上海市嘉定区2022-2023学年高二下学期期末数学试题
一、填空题
1．（2023高二下·嘉定期末）直线的倾斜角的是 ．
2．（2017·上海）若排列数 =6×5×4，则m= ．
3．（2021高二上·延庆期末）抛物线的焦点到准线的距离是 .
4．（2023高二下·嘉定期末）在空间直角坐标系中，点关于坐标平面的对称点的坐标为 .
5．（2023高二下·嘉定期末） .
6．（2021高三上·巴中月考）已知一个圆锥的底面半径为3，其侧面积为15π，则该圆锥的体积为 .
7．（2023高二下·嘉定期末）的二项展开式的各项系数之和为 .
8．（2023高二下·嘉定期末）在空间直角坐标系中，某二面角的大小为，，半平面、的一个法向量分别为、，且，则 （结果用反三角函数值表示）.
9．（2023高二下·嘉定期末）已知双曲线的一条渐近线与圆相交于两点，且，则该双曲线的实轴长为 .
10．（2023高二下·嘉定期末）从0、1、2、3、4、5、6、7这8个数中任取5个不同的数，则这5个不同的数的中位数为3的概率为 .
11．（2023高二下·嘉定期末）已知圆锥曲线的方程：.当为正整数，且时，存在两条曲线、，其交点与点满足，则满足题意的有序实数对共有 对.
12．（2023高二下·嘉定期末）如图，在正方体中，为棱的中点.动点沿着棱从点向点移动，对于下列四个结论：
（1）存在点，使得；（2）存在点，使得平面；（3）的面积越来越小；（4）四面体的体积不变. 其中所有正确的结论的序号是 .
二、单选题
13．（2020高二下·嘉定期末）在空间内，异面直线所成角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
14．（2023高二下·嘉定期末）一般的数学建模包含如下活动过程：①建立模型；②实际情境；③提出问题；④求解模型；⑤实际结果；⑥检验结果，则正确的序号顺序为（ ）
A．③②①④⑤⑥ B．③②①④⑥⑤
C．②①③④⑤⑥ D．②③①④⑥⑤
15．（2023高二下·嘉定期末）已知是半径为1的球面上的三点，若，则的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．2
16．（2023·黄浦模拟）设数列的前n项的和为，若对任意的，都有，则称数列为“K数列”．关于命题：①存在等差数列，使得它是“K数列”；②若是首项为正数、公比为q的等比数列，则是为“K数列”的充要条件．下列判断正确的是（ ）
A．①和②都为真命题 B．①为真命题，②为假命题
C．①为假命题，②为真命题 D．①和②都为假命题
三、解答题
17．（2023高二下·嘉定期末）已知数列的前项和为.
（1）求数列的通项公式；
（2）求证：数列是等差数列.
18．（2023高二下·嘉定期末）在直四棱柱中，，，，．
（1）求证：平面；
（2）求点D到平面的距离．
19．（2023高二下·嘉定期末）某校高二年级一个班有60名学生，将期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段：，得到如图所示的频率分布直方图，
（1）求的值；
（2）用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为20的样本，已知甲同学的成绩在，乙同学的成绩在，求甲乙至少一人被抽到的概率．
20．（2023高二下·嘉定期末）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆，过右焦点作两条互相垂直的弦AB，CD，设AB，CD中点分别为，．
（1）写出椭圆右焦点的坐标及该椭圆的离心率；
（2）证明：直线MN必过定点，并求出此定点坐标；
（3）若弦AB，CD的斜率均存在，求面积的最大值．
21．（2023高二下·嘉定期末）已知.
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）已知函数在区间上有零点，求的值；
（3）记，设、是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率
【解析】【解答】设直线的倾斜角为，
因为直线的斜率，即，
因为，所以，
故答案为：.
【分析】根据直线的斜率与倾斜角的关系即可求解.
