浙江省绍兴市2022-2023学年高二（下）数学期末试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．（2023高二下·绍兴期末）若集合，，那么（ ）
A． B． C． D．
2．（2023高二下·绍兴期末）若，则（ ）
A． B． C． D．2
3．（2023高二下·绍兴期末）已知单位向量与互相垂直，且，记与的夹角为，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2023高二下·绍兴期末）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解.例如，地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.据此，地震震级每提高1级，释放出的能量是提高前的（参考数据：）（ ）
A．9.46倍 B．31.60倍 C．36.40倍 D．47.40倍
5．（2023高二下·绍兴期末） 甲、乙、丙、丁、戊五名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次．甲和乙去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你和乙都没有得到冠军．”对乙说“你当然不会是最差．”从这两个回答分析，5人的名次排列可能有多少种不同情况？（ ）
A．27种 B．36种 C．54种 D．72种
6．（2023高二下·绍兴期末）若，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2023高二下·绍兴期末）在棱长为10的正方体中，是侧面内的点，到和的距离分别为3和2，过点且与平行的直线交正方体表面于另一点，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2023高二下·绍兴期末）已知函数的定义域为，且，为奇函数，，则（ ）
A．-11 B． C．0 D．
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9．（2023高二下·绍兴期末）甲、乙两名同学近五次数学测试成绩数据分别为：
甲68，71，72，72，82
乙66，70，72，78，79
则（ ）
A．甲组数据的极差小于乙组数据的极差
B．甲组数据的平均数等于乙组数据的平均数
C．甲组数据的方差小于乙组数据的方差
D．甲组数据的第60百分位数等于乙组数据的第60百分位数
10．（2023高二下·绍兴期末）函数的最小正周期为，若，且是图象的一条对称轴，则（ ）
A． B．是函数的一个零点
C．在有2个极值点 D．直线是一条切线
11．（2023高二下·绍兴期末）在正三棱台中，是的中心，，，，则（ ）
A．
B．正三棱台的体积为
C．正三棱台的外接球的表面积为
D．侧面所在平面截正三棱台外接球所得截面的面积为
12．（2023高二下·绍兴期末）已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13．（2023高二下·绍兴期末） 已知，则的最小值为 ．
14．已知 的展开式中x3项的系数为 ．
15．（2023高二下·绍兴期末）甲乙两个盒子中装有大小、形状相同的红球和白球，甲盒中有5个红球，2个白球；乙盒中有4个红球，3个白球.先从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，则从乙盒中取出的是红球的概率为 .
16．（2023高二下·绍兴期末）已知正的顶点在平面内，点，均在平面外位于平面的同侧，且在平面上的射影分别为，，，设的中点为，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围是 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（2023高二下·绍兴期末）已知，，．
（1）若，求；
（2）设，求的单调递增区间．
18．（2023高二下·绍兴期末） 中国电动汽车重大科技项目的研发开始于2010年，经过一系列的科技攻关以及奥运、世博、“十城千辆”示范平台等应用拉动，中国电动汽车建立起了具有自主知识产权的全产业链技术体系汽车工业协会的最新数据显示，2022年中国电动汽车销量达491万辆，是2010年的10多倍某人打算购买一款国产电动汽车，调查了100辆该款车的续航里程，得到频率分布表如下：
续航里程单位： 频数 频率
3 0.03
10 0.10
30 0.30
35 0.35
15 0.15
7 0.07
（1）在图中作出频率分布直方图；
（2）根据中作出的频率分布直方图估计该款车续航里程的众数与平均数． 同一组中的数据以该组区间的中间值为代表
19．（2023高二下·绍兴期末）在中，内角，，所对的边分别是，，，且.
（1）求；
（2）若，，且为边的中点，求.
20．（2023高二下·绍兴期末）如图，在正四棱锥中，，过点向平面作垂线，垂足为．
（1）求证：；
（2）若，求二面角的余弦值．
21．（2023高二下·绍兴期末） 为加快绍兴制造强市建设，中国制造2025绍兴实施方案指出，到2025年，制造业重点领域全面实现智能化，基本实现“绍兴制造”向“绍兴智造”转型升级某试点企业对现有的生产设备进行技术升级改造，为监测改造效果，近期每天从生产线上随机抽取10件产品，并分析某项质量指标根据长期经验，可以认为新设备正常状态下生产的产品质量指标服从正态分布
（1）记表示一天内抽取的10件产品质量指标在之外的件数，求；
附：若随机变量服从正态分布，则，
（2）下面是一天内抽取的10件产品的质量指标：
9.85 10.12 10.02 9.89 10.21
10.26 9.91 10.13 10.17 9.94
若质量指标大于10，10被认定为一等品，现从以上件产品中随机抽取件，记为，4件产品中一等品的件数，求的分布列和数学期望．
22．（2023高二下·绍兴期末）已知函数有两个极值点，.
