中小学教育资源及组卷应用平台
真题卷08 平面向量（填空题）
一、填空题
1．（2022·全国·统考高考真题）设向量，的夹角的余弦值为，且，，则 ．
【答案】
【分析】设与的夹角为，依题意可得，再根据数量积的定义求出，最后根据数量积的运算律计算可得．
【详解】解：设与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即，
又，，所以，
所以．
故答案为：．
2．（2022·全国·统考高考真题）已知向量．若，则 ．
【答案】/
【分析】直接由向量垂直的坐标表示求解即可.
【详解】由题意知：，解得.
故答案为：.
3．（2021·全国·统考高考真题）已知向量，，， ．
【答案】
【分析】由已知可得，展开化简后可得结果.
【详解】由已知可得，
因此，.
故答案为：.
4．（2020·全国·统考高考真题）已知单位向量,的夹角为45°，与垂直，则k= .
【答案】
【分析】首先求得向量的数量积，然后结合向量垂直的充分必要条件即可求得实数k的值.
【详解】由题意可得：，
由向量垂直的充分必要条件可得：，
即：，解得：.
故答案为：．
【点睛】本题主要考查平面向量的数量积定义与运算法则，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
5．（2023·全国·统考高考真题）已知向量，满足，，则 ．
【答案】
【分析】法一：根据题意结合向量数量积的运算律运算求解；法二：换元令，结合数量积的运算律运算求解.
【详解】法一：因为，即，
则，整理得，
又因为，即，
则，所以.
法二：设，则，
由题意可得：，则，
整理得：，即.
故答案为：.
6．（2020·全国·统考高考真题）设向量，若，则 .
【答案】5
【分析】根据向量垂直，结合题中所给的向量的坐标，利用向量垂直的坐标表示，求得结果.
【详解】由可得，
又因为，
所以，
即，
故答案为：5.
【点睛】本题考查有关向量运算问题，涉及到的知识点有向量垂直的坐标表示，属于基础题目.
7．（2022·浙江·统考高考真题）设点P在单位圆的内接正八边形的边上，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据正八边形的结构特征，分别以圆心为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，即可求出各顶点的坐标，设，再根据平面向量模的坐标计算公式即可得到，然后利用即可解出．
【详解】以圆心为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示：
则,，设,于是，
因为，所以，故的取值范围是.
故答案为：．
8．（2019·全国·统考高考真题）已知为单位向量，且=0，若 ，则 .
【答案】.
【分析】根据结合向量夹角公式求出，进一步求出结果.
【详解】因为，，
所以，
，所以，
所以 ．
【点睛】本题主要考查平面向量的数量积、向量的夹角．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案．
9．（2018·全国·高考真题）已知向量，，．若，则 ．
【答案】
【分析】由两向量共线的坐标关系计算即可．
【详解】由题可得
,即
故答案为
【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，以及两向量共线的坐标关系，属于基础题．
10．（2020·江苏·统考高考真题）在△ABC中，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若（m为常数），则CD的长度是 ．
【答案】或0
【分析】根据题设条件可设，结合与三点共线，可求得，再根据勾股定理求出，然后根据余弦定理即可求解.
【详解】∵三点共线，
∴可设，
∵，
∴，即，
若且，则三点共线，
∴，即，
∵，∴，
∵,,，
∴，
设，，则，.
∴根据余弦定理可得，，
∵，
∴，解得，
∴的长度为.
当时， ，重合，此时的长度为，
当时，，重合，此时，不合题意，舍去.
故答案为：0或.
【点睛】本题考查了平面向量知识的应用、余弦定理的应用以及求解运算能力，解答本题的关键是设出．
11．（2021·浙江·统考高考真题）已知平面向量满足.记向量在方向上的投影分别为x，y，在方向上的投影为z，则的最小值为 .
【答案】
【分析】设，由平面向量的知识可得，再结合柯西不等式即可得解.
【详解】由题意，设，
则，即，
又向量在方向上的投影分别为x，y，所以，
所以在方向上的投影，
即,
所以，
当且仅当即时，等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：
解决本题的关键是由平面向量的知识转化出之间的等量关系，再结合柯西不等式变形即可求得最小值.
12．（2019·全国·高考真题）已知向量，则 .
【答案】
【分析】根据向量夹角公式可求出结果.
【详解】．
【点睛】本题考查了向量夹角的运算，牢记平面向量的夹角公式是破解问题的关键．
13．（2020·浙江·统考高考真题）设，为单位向量，满足，，，设，的夹角为，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】利用向量模的平方等于向量的平方化简条件得，再根据向量夹角公式求函数关系式，根据函数单调性求最值.
【详解】，
，
，
.
故答案为：.
【点睛】本题考查利用模求向量数量积、利用向量数量积求向量夹角、利用函数单调性求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.
