第二十二章 二次函数测试卷（含答案）2023—2024学年人教版数学九年级上册

第二十二章达标测试卷 (满分：150分 考试时间：120分钟)
一、选择题(本大题12个小题，每小题4分，共48分)在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案填在题后对应的括号内.
1.下列函数表达式中，一定是二次函数的是（　　）
A.y=3x-1 B.y=ax2+bx+c
C.y=3x2-2x+1 D.y=x2+
2.要得到抛物线y=-3(x+2)2+1，可以将抛物线y=-3x2+2（　　）
A.先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度
B.先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度
C.先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度
D.先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度
3.二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)图象上部分点的坐标(x，y)对应值列表如下：
x … -3 -2 -1 0 1 …
y … -3 -2 -3 -6 -11 …
则该函数图象的对称轴是（　　）
A.直线x=-3 B.直线x=-2 C.直线x=-1 D.直线x=0
4.抛物线y=x2-4x+5的顶点坐标是（　　）
A.(-2，1) B.(2，1) C.(-2，-1) D.(2，-1)
5.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：
x … 0 1 3 4 5 …
y … -5 - - -5 - …
则下列判断正确的是（　　）
A.该抛物线开口向上
B.该抛物线的对称轴是直线x=1
C.该抛物线一定经过点
D.该抛物线在对称轴左侧部分是下降的
6.函数y=ax2+c与y=-ax+c(a≠0)在同一坐标系内的图象是图中的（　　）
7.已知抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=2，点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A的坐标为(0，3)，则点B的坐标为（　　）
A.(2，3) B.(3，2) C.(3，3) D.(4，3)
8.已知二次函数y=(x+m)2-1，当x≥-1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（　　）
A.m=1 B.m≤1 C.m>1 D.m≥1
9.将二次函数y=2x2-4x+1的右边进行配方，正确的结果是（　　）
A.y=2(x-1)2+1 B.y=2(x+1)2-1
C.y=2(x-1)2-1 D.y=2(x+1)2+1
10.已知点A(-3，y1)，B(0，y2)，C(3，y3)是二次函数y=-(x+2)2+m图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A.y1＜y2＜y3 B.y1=y3＜y2
C.y3＜y2＜y1 D.y1＜y3＜y2
11.若关于x的二次函数y=-x2+(2a-12)x+1，当x＞-1时，y随x的增大而减小，且关于y的分式方程+=2的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（　　）
A.5 B.8 C.12 D.15
12.如图是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象，其对称轴为x=-1，且该图象与x轴的一个交点在点(-3，0)和
(-4，0)之间，并经过点(-2.3，y1)与点(1.5，y2)，则下列结论：①abc＞0；②3a+c＞0；③y1＜y2；④对于任意实数m，都有am2-bm＜a-b(m≠1).其中正确结论的序号是（　　）
A.①②③ B.①③④
C.②③④ D.①②④
二、填空题(本大题4个小题，每小题4分，共16分)请将答案填在题后横线上.
13.某快递公司十月份快递件数是10万件，如果该公司第四季度每个月快递件数的增长率都为x(x＞0)，十二月份的快递件数为y万件，那么y关于x的函数解析式是 .
14.已知二次函数y=3x2＋c与正比例函数y=4x的图象只有一个交点，则c的值为 .
15.广场上喷水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度y(米)关于水珠和喷头的水平距离x(米)的函数解析式是y=-x2+6x(0≤x≤4)，那么水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是 .
16.二次函数y=-x2+mx的图象如图，对称轴为直线x=2，若关于x的一元二次方程-x2+mx-t=0(t为实数)在1＜x＜5的范围内有解，则t的取值范围是 .
三、解答题(本大题9个小题，17、18每小题8分，19-25每小题10分，共86分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形.
17.已知二次函数y=ax2+4x+2的图象经过点A(3，-4)．
(1)求a的值；
(2)求此抛物线的对称轴；
(3)直接写出函数y随自变量的增大而减小的x的取值范围．
18.已知二次函数y=x2-4x+c的图象经过点(3，0).
(1)求该二次函数的表达式；
(2)点P(4，n)向上平移2个单位得到点P′，若点P′落在该二次函数图象上，求n的值.
