(共31张PPT)
第五章
三角函数
5.6 函数y＝A sin (ωx＋φ)
课时17 匀速圆周运动的数学模型及函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象
教学目标
1. 经历匀速圆周运动的数学模型的建立过程,了解函数模型y=Asin(ωx+φ)与现实生活中的匀速圆周运动之间的内在联系.
2. 通过对匀速圆周运动变化规律的观察分析、抽象概括,明确函数y=Asin(ωx+φ)中参数A,ω,φ以及变量x,y的意义.
3. 理解参数A,ω,φ对函数y=Asin(ωx+φ)图象的影响,从图象上动点坐标变化探究函数y=Asin(ωx+φ)图象变化规律.
学习目标
课程目标 学科核心素养
了解函数y＝A sin (ωx＋φ) 与现实生活中的匀速圆周运动之间的内在联系 在建立匀速圆周运动的数学模型的过程中,培养数学抽象、数学建模等素养
明确函数y=Asin(ωx+φ)中参数A,ω,φ以及变量x,y的物理意义 通过研究函数y=A·sin(ωx+φ)中参数的物理意义,培养数学抽象、直观想象等素养
理解参数A,ω,φ对函数y=Asin(ωx+φ)图象的影响,探究其图象的变化规律 通过研究A,ω,φ对y=Asin(ωx+φ)图象的影响,培养数学抽象、逻辑推理等素养
情境导学
现实世界的许多运动变化，都有着循环往复、周而复始的规律．筒车是中国古代发明的一种灌溉工具，如图1.明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了人们利用筒车进行灌溉的工作原理，如图2.
图1 图2
此外，地球自转、钟表的指针运动(如图3，4)，也具有这样的规律．
你能用一个合适的函数模型来刻画这种运动规律吗？
初探新知
【问题1】筒车运动模型中，假设简车匀速转动，那么盛水筒的运动有周期性，可以用什么函数模型去刻画它的运动规律？
【活动1】 建立筒车盛水筒运动高度与时间的函数模型
【问题2】如果将筒车抽象为圆，盛水筒抽象为圆上的点P(如图5)，经过时间t后，盛水筒距离水面的高度H与哪些量有关？
【问题3】对于给定的筒车，结合问题2分析的常量、变量t和高度H，可以建立怎样的关系？
【问题4】从解析式看，函数y＝sin x与函数y＝A sin (ωx＋φ)有什么关系？
【问题5】请回顾二次函数的研究过程，思考：研究参数A，ω，φ对函数y＝A sin (ωx＋φ)的影响时，可以按怎样的思路进行？
【活动2】探索参数A,ω,φ对函数y=Asin(ω x+φ)图象的影响
【问题6】不妨先从研究参数φ对函数y＝A sin (ωx＋φ)的影响开始，即探究y＝sin x与函数y＝sin (x＋φ)的图象之间的关系．请你设计好研究的思路，借助信息技术进行分组实验探究．你能得出什么结论？
【问题7】类比研究参数φ对函数y＝A sin (ωx＋φ)图象的影响的过程，你能自主研究参数ω(ω>0)的变化对函数y＝A sin (ωx＋φ)图象的影响吗？你能得出什么结论？
【问题8】最后，分析函数y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0)的图象与函数y＝sin (ωx＋φ)的图象之间的关系．
典例精析
【例1】 如图，钟表挂在2 m高的位置(钟表中心离地面的高度)，它的秒针长5 cm，针尖点P刚开始指向12，请写出点P的高度H(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数解析式．
思路点拨：秒针针尖点P绕中心O做匀速圆周运动，可参照筒车盛水筒运动高度H与时间t的函数模型H＝r sin (ωt＋φ)＋h，周期为60 s，因此，ω＝－＝－(顺时针旋转)；r＝5，h＝200，再根据初始时刻，高度H最大，可知φ＝.
【解】因为秒针针尖点P绕中心O做匀速圆周运动，所以点P的高度H＝r sin (ωt＋φ)＋h.由题意，周期为60 s，因此，ω＝－＝－(顺时针旋转).由已知r＝5，h＝200，再根据初始时刻，高度H最大，可知φ＝.综上，H＝5sin （－t+）＋200.
