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真题卷07 平面向量（单选题、多选题）
一、单选题
1．（2022·全国·统考高考真题）在中，点D在边AB上，．记，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．
【详解】因为点D在边AB上，，所以，即，
所以．
故选：B．
2．（2022·全国·统考高考真题）已知向量，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】先求得，然后求得.
【详解】因为，所以.
故选：D
3．（2022·北京·统考高考真题）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】依题意建立平面直角坐标系，设，表示出，，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；
【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则，，，
因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动，
设，，
所以，，
所以
，其中，，
因为，所以，即；
故选：D
4．（2019·全国·高考真题）已知非零向量满足，且，则与的夹角为
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．先由得出向量的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角．
【详解】因为，所以=0，所以，所以=，所以与的夹角为，故选B．
【点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为．
5．（2018·全国·高考真题）在△中，为边上的中线，为的中点，则
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果.
【详解】根据向量的运算法则，可得
，
所以，故选A.
【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.
6．（2023·全国·统考高考真题）已知向量，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据向量的坐标运算求出，，再根据向量垂直的坐标表示即可求出．
【详解】因为，所以，，
由可得，，
即，整理得：．
故选：D．
7．（2020·全国·统考高考真题）已知向量 ，满足， ，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】计算出、的值，利用平面向量数量积可计算出的值.
【详解】，，，.
，
因此，.
故选：D.
【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查计算能力，属于中等题.
8．（2021·浙江·统考高考真题）已知非零向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【分析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.
【详解】如图所示，,当时，与垂直，，所以成立，此时，
∴不是的充分条件，
当时，，∴,∴成立，
∴是的必要条件，
综上，“”是“”的必要不充分条件
故选：B.
9．（2020·海南·统考高考真题）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到在方向上的投影的取值范围是，利用向量数量积的定义式，求得结果.
【详解】
的模为2，根据正六边形的特征，
可以得到在方向上的投影的取值范围是，
结合向量数量积的定义式，
可知等于的模与在方向上的投影的乘积，
所以的取值范围是，
故选：A.
【点睛】该题以正六边形为载体，考查有关平面向量数量积的取值范围，涉及到的知识点有向量数量积的定义式，属于简单题目.
10．（2023·全国·统考高考真题）已知向量满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】作出图形,根据几何意义求解.
【详解】因为,所以,
即,即,所以.
如图,设,
由题知,是等腰直角三角形,
AB边上的高,
所以,
,
.
故选:D.
11．（2020·全国·统考高考真题）已知单位向量，的夹角为60°，则在下列向量中，与垂直的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据平面向量数量积的定义、运算性质，结合两平面向量垂直数量积为零这一性质逐一判断即可.
【详解】由已知可得：.
A：因为，所以本选项不符合题意；
B：因为，所以本选项不符合题意；
C：因为，所以本选项不符合题意；
D：因为，所以本选项符合题意.
故选：D.
【点睛】本题考查了平面向量数量积的定义和运算性质，考查了两平面向量数量积为零则这两个平面向量互相垂直这一性质，考查了数学运算能力.
12．（2020·海南·高考真题）在中，D是AB边上的中点，则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据向量的加减法运算法则算出即可.
【详解】
故选：C
【点睛】本题考查的是向量的加减法，较简单.
13．（2023·全国·统考高考真题）已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由题意作出示意图，然后分类讨论，利用平面向量的数量积定义可得，或然后结合三角函数的性质即可确定的最大值.
【详解】如图所示，，则由题意可知:，
由勾股定理可得
当点位于直线异侧时，设，
则：
，则
当时，有最大值.
当点位于直线同侧时，设，
则：
，则
当时，有最大值.
综上可得，的最大值为.
故选：A.
【点睛】本题的核心在于能够正确作出示意图，然后将数量积的问题转化为三角函数求最值的问题，考查了学生对于知识的综合掌握程度和灵活处理问题的能力.
