(共27张PPT)
第五章
三角函数
5.5 三角恒等变换
课时14 二倍角的正弦、余弦、正切公式
教学目标
1. 以两角和的正弦、余弦、正切公式为基础,探究和推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.
2. 理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式与两角和的正弦、余弦、正切公式之间的联系.
3. 能够熟练地运用二倍角的正弦、余弦、正切公式解决三角函数的求值、化简和证明等问题.
学习目标
课程目标 学科核心素养
能够运用两角和的正弦、余弦、正切公式,推导二倍角的正弦、余弦、正切公式 在探究和推导二倍角的正弦、余弦、正切公式的过程中,培养数学抽象、逻辑推理等素养
理解二倍角的正弦、余弦、正切公式与两角和的正弦、余弦、正切公式之间的联系 在理解和掌握倍角公式与和角公式的联系的过程中,培养数学抽象、数学运算等素养
能运用二倍角的正弦、余弦、正切公式解决有关三角函数的求值、化简和证明等问题 在运用倍角公式解决三角函数有关问题的过程中,培养逻辑推理、数学运算等素养
情境导学
在矩形ABCD中，设AC＝2，∠ACB＝α，如图1，DH⊥AC于点H.由S△ACD＝CD·AD＝AC·DH，你能得到什么结论？
初探新知
【问题1】两角和的正弦、余弦、正切的公式是什么？公式中的角α、β的取值有什么要求？
【问题2】能否根据之前学习的和(差)角公式来推导情境导学中得到的公式？
【问题3】能否根据之前学习的两角和的余弦公式来推导二倍角的余弦公式？
【问题4】能否根据之前学习的两角和的正切公式来推导二倍角的正切公式？
【活动1】探究二倍角的正弦、余弦、正切公式
【活动2】探究二倍角的余弦公式的两个变式
【问题5】根据同角三角函数的基本关系，C2α还能写成什么形式？
【问题6】能否用cos2α表示sin2α和cos2α？
【问题7】细心观察倍角公式中角的形式，有什么特征？
典例精析
【例1】 [教材改编题]已知cos ＝－，π<α<2π，求sin α，cosα，tan α的值．
思路点拨：已知条件给出了的余弦值；由于α是的二倍角，因此考虑用倍角公式，这里蕴含着换元思想．
【解】
【方法规律】
在二倍角的正弦、余弦和正切公式中,“二倍”是相对的,如4α是2α的二倍,α是 的二倍……运用二倍角的正弦、余弦和正切公式解决三角函数的有关问题,关键在于正确理解“二倍”的相对意义,实现二倍角的三角函数与单角的三角函数之间的相互转化.
【变式训练1】若cos(75°-α)= ,则cos(30°+2α)=
【解】
因为cos(75°-α)=sin(15°+α)=,所以cos(30°+2α)=1-2sin2(15°+α)=1-2×=.
【例2】 (1) 计算：cos cos cos ＝________；
(2)已知sin 2α＝，则cos2(α+ )＝________．
思路点拨：(1) , ,依次具有二倍角的关系，可由二倍角的正弦公式求解．
(2) 利用二倍角的余弦公式的变形公式，通过降次与题设条件建立联系，实现求解．
【解】
【方法规律】
在运用二倍角的正弦、余弦、正切公式解决三角函数的有关问题时,要注意到“三会”:一是会正用,即从左向右用;二是会逆用,即从右向左用;三是会变用,即运用变形公式例如sin2α= ,cos2α= 等.要能根据问题的特征,灵活地加以选择.
【变式训练2】 已知sin (α + )sin( - α) ＝，α∈(,)，求sin 4α的值．
【解】
【例3】 [教材改编题]已知3sin2α＋2sin2β＝1，3sin2α－2sin 2β＝0，且α，β都是锐角，求cos (2α＋2β).
思路点拨 结合已知条件，联合运用倍角公式、同角三角函数的基本关系求出sin α，cos α的值，继而再次运用倍角公式求出sin 2α，cos 2α的值，然后利用两角和的余弦公式，代入求值即可.
【解】方法1：由3sin2α＋2sin2β＝1，有3sin2α＝1－2sin2β，即cos2β＝3sin2α.由3sin2α－2sin 2β＝0，有2sin 2β＝3×2sin αcos α，即sin 2β＝3sin αcos α.由同角三角函数的基本关系有(3sin 2α)2＋(3sin αcos α)2＝1，又α，β都是锐角，则sin α＝，cos α＝.由倍角公式可得sin 2α＝，cos 2α＝.sin 2β＝3sin αcos α＝，cos 2β＝3sin2α＝，则cos(2α＋2β)＝cos 2αcos 2β－sin 2α·sin2β＝×－×＝－.