【方法规律】
匀速圆周运动可以利用三角函数模型H=rsin(ωt+φ)+h进行刻画,建立这一模型的关键是确定参数r,ω,φ和h的值.周期与角速度具有如下的关系T=2π/|ω| .
【变式训练1】钟表挂在2 m高的位置(钟表中心离地面的高度)，它的分针长3 cm，针尖点A刚开始指向12，请写出点A的高度H1(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数解析式．
【解】
【例2】 [教材改编题]已知函数y＝sin（2x+） 的图象为C.
(1) 为了得到函数y＝sin（2x） 的图象C1，只要把C上所有的点__________________；
(2) 为了得到函数y＝sin（x+） 的图象C2，只要把C上所有的点__________________；
(3) 为了得到函数y＝sin （2x+）的图象C3，只要把C上所有的点__________________.
思路点拨：根据参数A，ω，φ对函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象的影响，得出结论．
横坐标变为原来的2倍
纵坐标变为原来的3倍
向右平移个单位长度
【解】 记C对应的函数为f(x)＝sin（2x+） .
(1) C1对应的函数为f（x）＝sin（2x），故只要把C上所有的点向右平移个单位长度．
(2) C2对应的函数为f（x）＝sin（x+） ，故只要把C上所有的点横坐标变为原来的2倍.
(3) C3对应的函数为3f(x)＝sin （2x+），故只要把C上所有的点的纵坐标变为原来的3倍．
【方法规律】
利用图象变换法的关键是要明白参数A，ω，φ对函数y＝A sin (ωx＋φ)图象的影响：
① 由函数y＝f(x)的图象通过变换得到y＝f(x＋φ)的图象：当φ>0时，即向左平移φ个单位长度；当φ<0时，即向右平移－φ个单位长度．
② 由函数y＝f(x)的图象通过变换得到y＝f(ωx)(ω>0，ω≠1)的图象：当ω>1时，即把y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)；当0<ω<1时，即把y＝f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变).
③ 由函数y＝f(x)的图象通过变换得到y＝Af(x)(A>0，A≠1)的图象：当A>1时，即把y＝f(x)图象上所有点的纵坐标伸长到原来的A倍(横坐标不变)；当0
【变式训练2】
[教材改编题]已知函数y＝cos（3x+） 的图象为C.
(1) 为了得到函数y＝cos （3x）的图象C1，只要把C上所有的点________________；
(2) 为了得到函数y＝cos （x+）的图象C2，只要把C上所有的点________________；
(3) 为了得到函数y＝cos（3x+） 的图象C3，只要把C上所有的点________________.
横坐标变为原来的3倍
纵坐标变为原来的2倍
向右平移个单位长度
【解】
【例3】(多选)[2020·新高考全国Ⅰ卷]下图是函数y＝sin(ωx＋φ)的部分图象，则函数y的解析式可以为( )
A. y＝sin （x+）
B. y＝sin （x）
C. y＝cos （2x+）
D. y＝cos （x）
思路点拨：先观察T以及振幅A，再求出周期T，进而求出角速度ω＝，最后代入最小值点的横坐标，求出初相φ.
BC
【解】
【方法规律】
根据y=Asin(ωx+φ)的图象求解析式,基本方法是待定系数法,关键是参数A,ω和φ的确定.一般情况下,可直接观察图象得出周期、振幅,进一步求出角速度,最后利用最大值点(或最小值点)的横坐标求出初相.
【变式训练3】已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)
(ω)的部分图象如图，则φ的值为( )
A. -
B.
C. -
D.
B
【解】
【备选例题】已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)的部分图象如图,求满足条件>0的最小正整数x的值.
思路点拨：先观察T,再求出周期T,进而求出角速度ω=2,然后代入最大值点的横坐标,求出初相φ,最后解三角不等式.
【解】
【方法规律】
已知三角函数图象求函数解析式,一般情况下,可直接观察图象得出周期、振幅,进一步求出角速度,最后利用最大值点(或最小值点)的横坐标求出初相.有了解析式,可结合其图象和性质求出一些简单的三角不等式的解集.