（1）求实数的取值范围；
（2）证明：存在实数使得.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】交集及其运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】因为 ，
所以.
故答案为：A.
【分析】先求解集合B，再根据交集运算求解.
2．【答案】B
【知识点】复数代数形式的混合运算；复数的模
【解析】【解答】 ， .
故答案为：B
【分析】先利用复数除法求 ，再求模长。
3．【答案】D
【知识点】数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】 由题意得 ，，
.
故答案为：D
【分析】利用平面向量数量积和向量模长的公式求夹角。
4．【答案】B
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】设地震震级提高1级，释放出的能量，则，，
，即，地震震级每提高1级，释放出的能量是提高前的倍。
故答案为：B
【分析】利用地震时释放出的能量与地震里氏震级之间的关系为代入求解即可。
5．【答案】C
【知识点】分步乘法计数原理；简单计数与排列组合
【解析】【解答】由题意可知：甲、乙不是冠军，乙不是最差，
则冠军为 丙、丁、戊 中的一人，乙排在第2，3，4位，
所以 5人的名次排列可能有种.
故答案为：C.
【分析】根据题意分析可知：冠军为 丙、丁、戊 中的一人，乙排在第2，3，4位，结合分步乘法计数原理运算求解.
6．【答案】A
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】 ， 即，
，， 求得
故答案为：A
【分析】对两边平方，结合二倍角公式化简求。
7．【答案】C
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】过点 作交于点，则，，连接 并延长交于点，
，，，点在线段上，
连接，过点 作交于点，则点即为所作的点，连接，
，，又正方体体对角线，。
故答案为：C
【分析】连接 并延长交于点，连接，过点 作交于点，连接，则即为所求值，进而分析求解。
8．【答案】B
【知识点】抽象函数及其应用；函数的周期性
【解析】【解答】因为 且 ，则，
所以，即函数的是以4为期的周期函数，
又因为 为奇函数 ，则，
即，所以函数的对称中心为，
可得，则，
令，则；
令，则；
则，
，，
可得
，
所以.
故答案为：B.
【分析】根据题意分析可得函数的是以4为期的周期函数，函数的对称中心为，根据周期性和对称中心分析可得，进而可得，结合题意运算即可.
9．【答案】B,C
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】A、 甲组数据的极差为，乙组数据的极差，
甲组数据的极差大于乙组数据的极差 A错误；
B、 甲组数据的平均数为，乙组数据的平均数为 ，甲组数据的平均数等于乙组数据的平均数 ，B正确；
C、 甲组数据的方差为，
乙组数据的方差为 ，
甲组数据的方差小于乙组数据的方差 ，C正确；
D、 ，甲组数据的第60百分位数为，乙组数据的第60百分位数为，甲组数据的第60百分位数小于乙组数据的第60百分位数 ，D错误.
故答案为：BC
【分析】根据极差、平均数、方差、百分位数定义及计算公式逐一判断选项。
10．【答案】A,D
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】A、由题意得 解得 ，，A正确；
B、 ， 令 ，则， 不是函数的一个零点 B错误；
C、当 时，，或或，即或或是 在的极值点 ，有3个极值点， C错误；
D、 ，令，即，
或，解得或，
当代入直线解得，
当代入直线无解，
直线是在点处的切线， D正确.
