(共31张PPT)
第五章
三角函数
5.7 三角函数的应用
课时20 三角函数模型在生活中的应用
教学目标
1. 借助用电量变化问题,了解现实生活中存在着大量的具有周而复始、循环往复特点的周期变化现象,它们可以用函数模型y=Asin(ωx+φ)+b近似地描述.
2. 借助港口水深问题,利用已知数据作出散点图,并根据拟合的曲线得到函数解析式,尝试结合信息技术处理数据,观察图象,并由图象求出近似函数模型y=Asin(ωx+φ)+h.
3. 熟悉建立三角函数模型解决实际问题的基本方法和一般步骤,进一步理解三角函数模型y=Asin(ωx+φ)的图象和性质,掌握三角函数模型y=Asin(ωx+φ)的应用.
学习目标
课程目标 学科核心素养
了解具有“周而复始、循环往复”特点的周期变化现象可以用三角函数模型近似描述 在用三角函数模型描述周期变化现象的过程中,培养直观想象、数学抽象等素养
会用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的现实生活问题 在运用三角函数模型解决现实生活问题的过程中,培养数据分析、数学建模等素养
掌握建立三角函数模型解决实际问题的基本方法和一般步骤 归纳总结运用三角函数模型解决实际问题的基本方法和一般步骤,培养数学抽象、逻辑推理等素养
情境导学
某港口的水深y(单位：m)是时间t(0≤t≤24，单位：h)的函数，下表是有关时刻与水深的数据：
时刻 0：00 3：00 6：00 9：00 12：00 15：00 18：00 21：00 24：00
y/m 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0
根据上述数据描出的曲线，经拟合，该曲线可近似看成正弦型函数y＝A sin (ωt＋φ)＋h的图象，如图1.
根据上述实际问题的背景以及具体数据表和图象，你能求出对应的函数解析式吗？
初探新知
【问题1】如图2，某地夏天8～14时用电量变化曲线近似满足函数y＝A sin (ωx＋φ)＋b(ω＞0).从图上看，何时用电量最高？
【活动1】探究用电量变化问题的函数模型
【问题2】从图2上看，何时用电量最低？
【问题3】这一天8～14时的最大用电量差是多少？
【问题4】请你试着写出这段曲线的函数解析式．
【问题5】试根据情境导学中的数据表和图1，求出y＝A sin (ωt＋φ)＋h的解析式．
【活动2】探究港口水深关于时间变化的函数模型及其应用
【问题6】一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离不少于4.5 m时是安全的．如果某船的吃水深度(船底与水面的距离)为7 m，那么该船在什么时间段能够安全进港？
【问题7】若该船欲当天安全离港，则在港内停留的时间最多不能超过多长时间(忽略进出港所用的时间)？
典例精析
【例1】 如图表示相对于平均海平面的某海湾的水面高度h(m)在某天0～24时的变化情况，则水面高度h(m)关于时间t(h)的函数解析式为________________________．
思路点拨：根据函数图象即可设h＝A sin (ωx＋φ)，并根据图象可得出A＝6，ω＝，并可看出点(6，0)为五点作图的第一个点，从而可得出×6＋φ＝0，从而可得出φ的值，进而得出h关于t的函数解析式．
【解】设h＝A sin (ωx＋φ)，由图象知A＝6，T＝12，所以＝12，得ω＝＝.将点(3，－6)代入，得－6＝6sin （×3＋φ），故×3＋φ＝－，得φ＝－π.综上所述，h＝6sin（t－） ＝－6sin t(0≤t≤24).
【方法规律】
已知三角函数图象求函数解析式y=Asin(ωx+φ),一般情况下,可直接观察图象得出周期、振幅等,然后求出角速度,最后利用最大值点(或最小值点)求出初相.