方法2：因为3sin 2α＋2sin2β＝1，所以3×＋2×＝1，即3cos 2α＝3－2cos 2β ①.又3sin 2α＝2sin 2β ②，①2＋②2得9cos22α＋9sin22α＝9＋4cos22β－12cos2β＋4sin22β，整理化简得cos2β＝，所以 cos 2α＝.因为α和β都是锐角，所以 2α，2β∈(0，π)，所以sin 2β＝＝，sin 2α＝＝.所以 cos (2α＋2β)＝cos 2αcos 2β－sin 2αsin 2β＝×－×＝－.
【方法规律】
在运用二倍角的三角函数公式求解三角函数的有关问题时,要善于从角、三角函数名称和三角函数式的结构特征入手,分析已知条件与所求之间的差异,正确选择、灵活运用二倍角的三角函数公式,设法消除形式上的差异,实现已知与未知的统一,达成已知向未知的转化,获得问题的结果.
【变式训练3】已知0＜β＜＜α＜π，且cos （α -）＝－，sin（ - ） ＝，求cos (α＋β)的值．
【解】
（备选例题）已知α,β为锐角,tanα=,cos(α+β)=-.
(1) 求cos2α的值;
(2) 求tan(α-β)的值.
思路点拨 (1) 因为tanα=,由同角三角函数的基本关系,可求得cos2α的值,代入二倍角的余弦公式,即可求出cos2α的值. (2) 注意到
(α-β)=2α-(α+β),只要求出tan2α和tan(α+β),再运用两角差的正切公式即可求出tan(α-β)的值.
【解】
【方法规律】
运用三角函数公式进行恒等变换,重在对所给条件进行挖掘,选择恰当的公式进行变形和转化,如由某角正弦值可得其余弦、正切值,由所给值的符号判断角所在的象限等.要突出三种主要变换:一、 变角,通常是“配凑”,常用的角的拆拼有2α=(α+β)+(α-β),α=(α+β)-β=(α-β)+β等.二、 变名,通过变换函数名称达到减少函数种类的目的,其手段通常有“切化弦”“升幂与降幂”等.三、 变式,根据式子的结构特征进行变形,使其更贴近某个公式或某个期待的目标,其手段通常有:“常值代换”“逆用变换公式”“通分约分”“分解与组合”“配方与平方”等.其中角的变换居核心地位.
课堂反思
通过本节课的学习，你学到了哪些知识？
2.你认为本节课的重点和难点是什么？
随堂演练
1. cos2－sin2等于( )
A.0 B. C. 1 D. －
2. 已知sin α＝，α∈(,)，则sin 2α的值为( )
A. B. C. － D. －
B
C
3. (多选)下列各式中，值为的是( )
A. 2sin 15°cos 15°
B. cos 215°－sin 215°
C. 1－2sin 215°
D. sin 215°＋cos 215°
BC
4. 已知tan α＝7，则tan 2α＝________.
5. 已知sin α＋cos α＝，则sin 2α＋cos 4α的值为________.
－
同学们再见！
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第五章
三角函数
5.5 三角恒等变换
课时16 简单的三角恒等变换（2）
教学目标
1. 运用三角恒等变换的方法,将形如a sinx+b cosx的三角函数式合一变形为Asin(x+φ)的形式.
2. 能灵活运用三角公式,通过三角恒等变换,解决三角函数的最大(小)值、周期、单调性等问题.
3. 通过构造三角函数模型,运用三角恒等变换的方法解决实际问题,培养数学应用的意识和能力.
