2023-2024学年苏科版数学九年级上册2.7弧长及扇形面积 同步练习
一、选择题
1．（2023九上·长兴期末）已知扇形的半径为6，圆心角为，则此扇形的弧长是（ ）
A．4 B．2 C． D．
【答案】C
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：根据题意可得：
此扇形的弧长，
故答案为：C.
【分析】直接根据弧长公式l=（n为圆心角的度数，r为半径）进行计算.
2．（2023九上·宁波期末）如图，是半圆的直径，、是半圆上两点，且满足，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆内接四边形的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：如图，连接OC，
∵四边形ABCD是圆O的内接四边形，，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴的长为 ，
故答案为：B.
【分析】连接OC，根据圆内接四边形的对角互补得∠ABC=60°，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形判断出△OBC是等边三角形，根据等边三角形的性质可得OB=OC=BC=2，进而根据弧长计算公式即可算出的长.
3．（2023九上·镇海区期末）如图，是的直径，弦与垂直，垂足为点E，连接并延长交于点，，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；垂径定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图，连接.
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：B.
【分析】连接OD，由垂径定理可得EC=DE=，根据内角和定理可得∠B=60°，推出△OBD是等边三角形，得到∠DOB=60°，由对顶角的性质可得∠COB=∠AOF=60°，然后求出OE、OC的值，再根据S阴影=S扇形OAF-△AOF结合扇形、三角形的面积公式进行计算.
4．（2022九上·海淀期末）勒洛三角形是分别以等边三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由三段圆弧组成的曲边三角形．如图，该勒洛三角形绕其中心旋转一定角度后能与自身重合，则该角度可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；弧长的计算
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵是等边三角形，
∴，
即，
∴．
∴该角度可以为．
故答案为：C
【分析】连接，可得，再求出即可。
5．（2022九上·代县期末）【阅读理解】在求阴影部分面积时，常常会把原图形的一部分割下来补在图形中的另一部分，使其成为基本规则图形，从而使问题得到解决，这种方法称为割补法．如图1，C是半圆O的中点，欲求阴影部分面积，只需把弓形BC割下来，补在弓形处，则．
【拓展应用】如图2，以为直径作半圆O，C为的中点，连接，以为直径作半圆P，交于点D．若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】垂径定理；圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：连接、
是小圆直径
故答案为：B
【分析】连接、，根据求解即可.
6．（2021九上·东阳月考）如图，在4×4的正方形网格中，若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△AB′C′，则 的长为（ ）
A．π B． C．7 D．6
【答案】A
【知识点】弧长的计算；旋转的性质
【解析】【解答】解：根据图示知，∠BAB′＝45°，
弧 的长l＝
故答案为：A.
【分析】利用格点可知∠BAB′＝45°，再利用弧长公式，可求出弧 的长.
7．（2021九上·拱墅月考）如果一个扇形的弧长等于它的半径的 倍，那么此扇形称为“优雅扇形”，则半径为2的“优雅扇形”的面积为（ ）
A．π B． C． π D．2
【答案】D
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵S＝ lr，
∴S＝ ×2× ×2＝2 .
故答案为：D.
【分析】根据扇形的面积公式S=lr进行计算即可.
8．（2021九上·慈溪期中）如图，用6个小正方形构造如图所示的网格图（每个小正方形的边长均为2），设经过图中M、P、H三点的圆弧与AH交于R，则图中阴影部分面积（ ）
A．π﹣ B．π﹣5 C．2π﹣5 D．3π﹣2
【答案】A
【知识点】勾股定理；垂径定理的应用；圆周角定理；扇形面积的计算；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：如图，连接MH交FN于O，连接AM、OR，
∵PQ=HQ，FN⊥PH，
∴圆心在FN所在直线上，
∵∠MPH=90°，点M、P、H在圆上，
∴MN为直径，
∴点O为圆心，
∵AD=MC，∠D=∠C，DM=CH，
∴△ADM≌△MCH，
∴AM=MH，∠DAM=∠HMC，
∵∠DAM+∠AMD=90°，
∴∠HMC+∠AMD=90°，
∴∠AMH=90°，
∴∠MHA=45°，
∵OH=OR，
∴∠ROH=90°，
∵MH==，
∴OH=MH=，
∴S阴影=S扇形ORH-S△ORH=-=π﹣.
故答案为：A.
【分析】连接MH交FN于点O，连接AM、OR，则圆心在FN所在直线上，MN为直径，点O为圆心，易证明△ADM≌△MCH，得到AM=MH，∠DAM=∠HMC，结合∠DAM+∠AMD=90°可得到∠AMH=90°，则∠MHA=45°，ROH=90°，利用勾股定理可得MH，然后求出OH，再根据S阴影=S扇形ORH-S△ORH结合扇形、三角形的面积公式进行计算.
