2.5一元二次方程的根与系数的关系 同步练习题（含解析） 北师大版数学九年级上册

2023-2024学年北师大版九年级数学上册《2.5一元二次方程根与系数的关系》
同步练习题（附答案）
一、单选题
1．一元二次方程的一根是，则另外一根是（ ）
A． B． C． D．
2．一元二次方程的两个根分别为，则的值为（ ）
A． B．5 C． D．1
3．已知，是一元二次方程的两根，则的值是（ ）
A． B．2 C． D．
4．已知关于的一元二次方程（为常数），下列说法正确的是（ ）
A．方程可能无实数根
B．当时，方程的根为，
C．若是方程的两个实数根，则
D．当时，方程的根为，
5．已知方程的两根分别为、，则的值为（ ）
A．1 B． C．2023 D．
6．如果m，n是两个不相等的实数，且满足，，那么代数式的值是（ ）
A．16 B．15 C．12 D．9
7．已知是方程的两个实数根，则代数式的值是（ ）
A．4047 B．4045 C．2023 D．1
8．已知实数，且满足，则的值为（ ）
A．23 B． C． D．
二、填空题
9．已知一元二次方程的一个根是1，则另一个根是______．
10．已知，是关于的方程的两实数根，且，，则的值为____________，的值是__________．
11．已知方程的两个解分别为，则的值为_______．
12．设是关于的方程的两个根，且，则_______________．
13．已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，若，则m的值为______．
14．关于的一元二次方程的两个实数根是，，满足，则的取值范围是______．
15．若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是______________．
16．已知一元二次方程的两个实数根分别为，且的值为菱形的棱长，则菱形的周长为______．
三、解答题
17．已知 是方程的两个实数根，求下列各式的值：
(1)
(2)
18．已知关于x的方程有两个实根．
(1)求m的范围．
(2)若，是方程的两个根，且，求m值．
19．已知关于x的一元二次方程为有实数根．
(1)求的取值范围；
(2)设为此方程的两根，且满足，求的值．
20．已知关于的一元二次方程有两个实数根和
(1)求实数的取值范围；
(2)若时，求的值．
21．关于x的一元二方程的两个根是平行四边形两邻边长．
(1)当，且四边形为矩形时，求矩形的对角线长度．
(2)若四边形为菱形，求菱形的周长．
22．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：无论m取什么实数值，该方程总有实数根；
(2)当的斜边，且两条直角边的长b和c恰好是方程的两个根时，求m的值；
(3)若方程两根都不大于3，求m的取值范围．
参考答案
1．解：∵一元二次方程的一根是，
∴设一元二次方程的另一个根为,
∴，
∴，
故选：．
2．解:
根据根与系数的关系得，
∴
故选：C．
3．解：∵，是一元二次方程的两根，
∴，，
∴
，
故选：A．
4．解：A、∵，
∴方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意；
B、当时，方程为，即，
方程的根为，，故本选项不符合题意；
C、若是方程的两个实数根，则，故本选项不符合题意；
D、当时，方程为，即，
方程的根为，，故本选项符合题意；
故选：D．
5．解：∵方程的两根分别为、，
∴，，，
∴
∴
．
故选：B．
6．解：∵，，
∴m，n可以看作一元二次方程的两根，
∴，，
∵，
∴
，
故选：B．
7．解：∵是方程的两个实数根，
∴，，，
∴ ，
故选：A．
8．解：∵，且满足，
∴是方程即的两个根，
∴，
整理，得，，
∴，，
∴；
故选：B.
9．解：设该方程的两个根分别为：，
根据题意可得：，
∵，
∴，
故答案为：2．
10．解：∵，是关于的方程的两实数根，
∴，，
∵，，
∴，
即，
∴．
故答案为：2；
11．解：∵方程的两个解分别为，
∴，，
．
故答案为：．
12．解：，是关于x的方程的两个根，
，，
，
，即，则，
故答案为：．
13．解：∵，
∴，，
∵，
∴，
即，
解得：，
故答案为：1．
14．解：∵关于的一元二次方程的两个实数根是，，
∴，，
∴，
∴．
∵，
∴，
解得：．
∵该方程有两个实数根，
∴，
解得：，
∴．
故答案为：．
15．解:设两条直角边的长分别是，
∴，
∴，
∴直角三角形斜边的长是．
故答案为：
16．解:一元二次方程的两个实数根分别为，
，
的值为菱形的棱长
菱形的周长为4，
故答案为：4
17．（1）解：∵是一元二次方程的两个实数根，
∴．
∴；
（2）∵
∴
18．解:（1）∵，
∴
∴，
∵关于x的方程有两个实根，
∴，
解得：
（2）∵，是方程的两个根，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：或，且，
∴
19．（1）解：由题意得：，解得：．
（2）解：由根与系数关系得：
∵
∴
∴即，解得或
∵
∴．
20．解:（1）根据题意得，
解得；
（2）根据题意得，
，
，
，
即，
整理得，
解得，
而，
或.
21．（1）解：当时，原方程为，
∴，，．
设关于x的一元二方程的两个根分别为，
∴， ．
∵关于x的一元二方程的两个根是矩形的两邻边长，
∴矩形的对角线长度为2．
（2）∵关于x的一元二方程的两个根是菱形的两邻边长，
∴关于x的一元二方程有两个相等的实数根，
∴，解得：，
∴原方程为，即，解得：，
∴菱形的周长为．
22．（1）证明：关于 x 的一元二次方程为，
，
无论m取什么实数值，该方程总有实数根；
（2）解：两条直角边的长b和c恰好是方程的两个根，
，，
，
，
，
解得或；
（3）解：方程的两根为和且，
，
．