学习目标
课程目标 学科核心素养
能够将形如asinx+bcosx的三角函数式变形为Asin(x+φ)的形式 在将asinx+bcosx变形为Asin(x+φ)的过程中,培养数学抽象、逻辑推理等素养
灵活利用公式，通过三角恒等变换，解决三角函数的最值、周期、单调性等问题 在运用三角公式解决三角函数的综合问题的过程中,培养逻辑推理、数学运算等素养
能通过构造三角函数模型,运用三角恒等变换的方法解决实际问题 在构造三角函数模型解决实际问题的过程中,培养数学建模、数学运算等素养
情境导学
如图,一段半径为R,圆心角为90°的扇形圆木,欲按图中阴影部分锯成横断面为四边形OABC的木料.试问:怎样锯才能使截面面积最大 这是课时10中遗留的问题,现在你能求出答案吗
初探新知
【问题1】如何求函数y=sinx-cosx,x∈R的最大值
【活动】探究推导“合一变形”公式y=asinx+bcosx=Asin(x+φ)
【问题2】如何求函数y=3sinx-4cosx,x∈R的最大值
【问题3】一般情况下,能否将函数y=asinx+bcosx化成y=Asin(x+φ)的形式
【问题4】推导“合一变形”公式a sin x＋b cos x＝sin (x＋φ)的思路和方法是什么
【活动2】“合一变形”公式:asinx+bcosx=Asin(x+φ)的剖析和理解
【问题5】在公式a sin x＋b cos x＝sin (x＋φ)中，辅助角φ满足的条件是什么？如何确定φ的值．
【问题6】公式a sin x＋b cos x＝sin (x＋φ)有哪些应用？
【问题7】如图1所示，已知OPQ是半径为1、圆心角为的扇形，四边形ABCD是扇形的内接矩形，B，C两点在圆弧上，OE是∠POQ的平分线，点E在 上．连接OC，记∠COE＝α，则角α为何值时矩形ABCD的面积最大？并求最大面积．
活动3 运用“合一变形”公式解决实际问题
典例精析
【例1】 [教材改编题]求函数f(x)＝5sin x－12cos x的周期、最大值和最小值．
思路点拨：利用合一变形公式将函数式转化为Asin(x+φ)的形式,再运用正弦函数的图象和性质使问题获解.
【解】
【方法规律】
对于形如y=asinωx+bcosωx的函数,为研究其值域、最值、周期性和单调性等问题,常可借助合一变形公式,运用辅助角方法,将目标函数转化为y=Asin(ωx+φ)的形式,再借助正弦型函数的图象和性质使问题获解.
y=5sinx-12cosx=13,令sinφ=,cosφ=,φ∈,那么y=5sinx-12cosx=13(sinxcosφ+cosxsinφ)=13sin(x+φ),所以f(x)的周期为=2π,最大值为13,最小值为-13.
【变式训练1】设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，求cos θ的值．
【解】
由合一变形公式可知sinx-2cosx=sin(x+φ),令cosφ=,sinφ=-,当x+φ=+2kπ(k∈Z)时,f(x)取得最大值,若x=θ,则θ+φ=+2kπ(k∈Z),cosθ=sinφ=-.
【例2】
思路点拨：(1) 这是一道关于三角函数的给角求值问题，通过化切为弦，灵活运用辅助角公式进行三角恒等变换，消去(约去)非特殊角的三角函数，以实现求值．
(2)这是一道关于三角函数的给值求值问题，通过灵活运用辅助角公式，找出已知条件与所求值的角之间的联系，使问题获得解决．
【解】
=
【方法规律】
对于三角函数式的求值、化简和证明等问题,在进行三角恒等变换时,若遇到形如asinθ+bcosθ的结构,要能优先想到合一变形公式,灵活地运用辅助角方法进行恒等变形,以达成求出三角函数式的值、化简三角函数式、证明三角恒等式的目标,使问题获得解决.
【变式训练2】
【解】
【例3】如图，某市准备在道路EF的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段FBC，该曲线段是函数y＝A sin(x+) (A>0，ω>0)，x∈[-4,0]的图象，且图象的最高点为B(－1，2)，赛道的中间部分是长为 km的直线跑道CD，且CD∥EF，赛道的后一部分是以O为圆心的一段圆弧DE.
(1) 求ω的值和∠DOE的大小；
(2) 若要在圆弧赛道所对应的扇形ODE区域内建一个矩形草坪，矩形的一边在道路EF上，一个顶点在半径OD上，另外一个顶点P在圆弧DE上，且∠POE＝θ，求当矩形草坪的面积取最大值时θ的值．
思路点拨：(1) 依题意，得A＝2，＝3.根据周期公式T＝可得ω的值，把点C的横坐标代入结合已知可得OC的长，从而可求∠DOE的大小．
(2) 由(1)可知OD＝OP，矩形草坪的面积S是关于θ的函数，有0<θ<，结合正弦函数的性质可求得S取得最大值时θ的值．
【解】
【方法规律】
凡涉及三角函数恒等变换的实际问题,应首先将实际问题构建成一个关于三角函数的数学模型,然后运用三角函数恒等变换的公式加以解决.解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题意,只有吃透题意,才能将实际问题转化为数学模型进行解答.
【变式训练3】 [2022·江苏省连云港市锦屏高级中学高一期中改编题]如图，OPQ是半径为2，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的一动点，记∠COP＝θ，四边形OPCQ的面积为S.
