24.4 解直角三角（2课时）
图片预览
文档简介
课件43张PPT。24.4 解直角三角形（1）三角函数定义回顾01100不存在特殊角的三角函数值回顾互余两角三角函数关系:sin(900-A)=cosAtanAtanB=1cos(900-A)=sinA回顾同角三角函数关系:sin2A+cos2A=1引例：山坡上种树，要求株距（相临两树间的水平
距离）是5.5米，测的斜坡倾斜角是24o，求斜坡上相
邻两树间的坡面距离是多少米（精确到0.1米） 解：在Rt△ABC中，∠C=90°引例：山坡上种树，要求株距（相临两树间的水平
距离）是5.5米，测的斜坡倾斜角是24o，求斜坡上相
邻两树间的坡面距离是多少米（精确到0.1米）≈6.0（米）答：斜坡上相邻两树间的坡面距离是6.0米。合作探究1、已知在Rt△ABC中，∠C= Rt∠，AB=5，AC=3，求边BC的长。你能求出∠A的度数么？2、已知在Rt△ABC中， ∠C= Rt∠ ，∠A=560，AB=8，求AC的长。3、如图,在Rt△ABC中,∠C=90°（1）若∠A=30°，BC=2，求AC、AB、∠B（2）若BC=2，AB=4，求AC、∠A、∠B合作探究已知屋面的宽度L和坡顶的设计高度h（如图）。你能求出斜面钢条的长度a和倾角a 吗？想一想变化：已知平顶屋面的宽度L和坡顶的设计倾角α（如图）。你能求出斜面钢条a的长度和设计高度h吗？a 在上述例题中，我们都是利用直角三角形中的已知边、角来求出另外一些的边角.像这样，
******************************** 在直角三角形中，由已知的一些边、角，求出另一些边、角的过程，叫做解直角三角形.解直角三角形1.两锐角之间的关系:2.三边之间的关系:3.边角之间的关系A+B=900a2+b2=c2例1、如图，在Rt△ABC中，∠C=900，∠A=500，AB=3，求∠B和a，b（边长保留2个有效数字）解：Rt△ABC中∠B=900-∠A=400∴a=AB×sinA=3×sin500≈2.3∴b=AB×cosA=3×cos500≈1.9例2、如图是某市“平改坡”工程中一种坡屋顶设计，已知平顶屋面的宽度L为10m，坡屋顶的设计高度h为3.5m，能求斜面钢条a的长度和坡角a。（长度精确到0.1米，角度精确到1°）解:在Rt△ABD中,∴α≈350.答:斜面钢条a的长度约为6.1米,坡角约为350.例2、如图是某市“平改坡”工程中一种坡屋顶设计，已知平顶屋面的宽度L为10m，坡屋顶的设计高度h为3.5m，能求斜面钢条a的长度和坡角a。（长度精确到0.1米，角度精确到1°） 在解直角三角形的过程中，常会遇到近似计算，本书除特别说明外，边长保留四个有效数字，角度精确到1′.?解直角三角形，只有下面两种情况：
（1）已知两条边；
（2）已知一条边和一个锐角特别强调：（必须有一个条件是边）练一练1、在Rt△ABC中， a，b，c分别是∠A ，∠B和∠C的对边， ∠C=Rt∠，根据下列条件解直角三角形（边长保留2个有效数字，角度精确到1°）
(1) c=7 ,∠A=36 ° (2)b=10, ∠B=60 °
(3) a=5, c=7 (4)b= , cosA=2、在△ABC中，已知a,b,c分别为∠A，∠B和∠C的对边,∠C=900，根据下列条件解直角三角形(长度保留到2个有效数字,角度精确到1度)（1）c=10，∠A=30°（2）b=4，∠B=72°（3）a=5， c=7练一练（4）a=20，sinＡ= 如图东西两炮台A、B相距2000米，同时发现入侵敌舰C，炮台A测得敌舰C在它的南偏东40゜的方向，炮台B测得敌舰C在它的正南方，试求敌舰与两炮台的距离.（精确到1米）应用练习解 在Rt△ABC中
∵∠CAB＝90゜－∠DAC＝50゜ 答：敌舰与A、B两炮台的距离分别约为3111米和2384米.∴BC＝AB?tan∠CAB
=2000×tan50゜≈2384(米).∴ ＝tan∠CAB已知解直角三角形a, ｂ∠A, a∠A, ba＝b×tanA∠A, Ca＝c×sinAb＝c×cosA解直角三角形中的边角关系回顾整理 归纳小结1.已知，在△ABC中，∠B=45°，AC=4，BC=2 ， 求sinA和AB的值。提高练习2、已知，在△ABC中，∠B=60°，∠C=45°，BC=5㎝。求AB的长。24.4 解直角三角形(2)解直角三角形1.两锐角之间的关系:2.三边之间的关系:3.边角之间的关系A+B=900a2+b2=c2 在直角三角形中，由已知的一些边、角，求出另一些边、角的过程，叫做解直角三角形.温故知新 修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度.
坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比叫做坡面坡度（或坡比）. 记作i , 即 i = .
坡度通常写成1∶m的形式，如 i=1∶6.坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作a，有i＝ = tan a.
显然，坡度越大，坡角a就越大，坡面就越陡. 试一试1、如图
1）若h=2cm， l=5cm，则i= ；
2）若i=1:1.5， h=2m，则l= ； 2、水库的横断面是梯形ABCD，迎水坡AB的坡度i=1：2，坝高h=20m，迎水坡的水平宽度= ， tana= ；3m40m例1、厂房屋顶人字架（等腰三角形）的跨度为10m，角A=26?。求中柱BC（C为底边中点）和上弦AB的长（精确到0?01cm）例2、水库堤坝的横断面是梯形.测得BC长为6m,CD长为60m,斜坡的坡比为1:2,5,斜坡AB的坡比为1:3,求:(1)斜坡CD的坡角∠D和坝底的宽(角度精确到1’,宽度精确到0.1m);FE解:作BE⊥AD, CF⊥AD.在Rt△CDF中,∴∠D≈21048’∴CF＝CD·sinD＝60×sin21048’≈22.28(m)DF＝CD·cosD＝60×cos21048’≈55.71(m)∴ AE＝3BE＝3CF＝66.84(m),∴AD＝AE＋BC＋DF＝66.84＋6＋55.71＝128.55≈128.6(m).FE解:设横断面面积为Sm3.≈1498.9(m2),＝1498.9×150＝224835(m3)答:斜坡CD的坡角约为21048’,坡底宽约为128.6m,建造这个堤坝需用土石方224835m3.例2、水库堤坝的横断面是梯形.测得BC长为6m,CD长为60m,斜坡的坡比为1:2,5,斜坡AB的坡比为1:3,求:1、某人沿着坡角为45 °的斜坡走了310 m，则此人的垂直高度增加了____________m .2、已知堤坝的横断面是等腰梯形ABCD，上底CD的宽为a，下底AB的宽为b，坝高为h，则堤坝的坡度i=_______________（用a,b,h表示）.练一练310 3、如图一段路基的横断面是梯形，高为4.2米，上底的宽是12.51米，路基的坡面与地面的倾角分别是32°和28°．求路基下底的宽．（精确到0.1米）练一练作DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为E、 F．由题意可知： ?
DE＝CF＝4.2（米），CD＝EF＝12.51（米）.
在Rt△ADE中，因为
所以 在Rt△BCF中，同理可得
因此 AB＝AE＋EF＋BF
≈6.72＋12.51＋7.90
≈27.13（米）．
答：路基下底的宽约为27.13米． 如图,沿水库拦水坝的背水坡将坝面加宽两米,坡度由原来的1:2改成1:2.5,已知原背水坡长BD=13.4米, 求: (1)原背水坡的坡角 和加宽后的背水坡的坡角(2)加宽后水坝的横截面面积增加了多少?(精确到0.01)1、如图，有一斜坡AB长40m，坡顶离地面的高度为20m,求此斜坡的倾斜角.2.有一建筑物,在地面上A点测得其顶点C的仰角为300,向建筑物前进50m至B处,又测得C的仰角为450,求该建筑物的高度(结果精确到0.1m).做一做做一做3、如图,水库大坝的截面是梯形ABCD,坝顶AD=6m,坡长CD=8m.坡底BC=30m,∠ADC=1350.
