【答案】D
【知识点】三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：如图，连接OD、OE，
∵AB、AC切圆O于E、D，
∴，， 且OA平分∠BAC，
又∵为等边三角形，
，
，
：：2．
故答案为：D．
【分析】连接OD、OE，根据等边三角形的性质可得，求出，再利用含30°角的直角三角形的性质可得：：2。
7．（2022九上·阳信期中）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，以A为圆心作一个半径为2的圆，下列结论中正确的是（ ）
A．点B在⊙A内 B．点C在⊙A上
C．直线BC与⊙A相切 D．直线BC与⊙A相离
【答案】D
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：过A点作AH⊥BC于H，如图，
∵AB=AC，
∴BH=CH=BC=4，
在Rt△ABH中，AH==3，
∵AB=5＞3，
∴B点在⊙A外，所以A选项不符合题意；
∵AC=5＞3，
∴C点在⊙A外，所以B选项不符合题意；
∴AH⊥BC，AH=3＞半径，
∴直线BC与⊙A相离，所以C选项不符合题意，D选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用直线与圆的位置关系求解即可。
8．（2022九上·济宁期中）已知⊙O的半径等于5，圆心O到直线l的距离为6，那么直线l与⊙O的公共点的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．无法确定
【答案】A
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵⊙O的半径等于r为8，圆心O到直线l的距离为d为6，
∴，
∴直线l与相离，
∴直线l与⊙O的公共点的个数为0，
故答案为：A．
【分析】根据直线与圆的位置关系求解即可。
9．（2021·武汉模拟）如图，在 中， 其周长为20，⊙I是 的内切圆，其半径为 ，则 的外接圆半径为（ ）
A．7 B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：过C作CD⊥AB于D， 的外接圆圆心为O，F是 优弧BC上任意一点，过O作OE⊥BC于E，设 ，
∵ ，
∴ ，
∵在 周长为20，内切圆半径为 ，
∴ ，
∴
∴
中，
∴
∵在 周长为20，
∴
∴
解得
∵ 是 的内心
∴BI、CI分别平分∠ABC、∠ACB
∴
∵
∴
∴
∵ °
∴
∴
∵OE⊥BC
∴ ，
∴
故答案为：D.
【分析】过C作CD⊥AB于D， 的外接圆圆心为O，F是 优弧BC上任意一点，过O作OE⊥BC于E，设 ，根据三角形内心定义可得 可得bc=40，根据勾股定理可得 ，根据 是 的内心可得BI、CI分别平分∠ABC、∠ACB，根据圆内接四边形性质和圆周角定理可得，再根据垂径定理和勾股定理可得OB的长度.
10．（2020·东港模拟）在平面直角坐标系中，点A（﹣4，0），点B（2，0），若点C在一次函数y=﹣ 的图象上，且△ABC为直角三角形，则满足条件的点C有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【知识点】一次函数的图象；圆周角定理；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】由题意知，直线 与x轴的交点为（4，0），与y轴的交点为（0，2），如图：
过点A作垂线与直线的交点 （-4，4），
过点B作垂线与直线的交点 （2，1），
过AB中点E（-1，0），作垂线与直线 的交点为F（-1，2.5），
则EF=2.5＜3，
所以以3为半径，以点E为圆心的圆与直线必有两个交点 、 ，
∴共有四个点能与点A，点B组成直角三角形．
故答案为：C．
【分析】利用直线 求出直线与坐标轴的交点，然后分别过AB两点作x轴的垂线，可得出符合题意的C点，由于过AB中点E（-1，0），作垂线与直线 的交点为F（-1，2.5），再利用圆周角定理可得以3为半径，以点E为圆心的圆与直线必有两个交点，据此即得结论.
二、填空题
11．（2023·黑龙江）如图，是的直径，切于点A，交于点，连接，若，则 ．
【答案】34
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：∵弧AC=弧AC，
∴∠AOC=2∠B=56°，
∵PA是圆O的切线，
∴∠PAO=90°，
∴∠P=90°-∠AOP=34°.
故答案为：34.
【分析】由同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得∠AOC=2∠B=56°，由切线的性质得∠PAO=90°，进而根据直角三角形的两锐角互余可算出∠P的度数.
12．（2023·徐州）如图，在中，直径与弦交于点．连接，过点的切线与的延长线交于点．若，则 °．
【答案】66
【知识点】三角形的外角性质；圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：连接OC、OD，
∵BF是切线，AB是直径，
∴∠ABF=90°.
∴∠AFB=68°，
∴∠BAF=90°-∠AFB=22°，
∴∠BOD=2∠BAF=44°.
∵，
∴∠COA=2∠BOD=88°，
∴∠CDA=∠COA=44°，
∴∠DEB=∠BAF+∠CDA=66°.
故答案为：66.
