北师大版数学九年级上册 2.2 用配方法求解一元二次方程（1） 教学设计

2　用配方法求解一元二次方程
第1课时
整体设计
教学目标
【知识与技能】　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　1.会用直接开平方法解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的一元二次方程.
2.会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程.
【过程与方法】
经历探索利用配方法解一元二次方程的过程,体会转化的数学思想.
【情感态度与价值观】
在独立思考和合作探究的过程中,体会数学的价值,增强数学应用意识和能力.
教学重难点
【重点】　利用配方法解一元二次方程.
【难点】　把一元二次方程通过配方转化为(x＋m)2＝n(n≥0)的形式.
教学准备
【教师准备】　预设教学过程中学生可能出现的问题.
【学生准备】　复习有关完全平方式的知识.
教学过程
新课导入　　　　　　　　　　　　　　　　　　
导入一:
1.在上一节的问题中,梯子底端滑动的距离x(m)满足方程x2＋12x-15＝0,我们已经求出了x的近似值,你能设法求出它的精确值吗
2.你会解下列一元二次方程吗 你是怎么做的
(1)x2＝5; 　　　　　(2)2x2＋3＝5;
(3)x2＋2x＋1＝5; 　　　　　(4)(x＋6)2＋72＝102.
解:(1)x2＝5 x＝±.
(2)2x2＋3＝5 2x2＝2 2x2＝1 x＝±1.
(3)x2＋2x＋1＝5 (x＋1)2＝5 x＝-1±.
(4)(x＋6)2＋72＝102 (x＋6)2＝51 x＝-6±.
这些方程的共同点是什么呢
归纳:这些方程都可以写成(x＋m)2＝n的形式,它的一边是一个完全平方式,另一边是一个常数,当n≥0时,两边同时开平方,转化为一元一次方程,便可求出它的根.这种求根的方法叫直接开平方法.
[设计意图]　通过介绍直接开平方法,让学生了解配方法解一元二次方程的理论基础,配方的基本知识和方法,为熟练掌握配方法解一元二次方程打下基础.
导入二:
1.你会解下列方程吗 试一下.
(1)x2＝9;　(2)4x2＝7;　(3)(x-2)2-9＝0.
2.解上面几个方程的时候用到了什么知识 你会解方程x2＋6x＋9＝25吗
学生小组讨论,集体交流.
通过以上几个题,我们发现方程的一边可以整理成完全平方式,另一边是非负数的形式,然后利用开平方来解.
新知构建
一、配方法
　[过渡语]　如果我们要解的方程是x2＋12x-15＝0,该怎么办呢
思路:把方程化成(x＋m)2＝n(n≥0)的形式,两边开平方,便可求出方程的解.
填上适当的数,使下列等式成立.
(1)x2＋12x＋　　　　＝(x＋6)2;
(2)x2-4x＋　　　　＝(x-　　　　)2;
(3)x2＋8x＋　　　　＝(x＋　　　　)2.
在上面等式的左边,常数项和一次项系数有什么关系 (常数项等于一次项系数的一半的平方)
通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根,这种解一元二次方程的方法称为配方法.
二、配方法解二次项系数为1的一元二次方程的一般步骤
　[过渡语]　前面我们研究配方法解一元二次方程的基本方法,下面我们通过例题来总结一下用配方法解一元二次方程的基本步骤.
(教材例1)解方程:x2＋8x-9＝0.
解:移项,得:x2＋8x＝9,
配方,得:x2＋8x＋42＝9＋42(两边同时加上一次项系数一半的平方),
即(x＋4)2＝25,
开平方,得x＋4＝±5,
即x＋4＝5或x＋4＝-5,
所以x1＝1,x2＝-9.
[知识拓展]　利用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的一般步骤:(1)移项:把常数项移到方程的右边;(2)配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方,使左边化成一个含有未知数的完全平方式的形式,右边为一常数;(3)开方:根据平方根的意义,方程两边开平方,使其化为一元一次方程;(4)求解:解一元一次方程;(5)定解:写出原方程的解.