(1)求坡角∠ABC的大小;
(2)如果坝长100m,那么修建这个大坝共需多少土石方(结果精确到0.01m3 ).4、横截面为等腰梯形的水库大坝,坝顶宽6m,坝高10m,斜坡AB的坡度i=1:2,为了提高大坝的储水能力,在坝顶宽度和斜坡坡度不变的情况下,加固一条长50m的大坝,需要多少土方?做一做例3、体育项目400m栏比赛中，规定相邻两栏架的路程为45m。在弯道处，以跑道离内侧0.3m处的弧线（如图中的虚线）的长度作为相邻两栏架之间的间隔路程。已知跑道的内侧线半径为36m，问在设定A栏架后，B栏架离栏架的距离是多少（π取3.14，结果精确到0.1m）解:连结AB,由题意得AB＝45m, OB＝36.3m作OC⊥AB于C.∵OA＝OB,∴AB＝AC且∠AOC∴AC＝OAsin∠AOC＝36.3×sin35.530≈21.09 (m)∴AB＝2AC＝2×21.09≈42.2(m).答:B栏架离A栏架的距离约为42.2m.练一练1、如图是一污水管的横截面,已知污水管的内径为70cm.污水的高度为10cm.求污水截面面积s.Φ7010单位: 厘米解:ABCDEO在Rt△AOE中,OA＝35㎝,OE＝35-10＝25㎝.∴∠AOE≈44.40,∴∠AOC≈88.80∴S＝S扇形OAC－S△AOC≈948.8(㎝),≈612.5(㎝2)≈948.8－612.5≈336(㎝2)答:污水截面面积约为336㎝2.2、如图,燕尾槽的横断面是一个等腰梯形ABCD,其中燕尾角∠B=550,外口宽AD=188mm,燕尾槽的深度是70mm,求它的里口宽BC(结果精确到1mmm).3、一个锥形零件的轴截面如图所示，已知倾角α=5.20, 零件的长度l=20cm，大头直径D=10cm，求小头直径d（精确到0.1cm）练一练谈谈今天的收获畅所欲言 已知在△ABC中，AB+AC=9cm，AB和AC的夹角为300，设当AB为x（cm）时，△ABC的面积为S（cm2）（1）求S关于x的函数解析式；（2）问何时△ABC的面积最大？最大面积为多少？拓展提高再见Good Bye!
距离）是5.5米，测的斜坡倾斜角是24o，求斜坡上相
邻两树间的坡面距离是多少米（精确到0.1米） 解：在Rt△ABC中，∠C=90°引例：山坡上种树，要求株距（相临两树间的水平
距离）是5.5米，测的斜坡倾斜角是24o，求斜坡上相
邻两树间的坡面距离是多少米（精确到0.1米）≈6.0（米）答：斜坡上相邻两树间的坡面距离是6.0米。合作探究1、已知在Rt△ABC中，∠C= Rt∠，AB=5，AC=3，求边BC的长。你能求出∠A的度数么？2、已知在Rt△ABC中， ∠C= Rt∠ ，∠A=560，AB=8，求AC的长。3、如图,在Rt△ABC中,∠C=90°（1）若∠A=30°，BC=2，求AC、AB、∠B（2）若BC=2，AB=4，求AC、∠A、∠B合作探究已知屋面的宽度L和坡顶的设计高度h（如图）。你能求出斜面钢条的长度a和倾角a 吗？想一想变化：已知平顶屋面的宽度L和坡顶的设计倾角α（如图）。你能求出斜面钢条a的长度和设计高度h吗？a 在上述例题中，我们都是利用直角三角形中的已知边、角来求出另外一些的边角.像这样，
******************************** 在直角三角形中，由已知的一些边、角，求出另一些边、角的过程，叫做解直角三角形.解直角三角形1.两锐角之间的关系:2.三边之间的关系:3.边角之间的关系A+B=900a2+b2=c2例1、如图，在Rt△ABC中，∠C=900，∠A=500，AB=3，求∠B和a，b（边长保留2个有效数字）解：Rt△ABC中∠B=900-∠A=400∴a=AB×sinA=3×sin500≈2.3∴b=AB×cosA=3×cos500≈1.9例2、如图是某市“平改坡”工程中一种坡屋顶设计，已知平顶屋面的宽度L为10m，坡屋顶的设计高度h为3.5m，能求斜面钢条a的长度和坡角a。（长度精确到0.1米，角度精确到1°）解:在Rt△ABD中,∴α≈350.答:斜面钢条a的长度约为6.1米,坡角约为350.例2、如图是某市“平改坡”工程中一种坡屋顶设计，已知平顶屋面的宽度L为10m，坡屋顶的设计高度h为3.5m，能求斜面钢条a的长度和坡角a。（长度精确到0.1米，角度精确到1°） 在解直角三角形的过程中，常会遇到近似计算，本书除特别说明外，边长保留四个有效数字，角度精确到1′.?解直角三角形，只有下面两种情况：
（1）已知两条边；