9．（2020九上·安徽月考）中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食錦上添花。图1中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图(阴影部分为摆盘)，通过测量得到AC=BD=12cm，C，D两点之间的距离为4cm，圆心角为60°，则图中摆盘的面积是（ ）
A．80π cm2 B．40π cm2 C．24π cm2 D．2π cm2
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图，连接 CD．
∵OC=OD，∠O=60°，∴△COD是等边三角形，OC=OD=CD=4 cm，∴S周=S扇形OAB-S扇形OCD= = 40π(cm2)
【分析】根据题意，首先证明三角形COD为等边三角形，求出OC和OD，继而根据摆盘的面积等于两个扇形面积的差，求出答案即可。
10．（2019九上·无锡月考）如图，AB是⊙o直径，M，N是 上两点，C是 上任一点，∠ACB角平分线交⊙o于点D，∠BAC的平分线交CD于点E，当点C从M运动到N时，C、E两点的运动路径长之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】圆周角定理；弧长的计算
【解析】【解答】如图，连接EB，设
∵AB是直径
∵E是 的内心，
∴点E在以D为圆心DA为半径的圆上，运动轨迹是 ，点C的运动轨迹是
∵ ，设 ，则 ，
故答案为：A
【分析】如图，连接EB，设 ，易知点E在以D为圆心DA为半径的圆上，运动轨迹是 ，点C的运动轨迹是 ，由题意 ，设 ，则 ，利用弧长公式计算后即可解决问题.
二、填空题
11．（2023九上·杭州期末）如图，用一个半径为6cm的定滑轮拉动砝码上升（假设绳索足够长且粗细不计，与滑轮之间无滑动），若滑轮旋转了，则砝码上升了 cm.（结果保留）
【答案】5π
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：由题意得，重物上升的距离是半径为，圆心角为所对应的弧长，
即，
故答案为：5π.
【分析】由题意得：重物上升的距离是半径为6cm，圆心角为150°所对应的弧长，然后结合弧长公式进行计算.
12．（2023九上·靖江期末）在2×2的正方形网格中，每个小正方形的边长为1.以点O为圆心，2为半径画弧，交图中网格线于点A，B，则扇形AOB的面积是 .
【答案】
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图，
在△OAE中，OA=2，OE=1，∠OEA=90°，
∴∠OAE=30°，∠COA=∠OAE=30°，
同理可得∠DOB=30°，
∴∠AOB=90°-30°-30°=30°，
∴，
故答案为：.
【分析】对图形进行点标注，易得OA=2，OE=1，∠OEA=90°，∠OAE=30°，∠COA=∠OAE=30°，∠DOB=30°，则∠AOB=30°，然后根据扇形的面积公式进行计算.
13．（2022九上·聊城期末）如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转后得到，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【知识点】扇形面积的计算；旋转的性质
【解析】【解答】解：由旋转可知：
故答案为：．
【分析】根据旋转的性质可得，再利用割补法求出即可。
14．（2021九上·南京期末）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为2，∠D＝110°，则 的长为 .
【答案】
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接OA、OC，如图，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠D＝110°，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： .
【分析】连接OA、OC，根据圆内接四边形的性质可得∠D+∠ABC=180°，结合∠D的度数可得∠ABC的度数，利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得∠AOC的度数，接下来结合弧长公式计算即可.
15．（2022九上·滨江期末）已知扇形的面积为cm2，圆心角为，则该扇形的弧长是 .
【答案】cm
【知识点】弧长的计算；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：设扇形的半径为r，
∵扇形的面积公式，
∴，
∴或（负数舍去），
∴扇形的弧长（cm）.
故答案为：cm.
【分析】设扇形的半径为r，根据扇形的面积公式结合题意可得r的值，然后根据弧长公式进行计算.
16．（2022九上·温州期中）如图，正方形的边长为2，以A为圆心，长为半径画.以D为圆心，长为半径画，形成如图“杯子”样的阴影部分，则阴影部分的面积为 .
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图，将题中图形简化，连接AG、DG，过G点作EF⊥AD于点E，交BC于F点，
∵在正方形ABCD中，有，
∴四边形ABFE是矩形，
∵与的半径均为AD，正方形ABCD的边长为2，
∴，
∴△ADG是等边三角形，
∴，
∵，
∴，平分，
∴矩形ABFE的面积为：，
∵在正方形ABCD中，，
∴，
∵在中，有，，易得∠BAG=30°，根据勾股定理算出EG的长，
∴，
∴的面积为：，
同理可求得：，
∵，，
∴扇形ADG的面积为：，
∴弓形AG的面积为：，
∵，，
∴扇形BAG的面积为：，
∴异形BGF的面积为：，
根据图形的对称性可知：阴影部分面积为：，
∴，
即：，
故答案为：.
【分析】连接AG、DG，过G点作EF⊥AD于点E，交BC于F点，易得四边形ABFE是矩形，△ADG是等边三角形，根据等边三角形的性质得AE=ED=1，EG平分∠AGD，易得∠BAG=30°，根据勾股定理算出EG的长，用三角形的面积公式算出△AEG的面积S1，用扇形面积公式算出扇形ADG、扇形BAG的面积，根据算出弓形AG的面积，根据算出异形BGF的面积，最后根据图形的对称性，由代入计算即可得出答案.
17．（2021九上·江都期末）如图，半径为4cm，圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上有一运动的点P，从点P向半径OA引垂线PH交OA于点H.设 的内心为I，当点P在弧AB上从点A运动到点B时，内心I所经过的路径长为 .