课堂反思
通过本节课的学习，你学到了哪些知识？
2.你认为本节课的重点和难点是什么？
随堂演练
D
A
3. (多选)函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)(ω)的部分图
象如图所示，则 ( )
A. ω＝2 B. φ＝
C. ω＝ D. φ＝－
AD
y＝sint
5.如图所示，动点P在以O为圆心、半径为1 m的圆周上运动，从最低点M开始计时，用时4 min逆时针匀速旋转一圈后停止．设点P的纵坐标y(m)关于时间t(min)的函数为y＝f(t)，则该函数的解析式为．
4.将y＝sin x图象上_______________________________________
得到y＝sin x的图象，再_______________________________________得到y＝2sin x的图象，最后_________________________________得到y＝2sinx 的图象．
所有的点横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变
将各点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变
向右平移个单位长度
同学们再见！
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第五章
三角函数
5.6 函数y＝A sin (ωx＋φ)
课时18 函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象
教学目标
1. 掌握由正弦函数y=sinx的图象通过相位、周期、振幅变换得到函数y=Asin(ωx+φ)的图象的过程.
2. 能够运用五点法和变换法作出函数y=Asin(ωx+φ)的图象,进而研究函数y=Asin(ωx+φ)的性质.
3. 根据函数y=Asin(ωx+φ)的图象特征探究出函数y=Asin(ωx+φ)的性质,掌握图象和性质的应用.
学习目标
课程目标 学科核心素养
理解正弦曲线与函数y=Asin(ωx+φ)图象的关系,掌握它们互相变换的过程 通过探究正弦曲线与函数y=Asin(ωx+φ)图象的关系,培养直观想象、数学抽象等素养
会用五点法和变换法作出函数y=Asin(ωx+φ)的图象,并能根据图象研究其性质 在描绘函数y=Asin(ωx+φ)的图象、研究其性质的过程中,培养数学抽象、逻辑推理等素养
掌握函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质在解决简单的数学问题和实际问题中的应用 借助函数y=Asin(ωx+φ)的图象和性质解决问题,培养数学建模、数学运算等素养
情境导学
自然界中存在许多具有周期性变化的现象,而这些现象常可以利用三角函数的模型来模拟.请看下面的问题:如图,某大风车的半径为2 m,每12 s旋转一周,它的最低点O距离地面0.5 m,风车圆周上一点A从最低点O开始,运动t s后与地面的距离为h m.你能求函数h=f(t)的关系式吗 你能画出它的图象吗
初探新知
【问题1】请你设计一条由正弦曲线变换到y＝2sin（2x+） 图象的路径．
【问题2】在你设计的图象变换的路径中，如果改变三种变换的先后顺序，可以吗？有哪些异同点？
【问题3】请说说从正弦函数图象出发，通过图象变换得到y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)图象的一般过程.
【活动1】通过具体实例,总结由y=sinx到y=Asin(ω x+φ)(A>0,ω>0)图象变换的一般过程
【问题4】用五点法画函数y＝2sin（2x+） 的图象，选择哪“五点”进行作图？请说说你的理由．
【问题5】请说说利用五点法画函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)图象的一般过程．
【活动2】研究用五点法画函数y=Asin(ωx+φ)的大致图象
【问题6】一筒车运动时，其中一盛水筒离水面的高度H与时间变量t满足函数H＝r sin (ωt＋φ)＋h，筒车转轮的中心到水面的距离约为h＝m，筒车半径约为r＝2 m，该盛水筒从右侧水面开始运动，转动一圈需要约30 s．假设筒车逆时针做匀速圆周运动，则其角速度ω是多少(即每秒转多少弧度)？
【活动3】 解决筒车模型问题
【问题7】该盛水筒初始位置对应的初始角φ是多少？
【问题8】该盛水筒第一次转动到最高点时需要多少时间？
【问题9】该盛水筒一次舀水需要多长时间(从左侧入水到右侧出水的时长)
【知识梳理】
1. 函数y=sin(x+φ)的图象可看作是正弦曲线向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位长度得到的.