（2）已知一条边和一个锐角特别强调：（必须有一个条件是边）练一练1、在Rt△ABC中， a，b，c分别是∠A ，∠B和∠C的对边， ∠C=Rt∠，根据下列条件解直角三角形（边长保留2个有效数字，角度精确到1°）
(1) c=7 ,∠A=36 ° (2)b=10, ∠B=60 °
(3) a=5, c=7 (4)b= , cosA=2、在△ABC中，已知a,b,c分别为∠A，∠B和∠C的对边,∠C=900，根据下列条件解直角三角形(长度保留到2个有效数字,角度精确到1度)（1）c=10，∠A=30°（2）b=4，∠B=72°（3）a=5， c=7练一练（4）a=20，sinＡ= 如图东西两炮台A、B相距2000米，同时发现入侵敌舰C，炮台A测得敌舰C在它的南偏东40゜的方向，炮台B测得敌舰C在它的正南方，试求敌舰与两炮台的距离.（精确到1米）应用练习解 在Rt△ABC中
∵∠CAB＝90゜－∠DAC＝50゜ 答：敌舰与A、B两炮台的距离分别约为3111米和2384米.∴BC＝AB?tan∠CAB
=2000×tan50゜≈2384(米).∴ ＝tan∠CAB已知解直角三角形a, ｂ∠A, a∠A, ba＝b×tanA∠A, Ca＝c×sinAb＝c×cosA解直角三角形中的边角关系回顾整理 归纳小结1.已知，在△ABC中，∠B=45°，AC=4，BC=2 ， 求sinA和AB的值。提高练习2、已知，在△ABC中，∠B=60°，∠C=45°，BC=5㎝。求AB的长。24.4 解直角三角形(2)解直角三角形1.两锐角之间的关系:2.三边之间的关系:3.边角之间的关系A+B=900a2+b2=c2 在直角三角形中，由已知的一些边、角，求出另一些边、角的过程，叫做解直角三角形.温故知新 修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度.
坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比叫做坡面坡度（或坡比）. 记作i , 即 i = .
坡度通常写成1∶m的形式，如 i=1∶6.坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作a，有i＝ = tan a.
显然，坡度越大，坡角a就越大，坡面就越陡. 试一试1、如图
1）若h=2cm， l=5cm，则i= ；
2）若i=1:1.5， h=2m，则l= ； 2、水库的横断面是梯形ABCD，迎水坡AB的坡度i=1：2，坝高h=20m，迎水坡的水平宽度= ， tana= ；3m40m例1、厂房屋顶人字架（等腰三角形）的跨度为10m，角A=26?。求中柱BC（C为底边中点）和上弦AB的长（精确到0?01cm）例2、水库堤坝的横断面是梯形.测得BC长为6m,CD长为60m,斜坡的坡比为1:2,5,斜坡AB的坡比为1:3,求:(1)斜坡CD的坡角∠D和坝底的宽(角度精确到1’,宽度精确到0.1m);FE解:作BE⊥AD, CF⊥AD.在Rt△CDF中,∴∠D≈21048’∴CF＝CD·sinD＝60×sin21048’≈22.28(m)DF＝CD·cosD＝60×cos21048’≈55.71(m)∴ AE＝3BE＝3CF＝66.84(m),∴AD＝AE＋BC＋DF＝66.84＋6＋55.71＝128.55≈128.6(m).FE解:设横断面面积为Sm3.≈1498.9(m2),＝1498.9×150＝224835(m3)答:斜坡CD的坡角约为21048’,坡底宽约为128.6m,建造这个堤坝需用土石方224835m3.例2、水库堤坝的横断面是梯形.测得BC长为6m,CD长为60m,斜坡的坡比为1:2,5,斜坡AB的坡比为1:3,求:1、某人沿着坡角为45 °的斜坡走了310 m，则此人的垂直高度增加了____________m .2、已知堤坝的横断面是等腰梯形ABCD，上底CD的宽为a，下底AB的宽为b，坝高为h，则堤坝的坡度i=_______________（用a,b,h表示）.练一练310 3、如图一段路基的横断面是梯形，高为4.2米，上底的宽是12.51米，路基的坡面与地面的倾角分别是32°和28°．求路基下底的宽．（精确到0.1米）练一练作DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为E、 F．由题意可知： ?