【答案】
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；三角形的内切圆与内心；弧长的计算；三角形全等的判定（SSS）
【解析】【解答】解：如图，连OI，PI，AI，
∵△OPH的内心为I，
∴∠IOP=∠IOA，∠IPO=∠IPH，
∴∠PIO= -∠IPO-∠IOP= - （∠HOP+∠OPH），
而PH⊥OA，即∠PHO= ，
∴∠PIO= - （∠HOP+∠OPH）= - （ - ）= ，
又∵OP=OA，OI公共，
而∠IOP=∠IOA，
∴△OPI≌△OAI，
∴∠AIO=∠PIO= ，
所以点I在以OA为弦，并且所对的圆周角为 的一段劣弧上；
过A、I、O三点作⊙O′，如图，连O′A，O′O，
在优弧AO上取点P，连PA，PO，
∵∠AIO= ，
∴∠APO= - = ，
∴∠A O= ，而OA=4cm，
∴∠AO = ，
∴O′O= OA= ×4=2 ，
∴弧OA的长= （cm），
所以内心I所经过的路径长为 cm.
故答案为： cm..
【分析】如图，连OI，PI，AI，由△OPH的内心为I，可得到∠PIO= -∠IPO-∠IOP= - （∠HOP+∠OPH）= ，并且易证△OPI≌△OAI，得到∠AIO=∠PIO= ，所以点I在以OA为弦，并且所对的圆周角为 的一段劣弧上；过A、I、O三点作⊙O′，如图，连O′A，O′O，在优弧AO上取点P，连PA，PO，可得∠APO= - = ，得∠A O= ， OA= ×4=2 ，然后利用弧长公式计算弧OA的长.
三、解答题
18．（2021九上·崇义期末）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为．
（ 1 ）画出关于x轴对称的，并写出点的坐标；
（ 2 ）画出绕点O顺时针旋转后得到的，并写出点的坐标；
（ 3 ）在（2）的条件下，求点A旋转到点所经过的路径长（结果保留）．
【答案】解：⑴如图所示：即为所求，
∴由图象可得；
⑵如图所示：即为所求，
∴由图象可得；
⑶由（2）的图象可得：点A旋转到点所经过的路径为圆弧，
∵，
∴点A旋转到点所经过的路径长为．
【知识点】弧长的计算；作图﹣轴对称；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）利用轴对称的性质找出点A、B、O的对应点，再连接并直接写出点的坐标即可；
（2）利用旋转的性质找出点A、B、O的对应点，再连接并直接写出点的坐标即可；
（3）利用弧长公式求出答案即可。
19．一张圆心角为45°的扇形纸板和圆形纸板按如图方式各剪得一个正方形，边长都为1，求扁形纸板和圆形纸板的面积比．
【答案】解：解：连接OD，
∵正方形ABCD，∠AOB=45°，
∴AB=CD=BC=1，∠ABC=∠ABO=∠DCB=90°，
∴∠AOB=∠OAB=45°，
∴AB=OB=BC=1
∴OC=2
；
∴扇形纸板的面积为；
∵∠BMC=90°，MC=MB
2BM2=BC2=1
解之：
∴圆形纸板的面积为
∴扁形纸板和圆形纸板的面积比.
答：扁形纸板和圆形纸板的面积比为5：4.
【知识点】勾股定理；正方形的性质；扇形面积的计算
【解析】【分析】连接OD，利用正方形的性质可证得AB=CD=BC=1，∠ABC=∠ABO=∠DCB=90°，∠AOB=∠OAB=45°，即可求出OC的长，利用勾股定理求出OD的长，利用扇形的面积公式求出扇形纸板的面积；再利用勾股定理求出BM的长，即可求出圆的面积；然后求出扁形纸板和圆形纸板的面积比.
20．（2021九上·呼和浩特月考）如图， 两两不相交，且半径都是 ．求图中三个扇形（即阴影部分）的面积之和．
【答案】解：由三角形内角和定理知∠A＋∠B＋∠C＝180°，
设∠A＝ °，∠B＝ °，∠C＝ °，
∴ ＋ ＋ ＝180，
∴S阴＝ ＋ ＋ ＝ ＝
＝0.125π（cm2），
即阴影部分的面积之和为0.125πcm2．
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【分析】根据图形可知：三个扇形的半径相等，且三个扇形的圆心角之和为180°，因此只需利用圆的面积公式计算即可。
四、综合题
21．（2023九上·兴化期末）已知，为的弦，且.
（1）如图1，若，求阴影部分的面积；
（2）如图2，若点C为的中点，点D为的中点.请仅用无刻度的直尺过点B作的的切线.
【答案】（1）解：半径，，
∴，，
∴阴影部分的面积为：.
（2）解：如图所示，
连接并延长交于点E，连接，并延长交于点F，作直线，则为所求作的切线.
【知识点】三角形的面积；切线的判定；扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）根据S阴影=S扇形AOB-S△AOB结合扇形、三角形的面积公式进行计算；
（2）连接AO并延长交⊙O于点E，连接ED、OC并延长交于点F，作直线BF，则BF为所求作的切线.
22．（2021九上·南充期末）如图，AB是⊙O的直径，点D，E在⊙O上，四边形BDEO是平行四边形，过点D作 交AE的延长线于点C.
（1）求证：CD是⊙O的切线.
（2）若 ，求阴影部分的面积.