14．（2017·全国·高考真题）已知向量与的夹角为60°，||=2，||=1，则| +2 |= .
【答案】
【详解】∵平面向量与的夹角为，
∴.
∴
故答案为.
点睛：(1)求向量的夹角主要是应用向量的数量积公式．
(2) 常用来求向量的模．
15．（2019·江苏·高考真题）如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点.若，则的值是 .
【答案】.
【分析】由题意将原问题转化为基底的数量积，然后利用几何性质可得比值.
【详解】如图，过点D作DF//CE，交AB于点F，由BE=2EA，D为BC中点，知BF=FE=EA,AO=OD.
，
得即故.
【点睛】本题考查在三角形中平面向量的数量积运算，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养.采取几何法，利用数形结合和方程思想解题.
16．（2019·天津·高考真题） 在四边形中，， ， ， ，点在线段的延长线上，且，则 .
【答案】.
【分析】建立坐标系利用向量的坐标运算分别写出向量而求解．
【详解】建立如图所示的直角坐标系，则，．
因为∥，，所以，
因为，所以，
所以直线的斜率为，其方程为，
直线的斜率为，其方程为．
由得，，
所以．
所以．
【点睛】平面向量问题有两大类解法：基向量法和坐标法，在便于建立坐标系的问题中使用坐标方法更为方便．
17．（2013·全国·高考真题）已知两个单位向量，的夹角为，，若，则_____．
【答案】2；
【详解】试题分析：由可得，
即，
故填2.
考点：1.向量的运算.2.向量的数量积.
18．（2015·全国·高考真题）设向量，不平行，向量与平行，则实数 ．
【答案】
【详解】因为向量与平行，所以，则所以．
考点：向量共线．
19．（2017·全国·高考真题）已知向量=（﹣1，2）， =（m，1），若，则m= ．
【答案】7
【详解】由题得，因为，所以，解得．
20．（2019·北京·高考真题）已知向量=（－4，3），=（6，m），且，则m= .
【答案】8.
【分析】利用转化得到加以计算，得到.
【详解】向量
则.
【点睛】本题考查平面向量的坐标运算、平面向量的数量积、平面向量的垂直以及转化与化归思想的应用.属于容易题.
21．（2017·全国·高考真题）已知向量，且，则 .
【答案】2
【详解】由题意可得解得.
【名师点睛】（1）向量平行：，,.
（2）向量垂直：.
（3）向量的运算：.
22．（2018·北京·高考真题）设向量 =（1,0）， =（ 1,m）,若，则m= .
【答案】-1.
【分析】根据坐标表示出，再根据，得坐标关系，解方程即可.
【详解】，
，
由得：，
，
即.
【点睛】此题考查向量的运算，在解决向量基础题时，常常用到以下：设，则①；②.
23．（2016·全国·高考真题）已知向量，且，则___________.
【答案】
【分析】由向量平行的坐标表示得出，求解即可得出答案.
【详解】因为，所以，解得.
故答案为：
【点睛】本题主要考查了由向量共线或平行求参数，属于基础题.
24．（2018·江苏·高考真题）在平面直角坐标系中，为直线上在第一象限内的点，，以为直径的圆与直线交于另一点．若，则点的横坐标为 ．
【答案】3
【分析】方法一：先根据条件确定圆方程，再利用方程组解出交点坐标，最后根据平面向量的数量积求出结果.
【详解】［方法一］：【通性通法】直译法
设，则由圆心为中点得易得，与联立解得点的横坐标
所以.所以，
由得
即，解得：或，因为，所以
故答案为：3．
［方法二］：【最优解】几何法
如图3，因为为直径，所以，，．
设，则，
所以，即．
所以，A点的坐标为，则点A的横坐标为3．
［方法三］： 数形结合
如图4，由已知，得，则，所以的方程为．
由解得．
设，则，从而．
所以，解得或．
又，所以．即点A的横坐标为3．
［方法四］：数形结合＋斜率公式
由，得，又C是的中点，所以．
又，所以．设直线l的倾斜角为，则，从而．
设，则，解得．即点A的横坐标为3．
［方法五］： 数形结合＋解三角形
由方法四，知，则．
在中，．
在等腰中，．
设，则，解得或．
又，所以．即点A的横坐标为3．
［方法六］：数形结合＋解三角形
设直线l的倾斜角为，则，则．
由方法四知，于是．
在中，由正弦定理知，解得，
故点A的横坐标为．
［方法七］：数形结合＋解三角形
因为D为以为直径的圆C上一点，所以，C为的中点．
因为，所以，为等腰直角三角形，即．
在中，．
又，所以．
因为A在第一象限，所以．
又，所以．
【整体点评】方法一：直接根据题意逐句翻译成数学语言，通过运算解出，是该题的通性通法；
方法二：作出简图，利用平面几何知识求解，运算简单，是该题的最优解；
方法三：通过圆的几何性质，利用直线方程联立求点的坐标，简化计算；
方法四：通过圆的几何性质，求出直线的倾斜角，从而得出斜率，根据斜率公解出，是不错的解法；
方法五：同法四，通过圆的几何性质，求出直线的倾斜角，从而得出斜率，再通过解三角形求出；
方法六：基本原理同方法五；
方法七：基本原理同方法五．
25．（2017·江苏·高考真题）在同一个平面内，向量的模分别为与的夹角为，且与的夹角为，若，则 ．
【答案】
【详解】以为轴，建立直角坐标系，则，由的模为与与的夹角为，且知， ，可得，，由可得，，故答案为.