【变式训练1】 (多选)[2021·南通高一期末] 心脏跳动时，血压会增加或减小．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80 mmHg为标准值．记某人的血压满足函数式p(t)＝a＋b sin ωt，其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，其函数图象如图所示，则下列说法中正确的是( )
A. ω＝80π
B. 收缩压为120 mmHg
C. 舒张压为70 mmHg
D. 每分钟心跳80次
BCD
【解】
【例2】 [2021·浙江省台州市金清中学高一期末]已知某海滨浴场的海浪高度y(m)是时间t(h)的函数，其中0≤t≤24，记y＝f(t)，下表是该海滨浴场某日各时刻的海浪高度数据：
经长期观测，y＝f(t)的图象可近似地看成是函数y＝A cos ωt＋b的图象．
(1) 根据以上数据，求该函数的最小正周期、振幅及函数解析式；
(2) 根据规定，当海浪高度大于1 m时海滨浴场才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天8～20时之间，有多长时间可供冲浪者进行活动？
时刻 0：00 3：00 6：00 9：00 12：00 15：00 18：00 21：00 24：00
y/m 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5
思路点拨：根据已知的数据表画出散点图更容易观察出三角函数模型的周期、振幅、最值点等相关信息．
(1) 由题表可知，函数的周期为12，进而求出ω；然后根据最高和最低高度求得振幅A；将(0，1.5)代入解析式求出b，把A，b和ω代入，可得函数的解析式．
(2) 依题意，当y> 1时，根据余弦函数的单调性求出t的范围，可得答案．
【解】
【方法规律】
首先利用表中数据求出函数最小正周期和振幅，从而得出函数的解析式(相邻两个最大值或最小值刚好是一个最小正周期)，再利用函数的解析式建立关于时间t的不等式，通过解不等式使问题获解．要注意一天24 h中，浴场的海浪高度变化是周期性的，且变化两个周期，因此我们计算可供冲浪者进行活动的时间不能只限制在一个周期内，而应在两个周期内加以考虑．
【变式训练2】[2021·广东省深圳市罗湖区高一期末]某大桥是交通要塞，每天担负着巨大的车流量．已知其车流量y(单位：千辆)是时间t(0≤t≤24，单位：h)的函数，记为y＝f(t)，下表是某日桥上车流量的数据：
经长期观察，函数y＝f(t)的图象可以近似地看作函数f(t)＝A sin (ωt＋φ)＋b(其中A>0，ω>0，b>0，－π≤φ≤0)的图象．根据以上数据，求函数y＝f(t)的近似解析式．
时刻 0：00 3：00 6：00 9：00 12：00 15：00 18：00 21：00 24：00
y/千辆 3.0 1.0 2.9 5.0 3.1 1.0 3.1 5.0 3.1
【解】
【例3】 [2022·陕西省咸阳市高一期中]某景区客栈的工作人员为了控制经营成本，减少浪费，合理安排入住游客的用餐，通过统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化，并且有以下规律：
① 每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同；
② 入住客栈的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约400人；
③ 2月份入住客栈的游客约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多．
若入住客栈的游客人数y与月份x之间的关系可用函数y＝f(x)＝A sin (ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0，0＜|φ|＜π)近似描述，求该函数的解析式．
思路点拨：根据已知的规律，可以得到三角函数模型的半个周期是8－2＝6，振幅为200，最值点(2，100)，(8，500)等相关信息，由此可知b＝300，最后代入最值点可求出初相φ＝ - .
【解】
【方法规律】
解决三角函数的实际应用问题，应当充分用好题目的信息，注意从复杂的情境中抽取出基本的数学关系，再调动相关的数学知识和生活常识来实现问题的解决．其一般步骤如下：
① 阅读理解，审清题意；
② 搜集整理相关数据，建立三角模型；
③ 所用三角函数知识对得到的三角函数模型予以解答，得出结果；
④ 将所得结论转译成实际问题的答案．
【变式训练3】 以一年为一个周期调查某商品的出厂价格及该商品在商店的销售价格时发现:该商品的出厂价格在6元的基础上按月份随正弦曲线波动,已知3月份出厂价格最高为8元,7月份出厂价格最低为4元;而该商品在商店内的销售价格在8元的基础上按月份也随正弦曲线波动,并且已知5月份销售价格最高为10元,9月份销售价格最低为6元.假设某商店每月购进这种商品m件,且当月能售完,请估计哪个月盈利最大,并说明理由.