【答案】（1）证明：连接OD，如图所示：
∵四边形BDEO是平行四边形，
∴ ，
∴△ODB是等边三角形，
∴∠OBD=∠BOD=60°，
∴∠AOE=∠OBD=60°，
∵OE=OA，
∴△AEO也为等边三角形，
∴∠EAO=∠DOB=60°，
∴AE∥OD，
∴∠ODC+∠C=180°，
∵CD⊥AE，
∴∠C=90°，
∴∠ODC=90°，
∵OD是圆O的半径，
∴CD是⊙O的切线.
（2）解：由（1）得∠EAO=∠AOE=∠OBD=∠BOD=60°，ED∥AB，
∴∠EAO=∠CED=60°，
∵∠AOE+∠EOD+∠BOD=180°，
∴∠EOD=60°，
∴△DEO为等边三角形，
∴ED=OE=AE，
∵CD⊥AE，∠CED=60°，
∴∠CDE=30°，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设△OED的高为h，
∴ ，
∴ ，
∴ .
【知识点】平行线的判定与性质；等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；切线的判定；扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）连接OD，根据平行四边形的性质可得OE∥BD，OE=BD=OD=OB，推出△ODB是等边三角形，得到∠OBD=∠BOD=60°，进而推出△AEO为等边三角形，得到∠EAO=∠DOB=60°，则AE∥OD，利用平行线的性质可得∠ODC+∠C=180°，求出∠ODC=90°，据此证明；
（2）由（1）得∠EAO=∠AOE=∠OBD=∠BOD=60°，ED∥AB，根据平行线的性质可得∠EAO=∠CED=60°，易得△DEO为等边三角形， 得到ED=OE=AE，根据余角的性质可得∠CDE=30°，则ED=2CE=AE，利用勾股定理取出CD，设△OED的高为h，根据三角函数的概念求出h，然后根据S阴影=S△CED-(S扇形OED-S△OED)进行计算.
23．（2021九上·南宁期中）如图，PA是 的切线，切点为A，AC是 的直径，连接OP交 于D.过点C作 ，连接AB交OP于点E.
（1）求证：PB是 的切线；
（2）若E恰好是OD的中点，且四边形OAPB的面积是 ，求阴影部分的面积；
（3）若 且 ，求AB的长度.
【答案】（1）证明：连接BO，
∵PA是 的切线，
∴AP⊥AO，
∴∠PAO=90°
∵ ，AC是直径
∴∠AEO=∠ABC=90°
∴OP⊥AB，
∴∠AOP=∠BOP
又∵AO=BO，OP=OP
∴△AOP≌△BOP，
∴∠PBO =∠PAO=90°，
∴PB是 的切线
（2）解：∵E是OD的中点
∴OE＝DE，
∵AB⊥OD，
∴∠AEO=∠AED=90°
又AE=AE
∴△AEO≌△AED（SAS）
∴AO＝AD，
∵OA＝OD，
∴AD＝OA＝OD，
∴△AOD是等边三角形，
∴∠AOD＝60°，∠OAE=30°
设OE＝m，则AO=2m，AE＝BE＝ m，AB=2 m，OA＝2m，
∵∠APO=90°-∠AOP=30°
∴OP＝4m，
∵四边形OAPB的面积是16 ，
∴ OP AB＝16 ，
∴ ×4m×2 m＝16 ，
∴m＝2或 2（舍弃），
∴OE＝2，AB＝4 ，OA＝2m＝4，
∵OD⊥AB，
∴ ，
∴∠AOD＝∠BOD＝60°，
∴∠AOB＝2∠AOD＝120°，
∴S阴＝S扇形OAB S△AOB＝ ×4 ×2＝ .
（3）解：在Rt△AOE中， ，
∴可以假设OE＝x，则OA＝OD＝3x，DE＝2x，AE＝ ＝ x，
在Rt△ADE中，AD2＝AE2＋DE2，
∴（ ）2＝（ x）2＋（2x）2，
∴x＝1或 1（舍弃），
∴OE＝1，OA＝3，AE＝ ，
∴AB=2AE=4 .
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理；切线的判定与性质；扇形面积的计算；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）连接BO，由切线的性质可得AP⊥AO，根据平行线的性质以及圆周角定理可得∠AEO=∠ABC=90°，进而推出∠AOP=∠BOP，证明△AOP≌△BOP，得到∠PBO =∠PAO=90°，据此证明；
（2）由中点的概念可得OE＝DE，由垂直的概念可得∠AEO=∠AED=90°，证明△AEO≌△AED，得到AO＝AD，推出△AOD是等边三角形，则∠AOD＝60°，∠OAE=30°，设OE＝m，则AO=2m，AE＝BE＝m，AB=2m，OA＝2m，根据四边形OAPB的面积可得m的值，进而得到OE、AB、OA的值，由垂径定理可得AD=BD，则 ，进而得到∠AOD＝∠BOD＝60°，求出∠AOB的度数，然后根据S阴＝S扇形OAB S△AOB进行计算；
（3）设OE＝x，则OA＝OD＝3x，DE＝2x，AE＝x，然后在Rt△ADE中，应用勾股定理可得x，据此求解.