故答案为：AD
【分析】根据周期，对称轴，代入求出，进入判断选项。
11．【答案】A,C,D
【知识点】球面距离及相关计算；棱台的结构特征；球的体积和表面积；空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】延长正三棱台侧棱交于点，连接交平面于点，
A、连接交于点，连接交于点，连接，
则为中点，，
易知平面，又平面，，
又，，平面
平面，平面， ，A正确；
B、由题意知，，
，，
设三棱锥的高为，三棱锥的高为，
则，，
，，
正三棱台的体积为 ，B错误；
C、，，
正三棱台外接球的半径，外接球面积，C正确；
D、设棱台侧面高为，则，
棱台侧面积，棱台体积，
即，解得，
侧面所在平面截正三棱台外接球所得截面圆的半径 ， 面积为 ，D正确。
故答案为：ACD
【分析】A：通过证明平面即可判断；B：利用棱锥体积计算棱台体积；C：分析得求出外接球半径，进而求解体积；D：利用等体积法求出球心到侧面距离，进而求截面圆的半径、面积。
12．【答案】A,B,D
【知识点】利用对数函数的单调性比较大小；互为反函数的两个函数之间的关系；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】A. ，，， ，
令，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，，A正确；
B.，，， ，
令，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，，B正确；
C.当时，，， ，C 错误；
D.当时，，， ，
当时， ， ，
当且仅当，即时取等号，D正确
故答案为：ABD
【分析】A：构造函数；B：构造函数；C：当时，，， 可判断；D：分别和讨论.
13．【答案】3
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】令，则，
则 ，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为3.
故答案为：3.
【分析】根据题意结合基本不等式运算求解.
14．【答案】5
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】解： =（1﹣ ）（ + x+ x2+ x3+ x4+ x5），
所以展开式中含x3的项的系数为：
﹣ =10﹣5=5．
故答案为：5．
【分析】把（1+x）5 按照二项式定理展开，可得（1﹣ ）（1+x）5展开式中含x3项的系数．
15．【答案】
【知识点】条件概率与独立事件；全概率公式
【解析】【解答】设事件A为从甲盒中取出的为红球，事件B为从甲盒中取出的为白球，事件C为从甲盒中取出的为红球，
则，，，，
.
故答案为：
【分析】根据全概率计算公式求解。
16．【答案】
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】分别取的中点，连接，
设，
则，
因为，则，即，
整理得，
又因为，解得，
又因为平面，则 直线与平面所成角为，
可得，
所以直线与平面所成角的正弦值的取值范围是.
故答案为：.
【分析】根据题意分析可得，结合图形关系解得，再根据线面夹角的定义分析求解.
17．【答案】（1）解：，
，，则．
（2）解：，
，，
，．
的单调递增区间为，．
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的性质
【解析】【分析】 (1) 根据数量积的坐标运算求解；
(2)根据题意结合三角恒等变换整理得，以为整体，结合正项函数单调性运算求解.
18．【答案】（1）解：由题意可得频率分布直方图如下：
（2）解：由频率分布直方图得，众数为275，
平均数为．
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数
【解析】【分析】 (1) 根据频率分布表中相应的频率结合频率分布直方图作图；
(2) 根据频率分布直方图结合众数、平均数的定义运算求解.
19．【答案】（1）解：由，
可得，
所以，……2分所以或
（2）解：因为，所以，
由余弦定理，
可得或
因为，
所以，
即，
①当时，，即；
②当时，，即
【知识点】向量加减法的应用；正弦定理的应用
【解析】【分析】（1）利用正弦定理将边化角，化简求 ；
（2）利用余弦定理求出或，利用分别代入或求 。
20．【答案】（1）证明：由题意知平面，所以，
又，，所以平面，
所以，又，所以．
（2）解：因为平面，所以，，
所以，
作交于点，所以为中点，
又由知平面，所以，又，
所以平面．
所以为二面角的平面角，因为，，所以，
所以，
所以二面角的余弦值为．
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【分析】 (1) 由平面可得，进而结合线面垂直的判定定理分析证明；
(2) 根据垂直关系分析可得为二面角的平面角，进而运算求解.
21．【答案】（1）解：．
（2）解：由题意知，的可能取值为0，1，2，3，4，
，，
，，，
所以的分布列为：
．
【知识点】超几何分布的应用；二项分布；正态密度曲线的特点
【解析】【分析】 (1) 根据题意可得，结合对立事件求概率；
(2)根据题意分析可得：的可能取值为0，1，2，3，4，结合超几何分布求分布列和期望.
22．【答案】（1）解：因为有两个极值点，，所以有两个解，，
则方程有两个解，
令，则，所以当时，，当时，.
所以在上单调递增，在上单调递减，
且当时，，当时，，且，所以只需
（2）证明：设，则，所以，即，
所以，，所以
设，，一方面，因为，
所以有，所以
另一方面，，
由零点存在性定理可知，存在，使得.