【解】
课堂反思
通过本节课的学习，你学到了哪些知识？
2.你认为本节课的重点和难点是什么？
随堂演练
1. [2020·安徽省黄山市富堨中学高一期末(文)]设y＝f(t)是某港口水的深度y(m)关于时间t(时)的函数，其中0≤t≤24.下表是该港口某一天0～24时记录的时刻与水深y的关系数据：
经长期观察，函数y＝f(t)的图象可以近似地看成函数y＝A sin (ωx＋φ)＋h的图象．下列函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的是( )
A.y＝12＋3sin(t) ，t∈[0，24] B.y＝12＋3sin(t+) ，t∈[0，24]
C.y＝12＋3sin(t)，t∈[0，24] D.y＝12＋3sin(t+) ，t∈[0，24]
A
时刻 0：00 3：00 6：00 9：00 12：00 15：00 18：00 21：00 24：00
y/m 12 15.1 12.1 9.1 11.9 14.9 11.9 8.9 12.1
2. (多选) [2022·广东省深圳市外国语学校高一期末] 如图是某市夏季某一天的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数y＝A sin (ωx＋φ)＋B(0<φ<π)，则下列说法中正确的是( )
A. 该函数的周期是16
B. 该函数图象的一条对称轴是直线x＝14
C. 该函数的解析式是y＝10sin (x＋)＋20
(6≤x≤14)
D. 这一天的函数解析式也适用于第二天
AB
3.某地为发展旅游事业，在旅游手册中给出了当地一年12个月每个月的平均气温图(单位：℃)，如图．根据图中提供的数据，试用y＝A sin (ωx＋φ)＋b近似地拟合出月平均气温与时间(单位：月)的函数关系：__________________，x＝1，2，…，12.
y＝6sin(x＋21
4. [2020·湖南省长沙市高一期末]国际油价(单位：美元)在某一时间段内随时间(单位：天)变化呈现出正弦波动规律：P＝A sin(ωt＋) ＋60(A>0，ω>0).现采集到下列信息：最高油价为80美元，当t＝150时达到最低油价．则ω的最小值为________.
5.下表中给出了某地区在连续若干年间每年7月1日的猫头鹰数量(单位：只)：
(1) 作出这些数据的散点图；
(2) 选用一个三角函数来近似描述这些数据；
(3) 结合散点图，画出(2)中所选函数的图象．
年 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
数量 50 62 73 80 71 60 51 43 29 20 28 41 49
【解】 (1) 如图．
(2) 设第t年猫头鹰的数量y＝A sin (ωt＋φ)＋C.由数据表，可知C＝＝50，A＝80－50＝30，ω＝＝＝.由30sin（+） ＋50＝80，得sin （+）＝1，取φ＝0.故可用函数y＝30sin t＋50来近似描述这些数据．
(3) 如图所示．
同学们再见！
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第五章
三角函数
5.7 三角函数的应用
课时19 三角函数模型在物理中的应用
教学目标
1. 了解“简谐运动”的函数模型y=Asin(ωt+φ)(t≥0,A,ω>0)中参数A,ω,φ的物理意义,进一步理解函数y=Asin(ωx+φ)的图象特征和性质.
2. 能根据已知条件求出三角函数模型y=Asin(ωt+φ)的解析式,进一步体会函数y=Asin(ωx+φ)是描述日常生活中的周期现象的重要的数学模型.
3. 会构造三角函数模型y=Asin(ωx+φ)刻画和描述物理中的相关运动,能够将物理中的实际问题抽象为与三角函数y=Asin(ωx+φ)有关的函数模型.
学习目标
课程目标 学科核心素养
研究简谐运动,进一步理解函数y=Asin(ωx+φ)的图象特征和性质 通过对物理学中简谐运动的探索研究,培养数学抽象、逻辑推理等素养
能结合物理学的有关知识,根据已知条件求出三角函数模型y=Asin(ωt+φ)的解析式 在运用物理知识建立三角函数模型的过程中,培养数学抽象、数学建模素养
会用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的物理问题 在构建三角函数模型解决物理问题的过程中,培养数学建模、数学运算等素养
情境导学
现实生活中存在着大量的具有周而复始、循环往复特点的周期运动变化现象，这些现象一般都具有周期性，例如弹簧振子、单摆、交变电流等．这些周期现象的运动规律常常可以考虑借助三角函数来描述，而相关问题也可以运用三角函数的图象和性质加以解决．
现有某个弹簧振子在完成一次全振动的过程中，时间t(单位：s)与位移y(单位：mm)之间的对应数据如下表所示，结合表1数据，可以利用什么函数模型刻画弹簧振子的运动过程？
初探新知
【问题1】情境导学中，我们给出了弹簧振子一次全振动过程中时间与位移的对应数据，如何把已知的数据更直观地表达出来？
【活动1】探究振子运动规律的数学模型
【问题2】观察散点图，位移y随时间t的变化规律可以用怎样的函数模型刻画？
【问题3】如何求解振子的位移y(单位：mm)关于时间t(单位：s)的函数解析式(或近似解析式)？
【问题4】你能说出简谐运动中的振幅、周期、频率、相位、初相的含义吗
【问题5】如图①是某次实验测得的交变电流i(A)随时间t(s)变化的图象，将图象放大，可以发现交变电流的变化具有周而复始、循环往复的特点，如图②.那么可以利用怎样的函数模型刻画交变电流的周期性变化呢？
【活动2】探究交变电流关于时间变化规律的数学模型
【问题6】求电流i随时间t变化的函数解析式．
【问题7】根据上述解析式，当t＝0，，，，时，求电流i.
