23.1 特殊角的三角函数值教案
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文档简介
特殊角的三角函数值
教学目标
教学知识点
1．巩固锐角三角函数的定义，进一步体会三角函数的意义．
2．经历探索30°、45°、60°的三角函数值的过程，能够进行有关的推理。
3．能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算．
4．能够根据30°、45°、60°的三角函数值说明相应的锐角的大小．
(二)思维训练要求
1．经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，培养学生观察、分析、发现的能力．
2．培养学生把实际问题转化为数学问题的能力．
(三)情感与价值观要求
1．积极参与数学活动，对数学产生好奇心，培养学生独立思考问题的习惯．
2．在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．
教具重点
1．探索30°、45°、60°角的三角函数值．
2．能够进行含30°、45°、60°角的三角函数值的计算．
3．比较锐角三角函数值的大小．
教学难点
熟练掌握30°、45°、60°的三角函数值；进一步体会锐角三角函数的意义．应用锐角三角函数的边角关系解决问题。
教学方法
自主探索法
教学准备
一副三角尺 多媒体演示
教学过程
温故知新
锐角三角函数定义
[师]我们前面学习了三角函数的定义，如果一个角的大小确定，那么它的任意两边比值也是确定的。Rt?ABC中∠C=90o ，锐角∠A对边与邻边、对边与斜边、邻边与斜边的比值分别叫∠A的正切、正弦、余弦，都叫做锐角A的三角函数。
[学生活动]
1．回答
2.发现：互余两角之间的三角函数关系
若∠A+∠B=90°则：
sinA=cosB cosA=sinB. tanA.tanB=1
应用：
例如 sin80°=cos 10° tan20° ·tan70°=1
二．探究新知
[师]观察一副三角尺，其中有几个锐角？它们分别等于多少度？
[生]一副三角尺中有四个锐角，它们分别是30°、60°、45°、45°．
2.在直角三角形中，30°的角所对的边与斜边之间的长度关系是什么？
[师]sin30°等于多少呢？你是怎样得到的？与同伴交流．
[生]sin30°＝．sin30°表示在直角三角形中，30°角的对边与斜边的比值，与直角三角形的大小无关．我们不妨设30°角所对的边为a(如图所示)，根据“直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半”的性质，则斜边等于2a．根据勾股定理，可知30°角的邻边为a，所以sin30°＝．
[师]cos30°等于多少？tan30°呢？
[生]cos30°＝．
tan30°＝．
[师]我们求出了30°角的三个三角函数值，还有两个特殊角——45°、60°，它们的三角函数值分别是多少？你是如何得到的？
[生]求60°的三角函数值可以利用求30°角三角函数值的三角形．因为30°角的对边和邻边分别是60°角的邻边和对边．利用上图，很容易求得
sin60°＝，
cos60°＝，
tan60°＝．
[生]也可以利用我们前面得出的结论：一锐角的正弦等于它余角的余弦，一锐角的余弦等于它余角的正弦．可知
sin60°＝cos(90°－60°)＝cos30°＝，
cos60°＝sin(90°－60°)＝sin30°＝．
[师生共析]我们一同来求45°角的三角函数值．含45°角的直角三角形是等腰直角三角形．(如图)设其中一条直角边为a，则另一条直角边也为a，斜边为a．由此可求得
sin45°＝，
cos45°＝，
tan45°＝＝1．
[师]下面请同学们完成下表：
30°、45°、60°角的三角函数值
三角函数角
锐角α
sinα
cosα
tanα
30°
45°
1
60°
这个表格中的30°、45°、60°角的三角函数值需熟记，另一方面，要能够根据30°、45°、60°角的三角函数值，说出相应的锐角的大小．
为了帮助大家记忆，我们观察表格中函数值的特点．先看第一列30°、45°、60°角的正弦值，你能发现什么规律呢？
[生]30°、45°、60°角的正弦值分母都为2，分子从小到大分别为1，，随着角度的增大，正弦值在逐渐增大．
[师]再来看第二列函数值，有何特点呢？
[生]第二列是30°、45°、60°角的余弦值，它们的分母也都是2，而分子从大到小分别为，，1，余弦值随角度的增大而减小．
[师]第三列呢？
[生]第三列是30°、45°、60°角的正切值，首先45°角是等腰直角三角形中的一个锐角，所以tan45°＝1比较特殊．
[师]很好，掌握了上述规律，记忆就方便多了．下面同桌之间可互相检查一下对30°、45°、60°角的三角函数值的记忆情况．相信同学们一定做得很棒．
例题讲解
学一学
例4 计算:
(1)2sin60°+3tan30°+tan45°
(2) cos245°+tan60°cos30°
．分析：本题旨在帮助学生巩固特殊角的三角函数值，今后若无特别说明，用特殊角三角函数值进行计算时，一般不取近似值，另外cos260°表示(cos60°)2．
解：(1)2sin60°+3tan30°+tan45°＝2×+3×+1=2+1
(2) cos245°+tan60°cos30°=()2＋×＝＝2．
想一想1、tan∠A= ∠A= °.