1 / 12023-2024学年苏科版数学九年级上册2.7弧长及扇形面积 同步练习
一、选择题
1．（2023九上·长兴期末）已知扇形的半径为6，圆心角为，则此扇形的弧长是（ ）
A．4 B．2 C． D．
2．（2023九上·宁波期末）如图，是半圆的直径，、是半圆上两点，且满足，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023九上·镇海区期末）如图，是的直径，弦与垂直，垂足为点E，连接并延长交于点，，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022九上·海淀期末）勒洛三角形是分别以等边三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由三段圆弧组成的曲边三角形．如图，该勒洛三角形绕其中心旋转一定角度后能与自身重合，则该角度可以为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022九上·代县期末）【阅读理解】在求阴影部分面积时，常常会把原图形的一部分割下来补在图形中的另一部分，使其成为基本规则图形，从而使问题得到解决，这种方法称为割补法．如图1，C是半圆O的中点，欲求阴影部分面积，只需把弓形BC割下来，补在弓形处，则．
【拓展应用】如图2，以为直径作半圆O，C为的中点，连接，以为直径作半圆P，交于点D．若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．（2021九上·东阳月考）如图，在4×4的正方形网格中，若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△AB′C′，则 的长为（ ）
A．π B． C．7 D．6
7．（2021九上·拱墅月考）如果一个扇形的弧长等于它的半径的 倍，那么此扇形称为“优雅扇形”，则半径为2的“优雅扇形”的面积为（ ）
A．π B． C． π D．2
8．（2021九上·慈溪期中）如图，用6个小正方形构造如图所示的网格图（每个小正方形的边长均为2），设经过图中M、P、H三点的圆弧与AH交于R，则图中阴影部分面积（ ）
A．π﹣ B．π﹣5 C．2π﹣5 D．3π﹣2
9．（2020九上·安徽月考）中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食錦上添花。图1中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图(阴影部分为摆盘)，通过测量得到AC=BD=12cm，C，D两点之间的距离为4cm，圆心角为60°，则图中摆盘的面积是（ ）
A．80π cm2 B．40π cm2 C．24π cm2 D．2π cm2
10．（2019九上·无锡月考）如图，AB是⊙o直径，M，N是 上两点，C是 上任一点，∠ACB角平分线交⊙o于点D，∠BAC的平分线交CD于点E，当点C从M运动到N时，C、E两点的运动路径长之比为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2023九上·杭州期末）如图，用一个半径为6cm的定滑轮拉动砝码上升（假设绳索足够长且粗细不计，与滑轮之间无滑动），若滑轮旋转了，则砝码上升了 cm.（结果保留）
12．（2023九上·靖江期末）在2×2的正方形网格中，每个小正方形的边长为1.以点O为圆心，2为半径画弧，交图中网格线于点A，B，则扇形AOB的面积是 .
13．（2022九上·聊城期末）如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转后得到，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积为 ．
14．（2021九上·南京期末）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为2，∠D＝110°，则 的长为 .
15．（2022九上·滨江期末）已知扇形的面积为cm2，圆心角为，则该扇形的弧长是 .
16．（2022九上·温州期中）如图，正方形的边长为2，以A为圆心，长为半径画.以D为圆心，长为半径画，形成如图“杯子”样的阴影部分，则阴影部分的面积为 .
17．（2021九上·江都期末）如图，半径为4cm，圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上有一运动的点P，从点P向半径OA引垂线PH交OA于点H.设 的内心为I，当点P在弧AB上从点A运动到点B时，内心I所经过的路径长为 .
三、解答题
18．（2021九上·崇义期末）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为．
（ 1 ）画出关于x轴对称的，并写出点的坐标；
（ 2 ）画出绕点O顺时针旋转后得到的，并写出点的坐标；
（ 3 ）在（2）的条件下，求点A旋转到点所经过的路径长（结果保留）．
19．一张圆心角为45°的扇形纸板和圆形纸板按如图方式各剪得一个正方形，边长都为1，求扁形纸板和圆形纸板的面积比．
20．（2021九上·呼和浩特月考）如图， 两两不相交，且半径都是 ．求图中三个扇形（即阴影部分）的面积之和．
四、综合题
21．（2023九上·兴化期末）已知，为的弦，且.
（1）如图1，若，求阴影部分的面积；
（2）如图2，若点C为的中点，点D为的中点.请仅用无刻度的直尺过点B作的的切线.
22．（2021九上·南充期末）如图，AB是⊙O的直径，点D，E在⊙O上，四边形BDEO是平行四边形，过点D作 交AE的延长线于点C.
（1）求证：CD是⊙O的切线.
（2）若 ，求阴影部分的面积.
23．（2021九上·南宁期中）如图，PA是 的切线，切点为A，AC是 的直径，连接OP交 于D.过点C作 ，连接AB交OP于点E.
（1）求证：PB是 的切线；
（2）若E恰好是OD的中点，且四边形OAPB的面积是 ，求阴影部分的面积；
（3）若 且 ，求AB的长度.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：根据题意可得：
此扇形的弧长，
故答案为：C.
【分析】直接根据弧长公式l=（n为圆心角的度数，r为半径）进行计算.
2．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆内接四边形的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：如图，连接OC，
∵四边形ABCD是圆O的内接四边形，，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴的长为 ，
故答案为：B.