19.如图，在ABCD中，已知∠A=60°，BC=8，AB=6.P是AB边上的任意一点，过P点作PE⊥AB，交AD于E，连接CE，CP.
(1)若AP=3时，试求出△PEC的PE边上的高.
(2)当AP的长为多少时，△CPE的面积最大？并求出面积的最大值.
20.在关于x，y的二元一次方程组中.
(1)若a=3，求方程组的解；
(2)若S=a(3x+y)，当a为何值时，S有最值？
21.如图，用长为6 m的铝合金条制成“日”字形窗框，若窗框的宽为x m，窗户的透光面积为y m2(铝合金条的宽度不计).
(1)求出y与x的函数关系式.
(2)如何安排窗框的长和宽，才能使得窗户的透光面积最大？并求出此时的最大面积.
22.如图，抛物线y=ax2+bx+与直线AB交于点A(-1，0)，B ，点D是抛物线上位于直线AB上方的一点(不与点A，B重合)，连接AD，BD.
(1)求抛物线的解析式；
(2)设△ADB的面为S，求出当S取最大值时的点D的坐标.
23.某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于60元，经市场调查，每天的销售量y(单位：千克)与每千克售价x(单位：元)满足一次函数关系，部分数据如下表：
售价x(元/千克) 45 50 60
销售量y(千克) 110 100 80
(1)求y与x之间的函数表达式.
(2)设商品每天的总利润为w(单位：元)，则当每千克售价x定为多少元时，超市每天能获得的利润最大？最大利润是多少元？
24.如图，抛物线C1的图象与x轴交于A(-3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C(0，3)，点D为抛物线的顶点.
(1)求抛物线C1的解析式.
(2)将抛物线C1关于直线x=1对称后的抛物线记为C2，将抛物线C1关于点B对称后的抛物线记为C3，点E为抛物线C3的顶点，在抛物线C2的对称轴上是否存在点F，使得△BEF为等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由.
25.如图①，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A(-1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于C(0，-3)，过点E(0，-1)的直线与抛物线交于A，D两点，点P是直线AD下方抛物线上一点(不与A，D重合).
(1)求抛物线的解析式与直线AD的解析式.
(2)如图①，过点P作PN∥y轴且交直线AD于点N，求线段PN的最大值.
(3)如图②，连接AP，DP，是否存在点P，使得△APD的面积等于3 若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由.
1.C
2.D
3.B
4.B
5.C
6.C
7.D
8.D
9.C
10.C
11.A
12.D
13.　y=10(1+x)2　
14.　　
15.　2米　
16.　-5＜t≤4　
17.解：(1)∵二次函数y=ax2+4x+2的图象经过点A(3，-4)，
∴-4=9a+12+2，
解得a=-2，
∴a的值为-2.
(2)由(1)可知抛物线解析式为y=-2x2+4x+2=-2(x-1)2+4，
∴抛物线对称轴为直线x=1.
(3)∵抛物线开口向下，对称轴为x=1，
∴当x≥1时，y随x的增大而减小．　
18.解：(1)把点(3，0)代入y=x2-4x+c得9-12+c=0，
解得c=3，
所以该二次函数的解析式为y=x2-4x+3.
(2)点P(4，n)向上平移2个单位得到点P′(4，n+2)，
把点P′代入y=x2-4x+3中可得n+2=16-16+3，
解得n=1.　
19.解：(1)如答图 ①，过点C作CH⊥AD于点H，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=6，BC=AD=8，AB∥CD，
∴∠CDH=∠A=60°.
∵CH⊥AD，∴∠DCH=30°，
∴DH=CD=3，CH=DH=3，
∴SABCD=8×3=24.
∵AP=3=PB，∴S△PBC=SABCD=6.
∵∠A=60°，PE⊥AB，∴∠AEP=30°，
∴AE=2AP=6，PE=3，
∴S△APE=×3×3.
∵DE=AD-AE=2，
∴S△CDE=×DE×CH=×2×3=3，
∴S△PEC=24-6--3，
∴PE边上的高==7.
(2)如答图②，延长PE交CD的延长线于点F，
设AP=x，△CPE的面积为y，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=DC=6，AD=BC=8.
∵Rt△APE，∠A=60°，
∴∠PEA=30°，
∴AE=2x，PE=x.