14．（2019·全国·高考真题）已知向量，则
A． B．2
C．5 D．50
【答案】A
【分析】本题先计算，再根据模的概念求出．
【详解】由已知，，
所以，
故选A
【点睛】本题主要考查平面向量模长的计算，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．由于对平面向量的坐标运算存在理解错误，从而导致计算有误；也有可能在计算模的过程中出错．
15．（2023·全国·统考高考真题）正方形的边长是2，是的中点，则（ ）
A． B．3 C． D．5
【答案】B
【分析】方法一：以为基底向量表示，再结合数量积的运算律运算求解；方法二：建系，利用平面向量的坐标运算求解；方法三：利用余弦定理求，进而根据数量积的定义运算求解.
【详解】方法一：以为基底向量，可知，
则，
所以；
方法二：如图，以为坐标原点建立平面直角坐标系，
则，可得，
所以；
方法三：由题意可得：，
在中，由余弦定理可得，
所以.
故选：B.
16．（2017·全国·高考真题）已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可．
【详解】建立如图所示的坐标系，以中点为坐标原点，
则，，，
设，则，，，
则
当，时，取得最小值，
故选：．
17．（2023·全国·统考高考真题）已知向量，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用平面向量模与数量积的坐标表示分别求得，从而利用平面向量余弦的运算公式即可得解.
【详解】因为，所以，
则，，
所以.
故选：B.
18．（2013·陕西·高考真题）已知向量，，若，则实数m等于（ ）
A．－ B．
C．－或 D．0
【答案】C
【分析】应用向量平行的坐标表示列方程求参数值即可.
【详解】由知：1×2－m2＝0，即或.
故选：C.
19．（2006·广东·高考真题）如图所示，已知在中，是边上的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由题意得，再由，即可得到答案.
【详解】由于是边上的中点，则.
.
故选：B.
20．（2020·山东·统考高考真题）已知平行四边形，点，分别是，的中点（如图所示），设，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用向量的线性运算，即可得到答案；
【详解】连结，则为的中位线，
，
故选：A
21．（2015·山东·统考高考真题）已知向量，，那么等于（ ）
A． B． C．1 D．0
【答案】A
【分析】利用向量数量积的坐标运算和两角和的正弦公式可得答案.
【详解】，，
.
故选：A.
22．（2016·全国·高考真题）已知向量，且，则m=
A． 8 B． 6
C．6 D．8
【答案】D
【分析】由已知向量的坐标求出的坐标，再由向量垂直的坐标运算得答案．
【详解】∵，又，
∴3×4+（﹣2）×（m﹣2）＝0，解得m＝8．
故选D．
【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查向量垂直的坐标运算，属于基础题．
23．（2015·山东·统考高考真题）如下图，是线段的中点，设向量，，那么能够表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由向量的线性运算，可得解
【详解】由题意，．
故选：B
24．（2023·北京·统考高考真题）已知向量满足，则（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】B
【分析】利用平面向量数量积的运算律，数量积的坐标表示求解作答.
【详解】向量满足，
所以.
故选：B
25．（2018·浙江·高考真题）已知、、是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是
A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】先确定向量、所表示的点的轨迹，一个为直线，一个为圆，再根据直线与圆的位置关系求最小值.
【详解】设，
则由得，
由得
因此，的最小值为圆心到直线的距离减去半径1，为选A.
【点睛】以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程、解不等式、求函数值域或直线与曲线的位置关系，是解决这类问题的一般方法.
26．（2018·天津·高考真题）如图，在平面四边形ABCD中，
若点E为边CD上的动点，则的最小值为
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】分析：由题意可得为等腰三角形，为等边三角形，把数量积分拆，设，数量积转化为关于t的函数，用函数可求得最小值。
详解：连接BD,取AD中点为O,可知为等腰三角形，而，所以为等边三角形，。设
=
所以当时，上式取最小值 ，选A.
点睛：本题考查的是平面向量基本定理与向量的拆分，需要选择合适的基底，再把其它向量都用基底表示.同时利用向量共线转化为函数求最值.
27．（2017·全国·高考真题）设非零向量，满足，则
A．⊥ B．
C．∥ D．
【答案】A
【详解】由平方得，即，则，故选A.
【点睛】本题主要考查了向量垂直的数量积表示，属于基础题.