【分析】连接OC，根据圆内接四边形的对角互补得∠ABC=60°，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形判断出△OBC是等边三角形，根据等边三角形的性质可得OB=OC=BC=2，进而根据弧长计算公式即可算出的长.
3．【答案】B
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；垂径定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图，连接.
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：B.
【分析】连接OD，由垂径定理可得EC=DE=，根据内角和定理可得∠B=60°，推出△OBD是等边三角形，得到∠DOB=60°，由对顶角的性质可得∠COB=∠AOF=60°，然后求出OE、OC的值，再根据S阴影=S扇形OAF-△AOF结合扇形、三角形的面积公式进行计算.
4．【答案】C
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；弧长的计算
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵是等边三角形，
∴，
即，
∴．
∴该角度可以为．
故答案为：C
【分析】连接，可得，再求出即可。
5．【答案】B
【知识点】垂径定理；圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：连接、
是小圆直径
故答案为：B
【分析】连接、，根据求解即可.
6．【答案】A
【知识点】弧长的计算；旋转的性质
【解析】【解答】解：根据图示知，∠BAB′＝45°，
弧 的长l＝
故答案为：A.
【分析】利用格点可知∠BAB′＝45°，再利用弧长公式，可求出弧 的长.
7．【答案】D
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵S＝ lr，
∴S＝ ×2× ×2＝2 .
故答案为：D.
【分析】根据扇形的面积公式S=lr进行计算即可.
8．【答案】A
【知识点】勾股定理；垂径定理的应用；圆周角定理；扇形面积的计算；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：如图，连接MH交FN于O，连接AM、OR，
∵PQ=HQ，FN⊥PH，
∴圆心在FN所在直线上，
∵∠MPH=90°，点M、P、H在圆上，
∴MN为直径，
∴点O为圆心，
∵AD=MC，∠D=∠C，DM=CH，
∴△ADM≌△MCH，
∴AM=MH，∠DAM=∠HMC，
∵∠DAM+∠AMD=90°，
∴∠HMC+∠AMD=90°，
∴∠AMH=90°，
∴∠MHA=45°，
∵OH=OR，
∴∠ROH=90°，
∵MH==，
∴OH=MH=，
∴S阴影=S扇形ORH-S△ORH=-=π﹣.
故答案为：A.
【分析】连接MH交FN于点O，连接AM、OR，则圆心在FN所在直线上，MN为直径，点O为圆心，易证明△ADM≌△MCH，得到AM=MH，∠DAM=∠HMC，结合∠DAM+∠AMD=90°可得到∠AMH=90°，则∠MHA=45°，ROH=90°，利用勾股定理可得MH，然后求出OH，再根据S阴影=S扇形ORH-S△ORH结合扇形、三角形的面积公式进行计算.
9．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图，连接 CD．
∵OC=OD，∠O=60°，∴△COD是等边三角形，OC=OD=CD=4 cm，∴S周=S扇形OAB-S扇形OCD= = 40π(cm2)
【分析】根据题意，首先证明三角形COD为等边三角形，求出OC和OD，继而根据摆盘的面积等于两个扇形面积的差，求出答案即可。
10．【答案】A
【知识点】圆周角定理；弧长的计算
【解析】【解答】如图，连接EB，设
∵AB是直径
∵E是 的内心，
∴点E在以D为圆心DA为半径的圆上，运动轨迹是 ，点C的运动轨迹是
∵ ，设 ，则 ，
故答案为：A
【分析】如图，连接EB，设 ，易知点E在以D为圆心DA为半径的圆上，运动轨迹是 ，点C的运动轨迹是 ，由题意 ，设 ，则 ，利用弧长公式计算后即可解决问题.
11．【答案】5π
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：由题意得，重物上升的距离是半径为，圆心角为所对应的弧长，
即，
故答案为：5π.
【分析】由题意得：重物上升的距离是半径为6cm，圆心角为150°所对应的弧长，然后结合弧长公式进行计算.
12．【答案】
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图，
在△OAE中，OA=2，OE=1，∠OEA=90°，
∴∠OAE=30°，∠COA=∠OAE=30°，
同理可得∠DOB=30°，
∴∠AOB=90°-30°-30°=30°，
∴，
故答案为：.
【分析】对图形进行点标注，易得OA=2，OE=1，∠OEA=90°，∠OAE=30°，∠COA=∠OAE=30°，∠DOB=30°，则∠AOB=30°，然后根据扇形的面积公式进行计算.
13．【答案】
【知识点】扇形面积的计算；旋转的性质
【解析】【解答】解：由旋转可知：
故答案为：．
【分析】根据旋转的性质可得，再利用割补法求出即可。
14．【答案】
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接OA、OC，如图，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠D＝110°，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： .
【分析】连接OA、OC，根据圆内接四边形的性质可得∠D+∠ABC=180°，结合∠D的度数可得∠ABC的度数，利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得∠AOC的度数，接下来结合弧长公式计算即可.
15．【答案】cm
【知识点】弧长的计算；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：设扇形的半径为r，
∵扇形的面积公式，
∴，
∴或（负数舍去），
∴扇形的弧长（cm）.
故答案为：cm.
【分析】设扇形的半径为r，根据扇形的面积公式结合题意可得r的值，然后根据弧长公式进行计算.