【知识点】利用导数研究函数的极值；函数零点存在定理
【解析】【分析】 (1)由题意知有两个极值点，，即有两个解，，分离参数，进而求的取值范围；
(2)令，求得，构造函数，证明在有解即可。
1 / 1浙江省绍兴市2022-2023学年高二（下）数学期末试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．（2023高二下·绍兴期末）若集合，，那么（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】交集及其运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】因为 ，
所以.
故答案为：A.
【分析】先求解集合B，再根据交集运算求解.
2．（2023高二下·绍兴期末）若，则（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【知识点】复数代数形式的混合运算；复数的模
【解析】【解答】 ， .
故答案为：B
【分析】先利用复数除法求 ，再求模长。
3．（2023高二下·绍兴期末）已知单位向量与互相垂直，且，记与的夹角为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】 由题意得 ，，
.
故答案为：D
【分析】利用平面向量数量积和向量模长的公式求夹角。
4．（2023高二下·绍兴期末）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解.例如，地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.据此，地震震级每提高1级，释放出的能量是提高前的（参考数据：）（ ）
A．9.46倍 B．31.60倍 C．36.40倍 D．47.40倍
【答案】B
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】设地震震级提高1级，释放出的能量，则，，
，即，地震震级每提高1级，释放出的能量是提高前的倍。
故答案为：B
【分析】利用地震时释放出的能量与地震里氏震级之间的关系为代入求解即可。
5．（2023高二下·绍兴期末） 甲、乙、丙、丁、戊五名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次．甲和乙去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你和乙都没有得到冠军．”对乙说“你当然不会是最差．”从这两个回答分析，5人的名次排列可能有多少种不同情况？（ ）
A．27种 B．36种 C．54种 D．72种
【答案】C
【知识点】分步乘法计数原理；简单计数与排列组合
【解析】【解答】由题意可知：甲、乙不是冠军，乙不是最差，
则冠军为 丙、丁、戊 中的一人，乙排在第2，3，4位，
所以 5人的名次排列可能有种.
故答案为：C.
【分析】根据题意分析可知：冠军为 丙、丁、戊 中的一人，乙排在第2，3，4位，结合分步乘法计数原理运算求解.
6．（2023高二下·绍兴期末）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】 ， 即，
，， 求得
故答案为：A
【分析】对两边平方，结合二倍角公式化简求。
7．（2023高二下·绍兴期末）在棱长为10的正方体中，是侧面内的点，到和的距离分别为3和2，过点且与平行的直线交正方体表面于另一点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】过点 作交于点，则，，连接 并延长交于点，
，，，点在线段上，
连接，过点 作交于点，则点即为所作的点，连接，
，，又正方体体对角线，。
故答案为：C
【分析】连接 并延长交于点，连接，过点 作交于点，连接，则即为所求值，进而分析求解。
8．（2023高二下·绍兴期末）已知函数的定义域为，且，为奇函数，，则（ ）
A．-11 B． C．0 D．
【答案】B
【知识点】抽象函数及其应用；函数的周期性
【解析】【解答】因为 且 ，则，
所以，即函数的是以4为期的周期函数，
又因为 为奇函数 ，则，
即，所以函数的对称中心为，
可得，则，
令，则；
令，则；
则，
，，
可得
，
所以.
故答案为：B.
【分析】根据题意分析可得函数的是以4为期的周期函数，函数的对称中心为，根据周期性和对称中心分析可得，进而可得，结合题意运算即可.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9．（2023高二下·绍兴期末）甲、乙两名同学近五次数学测试成绩数据分别为：
甲68，71，72，72，82
乙66，70，72，78，79
则（ ）
A．甲组数据的极差小于乙组数据的极差
B．甲组数据的平均数等于乙组数据的平均数
C．甲组数据的方差小于乙组数据的方差
D．甲组数据的第60百分位数等于乙组数据的第60百分位数
【答案】B,C
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】A、 甲组数据的极差为，乙组数据的极差，
甲组数据的极差大于乙组数据的极差 A错误；
B、 甲组数据的平均数为，乙组数据的平均数为 ，甲组数据的平均数等于乙组数据的平均数 ，B正确；
C、 甲组数据的方差为，
乙组数据的方差为 ，
甲组数据的方差小于乙组数据的方差 ，C正确；
D、 ，甲组数据的第60百分位数为，乙组数据的第60百分位数为，甲组数据的第60百分位数小于乙组数据的第60百分位数 ，D错误.
