河南省驻马店市2022-2023学年高二下学期期末考试数学试卷（含解析）

河南省驻马店市2022-2023学年高二下学期期末考试数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1、数列的通项为（），则的值为( )
A.1 B.3 C.5 D.7
2、直线平分圆（），则( )
A.1 B.-1 C.3 D.-3
3、空间直角坐标系中，点到坐标平面的距离为( )
A.2 B. C.3 D.4
4、定义在R上的函数在区间内的平均变化率为，其中，则函数在处的导数( )
A.-1 B.1 C.3 D.9
5、椭圆的左右焦点为，，点P为椭圆上不在坐标轴上的一点，点M，N满足，，若四边形MONP的周长等于4b，则椭圆C的离心率为( )
A. B. C. D.
6、函数的极值点为( )
A.和 B.和
C. D.
7、下列说法正确的是( )
A.某同学定点投篮每次命中的概率均为，每命中一次得2分，若记10次投篮得分为X，则随机变量X服从二项分布，简记.
B.某工厂生产了一批产品50件，其中质量达到“A级”的有20件，则从该批产品中随机抽取10件，记录抽到的产品中为“非A级”的个数为Y，则随机变量Y的数学期望为.
C.若随机变量的成对数据的线性相关系数，则认为随机变量X与Y是确定的函数关系，不是线性相关关系.
D.若随机变量，其分布密度函数为，则.
8、设，，，则( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9、一批电阻的阻值X（单位：）服从正态分布，现从甲、乙、丙三箱成品中各随机抽取一只电阻，测得阻值分别为，，，则可以认为( )
A.甲、乙、丙三箱电阻均可出厂； B.甲、乙两箱电阻可出厂；
C.乙、丙两箱不可出厂； D.丙箱电阻不可出厂.
10、下列直线在两坐标轴上的截距相等的是( )
A. B.
C. D.
11、已知，则下列正确的是( )
A.
B.
C.
D.
12、如图，平行六面体中，，，AC与BD交于点O，则下列说法正确的有( )
A.平面平面
B.若，则平行六面体的体积
C.
D.若，则
三、填空题
13、若随机变量，且，则__________．
14、已知递增的等比数列中，，，则数列的前6项之积为__________．
15、共和国勋章，是中华人民共和国最高荣誉勋章，授予在中国特色社会主义建设和保卫国家中做出巨大贡献、建立卓越功勋的杰出人士.共和国勋章获得者有于敏、袁隆平、申纪兰、张富清、黄旭华、孙家栋、李延年、屠呦呦、钟南山，前四位共和国勋章获得者已经作古.某校为了学习共和国勋章获得者的先进事迹，弘扬时代精神，特在校园主干道设立并排的9个宣传栏，前四位共和国勋章获得者的先进事迹安排在1—4号栏，1—4号栏已经安排好，其余五位安排在5—9号栏.黄旭华和孙家栋两位的先进事迹安排在5至7号栏，李延年的先进事迹栏不放在9号，则不同的安排顺序有__________种（用数字作答）.
16、若函数有两个不同的零点，则实数a的取值范围是__________．
四、解答题
17、三台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是0.05，第二台出现废品的概率是0.03，第三台出现废品的概率是0.06，加工出来的零件放在一起，并且已知第一、二、三台加工的零件之比为3：4：3.
（1）求任意取出1个零件是废品的概率；
（2）如果任意取出的1个零件是废品，求它是第二台车床加工的概率.
18、已知数列满足，.
（1）证明数列为等比数列；
（2）求数列的通项公式；
（3）求数列的前n项和.
19、已知矩形ABCD中，，AD的中点为M，将绕着BM折起，折起后点A记作P点（不在平面BCDM内），连接PC、PD得到几何体，为直角三角形.
（1）证明：平面平面BCDM；
（2）求平面PBC与平面PCD所成角的正弦值.
20、市场监管部门对某线下某实体店2023年前两季度的月利润情况进行调查统计，得到的数据如下：
月份x 1 2 3 4 5 6
净利润y（万元） 1.0 1.4 17 2.0 2.2 2.4
（1）是否可以用线性回归模型拟合y与x的关系？请用相关系数r加以说明；（参考：若时，则线性相关程度较高，，则线性相关程度一般，计算r时精确度为0.01）
（2）利用最小二乘法求出y关于x的回归方程；用样本估计总体，请预估第9月份的利润.