16．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图，将题中图形简化，连接AG、DG，过G点作EF⊥AD于点E，交BC于F点，
∵在正方形ABCD中，有，
∴四边形ABFE是矩形，
∵与的半径均为AD，正方形ABCD的边长为2，
∴，
∴△ADG是等边三角形，
∴，
∵，
∴，平分，
∴矩形ABFE的面积为：，
∵在正方形ABCD中，，
∴，
∵在中，有，，易得∠BAG=30°，根据勾股定理算出EG的长，
∴，
∴的面积为：，
同理可求得：，
∵，，
∴扇形ADG的面积为：，
∴弓形AG的面积为：，
∵，，
∴扇形BAG的面积为：，
∴异形BGF的面积为：，
根据图形的对称性可知：阴影部分面积为：，
∴，
即：，
故答案为：.
【分析】连接AG、DG，过G点作EF⊥AD于点E，交BC于F点，易得四边形ABFE是矩形，△ADG是等边三角形，根据等边三角形的性质得AE=ED=1，EG平分∠AGD，易得∠BAG=30°，根据勾股定理算出EG的长，用三角形的面积公式算出△AEG的面积S1，用扇形面积公式算出扇形ADG、扇形BAG的面积，根据算出弓形AG的面积，根据算出异形BGF的面积，最后根据图形的对称性，由代入计算即可得出答案.
17．【答案】
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；三角形的内切圆与内心；弧长的计算；三角形全等的判定（SSS）
【解析】【解答】解：如图，连OI，PI，AI，
∵△OPH的内心为I，
∴∠IOP=∠IOA，∠IPO=∠IPH，
∴∠PIO= -∠IPO-∠IOP= - （∠HOP+∠OPH），
而PH⊥OA，即∠PHO= ，
∴∠PIO= - （∠HOP+∠OPH）= - （ - ）= ，
又∵OP=OA，OI公共，
而∠IOP=∠IOA，
∴△OPI≌△OAI，
∴∠AIO=∠PIO= ，
所以点I在以OA为弦，并且所对的圆周角为 的一段劣弧上；
过A、I、O三点作⊙O′，如图，连O′A，O′O，
在优弧AO上取点P，连PA，PO，
∵∠AIO= ，
∴∠APO= - = ，
∴∠A O= ，而OA=4cm，
∴∠AO = ，
∴O′O= OA= ×4=2 ，
∴弧OA的长= （cm），
所以内心I所经过的路径长为 cm.
故答案为： cm..
【分析】如图，连OI，PI，AI，由△OPH的内心为I，可得到∠PIO= -∠IPO-∠IOP= - （∠HOP+∠OPH）= ，并且易证△OPI≌△OAI，得到∠AIO=∠PIO= ，所以点I在以OA为弦，并且所对的圆周角为 的一段劣弧上；过A、I、O三点作⊙O′，如图，连O′A，O′O，在优弧AO上取点P，连PA，PO，可得∠APO= - = ，得∠A O= ， OA= ×4=2 ，然后利用弧长公式计算弧OA的长.
18．【答案】解：⑴如图所示：即为所求，
∴由图象可得；
⑵如图所示：即为所求，
∴由图象可得；
⑶由（2）的图象可得：点A旋转到点所经过的路径为圆弧，
∵，
∴点A旋转到点所经过的路径长为．
【知识点】弧长的计算；作图﹣轴对称；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）利用轴对称的性质找出点A、B、O的对应点，再连接并直接写出点的坐标即可；
（2）利用旋转的性质找出点A、B、O的对应点，再连接并直接写出点的坐标即可；
（3）利用弧长公式求出答案即可。
19．【答案】解：解：连接OD，
∵正方形ABCD，∠AOB=45°，
∴AB=CD=BC=1，∠ABC=∠ABO=∠DCB=90°，
∴∠AOB=∠OAB=45°，
∴AB=OB=BC=1
∴OC=2
；
∴扇形纸板的面积为；
∵∠BMC=90°，MC=MB
2BM2=BC2=1
解之：
∴圆形纸板的面积为
∴扁形纸板和圆形纸板的面积比.
答：扁形纸板和圆形纸板的面积比为5：4.
【知识点】勾股定理；正方形的性质；扇形面积的计算
【解析】【分析】连接OD，利用正方形的性质可证得AB=CD=BC=1，∠ABC=∠ABO=∠DCB=90°，∠AOB=∠OAB=45°，即可求出OC的长，利用勾股定理求出OD的长，利用扇形的面积公式求出扇形纸板的面积；再利用勾股定理求出BM的长，即可求出圆的面积；然后求出扁形纸板和圆形纸板的面积比.
20．【答案】解：由三角形内角和定理知∠A＋∠B＋∠C＝180°，
设∠A＝ °，∠B＝ °，∠C＝ °，
∴ ＋ ＋ ＝180，
∴S阴＝ ＋ ＋ ＝ ＝
＝0.125π（cm2），
即阴影部分的面积之和为0.125πcm2．
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【分析】根据图形可知：三个扇形的半径相等，且三个扇形的圆心角之和为180°，因此只需利用圆的面积公式计算即可。
21．【答案】（1）解：半径，，
∴，，
∴阴影部分的面积为：.