【分析】连接OC、OD，由切线的性质可得∠ABF=90°，则∠BAF=90°-∠AFB=22°，由圆周角定理可得∠BOD=2∠BAF=44°，结合可得∠COA=2∠BOD=88°，由圆周角定理可得∠CDA=∠COA=44°，根据外角的性质可得∠DEB=∠BAF+∠CDA，据此计算.
13．（2023·衡阳）如图，在中，．以点C为圆心，r为半径作圆，当所作的圆与斜边所在的直线相切时，r的值为 ．
【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；切线的性质
【解析】【解答】解：如图所示：设OC与AB所在的直线相切，切点为点D，连接CD，
∵CD是圆C的半径，AB与圆C相切于点D，
∴AB⊥CD，
∵∠ACB = 90°，AC=8，BC =6，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
故答案为：.
【分析】根据题意先求出AB⊥CD，再利用勾股定理求出AB=10，最后利用三角形的面积公式计算求解即可。
14．（2023·延边模拟）如图，是的直径，是的切线，点B为切点，线段与交于点D．点E是上的动点（不与点B、D重合）．若，则的度数可能是 ．
【答案】 （答案不唯一）
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解：∵是的切线，点B为切点，
∴∠ABC=90°，
又∵∠C=50°，
∴∠BAC=90°-∠C=40°，
∴当点E和点D重合时，∠BOD=2∠BAC=80°，
∵点E是上的动点（不与点B、D重合） ，
∴∠BOE的度数可能是60°，
故答案为：60.
【分析】根据切线的性质求出∠ABC=90°，再求出∠BAC=90°-∠C=40°，最后求解即可。
15．（2023·南开模拟）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点．圆上的点A，B，C均为格点．
（1）圆的直径长为 ；
（2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，确定格点E，使为圆的一条切线，并画出过点E的另一条切线，切点为F，请简要说明切线的位置是如何找到的（不要求证明）． ．
【答案】（1）5
（2）取格点E，连接，取格点G，H，M，N，连接交于点P，连接交圆于点F，作射线
【知识点】圆周角定理；切线的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）如图，连接，
根据题意得：，
∴为直径，
∵，
∴圆的直径长为5；
故答案为：5．
（2）如图，取格点E，连接，取格点G，H，M，N，连接交于点P，连接交圆于点F，作射线，则射线即为所求．
理由：取格点J，连接，，交于点K，
∵，
∴，
∴，即，
∴为圆的一条切线，
根据题意得：四边形是矩形，
∴点P为矩形的中心，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴为圆的切线．
故答案为：取格点E，连接，取格点G，H，M，N，连接交于点P，连接交圆于点F，作射线
【分析】（1）连接，根据圆周角定理可得AC是直径，利用勾股定理即可求解；
（2）如图，取格点E，连接，取格点G，H，M，N，连接交于点P，连接交圆于点F，作射线，则射线即为所求．
16．（2022·滨州模拟）如图，点P在函数的图象上运动，O为坐标原点，点A为的中点，以点P为圆心，为半径作，则当与坐标轴相切时，点P的坐标为 ．
【答案】或
【知识点】切线的性质；反比例函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：分类讨论：①当与x轴相切时，如图，
设切点为M，
∴轴．
∵点A为的中点，
∴．
∵，
∴．
设，则，，
∴，
解得：（舍去负值），
经检验是原方程的解，
∴；
②当与y轴相切时，如图，
设切点为N，
∴轴．
∵点A为的中点，
∴．
∵，
∴．
设，则，，
∴，
解得：（舍去负值），
经检验是原方程的解，
∴．
综上可知，点P的坐标为或．
【分析】分类讨论：①当与x轴相切时，②当与y轴相切时，再分别画出图象并求解即可。
三、解答题
17．（2022·怀宁模拟）如图，在平面直角坐标系中，以点M(3，5)为圆心，AB为直径的圆与x轴相切，与y轴交于A，C两点，求点B的坐标．
【答案】解：如图，连接，
设圆与x轴相切于点D，连接交与点E，则轴，
为直径，则，
，
//轴，
∵M(3，5)，
∴MB=MD=5，CE=EB=3，
∴由勾股定理得：ME=4，
∴CB=2CE=6，
∴DE=MD-ME=1
//轴，
∴B（6，1）
【知识点】垂径定理；切线的性质
【解析】【分析】连接BC，设圆与x轴相切于点D，连接交与点E，则轴，根据点M的坐标可得MB=MD=5，CE=EB=3，求出DE的长，再根据BC//x轴，可得点B的坐标。
18．（2021九上·廉江期末）ΔABC为等腰三角形，O为底边BC的中点，腰AB与O相切于点D．
求证：AC是O的切线．
【答案】证明：过点O作OE⊥AC于点E，连结OD，OA，
∵AB与O相切于点D，
∴AB⊥OD，
∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，
∴AO是∠BAC的平分线，
∴OE=OD，即OE是O的半径，
∵AC经过O的半径OE的外端点且垂直于OE，