(1) 找出S与θ的函数关系；
(2) 试探究当θ取何值时，S最大，并求出这个最大值．
【解】
【备选例题】 已知函数f(x)=2sin2+cos2x-1.
(1) 求函数f(x)的单调递增区间;
(2) 若关于x的方程f(x)-m=2在x∈上有两个不同的解,求实数m的取值范围.
思路点拨： (1) 通过降次、合一变形将函数式变形为y=Asin(ωx+φ)的形式,再利用正弦函数的图象和性质研究其单调性.
(2) 画出f(x)的图形,数形结合求解.
【解】
【方法规律】
(1) 对于一些复杂的三角函数式,为研究其性质,常需要运用三角函数恒等式,将其变形为y=Asin(ωx+φ)的形式,再根据正弦型函数的图象和性质,使问题获解;(2) 有关函数的零点,方程的根,不等式的解等问题,借助函数的图象,从形的角度入手,数形结合求解.
课堂反思
通过本节课的学习，你学到了哪些知识？
2.你认为本节课的重点和难点是什么？
随堂演练
B
C
A. 2π B. C.π D.4π
BD
-4
（答案不唯一）
- （答案不唯一）
同学们再见！
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第五章
三角函数
5.5 三角恒等变换
课时12 两角差的余弦公式
教学目标
1. 能运用圆的旋转对称性和任意角的三角函数的定义探索、猜想、发现并推导出两角差的余弦公式.
2. 在初步认识和理解两角差的余弦公式的结构特征及其主要功能的基础之上熟记两角差的余弦公式.
3. 能够熟练地运用两角差的余弦公式求解有关三角函数中的知角求值、知值求值和知值求角等问题.
学习目标
课程目标 学科核心素养
能够运用圆的旋转对称性和任意角的三角函数的定义,发现和证明两角差的余弦公式 通过探索、猜想、发现和推导两角差的余弦公式,培养直观想象、数学抽象等素养
理解两角差的余弦公式的结构特征及主要功能,熟记两角差的余弦公式 在理解和熟记两角差的余弦公式的过程中,培养数学抽象、逻辑推理等素养
学会运用两角差的余弦公式求解三角函数中有关知角求值、知值求值和知值求角等问题 在运用两角差的余弦公式求解有关问题的过程中,培养逻辑推理、数学运算等素养
情境导学
在数学里，有一种证明方法叫做无字证明，它一般是指仅用图形语言而无需文字解释就能不证自明的数学命题．
我国数学家赵爽在注《周髀算经》时用以证明勾股定理的“弦图”，以及古希腊信奉“万物皆数”的毕达哥拉斯学派所研究的“形数”等，都是“无字证明”的典范．
一个优美的无字证明不仅包含了构造者的奇思妙想，还蕴涵着数学的本质，体现了数学的美学意义，能够达到“无声胜有声”的目的．
如图1，是一张著名的有关三角函数的无字证明图形．观察该图形，你有何发现？
初探新知
【问题1】我们在初中时就知道cos 45°＝，sin 45°＝，cos 30°＝，sin 30°＝，你能求出cos 15°的值吗？
【问题2】cos (45°－30°)＝cos 45°－sin 45°成立吗？如果不成立？cos (45°－30°)应该等于什么呢？
【问题3】一般地，设α，β为任意角，试猜想cos (α－β)与cos α，cos β，sin α，sin β，之间的关系？
【活动1】两角差的余弦公式的探究发现
【活动2】两角差的余弦公式的推导证明与分析
【问题4】从图中，你能否得到cos (α－β)的表达式？
【问题5】上述表达式是否对任意角α，β都成立？你能用圆的旋转对称性进行证明吗？
【活动3】分析两角差的余弦公式的特征，深化对两角差的余弦公式的认识和理解
【问题6】公式cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β称为两角差的余弦公式，记作C(α－β).该公式有什么特点？如何记忆？
【问题7】大家最初质疑“cos 15°＝？”，现在能解决这一问题吗？
【问题8】给出下面的三角函数式：cos (θ＋21°)cos (θ－24°)＋sin (θ＋21°)sin (θ－24°)，你能对其化简吗？
【问题9】你能利用两角差的余弦公式证明下列诱导公式吗？
(1) cos( ＝sin α；(2) cos( ＝－sin α.
典例精析
【例1】 计算下列各式的值：
(1) cos 705°；(2) cos 73°cos 13° ＋sin 73°sin 167°.