2. 函数y=sin(ωx+φ)的图象可以看作把函数y=sin(x+φ)图象上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的1/ω倍(纵坐标不变)得到的.
3. 函数y=A sin(ωx+φ)的图象可以看作函数y=sin(ωx+φ)的图象上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0典例精析
【例1】 [2022·天津市耀华中学高一期末]为了得到函数y＝cos x的图象，只需将函数y＝sin（2x+） 的图象上所有的点( )
A. 横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度
B. 横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再向右平移个单位长度
C. 横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度
D. 横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移个单位长度
C
思路点拨：利用诱导公式，将函数y＝sin（2x+）的解析式变形为y＝cos （2x），使得两个函数的函数名一致起来，再运用函数图象的相位变换和周期变换的规律进行变换，得出答案，解题时一定要弄清是由哪一个函数变换成哪一个函数.
【解】
【方法规律】
三角函数图象变换问题的常见题型有两类:一类是已知函数和变换方法,求变后的函数或图象;另一类是已知变换前后的函数,求变换的方式,属逆向性问题.
本题是后一种,解题的基本思路是利用诱导公式将异名三角函数变形为同名三角函数,再按照三角函数图象的变换规律进行变换,得出结果.
【变式训练1】[2020·安徽省部分重点中学高三冲刺练习]为了得到函数y＝sin 3x＋cos 3x的图象，可以将函数y＝cos x的图象上的各点( )
A. 横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再向右平移个单位长度
B. 横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度
C. 横坐标缩短到原来的3倍(纵坐标不变)，再向右平移个单位长度
D. 横坐标缩短到原来的3倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度
A
【解】
【例2】 [教材改编题]画出函数y＝sin（x+） 的简图．
思路点拨：从正弦函数y＝sin x的图象出发，通过图象变换得到函数y＝sin（x+） 的简图，也可以用五点法作出y＝sin（x+） 的简图．
【解】 方法1：利用图象变换画图：先画出函数y＝sin x的图象；再把正弦曲线向左平移个单位长度，得到函数y＝sin（x+） 的图象；然后使曲线上的各点的横坐标变为原来的3倍，得到函数y＝sin（x+） 的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的，这时得到函数y＝sin（x+） 的图象，如图①所示．
方法2：利用五点法画图．令X＝x+，则x＝3（X）.列表如下：
描点、连线(如图②)：
X 0 π 2π
x － π 4π
y 0 0 － 0
【方法规律】
图象变换法：由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象有两种常见方法．
【方法规律】
五点法：用五点法画y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)一个周期内的大致图象时，关键是要抓住五个关键点．
【变式训练2】
画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图：
(1) y＝sin x；(2) y＝2sin（2x+） .
【解】
变式训练2答图①
【解】
变式训练2答图②
【例3】[教材改编题]摩天轮是一种大型轮转状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图，某摩天轮最高点距离地面高度为125 m，转盘直径为120 m，设置有60个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的的位置进舱，转一周大约需要1 h.
(1) 游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动t min后距离地面的高度为H m，求在转动一周的过程中，H关于t的函数解析式；
(2) 求游客甲在开始转动15 min后距离地面的高度；
(3) 若甲、乙两人分别坐在相距最远的两个座舱里(即他们的座舱关于转轴对称)，在运行一周的的过程中，求两人距离地面的高度差h(单位：m)关于时间t(单位：min)的函数解析式，并求高度差的最大值．
思路点拨: 摩天轮上的座舱运动可以近似看作是质点在圆周上做匀速旋转．在旋转过程中，游客距离地面的高度H呈现周而复始的变化，因此可以考虑用三角函数来刻画．第(2)(3)问可以根据三角函数模型计算求解，也可以根据常识得到结果，并可采用这两种方法相互验证．
【解】如图，设座舱距离地面最近的位置为点P，以轴心O为原点，与地面平行的直线为x轴建立直角坐标系．
(1) 设t＝0时，游客甲位于点P(0，－60)，以OP为终边的角为－；根据摩天轮转一周大约需要1 h，即60 min，可知座舱转动的角速度约为rad/min，由题意可得H＝60sin （）＋65，0≤t≤60.