故答案为：BC
【分析】根据极差、平均数、方差、百分位数定义及计算公式逐一判断选项。
10．（2023高二下·绍兴期末）函数的最小正周期为，若，且是图象的一条对称轴，则（ ）
A． B．是函数的一个零点
C．在有2个极值点 D．直线是一条切线
【答案】A,D
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】A、由题意得 解得 ，，A正确；
B、 ， 令 ，则， 不是函数的一个零点 B错误；
C、当 时，，或或，即或或是 在的极值点 ，有3个极值点， C错误；
D、 ，令，即，
或，解得或，
当代入直线解得，
当代入直线无解，
直线是在点处的切线， D正确.
故答案为：AD
【分析】根据周期，对称轴，代入求出，进入判断选项。
11．（2023高二下·绍兴期末）在正三棱台中，是的中心，，，，则（ ）
A．
B．正三棱台的体积为
C．正三棱台的外接球的表面积为
D．侧面所在平面截正三棱台外接球所得截面的面积为
【答案】A,C,D
【知识点】球面距离及相关计算；棱台的结构特征；球的体积和表面积；空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】延长正三棱台侧棱交于点，连接交平面于点，
A、连接交于点，连接交于点，连接，
则为中点，，
易知平面，又平面，，
又，，平面
平面，平面， ，A正确；
B、由题意知，，
，，
设三棱锥的高为，三棱锥的高为，
则，，
，，
正三棱台的体积为 ，B错误；
C、，，
正三棱台外接球的半径，外接球面积，C正确；
D、设棱台侧面高为，则，
棱台侧面积，棱台体积，
即，解得，
侧面所在平面截正三棱台外接球所得截面圆的半径 ， 面积为 ，D正确。
故答案为：ACD
【分析】A：通过证明平面即可判断；B：利用棱锥体积计算棱台体积；C：分析得求出外接球半径，进而求解体积；D：利用等体积法求出球心到侧面距离，进而求截面圆的半径、面积。
12．（2023高二下·绍兴期末）已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】利用对数函数的单调性比较大小；互为反函数的两个函数之间的关系；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】A. ，，， ，
令，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，，A正确；
B.，，， ，
令，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，，B正确；
C.当时，，， ，C 错误；
D.当时，，， ，
当时， ， ，
当且仅当，即时取等号，D正确
故答案为：ABD
【分析】A：构造函数；B：构造函数；C：当时，，， 可判断；D：分别和讨论.
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13．（2023高二下·绍兴期末） 已知，则的最小值为 ．
【答案】3
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】令，则，
则 ，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为3.
故答案为：3.
【分析】根据题意结合基本不等式运算求解.
14．已知 的展开式中x3项的系数为 ．
【答案】5
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】解： =（1﹣ ）（ + x+ x2+ x3+ x4+ x5），
所以展开式中含x3的项的系数为：
﹣ =10﹣5=5．
故答案为：5．
【分析】把（1+x）5 按照二项式定理展开，可得（1﹣ ）（1+x）5展开式中含x3项的系数．
15．（2023高二下·绍兴期末）甲乙两个盒子中装有大小、形状相同的红球和白球，甲盒中有5个红球，2个白球；乙盒中有4个红球，3个白球.先从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，则从乙盒中取出的是红球的概率为 .
【答案】
【知识点】条件概率与独立事件；全概率公式
【解析】【解答】设事件A为从甲盒中取出的为红球，事件B为从甲盒中取出的为白球，事件C为从甲盒中取出的为红球，
则，，，，
.
故答案为：
【分析】根据全概率计算公式求解。
16．（2023高二下·绍兴期末）已知正的顶点在平面内，点，均在平面外位于平面的同侧，且在平面上的射影分别为，，，设的中点为，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】分别取的中点，连接，
设，
则，
因为，则，即，
整理得，
又因为，解得，
又因为平面，则 直线与平面所成角为，
可得，
所以直线与平面所成角的正弦值的取值范围是.
故答案为：.
【分析】根据题意分析可得，结合图形关系解得，再根据线面夹角的定义分析求解.
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（2023高二下·绍兴期末）已知，，．
（1）若，求；
（2）设，求的单调递增区间．
【答案】（1）解：，
，，则．
（2）解：，
，，
，．
的单调递增区间为，．
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的性质
【解析】【分析】 (1) 根据数量积的坐标运算求解；
(2)根据题意结合三角恒等变换整理得，以为整体，结合正项函数单调性运算求解.