思路点拨：(1) 可运用诱导公式将cos705°变换为cos15°，cos15°＝cos(45°－30°)，再由两角差的余弦公式展开，转化为特殊角的函数值求出结果．
(2) 由诱导公式，将cos 73°cos13°＋sin73°sin 167°变换为cos73°cos 13°＋sin 73°sin 13°，再逆用两角差的余弦公式将其变为cos 60°即可求出结果．
【解】 (1) cos 705°＝cos (720°－15°)＝cos (－15°)＝cos 15°＝cos (45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝×＋×＝.
(2) cos 73°cos 13°＋sin 73°sin 167°＝cos 73°cos 13°＋sin 73°sin (180°－13°)＝cos 73°cos 13°＋sin 73°sin 13°＝cos (73°－13°)＝cos 60°＝.
【方法规律】
解决三角函数知角求值问题的关键是灵活地运用三角函数公式将非特殊角的三角函数值转化为特殊角的三角函数值,公式运用之妙,存乎一心,使用时强调一个“活”字,而“活”的基础来源于对公式结构本身的深刻理解,“活”主要体现在正用、逆用、变用这三个方面.
【变式训练1】计算下列各式的值：
(1) cos ；(2) sin 460°sin (－160°)＋cos 560°cos (－280°).
【解】
【例2】 [教材改编题]（1）已知sin α＝，α∈(,)，cos β＝，β是第四象限角，求cos (α－β)的值．
(2) 已知cos(15°+α)= ,0°<α<90°,求cos(15° -α)的值.
思路点拨：(1) 由已知sinα和cosβ的值,结合同角三角函数的基本关系,可求出cosα和sinβ的值,再由两角差的余弦公式,将cos(α-β)展开即可. (2) 将所求角用已知角表示:15°-α=30°-(15°+α),再由两角差的余弦公式将未知值转化为已知值即可.
【解】 （1）由sin α＝，α∈(,)，得cos α＝－＝－＝－.又由cos β＝，β是第四象限角，得sin β＝－＝－＝－.所以cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝(－)×＋×(－)＝－
【方法规律】解决三角函数的知值求值问题,要注意找出已知的函数值与所求的函数值之间的联系,特别是抓住角的特征分析,设法将未知角用已知角和特殊角表示出来,再运用三角函数公式进行化简和变形,将求知的函数值用已知的函数值表示出来,进而达成求值的目标.
【变式训练2】（1）已知cos α＝，α∈(,)，则cos( 等于
( )
A. － B. C. D.
D
【解】
【变式训练2】（2）已知α,β∈(,π),sin(α+β)=-,sin(β-)= ,则cos(α+)的值为( )
A. － B. C. - D.
C
【解】
【例3】已知α与β均为锐角,sinα=,tanβ=3,求α-β的值.
思路点拨
由sinα=,tanβ=3,利用同角三角函数间的关系,可求出cosα、sinβ、cosβ,根据两角差的余弦公式,cos(α-β)可求,从而即得α-β之值.
【解】
【方法规律】
求解三角函数中的给值求角问题,其本质仍是给值求值问题,即通过求所求角的某一三角函数值确定角的大小,因此其关键除了求值外,还在于确定角的范围,一般地选择一个适当的三角函数,根据题设确定所求角的范围,利用三角函数的单调性求出角.确定角的范围是关键,一定要使所选的函数在此范围内是单调的,必要时,还需根据已知三角函数值缩小角的范围.
【变式训练3】
已知α,β均为锐角,且cosα=,cosβ=,求α-β的值.
【解】
（备选例题）已知函数f(x)=sinx+cos(x - ).
(1) 求函数f(x)的值域与最小正周期;
(2) 求函数f(x)的单调递增区间
思路点拨
运用两角差的余弦公式,将f(x)的表达式变形为Acos(ωx+φ)的形式,即可运用余弦函数的图象和性质求出其值域、最小正周期和单调递增区间.
【解】
【方法规律】
研究与三角函数有关的复杂函数的性质,一个最基本的思路,就是先运用三角函数公式将其转化为y=Asin(ωx+φ)的形式,或y=Acos(ωx+φ),再借助正弦函数或余弦函数的图象来加以研究,而实现转化的关键在于对三角函数公式的灵活运用.
课堂反思
通过本节课的学习，你学到了哪些知识？
2.你认为本节课的重点和难点是什么？
随堂演练
1. 计算cos 18°cos 78°＋cos 72°sin 78°的值为( )
A. B. C. － D. －
2. 若cosα=-,α是第三象限的角,则cos(α-)的值为
A. B. C. D.
B
C
AC
3. (多选)[2020·南京秦淮中学高一期中]已知α，β是锐角，cos α＝，cos (α－β)＝，则cos β可能的值是( )
A. B. C. D. －
4. 已知sin α＝，α∈(,)，则cos( 的值为________________．
5. f(x)= cos2x＋sin2x的单调递减区间为________.
