从力做的功到向量的数量积(广东省江门市新会区)

从力做的功到向量的数量积
江门市新会第一中学 黄定珠
一、概述
《从力做的功到向量的数量积》是北师大版教材高中《必修四》第二章第5节内容，本教学内容所需课时为2课时，80分钟，本节课是第一课时；
本节课需要学生掌握平面向量数量积的定义、运算律及其应用；能够熟练地运用平面向量数量积的定义、运算律以及数量积的5个重要性质解决一些简单的几何问题；
在此之前，学生已掌握了向量的定义、运算法则及坐标表示。
二、教学目标分析
1、知识与技能
（1）掌握平面向量数量积的定义及几何意义；
（2）理解平面向量的数量积的运算性质和运算律；
（3）能够应用数量积的5个重要性质及数量积的运算律解决有关的几何问题。
2、过程与方法
通过平面向量数量积5个重要性质的推导，培养学生的逻辑思维能力及分析问题的能力；平面向量数量积的应用体现了理论与实际的联系，培养了学生理论与实际相结合的思想。
3、情感态度价值观
通过平面向量的数量积的学习，培养学生数形结合的思想，渗透相互联系、相互转化等辩证观点，使学生学会用联系的观点处理一些问题 。
[学习重点和难点]
　 平面向量数量积的定义及运算律是本节课的重点，平面向量数量积的应用是本节课的难点．
三、学习者特征分析
1．学生是江门市新会第一中学高一（11）班的学生
2．学生对多媒体大屏幕环境下的课堂环境非常熟悉；
3．学生具备一定的自学能力，思维活跃，对自己动手的活动兴趣很高；
4．学生已经学习过向量的定义、加法、减法、数乘向量等知识内容，对向量有了一定的认识；
四、教学策略的选择与设计
学习过程中，通过课件创设的情境充分调动学生各种知觉器官，做到＂细观察、多动手、勤思考＂．通过观察、猜想、探究、推理、模仿、体验等方法完成本节知识的学习。本节课采用“问题导学，自主探索” 的教学模式，采用情境探究法、谈话法等，使学生在自主探究的过程中完成学习的任务。
五、资源
（1）教师自制的多媒体课件；
（2）上课环境为多媒体大屏幕环境。
六、教学流程图（简 图）
七、教学过程：
（一）、知识回顾,引入概念----向量的数量积
（1）知识回顾，从物理学中功的概念引入
在物理学科中，物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功W可以用
W=||·||来计算，其中是力和位移的夹角.
（2）知识迁移，如何定义向量的夹角
向量的夹角: 已知两个非零向量和，作, 则∠AOB= （叫做向量与的夹角.如果两个向量成90°角，则说这两个向量垂直.
（3）引入课题-----向量的数量积
定义: 已知两个非零向量和，它的夹角为，我们把数量||·||叫和的数量积（或内积），记为· 即·=||·||.
这样的设计引进向量的数量积运算,使学生感到十分自然,比较容易接受向量的这种非常独特的运算.
（二）问题启发，讨论探究
（1）在向量的数量积 ·=||·||中, 如何随角发生变化 ·的取值大致有哪几种情况？
学生已经学习过有关角与余弦函数的有关知识,能够迅速思考回答老师提出的问题，并且能够自己罗列出可能的大致情况.
通过讨论角的变化如何引起向量的数量积发生变化，培养学生学会用联系的观点处理问题的能力。
（2）投影：设,过B作BB1⊥OA于B1，则OB1=，则把||叫做向量在方向上的投影。
显然 当是锐角时，它是正值，
当是钝角时，它是负值.
当时，它是0 ，
特殊地 当时，它是||，
当时，它是
注意：数量积·的几何意义：数量积·等于的长度||与在方向上的投影的乘积.
引导学生从几何的角度看待向量的数量积，培养学生数形结合的数学思想，向量的数量积是向量独具特色的一种运算 ，由于它的运算结果不是向量而是数量，因此向量的数量积运算是实现数形结合的一种重要渠道和方法。
（3）向量数量积的运算律：（ 其中是实数）
1、交换律 ·=·
2、分配律 （
3、分配律
证明：作
则+=，并且+在方向的投影等于、在方向上的投影的和
即
注意：向量的数量积不满足结合律. 即(·)·≠·（·）.