【 方法点睛】本题主要考查向量的坐标运算及两角和的余弦公式、同角三角函数之间的关系，属于难题．向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答，这种方法在求范围与最值问题时用起来更方便．
26．（2017·天津·高考真题）在中，，，. 若，，且，则的值为 .
【答案】
【详解】 ,则
.
【考点】向量的数量积
【名师点睛】根据平面向量的基本定理，利用表示平面向量的一组基地可以表示平面内的任一向量，利用向量的定比分点公式表示向量，计算数量积，选取基地很重要，本题的已知模和夹角，选作基地易于计算数量积.
27．（2014·全国·高考真题）已知为圆上的三点，若，则与的夹角为 ．
【答案】
【分析】根据条件,可知BC为圆O的直径,因而由直径所对圆心角为可知,.
【详解】由，故三点共线，且是线段中点，
故是圆的直径，从而，
因此与的夹角为
所以答案为
【点睛】本题考查了平面向量基本定理及圆的性质,属于基础题.
28．（2012·全国·高考真题）已知向量夹角为，且，则 ．
【答案】
【详解】试题分析：的夹角，，，，.
考点：向量的运算.
【思路点晴】平面向量的数量积计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用. 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．列出方程组求解未知数.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
真题卷08 平面向量（填空题）
一、填空题
1．（2022·全国·统考高考真题）设向量，的夹角的余弦值为，且，，则 ．
2．（2022·全国·统考高考真题）已知向量．若，则 ．
3．（2021·全国·统考高考真题）已知向量，，， ．
4．（2020·全国·统考高考真题）已知单位向量,的夹角为45°，与垂直，则k= .
5．（2023·全国·统考高考真题）已知向量，满足，，则 ．
6．（2020·全国·统考高考真题）设向量，若，则 .
7．（2022·浙江·统考高考真题）设点P在单位圆的内接正八边形的边上，则的取值范围是 ．
8．（2019·全国·统考高考真题）已知为单位向量，且=0，若 ，则 .
9．（2018·全国·高考真题）已知向量，，．若，则 ．
10．（2020·江苏·统考高考真题）在△ABC中，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若（m为常数），则CD的长度是 ．
11．（2021·浙江·统考高考真题）已知平面向量满足.记向量在方向上的投影分别为x，y，在方向上的投影为z，则的最小值为 .
12．（2019·全国·高考真题）已知向量，则 .
13．（2020·浙江·统考高考真题）设，为单位向量，满足，，，设，的夹角为，则的最小值为 ．
14．（2017·全国·高考真题）已知向量与的夹角为60°，||=2，||=1，则| +2 |= .
15．（2019·江苏·高考真题）如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点.若，则的值是 .
16．（2019·天津·高考真题） 在四边形中，， ， ， ，点在线段的延长线上，且，则 .
17．（2013·全国·高考真题）已知两个单位向量，的夹角为，，若，则_____．
18．（2015·全国·高考真题）设向量，不平行，向量与平行，则实数 ．
19．（2017·全国·高考真题）已知向量=（﹣1，2）， =（m，1），若，则m= ．
20．（2019·北京·高考真题）已知向量=（－4，3），=（6，m），且，则m= .
21．（2017·全国·高考真题）已知向量，且，则 .
22．（2018·北京·高考真题）设向量 =（1,0）， =（ 1,m）,若，则m= .
23．（2016·全国·高考真题）已知向量，且，则___________.
24．（2018·江苏·高考真题）在平面直角坐标系中，为直线上在第一象限内的点，，以为直径的圆与直线交于另一点．若，则点的横坐标为 ．
25．（2017·江苏·高考真题）在同一个平面内，向量的模分别为与的夹角为，且与的夹角为，若，则 ．
26．（2017·天津·高考真题）在中，，，. 若，，且，则的值为 .
27．（2014·全国·高考真题）已知为圆上的三点，若，则与的夹角为 ．
28．（2012·全国·高考真题）已知向量夹角为，且，则 ．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