[k+k(k∈Z)
同学们再见！
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第五章
三角函数
5.5 三角恒等变换
课时13 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
教学目标
1. 以两角差的余弦公式为基础,探索和推导两角和与差的正弦、正切及两角和的余弦等公式.
2. 通过分析两角和与差的三角函数的结构特征、明确它们之间的联系,理解和记忆这些公式.
3. 能熟练地运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式解决三角函数求值、化简和证明等问题.
学习目标
课程目标 学科核心素养
利用两角差的余弦公式,探究和推导两角和与差的正弦、正切及两角和的余弦等公式 通过推导两角和与差的正弦、正切及两角和的余弦等公式,培养数学抽象、逻辑推理等素养
掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式的结构特征,理解这些公式之间的关系 在记忆、理解两角和与差的正弦、余弦、正切等公式的过程中,培养直观想象、数学抽象等素养
体会两角和与差的正弦、余弦、正切公式在三角函数的求值、化简和证明中的运用 在两角和与差的正弦、余弦、正切等公式的运用过程中,培养逻辑推理、数学运算等素养
情境导学
在美丽的“无字证明”中,我们利用图1,得到了两角差的余弦公式C(α-β),根据这张图,还能得到其他公式吗
初探新知
【问题1】从图2中，你能得到什么公式？
【活动1】推导两角和与差的正弦、余弦公式
【问题2】能否从公式C(α－β)出发，推导出C(α－β)
【问题3】怎样由C(α－β)得到S(α＋β)呢？
【问题4】又怎样由S(α＋β)得到S(α－β)呢？
【问题5】在公式S(α±β)和C(α±β)中，角α，β要满足怎样的条件
【活动2】推导两角和与差的正切公式
【问题6】能否利用S(α+β)和C(α+β)中结果来推导T(α+β)的结果？
【问题7】怎样得到T(α－β)呢？
【问题8】公式Tα＋β和Tα－β的适用条件是什么？
【活动3】对两角和与差的正弦、余弦和正切公式的剖析与理解
【问题9】回顾两角和与差的正弦、余弦和正切公式的推导过程,说说你对这些公式的认识.
【问题10】回忆两角差的余弦公式的应用,说说两角和与差的正弦、余弦和正切公式有哪些应用 怎样应用
典例精析
【例1】 [教材改编题]已知sin α＝－，α是第三象限角，求sin( ，cos( ，tan( 的值．
思路点拨：由α是第三象限角，算得cos α，接着利用和(差)角公式，即可得到本题答案．
【解】
【方法规律】
对于已知某角的三角函数值，求其他角的三角函数值问题，首先要分析所求角与已知角之间的关系，将所求角转化为已知角，再正确运用公式求出所求的三角函数的值．在运用同角的平方关系时，要根据角的范围准确选择正、负号．
【变式训练1】
已知cos(α-)=-,sin(-β)=,且0<β<<α<π,求sin的值.
【解】
【例2】 [教材改编题]利用和(差)角公式计算下列各式的值：
(1) sin 85°cos 35°＋cos 85°sin 35°；
(2) cos 20°cos 25°－sin 20°sin 25°；
(3) .
(4) .
思路点拨：和(差)角公式把 α ± β 的三角函数式转化成了 α， β 的三角函数式．如果反过来，从右到左使用公式，就可以将上述三角函数式化简．
【解】(1) 由公式 S(α＋β), 得sin 85°cos 35°＋cos 85°sin 35°＝sin (85°＋35°)＝sin 120°＝.
(2) 由公式C(α＋β), 得cos 20°·cos25°－sin 20°sin 25°＝cos (20°＋25°)＝cos 45°＝.
(3) 由公式T(α－β)及tan 60°＝， 得＝＝tan (60°－15°)＝tan 45°＝1.
【解】
【方法规律】
两角和与差的正弦、余弦、正切公式,可以从左向右用即正用,也可以从右向左用即逆用,在解决问题的过程中,既要学会两角和与差的正弦、余弦、正切公式的正用,也要学会两角和与差的正弦、余弦、正切公式的逆用,要能注意问题的特点灵活地运用公式,以充分发挥公式的应用功能.