附：对于一组数据，其回归直线的斜率
，.相关系数.
参考数据：，，，，，.
21、已知.
（1）当时，求在内的单调区间；
（2）若对任意的时，恒成立，求实数a的取值范围.
22、在平面直角坐标系中，已知点、，的内切圆与直线相切于点，记点M的轨迹为C.
（1）求C的方程；
（2）设点T在直线上，过T的两条直线分别交C于A、B两点和P，Q两点，连接BP，AQ.若直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和为0，试比较与的大小.
参考答案
1、答案：A
解析：，故选：A
2、答案：A
解析：因为直线平分圆，
化为，
所以直线经过该圆的圆心，
则，即.
故选：A.
3、答案：C
解析：空间直角坐标系中，点到坐标平面的距离即为竖坐标3.
故选：C
4、答案：B
解析：由导数的定义可得，
故选：B.
5、答案：C
解析：因为，所以点M为线段的中点，
因为，所以，
即，所以点N为线段的中点，
又因点O为线段的中点，
所以且，且，
所以四边形MONP的周长为，
又因点P为椭圆上不在坐标轴上的一点，所以，
所以，即，
故椭圆C的离心率为.
故选：C.
6、答案：C
解析：因为，则，
由题意可得，解得或，令，可得或，列表如下：
x -1 0
0 0 +
减 极小值 增 增
因此，函数的极值点为.
故选：C.
7、答案：D
解析：对于A，由题意，记10次投篮命中的次数为x，则，
随机变量命中次数x服从二项分布，而随机变量投篮得分X不服从二项分布，故A错误；
对于B，由题意随机变量Y服从超几何分布，则，故B错误；
对于C，若随机变量的成对数据的线性相关系数，
则认为随机变量X与Y是确定的函数关系，且是线性相关关系，故C错误；
对于D，因为随机变量，其分布密度函数为，
所以，，则，故D正确.
故选：D.
8、答案：A
解析：，令，
则，
根据余弦函数的单调性，易知，在单调递减，且，
所以在单调递增，所以，即；
令，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以，所以，即.
令，，故在R上单调递减，
故，即，
综上：.
故选：A.
9、答案：BD
解析：因为，所以，，
所以，，
因为，，，
所以甲、乙两箱电阻可出厂，丙箱电阻不可出厂.
故选：BD.
10、答案：BC
解析：对于A中，直线，可得在轴和轴上的截距分别为2023和-2023，不符合题意，所以A不正确；
对于B中，直线，可得在x轴和y轴上的截距分别为和，符合题意，所以B正确；
对于C中，直线，可得在x轴和y轴上的截距分别为和，符合题意，所以C正确；
对于D中，直线，可得在x轴和y轴上的截距分别为和2024，不符合题意，所以D不正确.
故选：BC.
11、答案：AB
解析：对于A选项，令，则，
又，所以，故A选项正确；
对于B选项，令，则，
，
故，故B选项正确；
对于C选项，记，
则，
令，则，故C选项错误；
对于D选项，的展开通项公式，
当r为奇数时，系数为负数，
所以，故D选项错误，
故选：AB.
12、答案：ABD
解析：对于A，因为在平行四边形ABCD中，，所以四边形ABCD为菱形，所以，
因为，，
所以，所以，
因为，所以，
所以，所以，
因为，，平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面，所以A正确，
对于B，连接，因为，，所以，
所以为直角三角形，即，因为，所以，
因为由选项A知平面，平面，所以，
因为，，平面，所以平面，
所以平行六面体的体积，所以B正确，
对于C，因为四边形ABCD为平行四边形，所以O为BD的中点，
所以，所以，所以C错误，
对于D，设，，因为在菱形ABCD中，，所以，
所以，所以D正确，
故选：ABD
13、答案：
解析：因为随机变量，且，
所以，解得，
则.故答案为：.
14、答案：或512
解析：设等比数列的公比为q，由已知，
因为，，
所以，，
解得，，
所以，
所以，
故答案为：512.