【知识梳理】
1. 在适当的直角坐标系下,简谐运动可以用函数y=A sin(ω x+φ),x∈[0,+∞)表示,其中A是这个简谐运动的振幅,它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离;这个简谐运动的周期是T=2π/ω,它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间;这个简谐运动的频率由公式f=1/T=ω/2π给出,它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数;ωx+φ称为相位;x=0时的相位φ称为初相.
2. 由交变电流的产生原理可知,电流i随时间t的变化规律可用i=Asin(ω t+φ)来刻画.其中A是交变电流的振幅,它是最大电流;周期是T=2π/ω,它是交变电流完整变化一次所需要的时间;这个交变电流的频率由公式f=1/T=ω/2π给出;ωt+φ称为相位;x=0时的相位φ称为初相.
典例精析
【例1】 [教材改编题]某简谐运动的图象如图所示，试根据图象回答下列问题：
(1) 这个简谐运动的振幅、周期与频率各是多少？
(2) 写出这个简谐运动的函数解析式．
思路点拨：先观察振幅A以及T，求出周期T，进而求出角速度ω＝，最后代入最小值点(0.5，－5)，求出初相φ.
【解】
【方法规律】
已知三角函数图象求三角函数解析式，一般情况下，可直接观察图象得出周期、振幅，进一步求出角速度，最后利用最大值点(或最小值点)求出初相．
【变式训练1】如图是弹簧振子做简谐振动的图象，横轴表示振动的时间，纵轴表示振动的位移，则这个振子振动的函数解析式是______
______________.
【解】
【例2】 弹簧挂着的小球做上下振动，它在时间t(s)内离开平衡位置(静止时的位置)的距离h(cm)由函数解析式h＝3sin（2t+） 表示．
(1) 求小球开始振动的位置；
(2) 求小球第一次上升到最高点和下降到最低点时的位置；
(3) 经过多长时间小球往返振动一次？
(4) 每秒内小球能往返振动多少次？
思路点拨：
(1) 把t＝0代入已知函数，求得h值即可得初始位置．
(2) 由解析式可得振幅，然后求出最高点、最低点对应t值，即可得．
(3) 求函数周期可得．
(4) 由频率的意义可得．
【解】
【方法规律】
已知三角函数解析式，一般情况下，可直接得出角速度、振幅，进一步求出周期、频率，以及最值．注意具体问题中几何刻画与代数刻画的联系与区别，例如本例题的最高点、最低点是几何刻画，最大值、最小值是代数刻画．
【变式训练2】
弹簧振子以点O为平衡位置在A，B间做简谐运动，A，B相距50 cm.某时刻振子位于点A，经1 s振子首次到达点B.求：
(1) 振子振动的周期和频率；
(2) 振子在1 min内通过的路程及此时的位移大小；
(3) 振子与点A的位移y与时间t的函数解析式．
【解】
【例3】 在电流强度I与时间t的关系I＝A sin (ωt＋φ)(A>0，ω>0)中：
(1) 要使t在任意 s的时间内的电流强度I能取得最大值A与最小值－A，求正整数ω的最小值；
(2) 存在某个 s的时间段上，电流强度I既能取到最大值A，也能取到最小值－A，求频率f的最小值．
思路点拨：(1) 任意 s时间内电流强度I能取得最大值A与最小值－A，只有三角函数在一个完整的周期上才能确保取到最大值与最小值，即周期T≤.
(2) 三角函数相邻的最大值点(使得函数取最大值的自变量)与最小值点(使得函数取最小值的自变量)之间的距离为最小正周期的一半，即≤.
【解】
(1) 由题意得T≤，即≤，即ω≥200π，从而正整数ω的最小值为629.
(2) 由题意得≤，即f＝≥50，从而频率f的最小值为50 Hz.
【方法规律】
交变电流I与时间t的关系可以用三角函数模型I=Asin(ωt+φ)(A>0,ω>0),应用这一模型解决相关问题时,要注意结合其图象分析:在一个完整的周期上必然能取到最大值与最小值;三角函数相邻的最值点之间的距离为最小正周期的一半.