2、sin（90°- α）= , α= ° .
Rt?ABC中∠C=90o ，sinA= ，cosB=
. 比较大小：sin50° sin40°，cos20° cos15°，
tan25° tan35°，sin40° cos50 °
能力提升
1.Rt?ABC中∠C=90o求证：sin2A+cos2A=1
2、 ABCD中∠A=60°，AB=6 AD=4.求平行四边形面积。
五.随堂练习
(1)sin60°-cos45°;(2)cos60°+tan60°;
六.小 结
我学会了什么？
七.作 业
1、P122 习题23.1 第1题
2、自选作业。
板书设计：
锐角三角函数
1.
2．30°，45°，60°角的三角函数值列表如下：
三角函数
角α
sinα
cosα
tanα
30°
45°
1
60°
课后反思：
锐角三角函数（三）
教学设计
时间：2014年11月21日
班级：九（2）班
褚集初级中学 马骏
教学目标
教学知识点
1．巩固锐角三角函数的定义，进一步体会三角函数的意义．
2．经历探索30°、45°、60°的三角函数值的过程，能够进行有关的推理。
3．能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算．
4．能够根据30°、45°、60°的三角函数值说明相应的锐角的大小．
(二)思维训练要求
1．经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，培养学生观察、分析、发现的能力．
2．培养学生把实际问题转化为数学问题的能力．
(三)情感与价值观要求
1．积极参与数学活动，对数学产生好奇心，培养学生独立思考问题的习惯．
2．在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．
教具重点
1．探索30°、45°、60°角的三角函数值．
2．能够进行含30°、45°、60°角的三角函数值的计算．
3．比较锐角三角函数值的大小．
教学难点
熟练掌握30°、45°、60°的三角函数值；进一步体会锐角三角函数的意义．应用锐角三角函数的边角关系解决问题。
教学方法
自主探索法
教学准备
一副三角尺 多媒体演示
教学过程
温故知新
锐角三角函数定义
[师]我们前面学习了三角函数的定义，如果一个角的大小确定，那么它的任意两边比值也是确定的。Rt?ABC中∠C=90o ，锐角∠A对边与邻边、对边与斜边、邻边与斜边的比值分别叫∠A的正切、正弦、余弦，都叫做锐角A的三角函数。
[学生活动]
1．回答
2.发现：互余两角之间的三角函数关系
若∠A+∠B=90°则：
sinA=cosB cosA=sinB. tanA.tanB=1
应用：
例如 sin80°=cos 10° tan20° ·tan70°=1
二．探究新知
[师]观察一副三角尺，其中有几个锐角？它们分别等于多少度？
[生]一副三角尺中有四个锐角，它们分别是30°、60°、45°、45°．
2.在直角三角形中，30°的角所对的边与斜边之间的长度关系是什么？
[师]sin30°等于多少呢？你是怎样得到的？与同伴交流．
[生]sin30°＝．sin30°表示在直角三角形中，30°角的对边与斜边的比值，与直角三角形的大小无关．我们不妨设30°角所对的边为a(如图所示)，根据“直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半”的性质，则斜边等于2a．根据勾股定理，可知30°角的邻边为a，所以sin30°＝．
[师]cos30°等于多少？tan30°呢？