DE＝CF＝4.2（米），CD＝EF＝12.51（米）.
在Rt△ADE中，因为
所以 在Rt△BCF中，同理可得
因此 AB＝AE＋EF＋BF
≈6.72＋12.51＋7.90
≈27.13（米）．
答：路基下底的宽约为27.13米． 如图,沿水库拦水坝的背水坡将坝面加宽两米,坡度由原来的1:2改成1:2.5,已知原背水坡长BD=13.4米, 求: (1)原背水坡的坡角 和加宽后的背水坡的坡角(2)加宽后水坝的横截面面积增加了多少?(精确到0.01)1、如图，有一斜坡AB长40m，坡顶离地面的高度为20m,求此斜坡的倾斜角.2.有一建筑物,在地面上A点测得其顶点C的仰角为300,向建筑物前进50m至B处,又测得C的仰角为450,求该建筑物的高度(结果精确到0.1m).做一做做一做3、如图,水库大坝的截面是梯形ABCD,坝顶AD=6m,坡长CD=8m.坡底BC=30m,∠ADC=1350.
(1)求坡角∠ABC的大小;
(2)如果坝长100m,那么修建这个大坝共需多少土石方(结果精确到0.01m3 ).4、横截面为等腰梯形的水库大坝,坝顶宽6m,坝高10m,斜坡AB的坡度i=1:2,为了提高大坝的储水能力,在坝顶宽度和斜坡坡度不变的情况下,加固一条长50m的大坝,需要多少土方?做一做例3、体育项目400m栏比赛中，规定相邻两栏架的路程为45m。在弯道处，以跑道离内侧0.3m处的弧线（如图中的虚线）的长度作为相邻两栏架之间的间隔路程。已知跑道的内侧线半径为36m，问在设定A栏架后，B栏架离栏架的距离是多少（π取3.14，结果精确到0.1m）解:连结AB,由题意得AB＝45m, OB＝36.3m作OC⊥AB于C.∵OA＝OB,∴AB＝AC且∠AOC∴AC＝OAsin∠AOC＝36.3×sin35.530≈21.09 (m)∴AB＝2AC＝2×21.09≈42.2(m).答:B栏架离A栏架的距离约为42.2m.练一练1、如图是一污水管的横截面,已知污水管的内径为70cm.污水的高度为10cm.求污水截面面积s.Φ7010单位: 厘米解:ABCDEO在Rt△AOE中,OA＝35㎝,OE＝35-10＝25㎝.∴∠AOE≈44.40,∴∠AOC≈88.80∴S＝S扇形OAC－S△AOC≈948.8(㎝),≈612.5(㎝2)≈948.8－612.5≈336(㎝2)答:污水截面面积约为336㎝2.2、如图,燕尾槽的横断面是一个等腰梯形ABCD,其中燕尾角∠B=550,外口宽AD=188mm,燕尾槽的深度是70mm,求它的里口宽BC(结果精确到1mmm).3、一个锥形零件的轴截面如图所示，已知倾角α=5.20, 零件的长度l=20cm，大头直径D=10cm，求小头直径d（精确到0.1cm）练一练谈谈今天的收获畅所欲言 已知在△ABC中，AB+AC=9cm，AB和AC的夹角为300，设当AB为x（cm）时，△ABC的面积为S（cm2）（1）求S关于x的函数解析式；（2）问何时△ABC的面积最大？最大面积为多少？拓展提高再见Good Bye!