[设计意图]　抓住主要问题精讲,并总结规律,让学生根据规律去学习配方法解一元二次方程的过程,体会解方程的步骤.
　[过渡语]　刚刚我们学习了用配方法解一元二次方程的一般步骤,下面我们用刚学的方法来解决一个实际问题.
　已知一面积为120 m2的矩形苗圃的长比宽多2 m,则苗圃的长和宽各是多少
解:设矩形的宽为x m,则长为(x＋2)m,
依题意,得x(x＋2)＝120,
即x2＋2x＝120,
方程可化为(x＋1)2＝121,
解得x1＝10,x2＝-12(不合题意,舍去).
则x＋2＝10＋2＝12(m).
答:苗圃的长为12 m,宽为10 m.
[设计意图]　通过配方法的应用,让学生理解并掌握配方法,知道配方法是一种重要的解题方法,理解方程的解在实际问题中的意义.
[知识拓展]　课本中,我们利用了配方法解一元二次方程.实际上,配方法不仅可以用来解一元二次方程,在其他方面还有很多应用.配方法,顾名思义,就是利用添项或拆项的方法,结合已有项,构造完全平方式.回顾以往知识,我们曾经利用图形面积验证完全平方公式,下面我们用图形面积解释配方法解方程的过程,如求方程x2＋10x＝39的解,把x2＋10x解释为右图中多边形ABCDEF的面积,为了求出x,我们考虑把这块图形补成一个正方形,为此必须补上正方形DCGE.从图中可以看出,正方形DCGE的面积为52(
它恰好等于原方程中一次项系数一半的平方),由于大正方形的面积为39＋25＝64,可知这个大正方形的边长为8,又由图形可知边长为x＋5,故x＝3.这里,我们直观地看到了配方的几何意义.有时受几何图形的限制,我们只能求出方程的正数解.
课堂小结
1.通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根,这种解一元二次方程的方法称为配方法.
2.配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤:
(1)移项:把常数项移到方程的右边;
(2)配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方,使左边化成含有未知数的完全平方式的形式,右边为一常数;
(3)开方:根据平方根的意义,方程两边开平方,使其化为一元一次方程;
(4)求解:解一元一次方程;
(5)定解:写出原方程的解.
检测反馈
1.将方程x2-10x-11＝0化成(x＋m)2＝n(n≥0)的形式是　　　　　　.
解析:移项得x2-10x＝11,配方得x2-10x＋25＝11＋25,即(x-5)2＝36.故填(x-5)2＝36.
2.用配方法解下列方程.
(1)x2＋8x＝9;　　　(2)x2＋2x-15＝0;
(3)x2-6x＝2;　　　(4)x2-x-1＝0.
解:(1)配方,得x2＋8x＋42＝9＋42(两边同时加上一次项系数一半的平方),
即(x＋4)2＝25,开平方,得x＋4＝±5,
即x＋4＝5或x＋4＝-5,
所以x1＝1,x2＝-9.
(2)移项,得x2＋2x＝15,
配方,得x2＋2x＋12＝15＋12,
即(x＋1)2＝16,开平方,得x＋1＝±4,
即x＋1＝4或x＋1＝-4,
所以x1＝3,x2＝-5.
(3)配方,得x2-6x＋32＝2＋32,
即(x-3)2＝11,开平方,得x-3＝±,
即x-3＝或x-3＝-,
所以x1＝3＋,x2＝3-.
(4)移项,得x2-x＝1,
配方,得x2-x＋＝1＋,
即,开平方,得x-＝±,
即x-或x-＝-,
所以x1＝,x2＝-.
板书设计
第1课时
1.配方法
2.配方法解二次项系数为1的一元二次方程的一般步骤
例1
例2
布置作业
【必做题】
教材第37页随堂练习.
【选做题】
教材第37页习题2.3的1题.