(2) 当t＝15时，H＝60sin（） ＋65＝65.所以游客甲在开始转动15 min后距离地面的高度约为65 m．实际上，此时刚好转了圈到达x轴上，高度即为轴心O的高度65 m．
(3) 如图所示，甲、乙两人的位置分别用点A，B表示，则∠AOB＝π.经过t min后甲距离地面的高度为H1＝60sin（） ＋65，点B相对于点A始终落后π rad，因此乙距离地面的高度为H2＝－60sin（） ＋65.则甲、乙两人距离地面的高度差h＝|H2－H1|＝120|cos（）|，0≤t≤60.当且仅当t＝0或30时，h取得最大值120.∴甲、乙两人距离地面的高度差的最大值为120 m．
【方法规律】
根据实际问题,分析变量之间的关系,建立直角坐标系,进一步构建数学模型并解决问题,基本步骤是:分析理解题意——建立数学模型——解决数学模型——给出问题答案.
【变式训练3】[教材改编题]某游乐园的摩天轮最高点距离地面108 m，直径长98 m，匀速旋转一圈需要18 min.如果某人从摩天轮的最低点登上摩天轮并开始计时，求当此人第三次距离地面 m时用了多少分钟？
【解】
变式训练3答图
【备选例题】若函数f(x)=Asin(ωx+φ) A>0,ω>0,|φ|<π/2 的最小值为-2,且它的图象经过点(0, )和点(,0).
(1) 若函数f(x)在[0, ]上单调递增,求函数f(x)的解析式;
(2) 若函数f(x)在[ 0,2 ]上恰好一次取得最大值2、一次取得最小值-2,求ω的值.
思路点拨: 由最小值为-2,可求出A=2,由图象经过点(0,)及|φ|<,可得φ=,由图象经过点,可得ω=k- , k∈N*. (1) 根据函数在上单调递增,建立关于ω的不等式,求出ω的范围,得ω=,问题即可获解. (2) 由函数f(x)在[0,2]上恰好一次取得最大值2、一次取得最小值-2,建立关于ω的不等式,求出ω的范围,得ω=2或.
【解】
【方法规律】
(1) 求函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π/2)的解析式的关键在于确定参数A,ω,φ的值,要注意充分利用参数A,ω,φ的取值对函数的图象和性质的影响.(2) 研究函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π/2)的性质,一是要能用好数形结合的思想方法;二是要有整体的思想,视“ωx+φ”为一个整体,借助正弦函数的图象和性质实现问题的解决.
课堂反思
通过本节课的学习，你学到了哪些知识？
2.你认为本节课的重点和难点是什么？
随堂演练
C
1. [教材改编题]已知曲线C1：y＝－4sin 2x，C2：y＝－4sin （2x+），则下列结论中正确的是( )
A. 把曲线C1上各点向右平移个单位长度，得到曲线C2
B. 把曲线C1上各点向右平移个单位长度，得到曲线C2
C. 把曲线C1上各点向左平移个单位长度，得到曲线C2
D. 把曲线C1上各点向左平移个单位长度，得到曲线C2
B
2. 将函数y＝sin (2x＋φ)的图象沿x轴向左平移个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )
A. B. C. 0 D. －
3. (多选)已知函数f(x)＝sin（3x+） ，则f(x)的图象的对称中心可以是( )
A. (,0) B. (,0)
C. (,0) D. (,0)
AC
5.[教材改编题]某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现．下表是今年前四个月的统计情况：
请你选用一个三角函数模型来近似描述收购价格与相应月份之间的函数关系：________________________.
4.将函数f(x)=2sin （ωx- ） (ω>0)的图象向左平移个单位长度得到函数y=g(x)的图象.若y=g(x)在[- , ]上单调递增,则ω的最大值为____.
2
月份x 1 2 3 4
收购价格y/(元/kg) 6 7 6 5
y＝cos x＋6
同学们再见！
Goodbye Students！