2．【答案】3
【知识点】排列及排列数公式
【解析】【解答】解：∵排列数 =6×5×4，
∴由排列数公式得 ，
∴m=3．
故答案为：m=3．
【分析】利用排列数公式直接求解．
3．【答案】4
【知识点】抛物线的定义
【解析】【解答】由y2＝2px＝8x知p＝4，又焦点到准线的距离就是p，所以焦点到准线的距离为4.
【分析】根据抛物线的方程求出p的值，即可求得焦点到准线的距离 。
4．【答案】
【知识点】空间直角坐标系；空间中的点的坐标
【解析】【解答】因为点是点关于坐标平面的对称点，所以.
故答案为：.
【分析】根据空间中点面对称分析求解.
5．【答案】2
【知识点】等比数列的前n项和；数列的极限
【解析】【解答】因为 .
故答案为：2
【分析】由等比数列的前n项和公式结合数列的极限，即可得出答案.
6．【答案】12π
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】设圆锥的母线长为 ，
因为圆锥的底面半径 ，
所以圆锥的侧面积 ，依题意可得 ，解得 ，
所以圆锥的高 ，
所以该圆锥的体积 。
故答案为：12π。
【分析】设圆锥的母线长为 ，再利用圆锥的底面半径 结合圆锥的侧面积公式，从而求出圆锥的侧面积，再利用已知条件求出圆锥母线长，再结合勾股定理求出圆锥的高，再利用圆锥的体积公式，从而求出该圆锥的体积。
7．【答案】1
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】因为，
令，则，
故的二项展开式的各项系数之和为1.
故答案为：1.
【分析】令，即可得出答案.
8．【答案】
【知识点】二面角的平面角及求法
【解析】【解答】因为 ，
所以，
因为，所以，.
故答案为：.
【分析】根据向量数量积求向量夹角，再根据二面角与向量夹角关系得结果.
9．【答案】
【知识点】直线与圆相交的性质；双曲线的简单性质
【解析】【解答】令 ，可得：，
不妨设双曲线的一条渐近线为，
设圆的圆心为，
则圆心到直线的距离为：，
则，解得：，
所以，则，
因为，则，所以双曲线的实轴长为.
故答案为：
【分析】求出双曲线的一条渐近线，由圆心到双曲线的一条渐近线的距离结合题意可得，求出a，即可求出双曲线的实轴长.
10．【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式；简单计数与排列组合
【解析】【解答】根据题意，从8个数中任取5个数，则基本事件的总数为，
又由这5个数的中位数是3的基本事件为，
所以这5个不同的数的中位数为3的概率为.
故答案为：.
【分析】先求得基本事件的总数，以及这5个不同的数的中位数为3的基本事件的个数，再利用古典摡型的概率计算公式，即可求解.
11．【答案】3
【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程；双曲线的定义；双曲线的标准方程
【解析】【解答】由题意得是椭圆，是双曲线，
结合椭圆与双曲线的几何性质可知本题中的任意两椭圆与两双曲线均无公共点，
从而时，存在两条曲线、有交点P，
必然有，，
设，，
则由椭圆与双曲线的定义可得，
且，，故，
因为，则，可得
所以存在两条曲线、，且或或.
故答案为：3.
【分析】本题主要考查圆锥曲线的定义，易得到是椭圆，是双曲线，从而根据题意可得，，再结合椭圆与双曲线的定义与即可得，从而得到答案.
12．【答案】（1）（3）（4）
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的性质；空间向量垂直的坐标表示；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】设正方体棱长为2，，
由平面ABCD，平面ABCD，可得，同理，
所以，，
由得，存在P使得，(1)正确，
正方体中，平面，，所以P到平面的距离不变，
即P到平面的距离不变，而面积不变，因此三棱锥，即四面体的体积不变，(4)正确；
以为轴建立空间直角坐标系，如下图，
正方体棱长为2，则，
可得，
因为，所以不可能与垂直，
故平面也不可能成立，故(2)错误；
设，
因为，，，
所以，
设P到直线的距离为d，则
，
由二次函数性质知时，递减，所以d递减，又不变，
所以的面积为递减，(3)正确，
综上所述：(1)(3)(4)正确
故答案为：(1)(3)(4).