28．（2016·全国·高考真题）已知向量 , 则ABC=
A．30 B．45 C．60 D．120
【答案】A
【详解】试题分析：由题意，得，所以，故选A．
【考点】向量的夹角公式．
【思维拓展】（1）平面向量与的数量积为，其中是与的夹角，要注意夹角的定义和它的取值范围：；（2）由向量的数量积的性质知，，，因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题．
二、多选题
29．（2022·全国·统考高考真题）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（ ）
A．直线的斜率为 B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】由及抛物线方程求得，再由斜率公式即可判断A选项；表示出直线的方程，联立抛物线求得，即可求出判断B选项；由抛物线的定义求出即可判断C选项；由，求得，为钝角即可判断D选项.
【详解】对于A，易得，由可得点在的垂直平分线上，则点横坐标为，
代入抛物线可得，则，则直线的斜率为，A正确；
对于B，由斜率为可得直线的方程为，联立抛物线方程得，
设，则，则，代入抛物线得，解得，则，
则，B错误；
对于C，由抛物线定义知：，C正确；
对于D，，则为钝角，
又，则为钝角，
又，则，D正确.
故选：ACD.
30．（2021·全国·统考高考真题）已知为坐标原点，点，，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】A、B写出，、，的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.
【详解】A：，，所以，，故，正确；
B：，，所以，同理，故不一定相等，错误；
C：由题意得：，，正确；
D：由题意得：，
，故一般来说故错误；
故选：AC
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真题卷07 平面向量（单选题、多选题）
一、单选题
1．（2022·全国·统考高考真题）在中，点D在边AB上，．记，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·统考高考真题）已知向量，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（2022·北京·统考高考真题）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2019·全国·高考真题）已知非零向量满足，且，则与的夹角为
A． B． C． D．
5．（2018·全国·高考真题）在△中，为边上的中线，为的中点，则
A． B．
C． D．
6．（2023·全国·统考高考真题）已知向量，若，则（ ）
A． B．
C． D．
7．（2020·全国·统考高考真题）已知向量 ，满足， ，，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·浙江·统考高考真题）已知非零向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
9．（2020·海南·统考高考真题）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2023·全国·统考高考真题）已知向量满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
11．（2020·全国·统考高考真题）已知单位向量，的夹角为60°，则在下列向量中，与垂直的是（ ）
A． B． C． D．
12．（2020·海南·高考真题）在中，D是AB边上的中点，则=（ ）
A． B． C． D．
13．（2023·全国·统考高考真题）已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
14．（2019·全国·高考真题）已知向量，则
A． B．2
C．5 D．50
15．（2023·全国·统考高考真题）正方形的边长是2，是的中点，则（ ）
A． B．3 C． D．5
16．（2017·全国·高考真题）已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是
A． B． C． D．
17．（2023·全国·统考高考真题）已知向量，则（ ）
A． B． C． D．
18．（2013·陕西·高考真题）已知向量，，若，则实数m等于（ ）
A．－ B．
C．－或 D．0
19．（2006·广东·高考真题）如图所示，已知在中，是边上的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
20．（2020·山东·统考高考真题）已知平行四边形，点，分别是，的中点（如图所示），设，，则等于（ ）
A． B． C． D．
21．（2015·山东·统考高考真题）已知向量，，那么等于（ ）
A． B． C．1 D．0
22．（2016·全国·高考真题）已知向量，且，则m=
A． 8 B． 6
C．6 D．8
23．（2015·山东·统考高考真题）如下图，是线段的中点，设向量，，那么能够表示为（ ）
A． B．
C． D．
24．（2023·北京·统考高考真题）已知向量满足，则（ ）
A． B． C．0 D．1
25．（2018·浙江·高考真题）已知、、是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是
A． B． C．2 D．
26．（2018·天津·高考真题）如图，在平面四边形ABCD中，
若点E为边CD上的动点，则的最小值为
A． B． C． D．
27．（2017·全国·高考真题）设非零向量，满足，则
A．⊥ B．
C．∥ D．
28．（2016·全国·高考真题）已知向量 , 则ABC=
A．30 B．45 C．60 D．120
二、多选题
29．（2022·全国·统考高考真题）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（ ）
A．直线的斜率为 B．
C． D．
30．（2021·全国·统考高考真题）已知为坐标原点，点，，，，则（ ）
A． B．
C． D．
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