【变式训练3】 (多选)交流电的电动势E(单位：V)与时间t(单位：s)的关系为E＝220sin（100t+） ，则下列说法中正确的有( )
A. 电动势的最大值为110 V
B. 电动势的最小正周期为 s
C. 电动势的初相为100π
D. 当t＝0.0175时，电动势E＝0
BD
【解】
如图,一根绝对刚性且长度不变、质量可忽略不计的线,一端固定,另一端悬挂一个沙漏.让沙漏在偏离平衡位置一定角度(最大偏角)后在重力作用下在铅垂面内做周期摆动.若线长为l cm,沙漏摆动时离开平衡位置的位移s(单位:cm)与时间t(单位:s)的函数关系是s=3cos,t∈[0,+∞).
(1) 当l=25 cm时,求该沙漏的最大偏转角θ0(精确到0.000 1 rad);
(2) 已知g=9.8 m/s2,要使沙漏摆动的周期是1 s,线的长度应当是多少(精确到0.01 cm).
【备选例题】
思路点拨：
(1) 最大偏角θ0满足sinθ0=s/l,其中,s=3,l=25,从而sinθ0=3/25,由计算器,可得θ0≈0.120 3.
(2) 由函数f(x)=Acos(ωx+φ)的性质与T=1 s,可得l=g/(4π2 ),代入g=9.8 m/s2=980 cm/s2,可求得l=980/(4×3.142 )≈24.82.
因为s(单位:cm)与时间t(单位:s)的函数关系是s=3cos, t∈[0,+∞),所以最大位移s=3,设偏角为θ,则最大偏角θ0满足sinθ0==,根据计算器的计算结果,得θ0≈0.120 3 rad,即当l=25 cm时,该沙漏的最大偏转角为0.120 3 rad.
(2) 根据f(x)=Acos(ωx+φ)的最小正周期为T=,得1= =4π2,即l=,
又g=9.8 m/s2=980 cm/s2,所以l=≈24.82(cm),所以,要使沙漏摆动 的周期是1s,线的长度应当是24.82 cm.
【解】
【方法规律】
在现实生活中,许多变化的现象都具有周期性,因此,可以用三角函数模型来描述.如:气象方面有温度的变化,天文学方面有白昼时间的变化,物理学方面有各种各样的振动波,生理方面有人的情绪、智力、体力变化等.研究这些应用问题,主要有以下三种模式.
(1) 给定呈周期变化规律的三角函数模型,根据所给模型,结合三角函数的性质,解决一些实际问题.
(2) 给定呈周期变化的图象,利用待定系数法求出函数,再解决其他问题.
(3) 搜集一个实际问题的调查数据,根据数据作出散点图,通过拟合函数图象,求出可以近似表示变化规律的函数式,进一步用函数性质来解决相应的实际问题.
课堂反思
通过本节课的学习，你学到了哪些知识？
2.你认为本节课的重点和难点是什么？
随堂演练
1. [2021·中国人民大学附属中学高一期末]音叉是呈Y形的钢质或铝合金发声器(如图①)，各种音叉因其质量和叉臂长短、粗细不同在振动时可发出不同频率的纯音敲击某个音叉时，在一定时间内，音叉上点P离开平衡位置的位移y与时间t的函数关系为y＝sin ωt，图②是该函数在一个周期内的图象，根据图中数据可确定ω的值为( )
A. 200 B. 400 C. 200π D. 400π
D
2. 一个弹簧振子做简谐振动的周期为0.4 s，振幅为5 cm，则该振子在2 s内通过的路程为( )
A. 0.2 m B. 0.5 m C. 1 m D. 2 m
C
3. (多选)电流I(A)随时间t(s)变化的函数I＝A sin (ωt＋φ)(Aω,0)的图象如图所示，则下列选项中正确的有( )
A. ω＝100π
B. 周期为0.01 s
C. 当t＝ s时，I＝－5 A
D. 振幅为20 A
AC
4.一弹簧振子的位移y与时间t的函数解析式为y＝A sin (ωt＋φ)(A>0，ω>0)，若弹簧振子运动的振幅为3，周期为，初相为，则这个函数的解析式为________________________________________
y＝3sin (7t+)
5.已知某种交流电的电流I(A)随时间t(s)的变化规律可以拟合为函数I＝5sin(100t) ，t∈[0，＋∞)，则此函数的周期为________；这种交变电流在0.5 s内往复运动________次．
s
25
同学们再见！
Goodbye Students！