[生]cos30°＝．
tan30°＝．
[师]我们求出了30°角的三个三角函数值，还有两个特殊角——45°、60°，它们的三角函数值分别是多少？你是如何得到的？
[生]求60°的三角函数值可以利用求30°角三角函数值的三角形．因为30°角的对边和邻边分别是60°角的邻边和对边．利用上图，很容易求得
sin60°＝，
cos60°＝，
tan60°＝．
[生]也可以利用我们前面得出的结论：一锐角的正弦等于它余角的余弦，一锐角的余弦等于它余角的正弦．可知
sin60°＝cos(90°－60°)＝cos30°＝，
cos60°＝sin(90°－60°)＝sin30°＝．
[师生共析]我们一同来求45°角的三角函数值．含45°角的直角三角形是等腰直角三角形．(如图)设其中一条直角边为a，则另一条直角边也为a，斜边为a．由此可求得
sin45°＝，
cos45°＝，
tan45°＝＝1．
[师]下面请同学们完成下表：
30°、45°、60°角的三角函数值
三角函数角
锐角α
sinα
cosα
tanα
30°
45°
1
60°
这个表格中的30°、45°、60°角的三角函数值需熟记，另一方面，要能够根据30°、45°、60°角的三角函数值，说出相应的锐角的大小．
为了帮助大家记忆，我们观察表格中函数值的特点．先看第一列30°、45°、60°角的正弦值，你能发现什么规律呢？
[生]30°、45°、60°角的正弦值分母都为2，分子从小到大分别为1，，随着角度的增大，正弦值在逐渐增大．
[师]再来看第二列函数值，有何特点呢？
[生]第二列是30°、45°、60°角的余弦值，它们的分母也都是2，而分子从大到小分别为，，1，余弦值随角度的增大而减小．
[师]第三列呢？
[生]第三列是30°、45°、60°角的正切值，首先45°角是等腰直角三角形中的一个锐角，所以tan45°＝1比较特殊．
[师]很好，掌握了上述规律，记忆就方便多了．下面同桌之间可互相检查一下对30°、45°、60°角的三角函数值的记忆情况．相信同学们一定做得很棒．
例题讲解
学一学
例4 计算:
(1)2sin60°+3tan30°+tan45°
(2) cos245°+tan60°cos30°
．分析：本题旨在帮助学生巩固特殊角的三角函数值，今后若无特别说明，用特殊角三角函数值进行计算时，一般不取近似值，另外cos260°表示(cos60°)2．
解：(1)2sin60°+3tan30°+tan45°＝2×+3×+1=2+1
(2) cos245°+tan60°cos30°=()2＋×＝＝2．
想一想1、tan∠A= ∠A= °.
2、sin（90°- α）= , α= ° .
Rt?ABC中∠C=90o ，sinA= ，cosB=
. 比较大小：sin50° sin40°，cos20° cos15°，
tan25° tan35°，sin40° cos50 °
能力提升
1.Rt?ABC中∠C=90o求证：sin2A+cos2A=1
2、 ABCD中∠A=60°，AB=6 AD=4.求平行四边形面积。
五.随堂练习
(1)sin60°-cos45°;(2)cos60°+tan60°;
六.小 结
我学会了什么？
七.作 业
1、P122 习题23.1 第1题
2、自选作业。
板书设计：
锐角三角函数
1.
2．30°，45°，60°角的三角函数值列表如下：
三角函数
角α
sinα
cosα
tanα
30°
45°
1
60°
课后反思：
锐角三角函数（三）
教学设计
时间：2014年11月21日
班级：九（2）班
褚集初级中学 马骏