【分析】设正方体棱长为2，，根据，解出m，确定(1)正确；考虑到P到平面的距离不变，从而易判断(4)；以为轴建立空间直角坐标系，可证明不可能与垂直，故(2)不正确；设，(0≤m≤2)，由空间向量法求得P到的距离，由距离的变化规律判断(3)正确.
13．【答案】B
【知识点】异面直线及其所成的角
【解析】【解答】由异面直线所成角的定义可知,过空间一点分别作相应直线的平行线,两条相交直线所成的直角或锐角为异面直线所成角,所以两条异面直线所成角的取值范围是 ,
故答案为：B.
【分析】由异面直线所成角的定义可得出答案.
14．【答案】D
【知识点】聚类分析
【解析】【解答】数学建模活动，根据实际情境，提出问题，基于问题，建立模型，通过模型的求解，以检验模型解决问题的结果，若结果不符合实际，还需要重新建立模型；若结果符合实际，问题的回答便有了实际的结果，所以正确的序号顺序是②③①④⑥⑤.
故答案为：D
【分析】根据给定条件，利用数学建模的活动过程及顺序写出结论作答.
15．【答案】C
【知识点】余弦定理的应用
【解析】【解答】设球心为O，连接OA，OB，OC，由，
所以和均为等边三角形，
所以，
所以，当且仅当O，A，B，C共面时取等号，如图所示，
此时BC取得最大值，
在中，由余弦定理得，
所以，即BC的最大值为，
故答案为：C.
【分析】设球心为O，连接OA，OB，OC，则可得和均为等边三角形，所以，再在中利用余弦定理可求出BC.
16．【答案】C
【知识点】等差数列的前n项和；等比数列的前n项和
【解析】【解答】令等差数列的公差为，当时，，不符合题意，
当时，，
函数的图象是开口向上的抛物线，对称轴，
存在，使得，取不小于的正整数，则有，
即，不符合题意，综上得①为假命题；
等比数列首项，因为数列为“K数列”，则有，即，
，于是，
依题意，任意的，，函数在单调递减，值域是，
因此，所以是为“K数列”的充要条件，②是真命题，
判断正确的是①为假命题，②为真命题.
故答案为：C
【分析】利用等差数列的性质及“K数列”的定义判断命题①；利用等比数列的性质及“K数列”的定义和充要条件判断命题②，可得答案.
17．【答案】（1）解：当时，，
当时，，
令，满足，所以.
（2）解：由（1）知，，
所以数列是以首项为，公差为等差数列.
【知识点】数列的概念及简单表示法；等差关系的确定
【解析】【分析】 (1) 分和两种情况，结合与之间的关系运算求解；
(2) 根据等差数列的定义分析证明.
18．【答案】（1）证明：取的中点，连接，
该几何体为直四棱柱，平面ABCD，
，，
，，
∴四边形ABCD为正方形，
，，
，，，，平面
平面
（2）解：等体积法由图可得：
由（1）中证明知：平面，，
又
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【分析】 (1) 取的中点，连接，可证，，进而可得结果；
(2) 在三棱锥， 利用等体积法求点到面的距离.
19．【答案】（1）解：由题意可得，
解得；
（2）解：因为总体共60名学生，样本容量为20，因此抽样比为．
其中分数段有人，分数段有人，
所以在分数段中抽取人，分数段抽取人，
设甲被抽到的事件为，乙被抽到的事件为，
则，，
则甲乙至少一人被抽到的概率为．
【知识点】分层抽样方法；频率分布直方图；互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】 (1) 根据频率和为1运算求解；
(2) 先根据分层抽样求各层人数，进而可得甲、乙被抽到的概率，结合独立事件概率乘法公式运算求解.