学生已经学习过向量的运算律，能够很快接受向量数量积的运算律，通过分配律的证明培养了学生的逻辑思维能力，真正使课堂成为点燃学生智慧的火把。
（三）例题示范，巩固提高
例1、 已知||=3. ||=4. 与的夹角为45°,求·.
解： ·=||·||=3×4×=.
例2、 已知||=6，||=4，与夹角为60°，求（+2）·（－3）。
解：（+2）·（－3）=·－·－·
=||2－||·||－6||2=62－6×4×－6×42=－72.
巩固练习：1、
问题的出示意让学生初步尝试向量数量积的应用，鼓励学生独立思考，让更多的学生参与课堂教学；教师简单点拨一下。
（四）知识延拓———向量数量积的性质：
设，是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角.则有
（1）·=·=
（2）⊥·
（3）当与同向时，·=||·||，当与反向时，·=－||·||
特别地·=||2或||=
（4） （5）|·|≤||·||
学生刚刚了解了向量数量积的有关知识，具有探究向量数量积性质的能力；向量的数量积的性质采用教师引导学生讨论探究的方式。在交流合作的过程中，使学生积累学习数学的经验，体验到从一般到特殊的数学思想。
（五）迁移创新，提高应用
例3．利用向量数量积的运算证明: 直径上的圆周角是直角。
证明：设AB是⊙O直径，半径为r ，设则
，||=
所以 ，
=
即∠ACB是直角。
巩固练习：1、用向量方法证明：等腰三角形底边上的中线垂直于底边。
整个环节由浅入深，这样的设计极大地拓展了学生思维的空间，体验问题解决多样化的学习策略，也进一步巩固了知识，形成了能力。
（六）归纳总结，形成知识
1、向量数量积的定义及几何意义.
2、向量数量积的5条重要性质.
3、向量数量积的运算律。
本环节旨在培养学生的归纳总结能力，进一步巩固所学习的新知识。
（七）作业. P102 A组 1、（1）（4）, 2,3,4,5
教 学 流 程 图 七、教学评价设计1 、判断下列命题的真假：(1)在△ABC中，若 , 则△ABC是锐角三角形；(2)在△ABC中，若 , 则△ABC是钝角三角形；(3)△ABC为直角三角形的充要条件是 。2、证明：若四边形ABCD满足， 则四边形ABCD为矩形.3、证明：菱形的两条对角线互相垂直。八、帮助和总结帮助：笔者先引导学生从物理上熟悉的“功”出发，得出向量数量积的定义，并且很自然地得出向量数量积的运算律、重要性质，再通过针对性的课堂练习题来巩固和加深对向量数量积的理解, 培养了学生独立思考完成练习的习惯；充分让学生进行探究性讨论及相关材料并整理归纳，进行交流讨论，让学生实现知识的自我反馈；能利用各种手段保证学生在学习过程中更具有自主性。不仅如此,笔者还能根据不同层次的学生，提供多种难度层次的练习和思考题让其选择，并且在练习过程中笔者将采取分层指导。小结：在学习结束后，学生基本上能够掌握，不过向量数量积的应用不够灵活，有待提高。因此，教师再布置一些思考或练习题以加深学习印象，巩固所学的知识。
创设情境
提出问题
讨论交流
引出定义
合作交流
得出性质
发散延伸
知识扩展
巩固练习
解决例题
交流展示
共同发展
分层作业
课外拓展
物理中的“功”
开始
回
顾
向量数量积的定义
课
件
向量数量积的几何意义
课
件
向量的夹角、投影
向量数量积的重要性质
课
件
讨论交流
知识应用
课
件
向量数量积的运算律的证明
向量数量积的运算律
课
件
讨论
例题示范
课
件
课
件
讨论
堂上练习
知识拓展，提高应用
课件
总结
知识
结束