（2）解：如图所示，
连接并延长交于点E，连接，并延长交于点F，作直线，则为所求作的切线.
【知识点】三角形的面积；切线的判定；扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）根据S阴影=S扇形AOB-S△AOB结合扇形、三角形的面积公式进行计算；
（2）连接AO并延长交⊙O于点E，连接ED、OC并延长交于点F，作直线BF，则BF为所求作的切线.
22．【答案】（1）证明：连接OD，如图所示：
∵四边形BDEO是平行四边形，
∴ ，
∴△ODB是等边三角形，
∴∠OBD=∠BOD=60°，
∴∠AOE=∠OBD=60°，
∵OE=OA，
∴△AEO也为等边三角形，
∴∠EAO=∠DOB=60°，
∴AE∥OD，
∴∠ODC+∠C=180°，
∵CD⊥AE，
∴∠C=90°，
∴∠ODC=90°，
∵OD是圆O的半径，
∴CD是⊙O的切线.
（2）解：由（1）得∠EAO=∠AOE=∠OBD=∠BOD=60°，ED∥AB，
∴∠EAO=∠CED=60°，
∵∠AOE+∠EOD+∠BOD=180°，
∴∠EOD=60°，
∴△DEO为等边三角形，
∴ED=OE=AE，
∵CD⊥AE，∠CED=60°，
∴∠CDE=30°，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设△OED的高为h，
∴ ，
∴ ，
∴ .
【知识点】平行线的判定与性质；等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；切线的判定；扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）连接OD，根据平行四边形的性质可得OE∥BD，OE=BD=OD=OB，推出△ODB是等边三角形，得到∠OBD=∠BOD=60°，进而推出△AEO为等边三角形，得到∠EAO=∠DOB=60°，则AE∥OD，利用平行线的性质可得∠ODC+∠C=180°，求出∠ODC=90°，据此证明；
（2）由（1）得∠EAO=∠AOE=∠OBD=∠BOD=60°，ED∥AB，根据平行线的性质可得∠EAO=∠CED=60°，易得△DEO为等边三角形， 得到ED=OE=AE，根据余角的性质可得∠CDE=30°，则ED=2CE=AE，利用勾股定理取出CD，设△OED的高为h，根据三角函数的概念求出h，然后根据S阴影=S△CED-(S扇形OED-S△OED)进行计算.
23．【答案】（1）证明：连接BO，
∵PA是 的切线，
∴AP⊥AO，
∴∠PAO=90°
∵ ，AC是直径
∴∠AEO=∠ABC=90°
∴OP⊥AB，
∴∠AOP=∠BOP
又∵AO=BO，OP=OP
∴△AOP≌△BOP，
∴∠PBO =∠PAO=90°，
∴PB是 的切线
（2）解：∵E是OD的中点
∴OE＝DE，
∵AB⊥OD，
∴∠AEO=∠AED=90°
又AE=AE
∴△AEO≌△AED（SAS）
∴AO＝AD，
∵OA＝OD，
∴AD＝OA＝OD，
∴△AOD是等边三角形，
∴∠AOD＝60°，∠OAE=30°
设OE＝m，则AO=2m，AE＝BE＝ m，AB=2 m，OA＝2m，
∵∠APO=90°-∠AOP=30°
∴OP＝4m，
∵四边形OAPB的面积是16 ，
∴ OP AB＝16 ，
∴ ×4m×2 m＝16 ，
∴m＝2或 2（舍弃），
∴OE＝2，AB＝4 ，OA＝2m＝4，
∵OD⊥AB，
∴ ，
∴∠AOD＝∠BOD＝60°，
∴∠AOB＝2∠AOD＝120°，
∴S阴＝S扇形OAB S△AOB＝ ×4 ×2＝ .
（3）解：在Rt△AOE中， ，
∴可以假设OE＝x，则OA＝OD＝3x，DE＝2x，AE＝ ＝ x，
在Rt△ADE中，AD2＝AE2＋DE2，
∴（ ）2＝（ x）2＋（2x）2，
∴x＝1或 1（舍弃），
∴OE＝1，OA＝3，AE＝ ，
∴AB=2AE=4 .
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理；切线的判定与性质；扇形面积的计算；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）连接BO，由切线的性质可得AP⊥AO，根据平行线的性质以及圆周角定理可得∠AEO=∠ABC=90°，进而推出∠AOP=∠BOP，证明△AOP≌△BOP，得到∠PBO =∠PAO=90°，据此证明；
（2）由中点的概念可得OE＝DE，由垂直的概念可得∠AEO=∠AED=90°，证明△AEO≌△AED，得到AO＝AD，推出△AOD是等边三角形，则∠AOD＝60°，∠OAE=30°，设OE＝m，则AO=2m，AE＝BE＝m，AB=2m，OA＝2m，根据四边形OAPB的面积可得m的值，进而得到OE、AB、OA的值，由垂径定理可得AD=BD，则 ，进而得到∠AOD＝∠BOD＝60°，求出∠AOB的度数，然后根据S阴＝S扇形OAB S△AOB进行计算；
（3）设OE＝x，则OA＝OD＝3x，DE＝2x，AE＝x，然后在Rt△ADE中，应用勾股定理可得x，据此求解.
1 / 1