∴AC是O的切线。
【知识点】切线的判定
【解析】【分析】过点O作OE⊥AC于点E，连结OD，OA，再证明OE=OD，可得OE是O的半径，再结合AC⊥OE，即可得到AC是O的切线。
四、综合题
19．（2023·青岛模拟）如图，是的外接圆，，过点A作交于点D，连接，延长到点E，连接，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求半径的长．
【答案】（1）证明：连接，如图所示：
∵，过圆心，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵为半径，
∴是的切线；
（2）解：连接，设与相交于点F，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
又，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
设的半径为r，则，，
∵，
∴，
∴，
即的半径为．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；切线的判定
【解析】【分析】（1）根据题意先求出 ， 再求出 ， 最后证明即可；
（2）根据题意先求出四边形是平行四边形， 再求出BF=4，最后利用勾股定理计算求解即可。
20．（2023·南开模拟）内接于，直线与相切于点D，与相交于点E，．
（1）如图1，若，求的大小；
（2）如图2，若是的直径，，，连接，求的长．
【答案】（1）解：连接，，
∵直线与相切于点D，且为半径，
∴，
∵，
∴．
又∵为半径，
∴，
∴，，
∴，
∵
∴
则在中，有
∴
∴；
（2）解：设，由，得，则．
在中，，
在中，，
∴，
解得（负值舍去）．
∴，．
∵，
∴．
∵O为中点，E为中点，
∴．
∵是的直径，
∴，
在中，．
【知识点】勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；切线的性质
【解析】【分析】（1）根据题目所给条件求出 ， ，从而得出 ， ，又 ， 最后根据余弦定理得出 ，从而得出答案。
（2） 设 根据勾股定理可得 ， ，，从而得出， 解得x=， ，． 因为 ，所以．． 根据圆周角定理得出△ABE是直角三角形，最后根据勾股定理得出AE的长。
21．（2023·安宁模拟）矩形中，，点O是边BC上的一个动点（不与点B重合），连接，将沿折叠，得到，再以O为圆心，长为半径作半圆，交射线于G，连接并处长交射线于F，连接，设．
（1）求证：是半圆O的切线；
（2）当点E落在上时，求x的值；
（3）当半圆O与的边有两个交点时，求x的取值范围．
【答案】（1）证明：是矩形，
，
∵沿折叠，得到，
，
，
是半圆O的半径，
是半圆O的切线．
（2）解：当点E落在上时，如图2所示：
∵沿折叠，得到，
，，
∴，
∵在中，，
∴
∴
∵由（1）知是半圆O的切线，
，
∴在中，
∴，解得：，
答：x的值为3．
（3）解：分情况进行讨论：
①如图2，当半圆O与相切时，根据（2）中解答，可得；
如图3，当半圆O与相切时，．
∴当时，半圆O与的边和各有一个交点；
②如图4，当半圆O经过点D时，连接，设圆的半径为a，
在中，可得，即
解得：
如图5，当半圆O的圆心与点C重合时，此时，，
∴当时，半圆O与的边和各有一个交点，
∴综上所述，当或时，半圆O与的边有两个交点．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；切线的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）由矩形的性质及折叠可得， 根据切线的判定定理即证结论；
（2） 由折叠可得，，，由勾股定理可得AC=10，EC=4，由切线的性质可得∠OEC=90°，利用勾股定理建立关于x方程并解之即可；
（3）分两种情况：①当半圆O与相切时和当半圆O与相切时 ，求出OB的两个临界值即可； ②当半圆O经过点D时和当半圆O的圆心与点C重合时， 求出OB的两个临界值即可.
22．（2023九下·萧山期中）如图，以四边形的对角线为直径作圆，圆心为，过点作的延长线于点，已知平分．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径和的长．
【答案】（1）证明：如图，连接，
，
．
平分，
，
又，
，
，
，
是切线；
（2）解：如图，取中点，连接，
于点．
四边形是矩形，
，
．
在中，，
，
在中，，，
，
的长是．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；垂径定理；切线的判定；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）连接OA，由余角的性质可得∠DAE+∠ADE=90°，根据角平分线的概念可得∠ADE=∠ADO，由等腰三角形的性质可得∠OAD=∠ADO，则∠DAE+∠OAD=90°，进而推出OA⊥AE，据此证明；
（2）取CD的中点F，连接OF，则四边形AEFO是矩形，由垂径定理可得DF=FC=4，利用勾股定理可得OD的值，根据线段的和差关系可得ED=EF-DF=OA-DF=OD-DF=2，再利用勾股定理就可求出AD的长.
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