20．【答案】（1）解：由椭圆方程可知：，，所以
右焦点坐标，该椭圆的离心率；
（2）证明：斜率均存在，
设，直线AB方程为，
则，
联立，
则有，
将上式中换为，可得，
若，则直线MN斜率不存在，此时直线MN过点，
下证动直线MN过定点，
若直线MN斜率存在，则，
直线MN方程为，
令得，所以此时直线MN也过定点，
当两条直线其中一条斜率不存在，一条直线斜率为0时，
不妨设斜率不存在，斜率为0，
此时，
则直线的方程为，过点，
综上，动直线MN过定点；
（3）解：由（2）可知直线MN过定点，
，
令，
，
因为，所以在上递减，
所以时，取得最大值，此时.
【知识点】导数在最大值、最小值问题中的应用；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 (1) 根据方程求出，进而可得结果；
(2) 根据题意利用韦达定理求M、N的坐标，进而求MN的方程，即可得结果，注意对斜率不存在的讨论；
(3) 结合(2) 中的结论可得，令，可得，利用导数求最值.
21．【答案】（1）解：因为，所以，所以切线斜率为，
又，切点为，所以切线方程为；
（2）解：，，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
所以的极小值为，，
在区间上存在一个零点，此时；
又，，
在区间上存在一个零点，此时．
综上，的值为0或3；
（3）解：函数，，
所以，
由得，依题意方程有两不相等的正实根、，
，，即，
又，，，解得，
，
构造函数，，
所以，
在上单调递减；
所以当时，，
所以．
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用；根的存在性及根的个数判断
【解析】【分析】 (1) 根据导数的几何意义运算求解；
(2) 利用导数可得的单调性与极值，结合零点存在性定理分析求解；
(3) 构建函数，利用导数结合韦达定理分析可得，构建函数，，利用导数求其最值，结合恒成立问题分析求解.
1 / 1上海市嘉定区2022-2023学年高二下学期期末数学试题
一、填空题
1．（2023高二下·嘉定期末）直线的倾斜角的是 ．
【答案】
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率
【解析】【解答】设直线的倾斜角为，
因为直线的斜率，即，
因为，所以，
故答案为：.
【分析】根据直线的斜率与倾斜角的关系即可求解.
2．（2017·上海）若排列数 =6×5×4，则m= ．
【答案】3
【知识点】排列及排列数公式
【解析】【解答】解：∵排列数 =6×5×4，
∴由排列数公式得 ，
∴m=3．
故答案为：m=3．
【分析】利用排列数公式直接求解．
3．（2021高二上·延庆期末）抛物线的焦点到准线的距离是 .
【答案】4
【知识点】抛物线的定义
【解析】【解答】由y2＝2px＝8x知p＝4，又焦点到准线的距离就是p，所以焦点到准线的距离为4.
【分析】根据抛物线的方程求出p的值，即可求得焦点到准线的距离 。
4．（2023高二下·嘉定期末）在空间直角坐标系中，点关于坐标平面的对称点的坐标为 .
【答案】
【知识点】空间直角坐标系；空间中的点的坐标
【解析】【解答】因为点是点关于坐标平面的对称点，所以.
故答案为：.
【分析】根据空间中点面对称分析求解.
5．（2023高二下·嘉定期末） .
【答案】2
【知识点】等比数列的前n项和；数列的极限
【解析】【解答】因为 .
故答案为：2
【分析】由等比数列的前n项和公式结合数列的极限，即可得出答案.
6．（2021高三上·巴中月考）已知一个圆锥的底面半径为3，其侧面积为15π，则该圆锥的体积为 .