在Rt△DEF中，∠DEF=∠PEA=30°，DE=AD-AE=8-2x，
∴DF=DE=4-x.
∵AB∥CD，PF⊥AB，∴PF⊥CD，
∴S△CPE=PE·CF，
即y=×x×(10-x)=-x2+5x，
配方得y=-(x-5)2+(0≤x≤4)，
当x=4时，y有最大值为12，
即AP的长为4时，△CPE的面积最大，最大面积是12.　
20.解：(1)当a=3时，方程组为
②×2，得4x-2y=2③,①+③，得5x=5，解得x=1，
把x=1代入①，得1+2y=3，解得y=1,∴方程组的解是
(2)方程组的两个方程相加，得3x+y=a+1,
∴S=a(3x+y)=a(a+1)=a2+a,
∴当a=-=-时，S有最值.　
21.解：(1)∵宽为x m，∴长为m，
∴y=x·=-x2+3x(0＜x＜2).
(2)由(1)可知：y和x是二次函数关系，a=-＜0，
∴函数有最大值，当x=-=1时，y最大= m2.
答：窗框的长和宽分别为1.5 m和1 m时才能使得窗户的透光面积最大，此时的最大面积为1.5 m2.　
22.解：(1)∵抛物线y=ax2+bx+经过点A(-1，0)，B ，
∴解得
∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+.
(2)设点D坐标为 ，如答图，作直线DC⊥x轴，与AB交于点C，
∵直线AB的解析式为y=x+，
∴点C坐标为 .
∵S△ABD=S△ACD+S△BCD
= ×(4+1)
=-(m2-3m-4)
=- 2+，
∴当m=时，△ADB的面积最大，此时点D坐标为 .　
23.解：(1)设y=kx+b，
将(50，100)，(60，80)代入，得解得
∴y=-2x+200(40≤x≤60).
(2)w=(x-40)(-2x+200)=-2x2+280x-8 000
=-2(x-70)2+1 800.
∵40≤x≤60，∴当x=60时，w取得最大值为1 600.
答：当每千克售价x定为60元时，超市每天能获得最大利润，最大利润是1 600元.　
24.解：(1)设解析式为y=a(x-1)(x+3),将C(0，3)代入，得a=-1,
∴抛物线C1的解析式为y=-x2-2x+3.
(2)存在.
∵抛物线C1的解析式为y=-x2-2x+3，
∴抛物线C1的顶点为(-1，4).
∵将抛物线C1关于直线x=1对称后的抛物线记为C2，将抛物线C1关于点B对称后的抛物线记为C3，
∴抛物线C2的解析式为y=-(x-3)2+4，抛物线C3的解析式为y=(x-3)2-4.
∵点E为抛物线C3的顶点，∴点E(3，-4)，
∴BE==2.
∵点F在抛物线C2的对称轴上，∴点F横坐标为3.
若BE=EF=2，则点F坐标为(3，-4+2)或(3，-4-2)；
若BE=BF，则点F与点E关于x轴对称，∴点F(3，4)；
若BF=EF，则22+(4-EF)2=BF2，
∴BF=EF=，∴点F .
综上所述，当点F为(3，-4+2)或(3，-4-2)或(3，4)或 时，使得△BEF为等腰三角形.　
25.解：(1)把A(-1，0)，B(3，0)，C(0，-3)分别代入y=ax2+bx+c(a≠0)中，
得解得
∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3.
设直线AD的解析式为y=kx+m，
把A(-1，0)，E(0，-1)分别代入y=kx+m中，
得解得
∴直线AD的解析式为y=-x-1.
(2)联立方程组
解得或
∴D(2，-3)，
∴直线AD下方抛物线的自变量x的取值范围是-1＜x＜2.
设P(x，x2-2x-3)，则N(x，-x-1)，
∴PN=(-x-1)-(x2-2x-3)=-x2+x+2=- 2+.
∵-1＜0，
∴当x=时，PN有最大值.
(3)存在点P，使得△APD的面积等于3.理由如下：
由(2)可知PN=-x2+x+2，
∴S△APD=S△APN+S△DPN=PN(x+1)+PN(2-x)=PN×3=(-x2+x+2).
∵S△APD=3，∴(-x2+x+2)=3，
解得x=0，x=1，
∴P(0，-3)或P(1，-4).