【变式训练2】 (1) 满足sin sin x＋cos cos x＝的锐角x＝________；
(2) 已知0<β<α<,点P(1,4)为角α终边上一点,且sinαsin(-β)+cosαcos(+β)=,则角β等于( )
A. B. C. D.
D
【解】
【解】
【例3】 在△ABC中：
(1) 已知A＋C＝2B，求tan ＋tan ＋tan tan 的值；
(2) 已知sin A＝3cos B cos C，tan B tan C＝2，求tan (B＋C)的值．
思路点拨 (1) 结合三角形内角和定理，可得A＋C＝120°，从而得＝60°，由T(α＋β)可得结果．
(2) 已知tan B tan C＝2，只要根据已知条件求出sin (B＋C)＝3cos B cos C，然后求tan B tan C即可．
【解】(1) 因为A＋B＋C＝180°且A＋C＝2B，所以A＋C＝120°，＝60°.所以＝tan ＝，即tan ＋tan ＝－，则tan ＋tan +＝.
(2) 因为sin A＝sin (B＋C)，所以由题设条件得sin (B＋C)＝3cos B cos C，即sin B cos C＋cos B sin C＝3cos B cos C，等式两边同时除以cos B cos C(易知cos B cos C≠0)，得tan B＋tanC＝3，又tan B tan C＝2，所以tan (B＋C)＝＝＝－3.
【方法规律】
(1) 三角形中的三角函数求值问题要注意结合三角形的边角关系,灵活运用和(差)角公式解决;(2) 在同时含“tanA±tanB”与“tanAtanB”的三角问题中,联想到从两角和与差的正切函数出发变用公式,常能使问题顺利获解.
【变式训练3】在△ABC中：
(1) 当2B＝A＋C时，求tan A＋tan C－tan A tan C的值；
(2) 当tan A＝，tan B＝时，求角C的大小．
【解】
（备选例题）
已知f(x)=cos2x+sin2x.
(1) 求函数f(x)的最小正周期和值域;
(2) 若f()=,且α∈（,）,试求sinα的值.
思路点拨
(1) 将f(x)=cos2x+sin2x变形为Asin(ωx+φ)的形式,容易求出其最小正周期和值域.
(2) 由f()=,且α∈(),可得sin(α+)=,注意到α=(α+)- ,运用同角三角基本关系和两角差的正弦公式,即可求出sinα的值.
【解】
【方法规律】对三角函数的综合问题的求解,其关键在于灵活地运用三角函数公式进行恒等变形.
(1) 对公式的运用要注意抓住“三会”:会正用,会逆用,会变用.记住一些常见的变形公式,例如tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ)等,对解题将十分有益.
(2) 要善于从角的特征分析,学会把“所求角”用“已知角”表示.当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式;当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系.
【方法规律】
课堂反思
通过本节课的学习，你学到了哪些知识？
2.你认为本节课的重点和难点是什么？
随堂演练
1. 计算cos 18°cos 42°－cos 72°sin 42°的值为( )
A. B. C. － D. －
B
D
2. 已知cos θ＝，且θ∈(,0)，则tan( 的值为( )
A. －7 B. 7 C. － D.
3. (多选)下面各式中，正确的是( )
A. sin（+） ＝sin cos ＋cos
B. cos ＝sin －cos cos
C. cos（） ＝cos cos ＋
D. cos ＝cos －cos
ABC
4. tan 15°的值是________.已知cos(α+β)= ,cos(α-β)= ,则tanαtanβ的值为 .
5. 值为________.
2－
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0.5
同学们再见！
Goodbye Students！(共29张PPT)
第五章
三角函数
5.5 三角恒等变换
课时15 简单的三角恒等变换(1)
教学目标
1. 通过运用二倍角的三角函数公式推导半角公式,体会“半”角和“倍”角的相对性.
2. 通过和差化积、积化和差公式的推导,体会三角函数的乘积与和差之间的内在联系.
3. 熟练地运用三角公式解决有关求值、化简和证明等问题,提高三角恒等变换的能力.