18．（2023高二下·绍兴期末） 中国电动汽车重大科技项目的研发开始于2010年，经过一系列的科技攻关以及奥运、世博、“十城千辆”示范平台等应用拉动，中国电动汽车建立起了具有自主知识产权的全产业链技术体系汽车工业协会的最新数据显示，2022年中国电动汽车销量达491万辆，是2010年的10多倍某人打算购买一款国产电动汽车，调查了100辆该款车的续航里程，得到频率分布表如下：
续航里程单位： 频数 频率
3 0.03
10 0.10
30 0.30
35 0.35
15 0.15
7 0.07
（1）在图中作出频率分布直方图；
（2）根据中作出的频率分布直方图估计该款车续航里程的众数与平均数． 同一组中的数据以该组区间的中间值为代表
【答案】（1）解：由题意可得频率分布直方图如下：
（2）解：由频率分布直方图得，众数为275，
平均数为．
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数
【解析】【分析】 (1) 根据频率分布表中相应的频率结合频率分布直方图作图；
(2) 根据频率分布直方图结合众数、平均数的定义运算求解.
19．（2023高二下·绍兴期末）在中，内角，，所对的边分别是，，，且.
（1）求；
（2）若，，且为边的中点，求.
【答案】（1）解：由，
可得，
所以，……2分所以或
（2）解：因为，所以，
由余弦定理，
可得或
因为，
所以，
即，
①当时，，即；
②当时，，即
【知识点】向量加减法的应用；正弦定理的应用
【解析】【分析】（1）利用正弦定理将边化角，化简求 ；
（2）利用余弦定理求出或，利用分别代入或求 。
20．（2023高二下·绍兴期末）如图，在正四棱锥中，，过点向平面作垂线，垂足为．
（1）求证：；
（2）若，求二面角的余弦值．
【答案】（1）证明：由题意知平面，所以，
又，，所以平面，
所以，又，所以．
（2）解：因为平面，所以，，
所以，
作交于点，所以为中点，
又由知平面，所以，又，
所以平面．
所以为二面角的平面角，因为，，所以，
所以，
所以二面角的余弦值为．
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【分析】 (1) 由平面可得，进而结合线面垂直的判定定理分析证明；
(2) 根据垂直关系分析可得为二面角的平面角，进而运算求解.
21．（2023高二下·绍兴期末） 为加快绍兴制造强市建设，中国制造2025绍兴实施方案指出，到2025年，制造业重点领域全面实现智能化，基本实现“绍兴制造”向“绍兴智造”转型升级某试点企业对现有的生产设备进行技术升级改造，为监测改造效果，近期每天从生产线上随机抽取10件产品，并分析某项质量指标根据长期经验，可以认为新设备正常状态下生产的产品质量指标服从正态分布
（1）记表示一天内抽取的10件产品质量指标在之外的件数，求；
附：若随机变量服从正态分布，则，
（2）下面是一天内抽取的10件产品的质量指标：
9.85 10.12 10.02 9.89 10.21
10.26 9.91 10.13 10.17 9.94
若质量指标大于10，10被认定为一等品，现从以上件产品中随机抽取件，记为，4件产品中一等品的件数，求的分布列和数学期望．
【答案】（1）解：．
（2）解：由题意知，的可能取值为0，1，2，3，4，
，，
，，，
所以的分布列为：
．
【知识点】超几何分布的应用；二项分布；正态密度曲线的特点
【解析】【分析】 (1) 根据题意可得，结合对立事件求概率；
(2)根据题意分析可得：的可能取值为0，1，2，3，4，结合超几何分布求分布列和期望.
22．（2023高二下·绍兴期末）已知函数有两个极值点，.
（1）求实数的取值范围；
（2）证明：存在实数使得.
【答案】（1）解：因为有两个极值点，，所以有两个解，，
则方程有两个解，
令，则，所以当时，，当时，.
所以在上单调递增，在上单调递减，
且当时，，当时，，且，所以只需
（2）证明：设，则，所以，即，
所以，，所以
设，，一方面，因为，
所以有，所以
另一方面，，
由零点存在性定理可知，存在，使得.
【知识点】利用导数研究函数的极值；函数零点存在定理
【解析】【分析】 (1)由题意知有两个极值点，，即有两个解，，分离参数，进而求的取值范围；
(2)令，求得，构造函数，证明在有解即可。
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