【答案】12π
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】设圆锥的母线长为 ，
因为圆锥的底面半径 ，
所以圆锥的侧面积 ，依题意可得 ，解得 ，
所以圆锥的高 ，
所以该圆锥的体积 。
故答案为：12π。
【分析】设圆锥的母线长为 ，再利用圆锥的底面半径 结合圆锥的侧面积公式，从而求出圆锥的侧面积，再利用已知条件求出圆锥母线长，再结合勾股定理求出圆锥的高，再利用圆锥的体积公式，从而求出该圆锥的体积。
7．（2023高二下·嘉定期末）的二项展开式的各项系数之和为 .
【答案】1
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】因为，
令，则，
故的二项展开式的各项系数之和为1.
故答案为：1.
【分析】令，即可得出答案.
8．（2023高二下·嘉定期末）在空间直角坐标系中，某二面角的大小为，，半平面、的一个法向量分别为、，且，则 （结果用反三角函数值表示）.
【答案】
【知识点】二面角的平面角及求法
【解析】【解答】因为 ，
所以，
因为，所以，.
故答案为：.
【分析】根据向量数量积求向量夹角，再根据二面角与向量夹角关系得结果.
9．（2023高二下·嘉定期末）已知双曲线的一条渐近线与圆相交于两点，且，则该双曲线的实轴长为 .
【答案】
【知识点】直线与圆相交的性质；双曲线的简单性质
【解析】【解答】令 ，可得：，
不妨设双曲线的一条渐近线为，
设圆的圆心为，
则圆心到直线的距离为：，
则，解得：，
所以，则，
因为，则，所以双曲线的实轴长为.
故答案为：
【分析】求出双曲线的一条渐近线，由圆心到双曲线的一条渐近线的距离结合题意可得，求出a，即可求出双曲线的实轴长.
10．（2023高二下·嘉定期末）从0、1、2、3、4、5、6、7这8个数中任取5个不同的数，则这5个不同的数的中位数为3的概率为 .
【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式；简单计数与排列组合
【解析】【解答】根据题意，从8个数中任取5个数，则基本事件的总数为，
又由这5个数的中位数是3的基本事件为，
所以这5个不同的数的中位数为3的概率为.
故答案为：.
【分析】先求得基本事件的总数，以及这5个不同的数的中位数为3的基本事件的个数，再利用古典摡型的概率计算公式，即可求解.
11．（2023高二下·嘉定期末）已知圆锥曲线的方程：.当为正整数，且时，存在两条曲线、，其交点与点满足，则满足题意的有序实数对共有 对.
【答案】3
【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程；双曲线的定义；双曲线的标准方程
【解析】【解答】由题意得是椭圆，是双曲线，
结合椭圆与双曲线的几何性质可知本题中的任意两椭圆与两双曲线均无公共点，
从而时，存在两条曲线、有交点P，
必然有，，
设，，
则由椭圆与双曲线的定义可得，
且，，故，
因为，则，可得
所以存在两条曲线、，且或或.
故答案为：3.
【分析】本题主要考查圆锥曲线的定义，易得到是椭圆，是双曲线，从而根据题意可得，，再结合椭圆与双曲线的定义与即可得，从而得到答案.
12．（2023高二下·嘉定期末）如图，在正方体中，为棱的中点.动点沿着棱从点向点移动，对于下列四个结论：
（1）存在点，使得；（2）存在点，使得平面；（3）的面积越来越小；（4）四面体的体积不变. 其中所有正确的结论的序号是 .
【答案】（1）（3）（4）
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的性质；空间向量垂直的坐标表示；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】设正方体棱长为2，，
由平面ABCD，平面ABCD，可得，同理，
所以，，
由得，存在P使得，(1)正确，
正方体中，平面，，所以P到平面的距离不变，
即P到平面的距离不变，而面积不变，因此三棱锥，即四面体的体积不变，(4)正确；
以为轴建立空间直角坐标系，如下图，
正方体棱长为2，则，
可得，
因为，所以不可能与垂直，
故平面也不可能成立，故(2)错误；
设，
因为，，，
所以，
设P到直线的距离为d，则
，
由二次函数性质知时，递减，所以d递减，又不变，
所以的面积为递减，(3)正确，
综上所述：(1)(3)(4)正确
故答案为：(1)(3)(4).
