3.3 分式的乘法与除法 教案 2023—2024学年青岛版数学八年级上册

3.3 分式的乘法与除法
【教学目标】
1.使学生正确掌握分式的乘除法的法则.
2.能熟练地运用分式的乘除法的法则进行计算.
3.理解分式乘方的原理，掌握乘方的规律，并能运用乘方规律进行分式的乘方运算.
【教学重点】
分式的乘除法的法则；熟练地进行分式乘除法、乘方运算.
【教学难点】
分子或分母为多项式的分式的乘除法；乘方混合运算，以及分式乘法、除法、乘方运算中符号的确定.
【教学过程】
一、情境导入
问题1 一个水平放置的长方体容器，其容积为V，底面的长为a，宽为b，当容器内的水占容积的时，水面的高度为多少？
师：（1）这个长方体容器的高怎么表示？
（2）容器内水面的高与容器内的水所占容积间有何关系？
生：容器内水面的高与容器高的比和容器内的水所占容积的比相等.
所以水面的高度为.
问题2 大拖拉机m天耕地ahm2，小拖拉机n天耕地bhm2，大拖拉机的工作效率是小拖拉机工作效率的多少倍？
师：请大家思考：大拖拉机和小拖拉机的工作效率怎样表示？
生：大拖拉机的工作效率为，小拖拉机的工作效率为，
所以大拖拉机的工作效率是小拖拉机工作效率的（÷）倍.
师：由上面两题可以看出，讨论数量关系时会进行分式的乘除运算.
我们可以类比分数的乘除运算来认识分式的乘除.
二、新课探究
问题3 计算：
（1）；（2）
（1）；
（2）
师：在计算的过程中，你运用了分数的什么法则？你能叙述这个法则吗？
分数乘法法则：
把各个分数的分子相乘，作为结果的分子，各个分数的分母相乘，作为结果的分母.
分数除法法则：
把除数的分子与分母交换位置，再与被除数相乘.
如果将分数换成分式，那么你能类比分数的乘除法法则，说出分式的乘除法法则吗？
怎样用字母来表示分式的乘除法法则呢？
分式的乘除法法则：
两个分式相乘，把分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.
两个分式相除，把除式的分子与分母颠倒位置后，再与被除式相乘.
（a≠0，c≠0）；
（a≠0，c≠0，d≠0）.
例1计算：
（1）；（2）
（1）师：分析（1）题并引导学生解答：
①（1）题是几个分式进行什么运算？
②每个分式的分子和分母都是什么式子？
③运用分式乘除法法则得到的积的分子、分母各是什么？
④积的符号是什么？
⑤怎样应用分式的约分法则使积化成最简分式或单项式？
生回答，板演：
（2）师：①（2）题两个分式进行什么运算？
②每个分式的分子、分母各是什么式子？
③怎样应用分式的除法法则把分式的除法运算变成分式的乘法运算？
生回答，板演：
师小结：分子和分母都是单项式的分式乘除法的解题步骤是：
①含有分式除法运算时，先用分式除法法则把分式除法运算变成分式乘法运算，再用分式乘法法则得出积的分式；
③确定积的符号；
④利用约分使积化成最简分式或整式．
例2计算：
（1）；
（2）.
师：①本题是几个分式在进行什么运算？
②每个分式的分子和分母都是什么式子？
③在分式的分子、分母中的多项式是否可以分解因式，怎样分解？
④怎样应用分式乘法法则得到积的分式？
⑤怎样使积化成最简分式或整式(一般为多项式)？
生回答，并板演：
师小结：分子或分母是多项式的分式乘除法的解题步骤：
①将原分式中含同一字母的各多项式按降幂(或升幂)排列；在乘除过程中遇到整式则视其为分母为1，分子为这个整式的分式；
②把各分式中分子或分母里的多项式分解因式；
③应用分式乘除法法则进行运算得到积的分式；
④利用约分使积化成最简分式或整式．
问题4 an中的a可以是数,也可以是整式,那a可不可以是一个分式呢 即=？
师：思考=？=？=？
生解答：
师：你们发现了什么？如果用式子怎么表示？
即.
师：分式的乘方，把分子、分母分别乘方.即（n为正整数，b≠0）.
分式乘方时，要注意幂的符号.
若分式本身的符号是负的，应类比负数乘方法则进行，
即负数的偶次幂为正数，负数的奇次幂为负数.
三、课堂练习
1.判断下列各式是否成立，并改正.
（1）=； （2）=；
（3）=； （4）=.
2.计算：
（1）；（2）；（3）.
3.化简：
（1）；
（2）.
4.计算：
（1） ；
（2）；
（3）；
（4）.
四、课堂小结
分式的乘除法法则：
两个分式相乘，把分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.
两个分式相除，把除式的分子与分母颠倒位置后，再与被除式相乘.
（a≠0，c≠0）；
（a≠0，c≠0，d≠0）.
分子和分母都是单项式的分式乘除法的解题步骤是：
①含有分式除法运算时，先用分式除法法则把分式除法运算变成分式乘法运算，再用分式乘法法则得出积的分式；
③确定积的符号；
④利用约分使积化成最简分式或整式．
分子或分母是多项式的分式乘除法的解题步骤：
①将原分式中含同一字母的各多项式按降幂(或升幂)排列；在乘除过程中遇到整式则视其为分母为1，分子为这个整式的分式；
②把各分式中分子或分母里的多项式分解因式；
③应用分式乘除法法则进行运算得到积的分式；
④利用约分使积化成最简分式或整式．