15、答案：24
解析：由题意，黄旭华和孙家栋两位的先进事迹安排在5至7号栏，有种安排方式，
又由李延年的先进事迹栏不放在9号，有种安排方式，
剩余的两位屠呦呦、钟南山，有种安排方式，
由分步计数原理可得，共有种不同的安排方式.
故答案：24.
16、答案：
解析：由题意，，，
当时，恒大于0，则函数递增，不可能有两个零点；
当时，令，得，
即当时，，即单调递增，且；
即当时，，即单调递减，且；
由于函数有两个不同的零点，
即函数的图像与x轴有两个不同的交点，
所以，
解得，，
所以当时，函数有两个不同的零点.
故答案为：．
17、答案：（1）0.045
（2）
解析：（1）设事件表示“零件取自第i台车床”，事件B表示“取到零件为废品”，
因此，，构成样本空间的一个划分.
根据条件则：，，
，，
根据全概率公式可得
（2）如果任意取出的1个零件是废品，它是第二台车床加工的概率.
又因为.
根据条件概率的求解公式
，即为所求.
18、答案：（1）证明见解析
（2）
（3）
解析：（1）由条件，即，
又因，则.
因此数列是以为首项，2为公比的等比数列
（2）由（1）知是以为首项，2为公比的等比数列，
则，即.
（3）由（2）则
.
19、答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明：如图，连接MC，连接AC交BM于点E，则，
翻折前，翻折后，则有，
由于为直角三角形，且，
，因此必有，
又因为，PM、平面PMC，则面PMC，
因为平面PMC，从而可得，
又因，，则，所以，.
又因，BP、平面PBM，即面PBM，
因为平面BCDM，因此，面面BCDM.
（2）如图，取BC中点N，BM中点为O，连接ON，
由（1）可知，平面平面BCDM，
因为，O为BM的中点，则，
因为平面平面，平面PBM，所以，面BCDM，
因为O、N分别为BM、BC的中点，则，
因为，则，
以点O为坐标原点，分别以、、方向为x、y、z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系.
则、、、，
得，，，，
设平面PBC的一个法向量为，
由，则，
取，则，，得到，
设平面PCD的法向量为，
则，取，则，，则，
则，
从而，
也即平面PBC与平面PCD所成夹角的正弦值为.
20、答案：（1）可以，理由见解析
（2），3.32万元
解析：（1）由条件则，
，
.
根据相关系数公式则
.
因此可以用线性回归模型拟合x与y的关系.
（2）根据（1）则变量x，y线性相关，设所求的线性回归方程为.
根据回归方程的回归系数公式则
.
又因为.
从而可得变量x，y线性回归方程为
当时，
因此预测9月份的利润为3.32万元.
21、答案：（1）单调增区间为：，；单调减区间为：，；
（2）.
解析：（1）当时，，求导得，
而，由，得，
当时，，当时，，
则当时，若，则；若，则，
当时，若，则；若，则，
所以函数在内的单调增区间为：，；
单调减区间为：，.
（2）因为，
于是函数为偶函数，
则对任意恒成立，等价于对任意的，恒有成立，
求导得，
当时，当，成立时，恒成立，
即恒成立，函数在内单调递增，则有，
因此，解得，则；
当，时，函数在上单调递减，且，
因此存在，使得当时，，，函数在上递减，
此时，，不符合题意，
所以实数a的取值范围为.
22、答案：（1）
（2）
解析：（1）因为点、，的内切圆与直线相切于点，
所以，
因此根据双曲线的定义可知，点M的轨迹为以，为焦点的双曲线的右支，
设点M轨迹C的方程为，焦距为，
所以，，
所以，，，
所以点M的轨迹方程C为
（2）由题意，直线AB，PQ的斜率互为相反数，记，
则，，，，，
设，则直线，.
联立直线AB和双曲线方程，
整理得.
该方程有两个不等实根，，
则
根据韦达定理可得，，
同理可得，.
又因为，.
，.
则，
同理可得
即
进而可得相似于，
即，，
也即A，B，Q，P四点共圆，可得
从而得.
因此