【分析】设正方体棱长为2，，根据，解出m，确定(1)正确；考虑到P到平面的距离不变，从而易判断(4)；以为轴建立空间直角坐标系，可证明不可能与垂直，故(2)不正确；设，(0≤m≤2)，由空间向量法求得P到的距离，由距离的变化规律判断(3)正确.
二、单选题
13．（2020高二下·嘉定期末）在空间内，异面直线所成角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】异面直线及其所成的角
【解析】【解答】由异面直线所成角的定义可知,过空间一点分别作相应直线的平行线,两条相交直线所成的直角或锐角为异面直线所成角,所以两条异面直线所成角的取值范围是 ,
故答案为：B.
【分析】由异面直线所成角的定义可得出答案.
14．（2023高二下·嘉定期末）一般的数学建模包含如下活动过程：①建立模型；②实际情境；③提出问题；④求解模型；⑤实际结果；⑥检验结果，则正确的序号顺序为（ ）
A．③②①④⑤⑥ B．③②①④⑥⑤
C．②①③④⑤⑥ D．②③①④⑥⑤
【答案】D
【知识点】聚类分析
【解析】【解答】数学建模活动，根据实际情境，提出问题，基于问题，建立模型，通过模型的求解，以检验模型解决问题的结果，若结果不符合实际，还需要重新建立模型；若结果符合实际，问题的回答便有了实际的结果，所以正确的序号顺序是②③①④⑥⑤.
故答案为：D
【分析】根据给定条件，利用数学建模的活动过程及顺序写出结论作答.
15．（2023高二下·嘉定期末）已知是半径为1的球面上的三点，若，则的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【知识点】余弦定理的应用
【解析】【解答】设球心为O，连接OA，OB，OC，由，
所以和均为等边三角形，
所以，
所以，当且仅当O，A，B，C共面时取等号，如图所示，
此时BC取得最大值，
在中，由余弦定理得，
所以，即BC的最大值为，
故答案为：C.
【分析】设球心为O，连接OA，OB，OC，则可得和均为等边三角形，所以，再在中利用余弦定理可求出BC.
16．（2023·黄浦模拟）设数列的前n项的和为，若对任意的，都有，则称数列为“K数列”．关于命题：①存在等差数列，使得它是“K数列”；②若是首项为正数、公比为q的等比数列，则是为“K数列”的充要条件．下列判断正确的是（ ）
A．①和②都为真命题 B．①为真命题，②为假命题
C．①为假命题，②为真命题 D．①和②都为假命题
【答案】C
【知识点】等差数列的前n项和；等比数列的前n项和
【解析】【解答】令等差数列的公差为，当时，，不符合题意，
当时，，
函数的图象是开口向上的抛物线，对称轴，
存在，使得，取不小于的正整数，则有，
即，不符合题意，综上得①为假命题；
等比数列首项，因为数列为“K数列”，则有，即，
，于是，
依题意，任意的，，函数在单调递减，值域是，
因此，所以是为“K数列”的充要条件，②是真命题，
判断正确的是①为假命题，②为真命题.
故答案为：C
【分析】利用等差数列的性质及“K数列”的定义判断命题①；利用等比数列的性质及“K数列”的定义和充要条件判断命题②，可得答案.
三、解答题
17．（2023高二下·嘉定期末）已知数列的前项和为.
（1）求数列的通项公式；
（2）求证：数列是等差数列.
【答案】（1）解：当时，，
当时，，
令，满足，所以.
（2）解：由（1）知，，
所以数列是以首项为，公差为等差数列.