学习目标
课程目标 学科核心素养
理解半角公式,会由倍角公式推导半角公式,体会半角和倍角的相对性 通过运用倍角公式推导半角公式,培养数学抽象、逻辑推理等素养
理解三角函数的和差化积和积化和差公式,体会角的三角函数的积与和差之间的内在联系 通过推导和证明三角函数的和差化积和积化和差公式,培养数学抽象、逻辑推理等素养
能够熟练运用三角公式解决有关求值、化简和证明等三角函数恒等变换的问题 在运用三角公式进行三角恒等变换的过程中,培养逻辑推理、数学运算等素养
情境导学
前面,我们学习了两角和与差的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式,这些公式建立了不同类型的角的三角函数之间的关系,借助这些关系可以进行三角函数的恒等变形,从而解决三角式的求值、化简和证明等问题.我们还能得出一些其他的三角恒等变形公式吗 在下面的图形中,你能得出怎样的三角函数关系式
初探新知
【问题1】已知cos α＝，求cos2 的值．
【问题2】已知cos α＝，求sin2，tan2的值．
【问题3】由问题1和问题2的结果，你能得到什么结论？
【问题4】这一结论还可以如何表示？
【问题5】你能证明半角的正弦、余弦、正切公式吗
【活动1】利用倍角公式推导半角公式
【活动2】探究和差化积、积化和差公式
【问题6】若sin αcos β＝t[sin (α＋β)＋sin (α－β)]，则t的值是多少？
【问题7】若sin θ＋sin φ＝t sin cos ，则t的值是多少？
【问题8】从上面的两个问题中,你能得出怎样的结论
【问题9】运用上面的方法,将三角函数的积化为和,和化为积,你能得出怎样的公式
【问题10】你能说出积化和差与和差化积公式的结构有什么特征吗
典例精析
【例1】 [教材改编题]已知cos θ＝－，θ∈(π，2π)，则sin ＋cos ＝________.
思路点拨：直接利用半角公式完成计算，注意角的范围．
【解】
【方法规律】
运用半角的正弦、余弦和正切公式,根据单角θ的三角函数值,可以求出半角的三角函数值,在运用半角公式的过程中,要特别注意:(1) 角的范围,根据角的范围正确选择根号前的正、负号;(2) 半角的相对性:θ是2θ的一半, 是θ的一半, 是的 一半,等等.
【变式训练1】 若角α∈ (,)，则 等于( )
C
【解】
【例2】 证明下列恒等式：
思路点拨：运用和差化积公式、积化和差公式,对等式两端的三角函数式进行恒等变形,使其实现形式上完全一致即可.
【解】
【方法规律】
三角恒等式的证明,本质上是运用相关公式对等式左、右两边的三角函数式进行恒等变形,消除差异,实现形式上的完全统一,常用的方法有变左为右、变右为左和左右归一三种,原则是由繁到简.切化弦、异名化同名、异角化同角、高次降低次、积化和差、和差化积等是常用的手段.．
【变式训练2】 已知cos α－cos β＝，sin α－sin β＝－，求sin (α＋β)的值．
【解】
【例3】 化简下列各式:
(1) sin2α+cos2(α+30°)+sinαcos(α+30°);
(2) -2cos(α+β).
思路点拨 (1) 有两种思路:一是从“角的特征”入手,将(α+30°)的三角函数展开,都变为α的三角函数后运用同角关系化简;二是从“运算种类”入手,降幂,和积互化. (2) 先通分,将分子化积,再约分,化为最简.
【解】
【解】
【方法规律】
化简,顾名思义,即化繁为简,分析繁的原因,无外乎项数多、有分母、带根号等几种情形,因此化简三角函数式的要义是:“并项”“约分”“配方”.基本原则是“三看”:一看角,二看名,三看式子结构与特征.注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等),寻找式子和三角函数公式之间的联系点是实现化简的关键。
【变式训练3】化简下列各式:
(1) sin2αsin2β+cos2αcos2β - cos2αcos2β;
(2) ,其中π<α<2π.
【解】
【解】
（备选例题）
(1) 若A+B=120°,则sinA+sinB的最大值是________;
(2) 直角三角形中两锐角为A和B,则sinAsinB的最大值为________.
思路点拨 (1) 用两角正弦的和化积,A+B=120°是定值,把A-B当做整体就可以求最大值了. (2) 直角三角形中两锐角为A和B满足A+B=90°是定值,积化和差,把A-B当做整体,运用余弦函数的有界性即可.
【解】
【方法规律】
求三角函数的值域或最值,一个基本的思路,就是将所给三角函数式进行恒变变形,使其转化为y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)的形式,再运用正弦函数、余弦图象和性质.当两角和或差是定值时,求两角的正弦函数和或积的最值时,用和差化积与积化和差公式化简比较简便.
课堂反思
通过本节课的学习，你学到了哪些知识？
2.你认为本节课的重点和难点是什么？
随堂演练
1. 已知x∈(),且cos2x=,则cosx的值是 ( )
A. B. C. D.
2.若sin＝，<θ<3π，则sin 的值是（ ）
A. B. C.－ D. －
A
D
ABC
4. 若△ABC为等腰三角形，顶角为A，cos A＝－，则sin B＝________.
5. 若cos＝，，则sin ＝________.
同学们再见！
Goodbye Students！