【知识点】数列的概念及简单表示法；等差关系的确定
【解析】【分析】 (1) 分和两种情况，结合与之间的关系运算求解；
(2) 根据等差数列的定义分析证明.
18．（2023高二下·嘉定期末）在直四棱柱中，，，，．
（1）求证：平面；
（2）求点D到平面的距离．
【答案】（1）证明：取的中点，连接，
该几何体为直四棱柱，平面ABCD，
，，
，，
∴四边形ABCD为正方形，
，，
，，，，平面
平面
（2）解：等体积法由图可得：
由（1）中证明知：平面，，
又
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【分析】 (1) 取的中点，连接，可证，，进而可得结果；
(2) 在三棱锥， 利用等体积法求点到面的距离.
19．（2023高二下·嘉定期末）某校高二年级一个班有60名学生，将期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段：，得到如图所示的频率分布直方图，
（1）求的值；
（2）用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为20的样本，已知甲同学的成绩在，乙同学的成绩在，求甲乙至少一人被抽到的概率．
【答案】（1）解：由题意可得，
解得；
（2）解：因为总体共60名学生，样本容量为20，因此抽样比为．
其中分数段有人，分数段有人，
所以在分数段中抽取人，分数段抽取人，
设甲被抽到的事件为，乙被抽到的事件为，
则，，
则甲乙至少一人被抽到的概率为．
【知识点】分层抽样方法；频率分布直方图；互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】 (1) 根据频率和为1运算求解；
(2) 先根据分层抽样求各层人数，进而可得甲、乙被抽到的概率，结合独立事件概率乘法公式运算求解.
20．（2023高二下·嘉定期末）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆，过右焦点作两条互相垂直的弦AB，CD，设AB，CD中点分别为，．
（1）写出椭圆右焦点的坐标及该椭圆的离心率；
（2）证明：直线MN必过定点，并求出此定点坐标；
（3）若弦AB，CD的斜率均存在，求面积的最大值．
【答案】（1）解：由椭圆方程可知：，，所以
右焦点坐标，该椭圆的离心率；
（2）证明：斜率均存在，
设，直线AB方程为，
则，
联立，
则有，
将上式中换为，可得，
若，则直线MN斜率不存在，此时直线MN过点，
下证动直线MN过定点，
若直线MN斜率存在，则，
直线MN方程为，
令得，所以此时直线MN也过定点，
当两条直线其中一条斜率不存在，一条直线斜率为0时，
不妨设斜率不存在，斜率为0，
此时，
则直线的方程为，过点，
综上，动直线MN过定点；
（3）解：由（2）可知直线MN过定点，
，
令，
，
因为，所以在上递减，
所以时，取得最大值，此时.
【知识点】导数在最大值、最小值问题中的应用；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 (1) 根据方程求出，进而可得结果；
(2) 根据题意利用韦达定理求M、N的坐标，进而求MN的方程，即可得结果，注意对斜率不存在的讨论；
(3) 结合(2) 中的结论可得，令，可得，利用导数求最值.
21．（2023高二下·嘉定期末）已知.
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）已知函数在区间上有零点，求的值；
（3）记，设、是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：因为，所以，所以切线斜率为，
又，切点为，所以切线方程为；
（2）解：，，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
所以的极小值为，，
在区间上存在一个零点，此时；
又，，
在区间上存在一个零点，此时．
综上，的值为0或3；
（3）解：函数，，
所以，
由得，依题意方程有两不相等的正实根、，
，，即，
又，，，解得，
，
构造函数，，
所以，
在上单调递减；
所以当时，，
所以．
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用；根的存在性及根的个数判断
【解析】【分析】 (1) 根据导数的几何意义运算求解；
(2) 利用导数可得的单调性与极值，结合零点存在性定理分析求解；
(3) 构建函数，利用导数结合韦达定理分析可得，构建函数，，利用导数求其最值，结合恒成立问题分析求解.
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